1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法
2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接
3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.
4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .
5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角
6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角。
7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系。
8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个。
9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个。
10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程
11、物理方程是描述应力和应变关系的方程
12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的
13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态
14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_
15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态
16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小 .
17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-
18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_
19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性
20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系
21、矩形单元边界上位移是连续变化的
1. 诉述有限元法的定义
答:有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法
2. 有限元法的基本思想是什么
答:首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些
答:分类:位移法、力法、混合法;步骤:结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。
4. 有限元法有哪些优缺点
答:优点:有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解;通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合;可以从其他CAD软件中导入建好的模型;数学处理比较方便,对复杂形状的结构也能适用;有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点。
缺点:有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算,所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术,但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定
答:由每个节点位移分量的总和确定
6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义
答:单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵
单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量。
7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14
答:Q——整个结构的节点载荷列阵(外载荷、约束力);整个结构的节点位移列阵;结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵。
8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么
答:由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解。
9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14
答:对称性;奇异性;稀疏性;对角线上的元素恒为正。
10 简述整体坐标的概念P25
答:在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系。
11. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程
答:1)力学模型的确定,2)结构的离散化,3)计算载荷的等效节点力,4)计算各单元的刚度矩阵,5)组集整体刚度矩阵,6)施加边界约束条件,7)求解降价的有限元基本方程,8)求解单元应力,9)计算结果的输出。
12. 弹性力学的基本假设是什么。
答:连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定。13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同。
答:研究对象:材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等。因此,弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法:弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别。弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、
几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答。而材料力学虽然也考
虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题。
14. 简述圣维南原理。
答;把物体一小部分上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量,而不影响远处的应力。“局部影响原理”
15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么?试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例。
答:平面应力问题的特点:长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上无外力作用平面应变问题的特点:Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别:平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零。举例:平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的表面无荷载作用。平面应变问题——水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法。
16. 三角形常应变单元的特点是什么?矩形单元的特点是什么?写出它们的位移模式。答:三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想。
矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高,形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限。
17. 写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关。
答:单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵。
18. 如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵(叠加法)?
答:(1)把单元刚度矩阵扩展成单元贡献矩阵,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列,空白处用零子块填充。(2)把单元的贡献矩阵的对应列的子块相叠加,即可得出整体刚度矩阵。
19. 整体刚度矩阵的性质。
答:(1)整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为:欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力;(2)整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的;(3)整体刚度矩阵是一个对称阵;(4)整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵。(5)整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵。
20. 简述形函数的概念和性质。
答:形函数的性质有:(1)形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零”的性质;(2)在单元的任一节点上,三角函数之和等于1;(3)三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关;(4)型函数的值在0~1之间变换。21. 结构的网格划分应注意哪些问题.如何对其进行节点编号。才能使半带宽最小。P50,P8相邻节点的号码差最小
答:一般首选三角形单元或等参元。对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元。一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号码差尽可能最小才能使半带宽最小
22. 为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件?
答:(1)位移模式必须包含单元刚体位移;(2)位移模式必须包含单元的常应变;(3)位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调。在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元。
23 有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件。
答:1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调。
24. 简述等参数单元的概念。
答:坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元。
25. 有限元法中等参数单元的主要优点是什么?
答:1)应用范围广。在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用。
2)将不规则的单元变化为规则的单元后,易于构造位移模式。
3)在原结构中可以采用不规则单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小。
4)可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元。
5)推导过程具有通用性。一维,二维三维的推导过程基本相同。
26. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
答:(1)通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式;(2)通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式;(3)将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵(4)用虚功原理球的单元刚度矩
阵,,最后用高斯积分法计算完成。
27. 为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数?为什么要引入雅可比矩阵?
答:简化计算得到形函数的偏导关系。
28.ANSYS软件主要包括哪些部分?各部分的作用是什么?
答:1.前处理模块:提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型。2.分析计算模块:包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析能力。3.后处理模块:可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出。
29.ANSYS软件提供的分析类型有哪些?
答:结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析。
30.简述ANSYS软件分析静力学问题的基本流程。
答:1.前处理器:1)定义单元类型,2)定义实常数,3)定义材料属性,4)创建实体几何模型,5)划分网络;
2.求解器:1)定义分析类型,2)施加载荷和位移约束条件,3)求解;
三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变。
矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的。
节点的选用原则:一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由
边界的分界点、支承点都能赢取为节点。
单元的划分原则:(1)划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定。(2)单元的大小,可根据部位的不同而有所不同。
1、试述街节点力和节点载荷的区别。
节点力是单元与节点之间的作用力;如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷。
2、试述求整体刚度矩阵的两种方法。
分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵;将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵。
3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好?
