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傅立叶光学简介

第八章 傅立叶光学导言
§1 傅立叶变换
什么是傅立叶变换? 非谐波 偶函数的傅立叶余弦级数Fourier Cosine Series for even functions 奇函数的傅立叶正弦级数Fourier Sine Series for odd functions 连续极限:傅立叶变换(和它的反变换) The continuous limit: the Fourier transform (and its inverse)
傅立叶理论不仅仅是近代分析学中最美丽的结果之 一,而且可以说,它为处理近代物理中几乎每一个困难 问题提供了一种必不可少的工具。
开尔文
教学目的: 1.理解和掌握傅立叶变换的原理和过程。 2.掌握几种常用函数的傅立叶变换的计算。 3.初步能够使用傅立叶变换对各种信息进行处理。 4.掌握相关计算和卷积计算等计算过程及原理。 5.了解信息处理机的工作原理。

f (t ) =
1 2π



F (ω ) exp(iω t ) d ω
F (ω ) =



f (t ) exp( iω t ) dt
§1 傅立叶变换
我们希望测量波动中的频率。这就导致了一个物理术语“谱” 的定义。
平面波只包含一个频率 ω.
光电场
§1 傅立叶变换
考虑两个不同频率的正弦波 (谐波)相叠加:
时间
这个光波包含很多频率, 并且频率随时间变大(从 红到蓝)。
叠加后的波是周期性的,但是并不是谐波,大多数波都是非谐波。 如果我们的测量也能够告诉我们,每个频率在何时发生就好了。

§1 傅立叶变换
E(-x) = E(x)
§1 傅立叶变换
E ( x ) ≡ [ f ( x ) + f ( x )] / 2
这里我们把方波写成多 个正弦波的叠加。
O(-x) = -O(x)
O ( x ) ≡ [ f ( x ) f ( x )] / 2 f ( x) = E ( x) + O ( x)
§1 傅立叶变换
因为 cos(mt) 是一个偶函数 (对所有的 m), 我们可以把任意一 个偶函数 f(t)写成:
§1 傅立叶变换
傅立叶余弦级数
f (t ) = 1
π

∞ m=0
Fm cos( mt )
为确定 Fm 两边同时乘以cos(m’t)并积分,这里m’ 是另外一个整数,
f( t) =
1
π
m =0


Fm cos( mt )
但是:

π
f (t) cos(m' t) dt =
1 π

π
π
π
∑∫
∞ m=0 π
π
Fm cos(mt ) cos(m' t) dt
cos( mt ) cos( m ' t ) dt
=
π if m = m ' ≡ π δ m ,m ' 0 if m ≠ m '
所以:
这里集合 {Fm; m = 0, 1, … } 是一个描述级数的系数的集合。 并且这里我们只需要考虑函数 f(t) 在区间 (–π,π)内的情况。

π
π
1 f (t ) cos( m ' t ) dt = π

∞ m =0
Fm π δ m , m '
仅 m’ = m 项有贡献
去掉m上的 ’:
Fm =

π
π
f (t ) cos( mt ) dt
得到任意 函数 f(t)的系数!

§1 傅立叶变换
因为 sin(mt) 是一个奇函数 (对所有的 m), 我们可以把任意一 个奇函数 f(t)写成:
§1 傅立叶变换
傅立叶正弦级数
π
f (t) =
1 π

∞ m= 0
Fm sin( mt) ′
π
为确定 Fm 两边同时乘以sin(m’t)并积分,这里m’ 是另外一个整数,
f (t) =
1 π

∞ m= 0
Fm sin( mt) ′
但是:
π
π
∫ f (t ) sin(m ' t ) dt
sin( mt ) sin( m ' t ) dt
1 π
′ Fm
1 = π
∑ ∫ F ′ sin(mt ) sin(m ' t ) dt
m m =0 π

