全国中考数学压轴题精选(有答案共10套)
2008年全国中考数学压轴题精选(六)
51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．
（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？
（08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG P 1分 所以,
B GCE G BFE ∠=∠∠=∠
所以BEF CEG △∽△ ·············································································· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ···················································· 4分 理由一：
过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，
因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH
由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ··············································································· 6分 理由二：
由AB ＝5，AM ＝4，可知
在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：
4343
,,,5555
EF BE BF BE GE EC GC CE ====，
所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125
CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG V V 与的周长之和是24． ··································· 6分
（3）设BE ＝x ，则43
,(10)55
EF x GC x =
=- 图10
M
B
D
C
E
F G
x A
A M x
H G
F
E
D C
B
所以21143622
[(10)5]2255255
y EF DG x x x x =
=-+=--g g ·
····························· 8分 配方得：2655121
()2566y x =--+
． 所以，当55
6x =时，y 有最大值． ·································································· 9分
最大值为121
6
． ···························································································· 10分
52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）
如图13，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于()()8006A B --，、，两点．
（1）求出直线AB 的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得ABC PDE S S ??=10
1
？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=
∵()(),6,0,0,8--B A ∴???=-+-=.6,80b b k ∴?????
-=-=.
6,
43b k
∴直线AB 的函数表达式为3
64
y x =-
-． ·
························································ 3分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。又设对称轴与x 轴相交于点N ，在直角三角形AOB 中，.10682222=+=+=
OB AO AB
因为⊙M 经过O 、A 、B 三点，且为AB AOB ∴=∠,90ο
⊙M 的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO 的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为c bx ax y ++=2
则?
???
???
-=-=-=∴???
????=-+-=-=-.6,4,21.6,4162,42c b a c c b a a b
∴所求抛物线为2
1462
y x x =--- ·
································································ 7分 （3）令，
0.642
12
=---
x x 得D 、E 两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以DE=4． 又AC=∴=,54,52BC 直角三角形的面积.2054522
1
=??=?ABC S
假设抛物线上存在点()1,2010
1
21101,±=∴?=??=??y y DE S S y x p ABC PDE ，即使得．
当.641;241±-=-=±
-==x y x y 时，当时，故满足条件的存在．它们是
()()()()
123442,1,42,1,46,1,46,1P P P P -+---+----． ····················· 10分
53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分）
已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值.
（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=??
++=??=? 2分 解得1
50a b c =-??
=??=?
··········································· 3分
故抛物线的函数关系式为2
5y x x =-+ ············ 4分
（2）C Q 在抛物线上，2
252,6m m ∴-+?=∴= ·· 5分
C ∴点坐标为（2，6）
，B Q 、C 在直线y kx b '=+上 ∴6266k b k b '=+??'
-=+? 解得3,12k b '=-= ∴直线BC 的解析式为312y x =-+ ···························································· 6分
x
y
-4
-6
C E
P
D
B
5
1 2 4
6
F
A G 2 -2
设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）
11
46462422
OBC S ∴=??+??-=V ·
························································ 7分 （3）存在P ，使得OCD V ∽CPE V ·
································································· 8分 设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=?Q 故2,6CE m EP n =-=-
若要OCD V ∽CPE V ，则要
OD DC CE EP =或OD DC
EP CE
=
即6226m n =--或6262n m =
-- 解得203m n =-或123n m =-
又(,)m n Q 在抛物线上，22035m n n m m =-??=-+?或2
1235n m n m m =-??=-+?
解得1221102
3,,6509m m n n ?
=?=????=??=
??