不是越多越好。划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定。随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多,需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能。单元数过多并不经济。
4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关?
[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度)单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变。
5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素?
还须考虑两个因素:1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性。
2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等。
1有限元变分原理 有限元是求解偏微分方程的数值方法,在数学上属于变分法范畴,是古典的 Ritz-Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz-Galerkin方法的试函 数是求解域内的连续函数,有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函 数产生了很大区别:古典的Ritz-Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方 可积且满足位移边界条件,试函数定义在泛函分析的Hilbert空间,或称为内积 空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积,且不用考虑位移边界 条件,因为有限元是以节点位移参数为未知数,可以直接代入位移边界条件,但 是单元间出现了连续性条件,即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续,和薄板 问题的C1连续等,相对古典的Ritz-Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有 限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间,或称为广义导数空间。 2 分片检验 2.1分片检验 长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点,同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注,是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元,而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一,1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2],这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法,可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性,也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法,但是,作为一种数值检验的方法,在数学和力学原理上的提法都不够严密,而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性,人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3],后来,这个条件被解释成对一个单元的约束条件,称之为单体条件[4],这个条件使用很方便,可以做为单体的约束条件构造单元函数,但是,对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二,1980年Stummel 基于严格的数学理论,建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5],并且,通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件,而非单体条件,应用很困难,只限于用于少量单元的检验,而且需要有相当的泛函分析基础,对于大多数单元无法得到应用,更是无法用于指导构造不协调元,因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。 此间,还推出了一些实用的充分条件,例如,F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等,1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9],1997年基于加权Sobolev 空间理论,建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是,数学的严格理论(例如,广义分片检验)难以在力学中应用,实用的力学准则(例如,分
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要:有限元法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 关键词:有限元法;变分原理;加权余量法;函数。 Abstract:Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords:Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位,局部应力可以超出名义应力的数倍,对于脆性材料局部过早开始破坏,从而,削弱了构件的强度,降低了构件的承载能力。因此在工程實际中,为了确保构件的安全使用,必须科学合理的分析计算应力集中现象,以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况,将对象的受力转化成数学表达,结论应证了应力集中的几个特性。 标签:应力集中系数;有限元分析;无限宽板;弹性力学;Inventor运用;ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念,指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到,也可由实验方法测得;名义应力σn是假设构件的应力集中因素(如孔、缺口、沟槽等)不存在,构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板,孔径2α圆孔,建立如图一理想模型。 由于结构的对称性,仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态: 1)圆孔右顶点单元,即当θ=0,r=α时,代入式(2)解算得σy=3σ; 2)距孔0.2倍孔半径外,即当θ=0,r=1.2α时,代入式(2)解算得σy=2.071σ; 3)距孔1倍孔半径外,即当θ=0,r=2α时,代入式(2)解算得σy=1.221σ; 4)距孔1.5倍孔半径外,即当θ=0,r=2.5α时,代入式(2)解算得σy=1.122σ; 5)距孔2倍孔半径外,即当θ=0,r=3α时,代入式(2)解算得σy=1.074σ;
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介 1.有限差分方法 有限差分方法(Finite Difference Method,FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2.有限元方法 有限元方法(Finite Element Method,FEM)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的
弹性力学及有限元法学习总结 摘要:本文就弹性力学的研究对象与方法,弹性力学的基本假设,研究方法,有限元法的基本思想,数学基础,有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文:弹性力学是固体力学的一个分支学科,是研究固体材料在外部作用下(外 部作用一般包括:荷载、温度变化以及固体边界约束改变),弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象: 材料力学--研究杆件(如梁、柱和轴)材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学(如桁架、刚架等)。弹性力学--研究各种形状的弹性体,如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法: 在研究方法上,弹力和材力也有区别:弹力研究方法:在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件,建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程,得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设: 1)连续性,假定物体是连续的。连续性因此,各物理量可用连续函数表示。 2)均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的,并且在各个方向上物理特性相同,也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的(或不变的)3)小变形假设假定固体材料在受到外部作用(荷载、温度等)后的位移(或变形)与物体的尺寸相比是很微小的,在研究物体受力后的平衡状态时,物体尺寸及位置的改变可忽略不计,物体位移及形变的二次项可略去不 计,由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4)完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5)无初始应力假设假定外部作用(荷载、温度等)之前,物体处于无应力状态,由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用(荷载、温度等)所 引起的。 有限元法的基本思想: 有限元是一种结构分析的方法,先把所有系统分解为他们的元件或单元,这些元件的行为已经被充分的了解,再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组