π

π
π if m = m ' = ≡ π δ m ,m ' 0 if m ≠ m '
∞ m m ,m '
所以:
这里集合 {Fm; m = 0, 1, … } 是一个描述级数的系数的集合。 并且这里我们只需要考虑函数 f(t) 在区间 (–π,π)内的情况。
π

f (t ) sin( m ' t ) dt =
∑ F′ π δ
m =0
仅 m’ = m 项有贡献
去掉m上的 ’:
=
π
∫ f (t ) sin(mt ) dt
π
得到任意 函数 f(t)的系数!
§1 傅立叶变换
如果 f(t) 是一个一般函数,既不是偶函数也不是奇函数,那么它 可以写为:
∞ ∞
§1 傅立叶变换
1
Fm vs. m
.5
1 f (t ) = π
m=0

Fm cos( mt ) +
1 π
m =0

′ Fm sin( mt )
偶数部分 这里
奇数部分
0 5 10 15 20 25 30
m
Fm =

f (t) cos(mt) dt 和
Fm′ =

f (t) sin(mt ) dt
我们实际上需要两个这样的图,一个对应余弦级数,另一个对应正弦级数。

§1 傅立叶变换
Fm vs. m
让整数m变为 实,系数Fm变 成函数F(m).
§1 傅立叶变换
让我们定义一个函数 F(m) 包含余弦和正弦级数系数正弦级数被标定成 它的虚部:
F(m)
F(m) ≡ Fm – i F’m = f (t) cos( mt) dt
i

我们允许 f(t) 的变化区间为 –∞ 到 ∞, 所以我们必须从 –∞ 到 ∞进行积 分, 并且我们重新定义m为“频率”,记为ω:

f (t) sin(mt) dt
F (ω ) =
m
我们实际上还是需要两个这样的图,一个对应余弦级数,另一个对应正弦 级数。

∫ f (t ) exp(iω t ) dt

傅立叶变换
F(ω) 称为 f(t) 的傅立叶变换。它和f(t)包含相同的信息。我们说 f(t) 是 在“时域”的,F(ω) 在“频域”。 F(ω) 只是同一个函数或者波的另外 一种表达形式。
§1 傅立叶变换
傅立叶变换使函数从 f(t) 变换到了 F(ω). 反过来会怎么样? 回忆 f(t) 的傅立叶级数公式:
§1 傅立叶变换
傅里叶变换和反变换
F (ω ) =
f (t ) =
1 π
∑F
m =0

m
cos( mt ) +
1 π
∑ F sin(mt )
' m m =0


∫ f (t ) exp(iω t ) dt

傅立叶变换
f (t )
=
现在变换求和到从 –∞ 至 ∞的积分,并且再一次把 Fm 替换成 F(ω)。 记得我们引入了一个因子i (并且包括一个出现的因子2) 我们有:

1 2π

∫ F (ω ) exp(iω t ) d ω

傅立叶反变换
1 f (t ) = 2π


F (ω ) exp(iω t ) d ω
傅立叶反变换
这样我们能变换到频域并且能变换回来。有趣的是,这些函数都非 常类似。 这些变换有很多不同的定义。2π 可能出现在很多地方,但是基本的 思想都是一样的。

§1 傅立叶变换
这里有几种方法来标定一个函数的傅立叶变换。 如果这个函数被标示成小写字母,例如 f,那么我们可以 这样写:
§1 傅立叶变换
Sinc(x/2) 是矩形函数
的傅立叶变换。
f(t) → F(ω)
如果这个函数被标示成小写字母,例如 E,那么我们可 以这样写: % E (t ) → Y {E (t )} 或者 E (t ) → E (ω )
Sinc2(x/2)是三角函数
的傅立叶变换。
Sinc2(ax) 是狭缝的衍
射光斑 这个函数随处可见...

