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第二轮数学专题三导数的应用

高考攻略黄冈第二轮复习新思维数学

专题三导数的应用

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x f f x f t s D t s C B A tx sx x x f R t s D C B A a ax x x f D C B A x x f x f f D C B A x x x f x x 所示，则函数的图象如图，导函数的定义域为函数处切线的

上点则过曲线为可导函数，且设单调递减

时，在当单调递增

时，在当单调递减

在单调递增在，则、若的取值范围为）内为增函数，则实数，在（不存在

的值为

已知是减函数的区间为函数一、选择题

--=-=--+∞-∞<+∞-∞<+∞-∞+∞-∞+-+-=∈--∞+∞-+∞-+∞∞+-+=----==-∞-∞+∞+-=→→

x f x

x x f x

k x x f x x f y x x y a ax x x y x y e x f x e x f a af D b af a bf C b af a af B b af a bf A a b a x f x xf x x f y s cm D s cm C s cm B s cm A cm cm y x D y x C y x B y A M x

x x y D C B A cm D C B A x x x +-+==≠=--==+-===

--=<>>>>==-+=-+=+-=-+-=→)(11)1ln()(.1521,1

)0)((,()(.14]22[|3|.133.121

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ln .812

.10

.45.7....23230232的极小值；

）求（已知函数三、解答题

），则次曲线方程，此曲线过点（处切线斜率为在一曲线上的最大值是，在闭区间函数的切线，则是曲线直线则设二、填空题

的是则下列不等式一定成立满足、恒成立，又知常数上可导，且满足不等式在若函数径增加的速度为时，

气球半径为气体压力不变，那么当的常速注入气体，假设设气球以每秒）处的切线方程为

，（在点曲线截去的小正方形

盒容积最大，则在四角焊成铁盒，若所做的铁然后把四边折起，就能的四各截去一个面积相等盖的铁盒时，在铁皮的的正方形铁皮做一个无用边长为小值点

有四个极大值点，无极极小值点有两个极大值点，两个极小值点有三个极大值点，两个小值点无极大值点，有四个极ππππ

,2,1(2

,,,,)0()()3(1)]([)()2(,sin 2)()2()1()

(sin )(.171|)()(|),,[2)()1(21],[)1()1(

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m x x f n n ππ

ππ证明，到大的顺序排列为内的全部极值点按从小，在设的一个极值点，证明为设为整数；

其中证明设函数恒成立

不等式、）证明：对任意（的单调性

讨论且的定义域为已知

专题三导数的应用（答案）

一、1.D 2.B 3.B 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D 9.A 10.A

二、 31

.142.134131.124.11+-=x y 或

三、

.144)()1(2)1(

|)()(|),[,)1()(,)1(2)(],[)(12),[],[)(0

)('),[0)('),[,0)('0,0)(,02

1))(()

)(22222)('2

22)1()1()(1.160,01ln ln 11111,0111)1ln(,0)0()()(0)2(0

)0()(00)('01;0)('01)(,)

1()(',1)1ln()(1.152222121222322322322432232222222

-+?-=---≤-∈-=-=∴>∈<∈==>+∴>+-=+->∴≤<≤≤∴-++-=+--=+--=∴+--+=-+-=>>-≥--

=+-=+>=+->+≥

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n m n m n m n m n x f x f n m x x m

m f m

m n f n m x f n m n m n m x f x f n m n x x f m n m x m n x x f m n x m n m x x m n m x x x

m n x m m n x m n x m n m x x x

m nx m m x n m x x m x n m x n m x x f x n m x x

n m x x n m x x f b a a b

b a a

x x x b a x x x x

x f x f x f x f x f x x f x x f x x x f x x

x f x x x x f 对任意最大值为上的最小值为：在）可知）证明：由（（内为增函数内为减函数，在在时，②当时，①当得令）解：（时成立

在于是则时恒成立，令在从而于是值，

取得极小值，而且最小时，证明：在取得极小值，时，因此在时在时，在的定义域为：而求导数得）解：（

中的符号可列表如下：

在第二象限或第四象限由①式，在第二或第四象限内，即数，使则存在一个非负任意正实根，即是设因此得：

由一定满足的极值点如图所示，此方程一

上述方程化简为有程的显然，对于满足上述方得令①

上可导，在定义域函数有：

的定义，对任意整数）证明：由函数解（恒成立不等式故对任意和上是增函数在即令)(tan cos )('2

(:tan 0)('0)3(1sin )]([,tan 1tan sin ,tan 1tan cos sin sin sin tan )(,,tan ,0cos 0cos sin ,0)('cos sin )(')()2(sin 2sin sin )2(sin )2sin()2()()2()(1.171|)()(|),,[,152412484)2()(]2,1()(,0)2

5)(215()1(4484)('2

1,21,21144)(,00002

002

2020020202222222

002121323x x x x f x k k x x x f x x x x x x f x x x x

x x x x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x f R x f x

k x x x k x x k x k x x f k x f k x f x f x f n m x x h u u h u u u u u u h u m

n m u u u u h m

u +=+∈-==>+==+=+=+=-=-=≠=+=+==-+=-++=-+<-∈<-=-+-=≤∴∴>++--

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πππππ

ππ

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-<+<<+-+<<-+-?+-=--=-=ΛΛ-=ΛΛ=++++++-++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a n n a n a a a a a a a a n a a a x x a a a x f x x f 11111111111212102

,0)tan(,0tan tan 2

32,2,

)1()1(2)tan()tan tan 1()tan (tan ,2,1,,,,tan ,,,,.

