概率论与数理统计复习(答案)
40 8 3 49
8
8
0.8
0.3
复习题简答： 第一章
1、 设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用 （1） B,C 都发生，而 A 不发生； （2）A,B,C 中至少有一个发生；
（3）A,B,C 中恰有一个发生； （4）A,B,C 中恰有两个发生； （5）A,B,C 中不多于一个发生； （6）A,B,C 中不多于两个发生。
解: （1） ABC (2) A B C
（3） A BC ABC ABC
（4）
ABC ABC ABC （5） A BC
ABC ABC ABC
（6） A BC
2、 把 1， 2，3，
4，5 诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次
序。问
（1） 所得三位数是偶数的概率是多少？
（2） 所得三位数不小于 200 的概率是多少？
4、 设 8 支枪中有 3 支未经试射校正， 5 支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时，
中靶概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为 0.3. 今假定从 8 支枪中任取一 支进行射击，求：
（ 1） 中靶的概率；
（2） 若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。 解 :设 A ：中靶。 B ：射击所用枪支是已校正过的。
P(A) 5
0.8 6
0.3 49
8 8 80
0.8
P(BA)
（2） 空一间的概率。
6 甲乙丙三人去住三间房子。求：
解:（1） A 333 1
C
2
1
A 、
B 、
C 表示出来：
解：（1） 2A 42
A 53 *
2）
4A 42
5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有 2 只白球 1 只黑球，乙盒内有 1 只白球 5 只黑球。求从甲 盒任
取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。 解:A ：从乙盒取出一球得白球。
B ：从甲盒中取一白球放入乙盒。
2 2 1 1 5 P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A |B)
3 7 3 7 21
6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的
45%，35%， 20%。
如果各车间的次品率依次为 4%，2%，5%。现在待出厂产品中检查出一个次品，试判断 它是由甲车间生产的概率。 解： A ：任取一个产品是次品。
B ：产品由甲车间生产。
45% 4%
45% 4% 35% 2% 20% 5%
7、
对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为 0.8，现 10 个患此病的病
人都服用此药，求其中至少有 6 人治愈的概率。 解:X ：治愈的人数， X ~ B(10,0.8)
6 6 4
7 7 3 8 8 2
9 9 1 10 10
P{ X 6} C 160 (0.8)6(0.2)4 C 170(0.8)7(0.2)3 C 180 (0.8)8(0.2)2 C 190(0.8)9(0.2)1 C 1100(0.8)10 0.9672
分布函数为：
0, x 0
1, x 2
8 某产品 5件，其中有 2 件次品。现从其中任取 2 件，求取出的 2件产品中的次品数 X 的
概率分布律及分布函数。
解：次品数 X 可能的取值为 0，1，2 分布律为：
P{ X 0} C
C 35
2
2
0.3
P {X 1}
C 31C
21
C
52
0.6
P {X
2}
C 22
C 52
0.1 P(B A)
18 35
F(x)
0.3, 0 x 1 0.9, 1 x 2
1
P{ X 1} ， P{ X 1} 及概率密度。 3
解：由 F( ) 1及 F(x)在 0的连续性，得 A=1,B= -1，所以 F(x)
1 1 1 3
P{13
X 1} F(1) F(13
) e 1 e 3
f(x) F (x) 3e 3x , x 0
0, x 0
11、某元件寿命 (按小时计) X 服从参数为 =0.001的指数分布， 三个这样的元件使用 1000
小时后，都没有损坏的概率是多少？
0.001x
P{X 1000}
0.001e
0.001x
dx e
1000
1
Y ：损坏的个数， Y ~ B(3,1 e 1)
0 1 0 3 3
P{Y 0} C 3 (1 e ) e e
9、 设连续型随机变量
X 的分布函数为 F(x)
A Be 3x ,x 0, x 0
, 试确常数
A,B ，并求
P{X
1} F(1)
10、已知连续型随机变量 X 有概率密度 f (x)
kx 1,0 x
0, 其它
2
