当前位置：文档库 › 材料力学刘德华版课后习题答案

材料力学刘德华版课后习题答案

q=10kN/m ，l=2m ，求各杆的最大正应力，并用图形表示正应力沿轴线的变化情况。

答（1）63.66MPa ，（2）127.32MPa ，（3）63.66MPa ，

（4）-95.5MPa ，（5）127.32MPa

2.4一正方形截面的阶梯柱受力如题2.4图所示。已知： a=200mm ，b=100mm ，F=100kN ，不计柱的自重，试计算该柱横截面上的最大正应力。解：1-1截面和2-2截面的内力为： FN1=-F ； FN2=-3F

相应截面的应力为：最大应力为：

2.6钢杆受轴向外力如图所示，横截面面积为500mm2，试求 ab 斜截面上的应力。解：FN=20kN

2.8图示钢杆的横截面积A=1000mm2，材料的弹性模量E=200GPa ，试求：（1）各段的轴向

变形；（2）各段的轴向线应变；（3）杆的总伸长。解：轴力图如图所示

2.10图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA ，杆AB 长为l ，ABCD 是正方形。在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB 杆的伸长。解（a ）受力分析如图，由C 点平衡可知： F ’AC=F ’CB=0；由D 点平衡可知：F ’AD=F ’BD=0；再由A 点的平衡：因此

（b ）受力分析如图，由C 点平衡可知：再由A 点的平衡：

因此 2.12图示结构中，水平刚杆AB 不变形，杆①为钢杆，直径d1=20mm ，弹性模量E1=200GPa ；

杆②为铜杆，直径d2=25mm ，弹性模量E2=100GPa 。设在外力F=30kN 作用下， AB 杆保持水平。（1）试求F 力作用点到A 端的距离a ；（

2）如果使刚杆保持水平且竖向位移不超过2mm ，则最大的F 应等于多少？解：受力分析如图 d1=20mm ，E1=200GPa ；

d2=25mm ，E2=100GPa 。 2.15图示结构中，AB 杆和AC 杆均为圆截面钢杆，材料相同。已知结点A 无水平位移，试求两杆直径之比。由两杆变形的几何关系可得 2.20图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，直径分别为d1=16mm ，d2=20mm ，已知F=40kN ，

刚材的许用应力[σ]=160MPa ，试分别校核二杆的强度。解：受力分析如图（1）+（2）可解得：F2=29.3kN;F1=20.7kN

d1=16mm ，d2=20mm ，[σ]=160MPa 杆①和杆②都满足强度要求。 max 10MPa

σ=3020kN o

b a

a b a b p αs αατF N o N N 0cos30==F F p A A ααo 2o

N 0

3cos30cos 3020103

30MPa 5004F p A σ==?=?=αα3o o o N 020103sin30cos30sin3017.32MPa 5004F p A ?===?=αατ1m 45o 30o A B C F F A o 30o

45F F AB AC

0:cos 45cos3002332

x o o

AB AC AB AC AB AC

F F F F F F F =+==-=-∑

cos 45cos30cos303

AB AC o AB AC AC

L L L L L ===21o

45F

45F F 1

12120:sin 45sin 300(1)0:

cos 45cos300(2)x o o

o o F F F F

F F F =-+==+-=∑

∑F F (a )

A B C

D C A F F F F F F F F AB CB AC AD BD AC AD

D F CB F BD

F AB F x AB =0:=F F F ∑

AB AB F l Fl L EA EA

?==C F F CB AC F F A F F F AB AC AD F F AD BD D

F C B D F

(b )A F CB F F

AB BD

0:0:22cos 45,2x AC

BC y o AC AC

F F F F F F F F =''=='==∑∑

AB AB F l Fl L EA EA ?==-()

0:cos450;o x AC AD AB AB F F F F F F =++==-∑

2.24图示结构，BC 杆为5号槽钢，其许用应力[σ]1=160MPa ；AB 杆为100×50mm2的矩形截面木杆，许用应力[σ]2=8MPa 。试求：（1）当F=50kN 时，校核该结构的强度；（2）许用荷载[F]。

解：受力分析如图联立（1）和（2）解得：FBC=25kN;FBA=43.3kN 。

查型钢表可得：ABC=6.928cm2，FBC=25kN;FBA=43.3kN ；ABC=6.928cm2， [σ]1=160MPa ；AAB=100×50mm2；[σ]2=8MPa 。

杆BC 满足强度要求，但杆BA 不满足强度要求。将[FBA]带入（1）、（2）式中求得许用荷载[F]=46.2kN 2.25图示结构中，横杆AB 为刚性杆，斜杆CD 为直径d=20mm 的圆杆，材料的许用应力[σ]=160MPa ，试求许用荷载[F]。解：CD=1.25m ，sin θ=0.75/1.25=0.6 d=20mm