)(0)('综上，即必在第二象限

由此可知由②式知由于则

由于

②

，

那么对于，的全部正实根且满足为方程由题设条件，的极值点都为的正根所以满足

高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《导数的简单应用》教学设计教材分析：教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。根据新课程标准的要求如下：（1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。（2）情感、态度与价值观目标：培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 3.教学重点与难点：教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法； (2)利用函数的单调性求参数的取值范围。教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法；（2）构造函数求参数的取值范围。针对这节复习课的特点我设计了（一）必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节. 环节（一）：必备知识：我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，

高考数学(文科)中档大题规范练(导数的应用)(含答案)

中档大题规范练——导数的应用 1．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x . (1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值； (2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由F (x )＝x 3－2x ＋1－ln x (x >0)，得F ′(x )＝3x 3－2x －1x (x >0)，令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0. (2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需验证????? f (x )≥x －1 g (x )≤x －1都成立即可．设 h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)，则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)．易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)＝0，所以f (x )≥x －1恒成立．设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x (x >0)．易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k (x )的最大值为k (1)＝0，所以g (x )≤x －1恒成立．故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m . 2．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，又f ′(12)＝32 . (1)求f (x )的解析式． (2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即????? c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得????? b ＝－32a ，c ＝0.

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分）设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分）已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；

(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分）已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分）已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--．导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿周国会一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。（一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。（二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。（三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。二、教法分析针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版.doc

2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版

学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日： —：历年高考试题汇编（文）——导数及应用 1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A ．2e B．e C．2D．1 2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B ) 4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为

f(x) 的极小值点 C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点 5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ： q : x x0是 f ( x) 的极值点，则 A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】 C 6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为 ___________________. 【答案】 2x-y+1=0 7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则k 【答案】 -1 8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ．【答案】1 2 9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.

全国卷数学导数真题整理

全国卷数学导数真题整理参考答案与试题解析一.解答题(共14小题) 3 1 1. ( 2015?河北)已知函数 f ( x ) =x +ax+亠,g (x ) =- Inx 4 (i) 当a 为何值时，x 轴为曲线y=f (x )的切线； (ii) 用 min {m , n }表示 m , n 中的最小值，设函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } (x >0), 讨论h (x )零点的个数. 2 【分析】(i ) f '(x ) =3x +a .设曲线y=f (x )与x 轴相切于点P (x o , 0),则f (x o ) =0, f (x 0) =0解出即可. (ii )对 x 分类讨论：当 x € (1, + 旳时，g (x ) =- lnx v 0,可得函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } 0,因此只考虑f (x )在(0, 1)内的零点个数即可.对 a 分类讨论： ①当a w-3或a 时，②当-3v a v 0时，利用导数研究其单调性极值即可得出. 2 【解答】解：(i ) f '(x ) =3x +a . 设曲线 y=f (x )与 x 轴相切于点 P (x o , 0),则 f (x o ) =0, f '(x o ) =0, 3 因此当a =-时，x 轴为曲线y =f (x )的切线; (ii )当 x € (1, + 乡时，g (x ) = - lnx v 0, 9 3 X|-i+a =0 ，解得 a=

数学分析

数学分析有理数无理数集合函数绝对值不等式三角形区域邻域确界原理确界上确界下确界开区间闭区间有界集自变量因变量符号函数定义域值域复合函数反函数初等函数常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数有界函数单调函数奇函数偶函数周期函数数列极限收敛数列发散数列唯一性有界性保号性保不等式性Mathematical analysis Rational number irrational A collection of function The absolute value inequality triangle area neighborhood World indeed principle World indeed supremum infimum Open interval Closed interval Bounded set The independent variables The dependent variable Symbolic function domain domain Composite function Inverse function Elementary function Constant function Power function Exponential function Logarithmic function Trigonometric functions Inverse trigonometric function Bounded function Monotonic function Odd function Even functions Periodic function Sequence limit Convergent sequence Divergent series uniqueness boundedness Protecting, Protecting the inequality 保不等式性迫敛性四则运算法则子列单调数列单调有界定理自然对数致密性定理柯西收敛准则函数极限单侧极限局部有界性海涅定理无穷小量有界量高阶无穷小量等价无穷小量无穷大量渐近线连续性可去间断点跳跃间断点分段函数介值性定理一致连续性导数和微分单侧导数导函数极大值极小值费马定理稳定点链式法则光滑曲线高阶导数莱布尼茨公式微分可微函数高阶微分微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理 Protecting the inequality Forced convergence property Four algorithms The child columns Monotone sequence Monotony is defined Natural logarithm Compactness theorem Cauchy convergence criteria Function limit Unilateral limit Local boundedness Heine theorem dimensionless A bounded amount High order dimensionless Equivalent infinite small infinity asymptote continuity To go discontinuities Jump discontinuity point Piecewise function Intermediate value theorem Uniform continuity Derivative and differential Unilateral derivative Derived function The maximum minimum Fermat's theorem The stable point The chain rule Smooth curve Higher derivative Leibniz formula differential Differential function High order differential Differential mean value theorem Roller's theorem Lagrange mean value theorem