或121226,66m m n n ==????==-?? 故P 点坐标为1050
(
)39
，和(6,6)- ·
······························································ 10分 （只写出一个点的坐标记9分）
54.（08湖南永州25题）（10分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a
＞0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且OA ＝1，OB ＝OC ＝3 ． （1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M 、N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边)，且MN ∥x 轴，求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．
（08湖南永州25题解析）（1）依题意(1
0)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2
y ax bx c =++ 1分 解方程组得所求解析式为2
23y x x =-- ···························································· 4分 （2）2
223(1)4y x x x =--=-- ···································································· 5分
∴顶点坐标(14)-，，对称轴1x = ····································································· 7分
（3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-， ························· 8分
把N 点代入2
23y x x =--得12
r -=
······················································· 9分
同理可得另一种情形12
r +=
∴ 10分
55.（08吉林长春27题）（１２分）已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2
y 的图象的对称轴是直22
2112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-．
（1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
（08吉林长春27题解析）[解] （1）由22
112()2612y a x k y y x x =-++=++， 得2222
2121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--．
又因为当x k =时，217y =，即2
61017k k ++=，
解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）由1k =，得222
2610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，
所以函数2y 的图象的对称轴为26
2(1)
a x a +=-
-，
于是，有26
12(1)
a a +-
=--，解得1a =-，
所以22
12212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由2
1(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；
由22
224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(1
9)-，； 故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．
56（08江苏盐城28题）（本题满分12分）
如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD
的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：
（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC ，∠BAC≠90o，点D 在线段BC 上运动．
试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并
说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC
＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求
线段CP 长的最大值．
（08江苏盐城28题解析）（1）①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90o． ∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵∠BAC=90o， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF ⊥BD （2）画图正确
当∠BCA=45o时，CF ⊥BD （如图丁）．
理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF ⊥BD
（3）当具备∠BCA=45o时，
过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊）
∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上，
∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ， 容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 22
1(2)144
x CP x x ∴=-+=--+．
A B C D E
F 第28题图 图甲 图乙 F E
B A
F E D C B A 图丙 图丁
G A B C D E F
图戊 P
Q A
B C D E F
∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．
57.（08江西省卷24题）（本大题9分）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是
211y ax ax =--+，221y ax ax =--（其中a 为常数，且0a >）．
（1）请写出三条．．
与上述抛物线有关的不同类型的结论； （2）当12
a =
时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（M 在N 的左边），2
21y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（E 在F 的左边），观察M N E F ，，，四点坐标，请写出一个．．
你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于A B ，两点，直线12l l l ，，都垂直于x 轴，12l l ，分别经过A B ，两点，l 在直线12l l ，之间，且l 与两条抛物线分别交于C D ，两点，求线段CD 的最大值．
（08江西省卷24题解析）（1
①抛物线211y ax ax =--+开口向下，或抛物线2
21y ax ax =--开口向上； ②抛物线2
11y ax ax =--+的对称轴是12x =-
，或抛物线2
21y ax ax =--的对称轴是12
x =； ③抛物线2
11y ax ax =--+经过点(01)，，或抛物线221y ax ax =--经过点(01)-，； ④抛物线211y ax ax =--+与2
21y ax ax =--的形状相同，但开口方向相反； ⑤抛物线211y ax ax =--+与2
21y ax ax =--都与x 轴有两个交点；
⑥抛物线2
11y ax ax =--+经过点(11)-，或抛物线221y ax ax =--经过点(11)-，；
等等． ········································································································· 3分 （2）当12a =
时，2111122y x x =--+，令211
1022
x x --+=， 解得21M N x x =-=，． ·················································································· 4分
2211122y x x =
--，令211
1022
x x --=，解得12E F x x =-=，． ························ 5分 ①00M F N E x x x x +=+=∴Q ，，
点M 与点F 对称，点N 与点E 对称； ②0M F N E x x x x M N E F +++=∴Q ，
，，，四点横坐标的代数和为0；
③33MN EF MN EF ==∴=Q ，，（或ME NF =）． ········································· 6分 （3）0a >Q ，
∴抛物线211y ax ax =--+开口向下，抛物线221y ax ax =--开口向上． ··············· 7分
根据题意，得222
12(1)(1)22CD y y ax ax ax ax ax =-=--+---=-+． ·············· 8分
∴当0x =时，CD 的最大值是2． ···································································· 9分
说明：1．第（1）问每写对一条得1分；
2．第（2）问中，①②③任意写对一条得1分；其它结论参照给分．