[σ]=160MPa 2.27图示杆系中，木杆的长度a 不变，其强度也足够高，但钢杆与木杆的夹角α可以改变（悬挂点C 点的位置可上、下调整）。若欲使钢杆AC 的用料最少，夹角α应多大？解：杆AC 的体积：钢杆AC 的用料最少，则体积最小，有： 2.37图示销钉连接中，F=100kN ，销钉材料许用剪切应力[τj]=60MPa ，试确定销钉的直径d 。解： 2.39图示的铆接接头受轴向力F 作用，已知：F=80kN ，b=80mm ，δ=10mm ，d=16mm ，铆钉和板的材料相同，其许用正应力[σ]=160MPa ，，许用剪切应力[τj]=120MPa ，许用挤压应力[σbs]=320MPa 。试校核其强度。解：[σ]=160MPa b=80mm ，δ=10mm ，d=16mm ； [τj]=120MPa ，[σbs]=320MPa 3.1试画下列各杆的扭矩图。 3.4薄壁圆筒受力如图所示，其平均半径r0=30mm ，壁厚t=2mm ，长度l=300mm ，当外力偶矩Me=1.2kN 时，测得圆筒两端面之间的扭转角φ=0.76o ，试计算横截面上的扭转切应力和圆筒材料的切变模量G 。解：r0=30mm ，t=2mm ，l=300mm ，φ=0.76o 3.8直径d=60mm 的圆轴受扭如图所示，试求Ⅰ-Ⅰ截面上A 点的切应力和轴中的最大扭转切应力。解：扭矩图如图 3.11图示阶梯形圆轴，轮2为主动轮。轴的转速n=100r/min ，材料的许用切应力[τ]=80MPa 。当轴强度能力被充分发挥时，试求主动轮输入的功率p2。解：当轴的强度被充分发挥时有： 3.14图示一实心圆轴，直径d=100mm ，外力偶矩Me=6kN.m ，材料的切变模量G=80GPa ，试求截面B 相对于截面A 以及截面C 相对于截面A 的相对扭转角。解：由于整杆各个截面内力相等，有： 0:sin 60sin 300(1)0:cos30cos 600(2)y o o

BC BA x o o

BA BC F F F F F F F =+==--=∑∑

A C

B 60o

60B F F F BA

BC F 3

11222251036.1MPa []160MPa 6.92810

43.38.66MPa []8MPa 10050BC BC BA

BA F A F A σσσσ?===<=?===>=?22[][];[][]81005040N BA BA BA BA F F A k A σσ===??=F

A B D C 1m 1m 0.75m

F A B D 1m 1m F F F DC Ax Ay |ΘA DC DC M 0:2sin 102100.63=-?q?==?F F F F F 3226

34104010[]16033201016032010[]15.14010DC DC F F F A d F kN σσπππ--??===≤=?????==?32262634104010[]16033201016032010[]15.14010DC DC F F F A d F kN σσπππ--??===≤=?????==?钢木F B A C A F F F AC AB a 0:sin 0y AC F F F α=-=∑

AC AC AC AC AC [][]sin /cos F F A l a σσαα===AC AC AC AC AC AC [][]sin cos []sin 2F Fa 2Fa V =A l σσαασα===AC AC AC []sin /cos F A l a σαα==o sin 21;45αα==d

F F F F F 22350N 24[]4501032.6mm 3.1460s s j F F k F d πτ===??==?b

d F F F F F/4F/4F/4F/4F/4F/4F F/4F/43F s 12320N 4s F F k ==1

/4==31.25MPa<[]-)3/4==125MPa<[]-2)==125MPa<[]-)F b d F b d F b d σσδσσδσσδ

（（（32

3bs 4201099.5[]3.14162010===125MPa<[]1610s j j s bs F MPa A F d ττσσδ??===

2kN ·m 2kN ·m 1kN ·m 2kN ·m 4kN ·m

3kN ·m

(d )(c )6kN ·m 3kN ·m

1kN ·m 1kN ·m

6kN ·m

4kN ·m

2kN ·m +-++-l M e M e ?2kN ·m 6kN ·m 4kN ·m

d /4I I 4kN ·m 2kN ·m A 66

T 43p 32210

1610

23.59MP 4A M d a I d d

ρτρππ???==

?==6Tmax max 3p 1641094.36MP M a W d τπ??===T p M W τ=M e2(P 2)M e1M e3

轮2T1p1T3p3T2T1T3p1

p3[];[][]M W M W M M M W W τττ==??=+=+??e 260

n P M π=?1m A B

C 0.5m

M e d

6T e M M kN m

=-=?6643436

61015003261015000.011rad 8010801032T AB

AB p M l d GI d ?ππ?????====???

3.18某阶梯形圆轴受扭如图所示，材料的切变模量为G=80GPa ，许用切应力，[τ]=100MPa ，单位长度许用扭转角[θ]=1.5o/m ，试校核轴的强度和刚度。解：扭矩图如图所示；

4.1试用截面法求下列梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。 4.4试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 4.5用微分、积分关系画下列各梁的剪力图和弯矩图。 4.7检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，若不正确，请改正。 4.8已知简支梁的剪力图，试根据剪力图画出梁的荷载图和弯矩图（已知梁上无集中力偶作用）。 4.9静定梁承受平面荷载，且无集中力偶作用，若已知A 端弯矩为零，试根据已知的剪力图确定梁上的荷载及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。（4.9图）（4.10图） 4.10已知简支梁的弯矩图，试根据弯矩图画出梁的剪力图和荷载图（已知梁上无分布力偶作用）。 4.11试用叠加法画图示各梁的弯矩图。

