击实试验
击实试验拟合绘图及其极值的求取
吴彩虹
安徽省水利水电勘测设计院
[摘要]：利用切比雪夫曲线拟合原理，对击实试验所得五点进行多次拟合，得到关于含水量W 多项式，并绘制曲线；根据所得多项式ρ(ω)=a 0+a 1ω1
+a 2ω2
+a 3ω3
+a 4ω4
+a 5ω5
在区间单峰值，极值点处的一阶导数为零的特点，由此求最大干密度和最优含水量。 [关键词]：击实试验、切比雪夫曲线、最大干密度
前言
由实验或数据计算而得数据大多是离散的，往往要花费很多的时间用于数据整理、分析、处理，然后绘制成图；在数据误差小得可以忽略不计时，可以绘制一条通过所有数据点的曲线，但在大多数的情况下，是存在显著的误差，这样不宜绘制一条通过所有数据点的曲线，这就需要利用最小二乘法绘制逼近曲线。
一、击实试验数据处理现状
目前大多土工室对击实试验所得的五、六个离散数据点，主要靠手工作业，在厘米纸上点取各点，根据经验来绘制曲线，其工作效率低，质量也很难保证。当试验数据存在较大误差时，再利用土工试验规程中的最大干密度、最优含水量计算公式来求其值，势必造成所得结论与实际情况相差较大。 因此有必要对击实试验所得数据进行新的数据分析，设计出相应的程序，以提高工作效率。 这里引入最小二乘法进行数据拟合，再设计出计算程序，进行计算机绘图，这样不仅精度高，而且便于数据存贮。
二、切比雪夫曲线拟合绘图 2.1 原理
设给定有n 个数据点(x i ,y i ),i=0，1，....，n-1，其中x 0 P m-1(x)=a 0+a 1x+a 2x 2 +....+a m-1x m-1 同时给定约束条件，使得在任一给定点上的最大偏差值为最小，即： min )(max 1 1=---< 2.2 计算方法 从给定的数据点集中选取m+1个不同点组成初始参考集，设定初始点集上的初始参考多项式Φ(x)的偏差为h ，可得参考多项式Φ(x)在初始点集上的取值为： Φ(u i )=f (u i ) + (-1)i h ，i= 0, 1,.... m 且Φ(u i )的各阶差商是h 的线性函数。由于Φ(x)多项式的m 阶差商为零，可得h 值，由插值公式可求出Φ(x)多项式： Φ(x)=a 0+a 1x+a 2x 2 +....+a m-1x m-1 i i i m n i y x hh -Φ=--<<)(max 1 1 若hh=h,则Φ(x)即为所求拟合多项式。 若hh>h ，则用偏差最大值对应的x i 代替点集{u i }中离x i 最近且具有与Φ(x i )-y i 符号相同的点，从而构成新的参考点集，再进行运算，直到满足要求为止。 2.3 图形绘制 至此，只要将击实试验所得的数据点代入程序中,即可得ρ max 与ωop 的五次多项式ρ(ω)=a 0+a 1ω1 +a 2 ω 2 +a 3ω3 +a 4ω4 +a 5ω5 。根据多项式，设置步长h ，由ωi =a+h* i 代入多项式中，得相应的ρ(ωi )值，即形成 一系列点 ((ω,ρ(ω))，步长越小，所得曲线越准确。 2.4 程序设计 由以上的分析，结合击实试验的情况，首先建立所有已知点的数组Q ，M 为离散数据点的个数，程序流程如图（1）。 三、一维极值连分式法求最大干密度 由上面的分析和计算，至此已经得到ρ与ω之间的五次多项式： ρ(ω)=a 0+a 1ω1 +a 2ω2 +a 3ω3 +a 4ω4 +a 5ω 5 击实试验中一般只取五、六个点，函数 ρ(ω)在区间[a,b]（一般设定15%~40%即可）内连续且单峰值，ρ(ω)函数极值点处一阶导数为零即： 在区间内选三个初始点，以求这三点的导数值，再利用连分式插值法可得下一个新的点，再构成三个点，重复以上步骤，不断循环下去，直到某一个ωi 值满足|ρ(ωi )|<ε为止，此时ρ(ωi )就为所求得的ρ max ，相应的ω即为最优含水量， 其中ε越小，最大干密度越接近真值（程序略）。 四、应用实例 利用以上的程序，对已有一些击实数据进行了重新计算结果如下： 通过以上的计算和试验结果对照，可见计算所得的数据与试验结果基本一至，误差是由于在击实试验中仅提供五、六个点，限制了拟合多项式的次数。为了解决这一不足，可在人工给定拟合偏差值时，做到尽可能的小，以提高拟合精度。 五、结论与建议 这里引入的仅是一种新的数据处理和图形绘制方法，从实际应用的过程来看，应该注意以下几点： ⑴、在使用本程序时，其前题条件是试验数据必需准确可靠； ⑵、图形绘制时，不应过份扩大ω的取值范围，否则影响图形的美观； ⑶、若击实试验中末能得到ρ max 时，可用此程序计算，以指导试验。 参考文献： ⒈《工程算法》作者徐士良，清华出版社 ⒉《最小二乘法最优化反演程序设计》吴彩虹 作者： 吴彩虹:助工,毕业于桂林工学院应用地球物理与计算机系，主要从事工程地质、岩土工程、工程物探 手机：139******** 电话：0552-*******（宅） [] ω ωρωd d y )()(=