58（08江西省卷25题）（本大题10分）如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=o
）．
（1）当0α=o
时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；
（2）当α为何值时，点G 落在对角线AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）； （3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F
，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形．
1.732sin150.259sin 750.96644
==o
o ，
≈，≈．）
（08CD 于N ，GK BC ⊥于K ． 60ABG ∠=o
Q ，1BG =， 2MG ∴=，12
BM =．
图1 图2 B (E A (F D 图3 H D
A
C B 图4 B (E )
A (F )
D C
G
K M N H
1x ∴=-
，1
2
y =． ················································································· 2分 （2）当45α=o
时，点G 在对角线AC 上，其理由是： ········································ 3分 过G 作IQ BC ∥交AB CD ，于I Q ，， 过G 作JP AB ∥交AD BC ，于J P ，．
AC Q 平分BCD ∠，GP GQ ∴=，GI GJ ∴=．
GE GF =Q ，Rt Rt GEI GFJ ∴△≌△，GEI GFJ ∴∠=∠．
60GEF GFE ∠=∠=o Q ，AEF AFE ∴∠=∠． 90EAF ∠=o Q ，45AEF AFE ∴∠=∠=o ．
即45α=o
时，点G 落在对角线AC 上． ···························································· 4分 （以下给出两种求x y ，的解法）
方法一：4560105AEG ∠=+=o
o
o
Q ，75GEI ∴∠=o
．
在Rt GEI △
中，sin 75GI GE ==o
g
，
14
GQ IQ GI ∴=-=-
． ···································································· 5分
14
x y +∴==-
． ················································································ 6分 方法二：当点G 在对角线AC 上时，有
12=， ··················································································· 5分
解得14
x =-
14
x y +∴==-
． ················································································ 6分 （3）
····························································· 8分 （4）由点G 所得到的大致图形如图所示：
D
········································································· 10分
说明：1．第（1）问中，写对x y ，的值各得1分；
2．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得1分，求出x y ，的值各得1分； 3．第填对其中4空得1分； 3．图形大致画得正确的得2分．
59（08山东济南24题）（本小题满分9分）
已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断
PM PN
BE AD
+是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF
PB EG
=
是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（08山东济南24题解析）解：(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- ............. 1分 将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 3
4
a =
.......................................... 2分 ∴ 抛物线的解析式为23(1)34y x =--，即：2339
424
y x x =-- ............................ 3分
H A
C D
B
第24题图
C O
x
A D P M E
B N
y
（2）是定值，
1PM PN
BE AD
+= ..................................................................................... 4分 ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ PM AP
BE AB
=
① 同理:
PN PB
AD AB
=
② ............................................................................................. 5分 ① + ②:1PM PN AP PB
BE AD AB AB
+=+= ........................................................................... 6分 （3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB
∴ EA =EB ∵ ∠AEB =90°
∴ △AEB 为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB =∠EBA =45° ....................... 7分 如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，
由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形， ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45° ∴ PH =BH
且△APM ∽△PBH
∴ PA PM
PB BH
=
∴
PA PM PM
PB PH ME
==
① ..................... 8分 在△MEP 和△EGF 中，
∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90° ∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP ∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF ∴
PM EF
ME EG
=
② 由①、②知：
PA EF
PB EG
=
............................................................................................. 9分 （本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
60.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，
b ）。平移二次函数2
tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。
（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ?=2
？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=
2
3
，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 （08浙江杭州24题解析）∵ 平移2
tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2
)(. --- 2分 ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t . --- 1分
令0=y , 得-
=t OB t b
，+=t OC t
b , ∴ -
=?t OC OB (|||||t
b
)( +t t b )|-=2
|t 22|OA t t
b == , 即22t t t
b
±=-
, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ?=.-- 2分
(2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2
)(,
解得1,121+=-=t x t x . --- 1分 在?Rt AOB 中,
1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B , 当01>-t 时, 由=
∠ABO tan 23=|||
|OB OA =1
-t t , 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832
-+-=x x y ; --- 2分 当01<-t 时, 由=
∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 5
3
, 此时，二次函数解析式为-
=y 532x +
2518x +125
48
. --- 2分 2) 当0 3 -, 3-=t , （也可由x -代x ，y -代y 得到） 所以二次函数解析式为 = y 532x + 2518 x –125 48或241832++=x x y . --- 2分.