5.1试确定图示平面图形的形心位置。（1）（2）分成3块计算：由于截面有一个对称轴，可知形心在对称轴上，因此： 5.2试确定图示平面图形的形心位置。查表可得：角钢A=22.261cm2,形心：（-45.8,-21.2)mm 槽钢A=68.11cm2，形心：（23.7，-180）mm 组合截面的形心坐标为： 5.3试计算图示平面图形的阴影部分对z 轴的静矩。 5.6试计算图示矩形截面对y 、z 轴的惯性矩和惯性积以及对O 点的极惯性矩。 5.7试计算图示组合图形对z 轴的惯性矩。解：查表得L100×100×10角钢的截面面积： A=19.261cm2，Iz=179.51cm4，z0=2.84cm 5.9试计算图示平面图形的形心主惯性矩。 5.11图示矩形截面，已知b=150mm ，h=200mm ，试求：（1）过角点A 与底边夹角为45o 的一对正交坐标轴y 、z 的惯性矩Iz 、Iy 和惯性积Iyz ；（2）过角点A 的主轴方位。解：建立如图所示两个坐标系，则：令，则

6.1矩形截面梁受力如图所示，试求I-I 截面（固定端截面）上a 、b 、c 、d 四点处的正应力。解：1-1截面弯矩为： M=20-15*3=-25KN*M

对中性轴z 的惯性矩为： I Z =bh 3/12=180*3003

/12 =4.05*108mm 4 6.2工字形截面悬臂梁受力如图所示，试求固定端截面上腹板 50

1.2kN ·m

2.4kN ·m

10001000

1.2kN ·m 1.2kN ·m T T

max 33

min min

339

6T max 49p 6o 941216M ==d d 1616 1.210==48.9MPa<[]3.1450101.21018080103232 1.210180 1.4/m 80105010M M d GI τππτθππππ--?????==?????=?=???(1)A B C F l a F A =aF/l F B =F (l+a )/l x 1x 2()111112222(0);(0);()()S S aF Fa F x l M x x l l l l a F aF F F M F l a x l x l a l l =-<<=-<<+=-+==-+-<<+6.5kN 1.5kN

3.5kN 5kN 1kN 题图(2)(1)F S 图

F S 图

2m 2m 2m 1m 1m 2m 5kN 1kN 4kN (1)F Q

图2m 2m 2m C

A 4kN 5kN 3kN 6kN 8kN.m 10kN.m M 图 6.5kN 1.5kN 3.5kN (2)F Q

图1m 1m 2m 3.5kN A 2kN

6.5kN C 4kN/m 3.5kN.m 5kN.m M 图25kN 20kN

15kN A B C F S 图D A B C q=15kN

20kN 40kN M 图

4/3m 3m 1m 7.5kN.m 13.3kN.m 3kN ·

m 9kN ·

6kN ·

m (2)M 图3m 3m S 图F C B A 6kN ·

m 1kN 1kN 12kN ·

m 1kN -

O z b z h

02()1()616132z A A h z C b S ydA ydy h y h b y h y dy bh h bh S h y A bh

==-=-====

2116,1632y y C A hb S b S zdA hb z A bh =====?36030

300

9030z O

y 30

112233123180300360301530030(30)3090(3030015)26030300303090120.6C

C C C C z A y A y A y y A A A =++=++??+??++??++=?+?+?=b O z y h 233233

332211122311122310224111()333y z yz p y z b I hb hb hb

h I bh hb bh b h I bh b h I I I hb bh hb b h ??=+?= ?????=+?= ???????=+-??=- ? ?????=+=+=+250×10600×10

100×100×10

250×10z ()

(

)

3224294122501025010305124179.51101926.130028.4110600 1.2210mm 12z I ??=??+?? ???+?+?-+??=?t b b

33(2)()1212

zC b b t b t b

+-=-

33126

yC bt tb I

=+45°

h b

y z A z y '

300

1805000

3000a y z 15kN 20kN ·m b c

d I I

与翼缘交界处k 点的正应力σk 解：固定端截面处弯矩：

对中性轴的惯性矩：

由正应力公式得：

6.6图（a ）所示两根矩形截面梁，其荷载、跨度、材料都相同。其中一根梁是截面宽度为b ，高度为h 的整体梁（图b ），另一根梁是由两根截面宽度为b ，高度为h/2的梁相叠而成（两根梁相叠面间可以自由错动，图c ）。试分析二梁横截面上的弯曲正应力沿截面高度的分布规律有何不同？并分别计算出各梁中的最大正应力。解：梁的弯矩图如图对于整体梁：叠梁：由于小变形