有时用符号来替代箭头:
§1 傅立叶变换
高斯形的
§1 傅立叶变换
一个给定的 F(ω) 的存在条件是:
傅立叶模数 (也是高斯形的)
这些高斯形的傅立叶模数产生另外的高斯形。一个包含低空间频率的大的 目标产生一个紧凑的傅立叶模数,并且一个包含高空间频率的小目标产生 大的傅立叶模数。
∞ 如果函数在正负无穷方向都不趋于零,那么一般来说这个函数不 存在傅立叶变换。 所以我们将假定所有的我们关心的函数在±∞时都趋于零。
∫ f (t )

dt < ∞

§1 傅立叶变换
扩展函数 f(t)的傅立叶变换
§1 傅立叶变换
F (ω ) =
进一步扩展:

∫ [Re{ f (t )} + i Im{ f (t )}] [cos(ω t ) i sin(ω t )] dt
= 0 if Re 或 Im{f(t)} 是偶的


= 0 if Re 或 Im{f(t)} 是奇的

F (ω ) =


∫ Re{ f (t )} cos(ω t ) d t + ∫ Im{ f (t )} sin(ω t) d t
∞ ∞


←Re{F(ω)}
+ i

∫ Im{ f (t )} cos(ω t ) dt i ∫ Re{ f (t )} sin(ω t) dt


←Im{F(ω)}
ω的偶函数
↑ ω的奇函数
http://www.wendangku.net/doc/a8be69630b1c59eef8c7b491.html/CHY431/NMR/NMR-4.html
§2 阿贝成像原理
§2 阿贝成像原理
物点分布函数
上方观察的爱里斑
瑞利判据: 重叠 r’, 中间重叠部分光强比峰处光强小26%
侧面观察的爱里斑
(2πx/λ)NAobj

§2 阿贝成像原理
横向分辨率 (瑞利极限): r = 0.61λo/NAobj 垂直分辨率 : 明亮物体从中心延z轴的扩展为 4λ/NA2,但是,我们能够观察到像的变化,仅 散开了λ/NA2,这是纵向上的瑞利极限。这叫 做波动光学的景深: dz = λ/NA2obj
§2 阿贝成像原理
低数值孔径或长波长 ----->高数值孔径或短波长
§2 阿贝成像原理
不同颜色的线代表不同点 光源发出的光 空 间 频 谱 面 像 平 面
§2 阿贝成像原理
透镜成像有两个观点: 阿贝成像原理: 物是一系列不同空间频率的集合。 入射光经物平面发生夫琅和费衍射, 在透镜焦面(频谱面)上形成一系列 衍射光斑,各衍射光斑发出的球面次 波在像面上相干叠加,形成像。
A B
C
Lens
C′
B′
A′
f′
阿贝成像原理

§2 阿贝成像原理
§2 阿贝成像原理
频 谱 面
阿贝成像原理将成像过程分为两步: 第一步“分频”;第二步“合成”. 由阿贝的观点来看,许多成像光学仪器就是 一个低通滤波器,物平面包含从低频到高频的信 息,透镜口径限制了高频信息通过,只许一定的低 频通过,因此,丢失了高频信息的光束再合成,图 象的细节变模糊. 孔径越大,丢失的信息越少,图 象越清晰.
物 面 高频信息
阿贝成像原理的意义在于:它以一种新的频 谱语言来描述信息,它启发人们用改造频谱的方 法来改造信息.
§3 空间滤波与光信息处理
空间过滤 包含另外一套数字处理函数用来加强图 像的清晰度 。 空间滤波器 是通过设计改变空间频谱来实现对特 定信息的加强或抑制。 空间频谱 与图像质地的概念相关,并且涉及到引 起图像色调变化的频率。
§3 空间滤波与光信息处理
(1) 阿贝-波特空间实验
x


x′
光 栅 的 频 谱 频 谱 面 像 面
a / d = 1/ 3
光 栅
Grating
光栅和格子是检测图像形成的非常有用的样品。

§3 空间滤波与光信息处理
§3 空间滤波与光信息处理



x′
光 栅 的 频 谱

光 栅 的 频 谱
x′
I (x ′)
0级和一级通过孔径
调制的强度
条纹出现
低通滤波器
屏上的强度分布
均匀的图样
当孔径足够大时,光栅能够被观察到。
§3 空间滤波与光信息处理
(2) 网格实验
物平面 (网格) 频谱面 像平面
§3 空间滤波与光信息处理
S
f′ f′ f′ f′
物:网格 频谱(衍射图样)
四空间滤波系统
通过控制频谱来控制像面的信息.