，求： 解：由 F(x) ( 1)系数 k ； ( 2)分布函数 F(x)； 3) P{1.5 12 x 4 1, 得 k= -1/2. x, 02 P{1.5 X 2.5} F (2.5) F(1.5) 0.0625 1 e 3x , x 0 0, x 0 解： f (x) 0.001x 0.001e , x 0 0, x 0 其他 14、设 X 的分布律为 X -2 -1/2 0 2 4 p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 求（1） X 2 , ( 2) X 1，（3） X 2 的分布 律。 X+2 0 3/2 2 4 6 p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 -X+1 3 3/2 1 -1 -3 p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 X 2 4 1/4 0 16 p 7/24 1/4 1/8 1/3 第三章 15、一整数 X 随机地在 1，2， 3，4四个整数中取一个值，另一个整数 Y 随机地在 1到 X 中 取一个值，试求（ X,Y ）的分布律。 解： 12、设 X : N （1.5,4），计算：（1）P{X<-4}，（2）P{|X|>2} 。 X 1.5 4 1.5 解： P{X 4} P{ } ( 2.75) 1 ( 2.75) 0.003 22 2 1.5 2 1.5 P{ X 2} 1 P{ X 2} 1 ( ) ( ) 1 (0.25) 1 22 (1.75) 0.4414 13、设随机变量 X 在（ -1，1）上服从均匀分布，求 Y 3X 1的概率密度。 1 , 解： f (x) 2 , 0, 1x1 其他 1 Y 3X 1的概率密度为 f Y (y) 6 2y4 4 0, 解: 根据 f ( x, y)dxdy 1 3 解出 C 3 2 1 2 3 1 P{( X,Y) D} 0 d 02 r (1 r)dr 2 求( 1)(X,Y)的边缘分布律； (2)P{X>Y}。 解: X 1 1.5 1.3 1. 2 p 2/5 1/5 1/5 1/5 Y 1 1.2 1.4 0.8 p 2/5 1/5 1/5 1/5 2)P{X>Y}=3/5 的边缘概率密度，并判断 X,Y 是否相互独立。 X,Y 不相互独立 16、设(X,Y)的概率密度为 f (x,y) C(1 x 2 y 2), x 2+y 2 1 ，试求： 22 0, x +y 1 2 1)系数 C ；(2)(X,Y)落在 D: x 2 22 y 2 (1/ 2)2确定的区域内的概率。 17、设 (X,Y)的概率分布律为 X Y 1 1. 2 1.4 0.8 1 1/5 1/5 1.5 1/5 1.3 1/5 1.2 1/5 18、设二维连续型随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y) 4 , x 0,y 3 (2 x y)3 0, 其它. 解: f X (x) f ( x, y)dy (2 0, x y)3 dy 2 (2 x)2 x0 x0 f Y (y) f ( x, y)dx 3dx (2 x y)3 2 (2 y)2 y0 y0 0, 求(X,Y) 36 18 第四章 20、一个有 n 把钥匙的人要开他的门， 他随机而又独立地用钥匙试开。 如果除去试开不成 功 的钥匙，求试开次数的数学期望。 解:设 X 为试开次数， 则 X 的可能取值为 1， 2， n ，且 n1 n 2n k1 1 1 P(X k) k 1,2,L ,n L k2 k 1 n , n n 1n n E(X) 1 1 1 1 n(n 1) 1 n1 2 n 2 n n n 2 n 21、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 [a,b] 内，求球体积的均值。 解:V D 3 6 b 3 1 E(V) x 3 a 6 b a 并说明 X 与 Y 是否不相关。 不是不相关。 19、若 X,Y 独立且都服从同一概率密度 f (x) x xe , x 0, x 0, 0. ，求(1)(X,Y)的联合概率密度； 2)P{0 解:(X,Y)的联合概率密度函数为 f (x,y) xye (x y) 0,y 0 0, 其他 P{0 X 1,Y 2} 1 02 xye (x y ) dxdy (1 2e 1)3e 2 或 P{0 X 1,Y 2} P{0 X 1} P{Y 2} (1 2e 1)3e 2 22 dx 24 (b 2 a 2)( b a) 22、设 X 为随机变量， E(X) ,D(X) 2 ，试证： E[X(X 1)] ( 1) 2 。 证明： E[X(X 1)] E(X 2 X) E(X 2) E(X) 22 ( 1) 2 23、设(X,Y)服从D {(x, y)|0 x 1,0 y x} 上的均匀分布，试求 X,Y 的相关系数 XY 解: f (x,y) 2, (x,y) D 0, 其他 21 E(X) ，E(Y) , E(XY) 33 2 1 2 1 E(X 2 ) ，E(Y 2) D(X) 26 cov( X ,Y) 1 XY D(X) D(Y) 2 1 cov( X , Y) E(XY) 4 1 118 ，D(Y) 1 E(X)E(Y) 1