可知上下梁各承担一半弯矩，因此： 6.8矩形截面简支梁如图所示，已知F=18kN ，试求D 截面上a 、b 点处的弯曲切应力。 6.9试求图示梁固定端截面上腹板与翼缘交界处k 点的切应力τk ，以及全梁横截面上的最大弯曲切应力τmax 。解：梁各个截面剪力相等，都等于20kN 6.10图示直径为145mm 的圆截面木梁，已知l=3m ，F=3kN ，q=3kN/m 。试计算梁中的最大弯曲切应力。解： 6.11T 形截面铸铁梁受力如图所示，已知F=20kN ，q=10kN/m 。试计算梁中横截面上的最大弯曲切应力，以及腹板和翼缘交界处的最大切应力。解：梁中最大切应力发生在B 支座左边的截面的中性轴处。中性轴距顶边位置：腹板和翼缘交界处 6.12图示矩形截面梁采用（a ）、（b ）两种放置方式，从弯曲正应力强度观点，试计算（b ）的承载能力是（a ）的多少倍解： 6.13图示简支梁AB ，当荷载F 直接作用于中点时，梁内的最大正应力超过许用值30%。为了消除这种过载现象，现配置辅助梁（图中的CD ），试求辅助梁的最小跨度a 。 6.14图示简支梁，d1=100mm 时，在q1的作用下，σmax=0.8[σ]。材料的[σ]=12MPa ，试计算：（1）q1=（2）当直径改用d=2d1时，该梁的许用荷载[q]为q1的多少倍解：（1）（2） 6.16图示T 形梁受力如图所示，材料的许用拉应力[σt]=80MPa ，许用压应力[σc]=160MPa ，截面对形心轴z 的惯性矩Iz=735×104mm4，试校核梁的正应力强度。解：B 截面上部受拉， C 截面下部受拉 B 截面下部受压，C 截面上部受压 6.17图示工字形截面外伸梁，材料的许用拉应力和许用压应力相等。当只有F1=12kN 作用时，其最大正应力等于许用正应力的1.2倍。为了消除此过载现象，现于右端再施加一竖直向下的集中力F2，试求力F2的变化范围。

2020

20100

100

2000

20kN

A B z k 3720102000410N mm M =-??=??33

274100202010022010060 1.6210mm 1212z I ????=+??+=? ?

??77

41050123.5MPa 1.6210k z M y I σ-?==?=-?a b D C F A B 1m 1m 70120

0.5m |Σ3*S z 33z 11207060181020706022117070140707014012120.67MPa 0a a b F F S bI ττ????????===??????==2020

100

100200020kN A B z k ττmax min ()*3S z 323z 3*

S z max 323z 20101002060=11202100201002060201001212=7.41MPa 20101002060205025=11202100201002060201001212=8.95MPa

k F S d I F S d I ττ????=???????+??+?? ???????????+??=???????+??+?? ???????l q F l /3 3.5k N 8.5k N 3k N 5.5k N 3.5k N Fs 图S max 32324345.5101344 5.5100.44131454F A d MPa τππ=?=?==?q 20

l 4020

(a)(b)

2z 2y 626bh W h hb W b ===2

,max ,max 2,max ,max 12[]12[]a a a y y b b b z z

q l M W W q l M W W σσσσ==≤==≤2211222a b y z b z a y q l q l W W q W q W ===()

()

1,max 1,max z 2,max 2,max z 3/2 1.3[]/4[]/43/2/ 1.3a 1.39m

s ===s s ===s ==z z z z M F W W M F 6-a W W F 6-a F W W a /2

a /2F A B 3m 3m B F 3m 3m a /2a /2B 3m 3m D C A A D F/2F/23F/2F(6-a)/6

q 14m d 12max 128M ql q ==31,max 11,max 113112/0.8[]0.812320.8120.47164z M d q W d q kN πσσπ====???==()

1max

12,max 232/

12, 4.7132

z d M d q q kN

W ππσ=====20003000100040.6

z F =10kN q =5kN/m 150

109.4

5kN 15kN 10kN.m 5kN.m

A B C D max t max max ,max ,max

z B B C C M y I M y M y σ=

<，3

t max max 4

510109.474.42MP []t M y a σσ?==?=≤，1

F 1m 1m 1m 6kN.mm

1,max

1,max max z M y I σ=h

b b l (b )

h /2h /2

(c )(a )ql /82+-++--223322max 321128812123824z ql

M ql y y y bh I bh ql h ql bh bh σσ====?=12121z z M M EI EI ρ==31311133222212112z z bh M EI h bh M EI h ====

解：

6.18图示正方形截面悬臂木梁，木材的许用应力[σ]=10MPa ，现需要在梁中距固定端为250mm 截面的中性轴处钻一直径为d 的圆孔。试计算在保证梁的强度条件下，圆孔的最大直径可达多少？（不考虑应力集中的影响）

解：开孔截面处

的弯矩值为：

M=5*0.75+1/2*5*0.752=4.31KNM 开孔截面的惯性矩：

6.19图示悬臂梁受均布荷载q ，已知梁材料的弹性模量为E ，横截面尺寸为b ×h ，梁的强度被充分发挥时上层纤维的总伸长为δ，材料的许用应力为[σ]。试求作用在梁上的均布荷载q 和跨度l 。解：梁的各个截面的弯矩不相等，x 截面：强度充分发挥时

由胡克定律，x 截面顶部线应变：

梁的总伸长： 6.22图示矩形截面梁，已知材料的许用正应力[σ]=170MPa ，许用切应力[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。解： 6.23图示一简支梁受集中力和均布荷载作用。已知材料的许用正应力[σ]=170MPa ，许用切应力[τ]=100MPa ，试选择工字钢的型号。解：查表得工字钢的型号：N0.25a 6.24图示矩形截面木梁。已知木材的许用正应力[σ]=8MPa ，许用切应力[τ]=0.8MPa ，试确定许用荷载[F]。解：取[F]=3KN 6.32绘出图示梁内危险截面上的正应力和切应力沿横截面高度的分布示意图。解：绘出梁的剪力图和弯矩图可知，梁的危险截面为A 左截面，确定中性轴位置：绘正应力分布图最大拉应力在截面的上边缘：最大压应力在截面的下边缘：切应力分布：在1水平线上：S*=0，τ1=0；在2水平线上：在3水平线上：在4水平线上：在5水平线上：S*=0，τ5=0； 7.1试用积分法求图示各梁的挠曲线方程、转角方程、最大挠度和最大转角。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：支座反力如图边界条件： d /2

d /2F =5kN q =2kN/m 250

160

1601000

q b h

1()2M x qx =2,max 1()2x z z qx M x W W σ==2

,max 12[]l z ql W σσ=

=2,max ,2x z qx E EW σεε==233200[]26362[]l l z z qx ql ql l dx dx ql EW EW E E σδεσ=====???