§3 空间滤波与光信息处理
(3) θ调制实验 用白光照明透明物体,物体的不同部分是由不 同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除零级外)干 涉主极大呈彩色.物面上不同的部分的频谱在不同 方向上. 将一个方向的频谱,只保留一种颜色,滤掉 其余的颜色,其对应的象面上,就显示出该频率的颜 色来.
§3 空间滤波与光信息处理
物面 白光
傅里叶 变换镜
频谱面
输出面
S
f′ f′ f′
f′
§3 空间滤波与光信息处理
§3 空间滤波与光信息处理
卷积和去卷积
物面
频谱面
斑点 调制后的频谱面 调制后的像
自适应光学
去卷积

§3 空间滤波与光信息处理
图像形成是对恒定、不连续图像的点展开函数做卷积处理 的过程。 卷积就是一个重叠积分:
§3 空间滤波与光信息处理
自相关定理
i ( r ) = ∫ ds o ( s ) p ( r s ) = o ( r ) p ( r )
这里 i(r) p(r) o(r) * – 规则的图像 – 点扩展函数 (激发响应函数) – 目标分布 - 卷积操作 卷积定理
§3 空间滤波与光信息处理
夫琅和费衍射理论 (远场): 观测到的场分布 (焦平面的复波) u(r) 近似等于孔 径处场分布的傅立叶变换(孔处的复波) P(r‘)。 P(r')
§3 空间滤波与光信息处理
光学转换函数 (OTF)是光学系统的空间频率响 应。 调制转换函数 (MTF) 是OTF的调制,而且是 PSF的傅立叶变换。 fc = λ/D
MTF
点扩展函数 (激发响应) 是用有限孔径取样的 平面波的傅立叶变换振幅的平方,即 h(r) = |u(r)|2 = |FT{P(r')}|2 孔处复场的能量谱密度。
h(r) J. Goodman “Introduction to Fourier Optics”
根据自相关理论 MTF 是孔处复波阵 面的自相关。
归一化的空间频谱
J. Goodman “Introduction to Fourier Optics”

§3 空间滤波与光信息处理
尺寸为D的孔的分辨率 :
§3 空间滤波与光信息处理
Chan-Wong [1999], Vogel [software available at http://www.wendangku.net/doc/a8be69630b1c59eef8c7b491.html/~vogel ] Chan-Wong [1999]
α=
λ D
1
弧度
尺寸为D的孔的衍射极限是:
fc =
α
=
D
λ
周/弧度
- 分辨率与波长和孔径有关。
大的空间结构对应低的空间频率
小的空间结构对应高的空间频率
典型的模糊类型: 偏焦 (透镜) 运动模糊 (照相机) 介质模糊 (大气) 模糊是低通滤波过程 模糊是一个发散过程 清晰化就像反转 热扩散一 样,是非常不稳定且畸形 的。
§3 空间滤波与光信息处理
自相关理论
§3 空间滤波与光信息处理
4F 系统 (范德鲁特)
4F 系统可编程 2F 系统
JTC
双重轴 JTC 改进的 JTC
相干相关 (投影电子显微束)

§3 空间滤波与光信息处理
SLM Illumination 透镜 模板 (LCD) 透镜 CCD camera Output, yij
§3 空间滤波与光信息处理
傅立叶光学透镜的焦距和输入图像像素大小决 定了全息图的范围。 图像像素的观察角(路径)必须与模板的相同。 光束应该在全息表面交叠,所以它们必须彼此
f
f 反馈 Input, uij
f
f
交叉在X和Y声光偏向器中(保证适当的角度对模 板像素编码)。
Bias, z0