1.1 概念 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式 (1)从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 (2)从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。 (3)考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 2.2 原理 有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。 (1)从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法; (2)从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格; (3)从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支,是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物,是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零,分散分析,再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题,实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,单元体之间仅仅通过结点相连,实现化无限自由度问题为有限稀有度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展,目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法,而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁,它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力,进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件,广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成: (一)前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具,可以方便的构造有限元模型,软件提高了100种以上的单元类型,用来模拟工程中的各种结构和材料。包括: 1.实体建模:参数化建模,布尔运算及体素库,拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分,自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载:点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 (二)分析计算模块 该模块包括结构分析(可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析,可模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析能力。 (三)后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来,也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握,所以本次作业仅以(1)结构静力学分析为例,运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析;(2)
有限差分和有限体积的有限元等 有限元法、有限差分法和有限体积法的区别 标签:函数有限元插值差分格式 有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函
如下图所示三角形薄板,按三结点三角形单元划分后,对于与局部编码ijm 对应的整体编码,以下叙述正确的是( D )。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力 =1σ150MPa ,=2σ0MPa ,=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力 =1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部
有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 有限体积法(Finite V olume Method)又称为控制体积法。其基本思路是:将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有一个控制体积;将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分,必须假定值在网格点之间的变化规律,即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来,有限体积法属于加权剩余法中的子区域法;从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法。
有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成.在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0.插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有La g range插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等.对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函
一般有限元原理 一、基本理论 有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法,可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征,考虑岩土体的应力应变特征,可以避免将坡体视为刚体,过于简化边界条件的缺点,能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。 有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式,其基本思想是:把连续体离散化为一系列的连接单元,每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态,从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况,特殊的节理元,可以有效地模拟岩土体中的结构面。 在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型,其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。 有限单元法的基本原理 1.有限单元法的实施步骤 有限元的重要步骤归纳起来,主要有以下几步: (1)建立离散化的计算模型,包括以一定型式的单元进行离散化,按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件; (2)建立单元的刚度矩阵; (3)由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵,并建立系统的整体方程组; (4)引入边界条件,解方程组,求得节点位移; (5)求各单元的应变、应力及主应力。 2位移模式与单元类型 在一般的有限单元法问题中,我们常以位移作为未知数,称为位移法。为保证解的收敛性,要求位移模式必须满足以下三条: (1)位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时,弹性体内不会有应变。 (2)位移模式必须能包含单元的常应变,即与位置坐标无关的那部分应变。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍 1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。 对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中,先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比。在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高
https://www.wendangku.net/doc/a210767344.html,/s/blog_501a61220100f9rs.html 有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍 (2009-10-25 22:07:18) 转载 以下介绍是本人从网络上搜集的,供计算数学虫子参考。也许小木虫论坛有,我没搜索到。欢迎大家补充内容。 转自https://www.wendangku.net/doc/a210767344.html,/bbs/viewthread.php?tid=1618917&pid=16196206&page=1#pid16196206 1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分
弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1)By Ax x +=σ,Dy Cx y +=σ,Fy Ex xy +=τ; (2))(22y x A x +=σ,)(22y x B y +=σ,Cxy xy =τ; 其中,A ,B ,C ,D ,E ,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ;(2)在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ;(3)在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ;(4)对于多连体的位移单值条件。 (1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A =-F ,D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足A +B =0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ,22 23xy C y -=σ,y x C y C xy 2 332--=τ,体力不计,Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1,C 2,C 3。 解:将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ,y 的任意性,得
有限元法原理 将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 运用步骤 步骤1:剖分: 将待解区域进行分割,离散成有限个元素的集合.元素(单元)的形状原则上是任意的.二维问题一般采用三角形单元或矩形单元,三维空间可采用四面体或多面体等.每个单元的顶点称为节点(或结点). 步骤2:单元分析: 进行分片插值,即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开,即建立一个线性插值函数 步骤3:求解近似变分方程 用有限个单元将连续体离散化,通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元:杆系结构的单元是每一个杆件;连续体的单元是各种形状(如三角形、四边形、六面体等)的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数,这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组,求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题,并建立了各种有限元模型,如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛,已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术,有限元法也被用于计算机辅助制造中。
有限差分法the Finite Difference Method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题,即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下: 1、区域离散化,即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格; 2、近似替代,即采用有限差分公式替代每一个格点的导数; 3、逼近求解。换而言之,这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程(Leon,Lapidus,George F.Pinder,1985)