3[]E l δσ=32222[]2[]9W W q l E σσδ==4000q =6kN/m 100

5012kN 12kN 12kN 12kN +-Fs 图M 图12kN .m max

max 32621210612106144[]50100z M W bh MPa σσ=?=??==

3m +-28kN 28kN 57kN.m Fs 图M 图

max max

631705710335170z z M MPa W W cm σ=≤?≥=6**3,max max 5.0210,80/21.6281016.2[]21.61080z z s z I b mm I S cm F S MPa I b ττ=?==?===

150

F/2F F F +--max max 2226266[]884100.10.15[]363z M F bh W F MPa bh bh F kN σσ===≤=???≤==,max max 1212s F kN M kN m =-=-?0.160.280.140.080.100.090.150.160.280.080.10150z c S y m A mm ??-??===?-?=804040

140100q =6kN/m

50002000160+--2.4kN 12kN 12kN.m 150

130F 图s M 图

A B 14.4kN 2.4kN

z z c y

332264

1602808010016028108010010121226210z I m

-????=+??-+?? ?

=?3max max max

12100.15 6.87M y MPa σ-??===80404040

140100150

130z z c 1354

2y 160*633626

2616040

(15020)83210121083210160:0.24262100.1612108321080:0.48262100.08z S m b mm MPa b mm MPa ττ-----==??-=???==?=???'==?=?()*63

368321004015090

21310121013101080:0.75262100.08z

S m b mm MPa τ---=+??-?=??==?=?M e B A l x

M e /l M e /l

(a )

代入得：

7.2试用积分法求图示各梁C 截面处的挠度yC 和转角θC 。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：支座反力如图所示分两段建立

挠曲线近似微分方程并积分。 AB 段： BC 段：由连续性条件：代入边界条件： 7.2（b ）试用积分法求图示梁C 截面处的挠度yC 和转角θC 。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：支座反力如图所示，分两段建立挠曲线近似微分方程并积分。由变形连续条件：

解得：

代入积分常数可得：补例：采用叠加法求梁截面C 处的挠度yC 和转角。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：分为图示两种荷载单独作用的情况 7.2（d ）试用积分法求图示梁C 截面处的挠度yC 和转角θC 。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：支座反力如图，本题应分3段建立挠曲近似微分方程。因此，写出3段弯矩方程为：挠曲线近似微分方程由连续性条件和边界条件：可得： 7.4用积分法求图示各梁的变形时，应分几段来列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？试分别列出确定积分常数时所需要的位移边界条件和变形连续光滑条件。解：（a ）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数，位移边界条件： y1A=y1A ’=0；变形连续条件：y1C=y2C;y1C ’=y2C ’ （b ）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数，位移边界条件： y1A=y3B=0，变形连续条件：y1A=y2A,y1A ’=y2A ’ y2B=y3B,y2B ’=y3B ’;y3B=y4B,y3B ’=y4B ’; 解：（c ）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数，位移边界条件： y1A=0；y2C=(F+ql)a/2EA 变形连续条件：y1B=y2B;y1B ’=y2B ’ （d ）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数，位移边界条件： y1A=y2C=y4B=0，变形连续条件：y1D=y2D,y1D ’=y2D ’;y2C=y3C,y2C ’=y3C ’; y3E=y4E 7.5根据梁的受力和约束情况，画出图示各梁挠曲线的大致形状。 7.7试用叠加法求图示各悬臂梁截面B 处的挠度yB 和转角θB 。梁的抗弯刚度EI 为常数。

解： 7.8试用叠加法求图示简支梁跨中截面C 处的挠度yc 和支座截面A 的转角θA 。梁的抗弯刚度EI 为常数。解： 7.9试用叠加法求图示各梁指定截面的位移。梁的抗弯刚度EI 为常数。解： l /2l /2C (b )q B A M =3ql /82ql/2x 1

x 2x y 21122

2211113()281348131216EIy M x qlx ql EIy qlx ql x C EIy qlx ql x C x D ''=-=-'=-+=-++2

222322224322222131()282213148621311216242l EIy M x qlx ql q x l EIy qlx ql x q x C l EIy qlx ql x q x C x D ??''=-=-++- ?????'=-++-+ ?????=-++-++ ???1212121212

:;2;l x y y y y C C D D θθ==''===∴==12120,0,00;0x y y C C D D '=======32427()4841()384C C y l ql EI y y l ql EI θ'====A B q (b )ql /2C l /2l /2x 2x 1ql M =5ql /82221222211223112234111