《导数的应用》教学设计

导数一、考纲要求 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题. 二、知识梳理 1．函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数．问题探究：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，和统称为极值． 3．函数的最值与导数函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．三，考点探究考点一：函数的单调性与导数【例1】设函数f(x)＝x3—3x2－9x－1．求函数f(x)的单调区间．

2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编

导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

数学分析的基本内容和方法

渤海大学数理学院毕业论文论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法系别：数学系专业年级：数学与应用数学专业07级姓名：王迪学号：07020176 指导教师：王长忠日期：2011年5月20日

目录一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)

简述数学分析中的基本内容和方法王迪（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.

导数及其应用复习课教案

导数及其应用复习课教案【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目．【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老

2019年高考数学理科数学导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立，令2 ()1 x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ，当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.

当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：

《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)

《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具．在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有： (1)导数概念及其几何意义； (2)导数的运算； (3)导数在研究函数中的应用； (4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)； (5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求) 本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章. 一、课标要求导数及其应用的基本教学要求是： 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x =的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表． 3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求) 7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求) 8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．二、课时安排 1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下：变化率与导数约3课时

2015-2018年高考全国卷文科数学--函数与导数大题汇编

2015年～2018年高考全国卷数学（文科）—函数与导数汇编 1.（2015年全国乙卷第21题）已知函数()ln (1)f x x a x =+-﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围﹒ 2.（2015年全国甲卷第21题）设函数2()ln x f x e a x =-﹒ （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a ≥+﹒ 3.（2016年全国丙卷第21题）设函数()ln 1f x x x =-+﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x -<<；（3）设1c >，证明：当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->﹒ 4.（2016年全国乙卷第20题）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--﹒ （1）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围﹒ 5.（2016年全国甲卷第21题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围﹒ 6. （2017年全国丙卷第21题）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明：3()24f x a ≤- -﹒

东南大学数学分析

东南大学2007年数学分析一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题6分，共24分） 1、若数列{}n a 收敛于0，则必定存在正数α，使对一切充分大的n ，有1n a n α≤ . 2、若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛，则级数1n n n a b ∞=∑必收敛. 3、函数2 ()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续. 二、计算题（每小题7分，共56分） 5 ~n ax （0x →），求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-= -的所有渐近线. 7 、求积分1 1[ln(()]x f x dx -++?，其中，()f x 满足2()arcsin f x x '=，(0)0f =. 8、求幂级数21 1(1)2n n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值. 10、设()z f u =可微，而(,)u u x y =是由方程()()x y u u p t dt ?=+?确定的函数，其中()p t ，()u ?'连续且()1u ?'≠，求()()z z p y p y x y ??+??. 11、设函数()f t 满足()1D f t f dxdy =+??，其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤，0a >为常数，求()f t . 12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++??，其中S 为曲面22z x y =+（01z ≤≤），其法向量与z 轴正向的夹角为锐角. 三、证明题（6小题，共70分） 13、（10 分）证明()f x =[)0,+∞上一致连续. 14、（12分）设()f x 在[]0,1上二次可微，且(0)(1)0f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使

导数及其应用复习课教学设计

导数及其应用复习课教学设计教学目标 1、知识与技能 (1)利用导数求函数的单调区间； (2)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值； (3)解决很成立问题 2、过程与方法 1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。 2）学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。 3、情感态度与价值观这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。重点和难点：重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是恒成立问题教学过程: (一)、导入. 给出三道题（1）曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（） A. 34y x =- B. 32y x =-+ C. 43y x =-+ D. 45y x =- (2)过原点作曲线x y e =的切线，切线的斜率____________ (3)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值____________ [设计意图: 数学的教学要遵循循序渐近的原则，三道题是导数应用中基础的题型。其中（1），（2）两题同是求切线方程，却不同类型题，学生不易识别其间的不同之处容易出错。通过题目的求同存异，加深学生对题目的本质的理解] （二）、例题剖析例1.已知函数32()25f x x ax x =+-+ 若()f x 在2(1,)3 -上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的值提问：本题已知函数在给定区间上的单调性，求解析式中参数。由条件得到什么？学生：'(1)f 是极小值师：为什么？没有回答师：在学习极值的时候，要成为极值点，首先要保证在这个点上的导数等于0，现在导数=0不能保证，怎么能说取得极小值。举反例：

第二轮数学 专题三 导数的应用