22222251()825()82451()82511826511166245()8245182M x qlx ql qx ql l M x qlx ql x EIy M x ql qlx qx EIy ql x qlx qx C EIy ql x qlx qx C x D ql l EIy M x ql qlx x ql EIy ql x qlx =--??=--- ???''=-=-+'=-++=-+++??''=-=-+- ???'=-+223

223222

4451166124l x C ql l EIy ql x qlx x C x D ??-+ ?????=-+-++ ???1122222l l EIy EIy l l EIy EIy ????''= ? ?????????= ? ?????31241210;19210;768C C ql D D ql ====-413()48C ql y l EI θ'==471()384C ql y y l EI ==A B q (b )ql /2

C l /2l /2A B q C l /2l /2A B ql /2C l /2l /2y C

y C1y B

θB

y C2

143433243412272282638412367713846384C B B C C C C l y y l l q q l ql EI EI ql ql y EI EI ql ql ql y y y EI θ=+???? ? ?????=+?====+=+=qa C q A B (d )a a a a 3qa/45qa/4x 1x 2x 3()()()21231()23()2435()23244M x qx a M x qa x qa x a a M x qa x qa x a qa x a =-??=--+- ?????=--+-+- ???()()()2

113114111

222222

332221()2

161243()2413228136224EIy M x qx EIy qx C EIy qx C x D a EIy M x qa x qa x a a EIy qa x qa x a C a EIy qa x qa x a C x D ''=-='=+=++??''=-=--- ?????'=---+ ?????=---++ ???qa C q A B (d )a a a a 3qa/45qa/4x 1

x 2x 31212:;0x a y y y y ''====

2423848

3748

C qa

D qa =-

=l /2 l /2 A C B EI 2EI F (a )E D

EI (b )

a a a a B A q C F D C EA EI (c )F l /2l /2q A B a

E D EI

F C q A B a a a a (d )2

ql q B A (a )l q B A 2ql B

A y

B 1

B 1y B 2

B 2

12244

22482()8238B B B e y y y M l ql EI EI ql ql l EI EI ql EI =+??=+- ???=-=-Fl F C l /2

l /2A B (b )

C l /2

l /2

A B y

θA1

()12322/23348634848C C C e x l y y y M x Fl l x EI EIl ql ql

EI EI ==+=--=-(b )M e

a 2a qa a a a (a )3a a

(d )M e (c )A a a a a qa qa 2q

7.9(e)试用叠加法求图示各梁指定截面的位移。梁的抗弯刚度EI 为常数。解：

7.12试用叠加法求图示各梁跨中C 处的挠度yC 。梁的抗弯刚度EI 为常数。 7.15图示木梁AB 的右端由钢杆支承，已知梁AB 的横截面为边长等于200mm 的正方形，弹性模量E1=10GPa;；钢杆BD 的横截面面积A2=250mm2，弹性模量E2=210GPa 。现测得梁AB 中点处的挠度为yC=4m ，试求均布荷载集度q 。解：A 支座反力和BD 杆受的力为FA=FBD=q 8.1试用解析法求图中各单元体a-b 面上的应力（应力单位为MPa ）。解： 8.2试用解析法求图中各单元体所示应力状态的主应力σ1、σ2、σ3值及σ1的方位，并在图中画出各主平面的位置。（应力单位为MPa ）解：因为：sin2α0为正，cos2α0、tan2α0为负，则2α0位于第二象限，并有2α0=141.34o , α0=70.67o ,因此：σ1与x 轴成70.67o 8.3图示简支梁承受均布荷载，试在m-m 横截面处从1、2、3、4、5点截取出五个单元体（点1、5位于上下边缘处、点3位于h/2处），并标明各单元体上的应力情况（标明存在何种应力及应力方向）。解： a-a 截面上的1、5两点切应力等于零，只有正应力；3点位于中性轴上，正应力等于零，只有切应力；2、4两点既

有正应力，又有切应力，

但2点的正应力为拉应力、 4点的正应力为压应力。各单元体上的应力情况如图所示。

8.4直径d ＝80mm 的受扭圆杆如图所示，已知m-m 截面边缘处A 点的两个非零主应力分别

为σ1=50MPa ，σ3=－50MPa 。试求作用在杆件上的外力偶矩Me 解： 8.9各单元体上的应力情况如图所示。试求主应力及最大切应力（应力单位为MPa ）。

解：z 为主平面，对应的主应力为 30MPa ；另外两个主应力按照

σx=-80MPa ；σy=0；τxy=-20MPa 的平面应力状态计算得：

则： 8.12已知图示圆轴表面一点处某互成45°方向的线应变分别为ε′=3.75×10-4，ε″=5

×10-4。设材料的弹性模量E ＝200GPa ，泊松比μ=0.25，轴的直径d=100mm 。试求外力偶矩Me 。解：设ε’’方向与圆轴的纵向成α角，则ε’方向 y C3y C2y C1

F=ql /8F=ql /2q B C D B A C D B A

C F=ql /2l /2l /2D

B A (e )

C F=ql /2l /2|Θ

C |ΘB |ΘA |ΘB |ΘA 1234122324444(/2)282

(/8)2161282364128485384C C C C B B y y y y l q l l EI l Fl ql l ql l EI EI EI ql ql ql EI EI EIl ql EI θθ=++=-++=-+-=-++=()

1323223333/2(/8)163632244832C B B C q l Fl ql l EI EI EI ql ql ql EI EI EIl ql EI θθθθ=++=--=--=-()

213233166/832696e A A A M l Fl EI EI ql l ql ql EI EI EI θθθ=+=-+=-+=-C q A D B 3000

10001000411221122466631522384280338428030.222101025010384101012421.6/BD C Cq BD F q y y L E I E A q q E I E A q q m q kN m -??=+?=+=+=+???????==()()

()()

cos 2sin 222100100cos 213520sin 21352230sin 2cos 22100sin 213520cos 21355100;0;20;13025x y x y xy o o x y xy o y o x o y x MPa MPa MPa MPa αασσσσσατασστασσαττα+-=+-=+?+?=-=+=?-?=-===-=20(b )100o 45a b ()22max min 220

22372030203020272222(20)40tan 20.82030

520;300;20x y x y xy xy x x y xy y MPa MPa MPa MPa MPa σσσσσσστττασσ+-??=±+ ???-+--??=±+-= ?-??--?-==-===-----==-c (c )2020

30(c )20203070.67o 12337;0;27MPa MPa σσσ===-b h

m 12345l l/4q m

h /2

h /21

234

11(c )

h /2

h /2τ

(b )min

max min 1min 32

13max 3

333

max 2;;05021650100.08

5.0241616

e e

T p p e MPa

M M M W W d d

M kN m σστσσσσσσστπτππ-=±===-=====????=

==?max max e M e M m m

A d

20302080(c )y z x e

M e M '"d

45o

x y x y

σσσσ+-

与轴的纵向成α+45o 。根据：

可知ε’’方向：可知ε’方向：

在纯剪时，单元体任意两垂直面上的正应力是等值反号的。根据胡克定律：

8.14图示钢杆，横截面尺寸为20mm ×40mm ，材料的弹性模量E ＝200GPa ，泊松比μ=0.3。已知A 点与轴成30°方向的线应变ε=270×10-6。试求荷载F 值。解：x 轴铅垂向下，杆单向拉伸，应力为：σ=F/A ，由

可得：根据胡克定律：

由题给条件，有： 9.2试比较图示正方形截面棱柱体在下列两种情况下的相当应力σr3，弹性常数E ，μ均为已知。图（a ）棱柱体自由受压；图（b ）棱柱体在刚性方模中受压。解：（a ）图棱柱体是单向应力状态，有：（b ）图棱柱体是三向应力状态

由广义胡克定律：可解得：

由于一般0.2<μ<0.5，因此：

9.5截面及尺寸如图所示伸臂梁，承受集中载荷F=130kN 作用，材料的许用正应力[σ]=170MPa ，许用切应力[τ]=100MPa 。试全面校核梁的强度。解：（1）作内力图可知危险截面为B 的右截面，

危险截面上应力分布如图所示。可能的危险点为B 右截面的上、下边缘处的点（正应力最大）中性轴处的点（切应力最大），腹板与翼缘交界处的点（D 或E 点的正应力和切应力都比较大）。（2）所需截面的几何性质（3）校核正应力强度满足正应力强度条件（4）校核切应力强度（5）按第三强度理论校核D 点的强度首先算出B 右横截面上D 点的正应力σx 和切应力τxy 的大小。满足强度条件。综上所述，该梁满足强度条件。 9.7图示圆柱形薄壁封闭容器，受外压p ＝15MPa 作用，试按第四强度理论确定其壁厚t 。容器外直径D=80mm ，材科的许用应力[σ]＝160MPa 。解（1）求K 点处沿筒轴向的应力σx 。取图（b ）所示分离体。

o F cos 2sin 222

x y x y

xy ασσσσσατα

+-=+-3cos 2(30)2241cos 2(3090)224o

o o

σσσσσσσσ'=+=''=++=()()1313444E E E εσμσμσσσμ''''=--??=-=????()

063036

3032701044200102701080330.320408064

1064o E MPa F A N kN εεσεμσ--'==?????∴===--==??=?=(b )(a )x

y 13r31;0σσσσ

σσσσ

===3-=-0=0;0

0;0,x z y x z y εεεσσσσ==≠≠≠=1[()]01[()]0x x y z z z x y E E εσμσσ

εσμσσ

=-+==-+= ;1x z y μ

σσσσσμ

===-123r313 ;12111μ

σσσσσ

μμ

σσσσσ

===--=-=-=--

F 1.4m m

0.6(a )

z 280

122(b )8.513.7

13.7

55.7kN 185.7kN 55.7kN 130kN 78kN.m F S

M C B A ,max max 13078s F kN M kN m ==?(

)

323748.5280213.712213.713.7212213.7140122127.0710z I mm ???-????=+??-+?? ???????=?*53

*,max 5

353

13.712213.7140 2.225102(14013.7)8.5(14013.7)2

z z z S mm S S ??=??-=? ?

?-=+?-?

280

12213.7

6max max max 7z 7810140154MPa []170MPa 7.0710M y I σσ?==?=<=?35S,max z,max max 7z 13010 2.905108.57.071062.8MPa []100MPa F S bI ττ???==??=<=()6max 7781014013.7139.3MPa 7.0710x D z M y I σ?=?=?-=?

由圆筒及其受力的对称性，且t<

σx ，可认为在横截面

上各点处相等。（2）求K 点处的周向应力σt 取图（c ）所示分离体，

设分离体纵向长度为L ，且 t<

面上各点处的正应力是相等

的，并称为周向应力。（3）求K 点处的径向应力σr

取图（d ）所示分离体，由平衡条件知，︱σrmax ︱=p,比较︱σrmax ︱与σx 和σt ，有因t<

10.3图示悬臂木梁，在自由端受集中力F=2kN ，F 与y 轴夹角φ=10°木材的许用正应力

[σ]=10.MPa ，若矩形截面h/b=3，试确定截面尺寸。解根据梁的受力，梁中的最大正应力发生在固定端支座处临近截面的角点（D1 或D2）处。将荷载沿截面

的二对称轴方向分解为Fy

和Fz ，引起的固定端截面上的弯矩分别为：梁中的最大正应力为 10.6图示结构中，BC 为矩形截面杆，已知

a=1m ，b=120mm ，h=160mm ，F=6kN 。试求BC 杆横截面上的最大拉应力和最大压应力。解：求支座反力，画出轴力图和弯矩图 10.9图示矩形截面杆，用应变计测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为εa=1×10－3，εa=0.4×10－3。已知b=10mm ，h=25mm ，材料的弹性模量E=210GPa 。（1）试绘制截面上正应力分布图；

（2）求拉力F 及其偏心距e 的值。解：（1）上下边缘的应力上下边缘各点处于单向应力状态，由胡克定律（2）确定偏心距e ： 11.3图示诸细长压杆的材料相同，截面也相同，但长度和支承不同，试比较它们的临界轴力的大小，并从大到小排出顺序（只考虑压杆在纸平面内的稳定性）。 p

p L

p d d s

t t (b )

x (a )(c )00(cos )sin d 22222t D D p p pD t t t π

πθθθσ?-??===?

max max 442r x r t

p t

pD D t t D σσσσ===1230;42x t pD t pD t σσσσσ===-==-K x t

x t (e )222r412233113[()()()]24pD t σσσσσσσ=-+-+-=r43[]1604331500.08

3.25pD MPa t pD t mm

σσ=<=??===F y z h

F 2m sin1020.1736480.3473cos1020.9848 1.9696o z o y F F kN F F kN ==?===?=,max ,max 1.96962 3.9392kN m 0.347320.6946kN m z y y z M F l M F l ==?=?==?=?,max ,max max z y 666633226633

3.9392100.6946106 3.93921060.6946101193666 3.939210360.6946104[]10974,222y z M M W W b b bh hb MPa b b

b mm h mm σσ=+??????=+=+??+???==<===B C A a a F h

45F AC

F Bx F By F 3kN 3kN.m F N M 0:sin 45202322sin 4520:cos 450cos 4530:sin 4503o B AC AC o o x Bx AC o Bx AC o y By AC By

M Fa F a F F F kN F F F F F kN F F F F F kN =-?=====-====+-==∑∑∑

F F εa b εb h

3333

21010110210210100.41084a a b b E MPa E MPa σεσε--==???===???=b h

σσb a +F F εa h

解：

（d ）（b ）（a ）（e ）（f ）（c ）

11.4矩形截面细长压杆如图所示，其两端约束情况为：在纸平面内为两端铰支，在出平面内一端固定、一端夹支（不能水平移动与转动）。试分析其横截面高度b 和宽度a 的合理比值。

解：(1)两端铰支：一端固定、一端夹支 b 和a 的合理比值 11.8图示支架中压杆AB 的长度为1m ，直径28mm ，

材料为Q235钢，E ＝200GPa ，σp=200MPa 。试求压杆AB 的临界轴力及结构的许用荷载[F]。

解： 11.12图示两端球铰铰支的圆形截面压杆，已知杆长l ＝1m 、直径d ＝26mm 、材料的弹性模量E ＝200GPa ，比例极限σp=200MPa 。如稳定安全因数nst=2，试求该杆的许用荷载[F] 解：欧拉公式适用， 11.14图示结构中，横梁AB 为I14号工字钢，竖杆CD 为圆截面直杆，直径d ＝20mm ，二杆材料均为Q235钢，E ＝200GPa ，σp=200MPa ，σs=235MPa 。已知：F ＝25kN ，强度安全因数K ＝1.45，规定的稳定安全因数nst=1.8，试校核该结构是否安全。解：欧拉公式适用所作用的轴力FCD=25kN ，由梁的内力图知：因此，该系统安`全。 3

2223

cr12221212ab E EI Eab F l l l πππ===3

2223cr 2

22212(0.5)(0.5)12(0.5)ba E EI Eba F l l l πππ===2323

cr 2cr122;;212(0.5)12Eba Eab b F F l l a ππ

===cr F l

b a ()44

22,2,2830172;641000;200/2003017259.4510000:900(800/1000)60059.450.8600/90031.71AB Cr C AB Cr I mm l mm E kN mm F kN M F F F kN ππ====??====??=??=∑

D C B A 800

F 3006003

02001099.32001000153.8264P P P z

E l i λππσλλ?======>234

cr 2

422264*********.12641000st

F EI Ed F n l

kN πππ=

????????==??d F l

0.55m

1.25m 1.25m D

C B A F x o 3032001020099.3P P E λππσ?===0p

14550110204l l l d i I A

μλλ??=====>