2016年高考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、(2016年四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线2
2(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
(A (B )2
3
(C (D )1 【答案】C
2、(2016年天津高考)已知双曲线
2
2
24=1x y b -(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为()
(A )22443=1y x -(B )223
44=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2
224=11x y - 【答案】D
3、(2016年全国I 高考)已知方程x 2m 2+n –y 2
3m 2–n
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值
范围是
(A )(–1,3)(B )(–1,3)(C )(0,3)(D )(0,3)
【答案】A
4、(2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=,
|DE|=C 的焦点到准线的距离为 (A )2(B )4(C )6(D )8 【答案】B
5、(2016年全国II 高考)圆2
2
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a=()
(A )43-(B )3
4
-(C (D )2 【答案】A
6、(2016年全国II 高考)圆已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左,右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂
直,211
sin 3MF F ∠=
,则E 的离心率为()
(A (B )3
2
(C (D )2
【答案】A
7、(2016年全国III 高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点,A ,B 分别为C
的左,右顶点.P
为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中 点,则C 的离心率为
(A )
1
3
(B )12
(C )
23
(D )
34
【答案】A
8、(2016年浙江高考)已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为
C 1,C 2的离心率,则
A .m >n 且e 1e 2>1
B .m >n 且e 1e 2<1
C .m
D .m 【答案】A 二、填空题 1、(2016年北京高考)双曲线22 221x y a b -=(0a >,0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线, 点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a =_______________. 【答案】2 2、(2016年山东高考)已知双曲线E :22 221x y a b -=(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】由题意c 2=BC ,所以3c =AB , 于是点 ),2 3(c c 在双曲线E 上,代入方程,得14922 22=b c -a c , 在由2 c b a =+2 2 得E 的离心率为2==a c e ,应填2. 3、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________ 【答案】 25 5 4、(2016年浙江高考)若抛物线y 2 =4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是_______. 【答案】9 5、(2016江苏省高考) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22 221()x y a b a b +=>>0的右焦点,直线2b y =与椭圆交于B ,C 两点, 且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ . (第10题) 6 三、解答题 1、(2016年北京高考)已知椭圆C :22221+=x y a b (0a b >> (,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O , OAB ?的面积为1. (1)求椭圆C 的方程; (2)设P 的椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N. 求证:BM AN ?为定值. 【解析】⑴由已知, 1 12 c ab a ==,又222a b c =+, 解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2 214 x y +=. ⑵方法一: 设椭圆上一点()00,P x y ,则22 0014 x y +=. 直线PA :()0022y y x x =--,令0x =,得0 022 M y y x -= -. ∴0 0212y BM x =+- 直线PB :0011y y x x -=+,令0y =,得0 01 N x x y -= -. ∴0 021 x AN y =+ - 00 0000000022000000000022112 2222 21 4448422 x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ?=+ ?+--+-+-= ? --++--+= --+ 将22 0014 x y +=代入上式得=4AN BM ? 故AN BM ?为定值. 方法二: 设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ, 直线PA:()sin 22cos 2y x θθ= --,令0x = ,得sin 1cos M y θ θ= -. ∴sin cos 1 1cos BM θθθ+-=- 直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =,得2cos 1sin N x θ θ= -. ∴2sin 2cos 2 1sin AN θθθ +-=- 2sin 2cos 2sin cos 1 1sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4 AN BM θθθθθθ θθθθθθθθ +-+-?=? ----+=--+= 故AN BM ?为定值. 2、(2016年山东高考)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 的离心率是3 ,抛物线 E :2 2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为 D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上; (ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ)由离心率是 2 3,有2 24=b a , 又抛物线y x 2=2 的焦点坐标为)21,0(F ,所以2 1 =b ,于是1=a , 所以椭圆C 的方程为1=4+2 2 y x . (Ⅱ)(i )设P 点坐标为)0>(),2 m m ,P 2 m (, 由y x 2=2 得x y =′ ,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m , 因此切线l 的方程为2 =2 m mx -y , 设),(),,(2211y x B y x A ,),(00y x D , 将2=2m mx -y 代入1=4+2 2y x ,得 0=1+4)4+12322-m x m -x m (. 于是2 3214+14=+m m x x ,23 2104+12=2+=m m x x x , 又) 4+1(2=2=22 200m -m m -mx y , 于是 直线OD 的方程为x m -y 41 =. 联立方程x m - y 41 =与m x =,得M 的坐标为)4 1M(m,-. 所以点M 在定直线4 1 =y -上. (ii )在切线l 的方程为2=2 m mx -y 中,令0=x ,得2 m =y 2-, 即点G 的坐标为)2m G (0,-2,又)2m P(m,2,)21F(0,, 所以4 ) 1+(=×21=S 21m m GF m ; 再由)1) +2(4m -m ,1+4m 2m D( 22 23,得 )1+4(8)1+2(= 1+4+2×41+2×21=S 22 22322m m m m m m m 于是有2 22221)1+2()1+)(1+4(2= S S m m m . 令1+2=2 m t ,得22 2111+2=)1+)(21 (2=S S t -t t t t - 当21=1t 时,即2=t 时,2 1S S 取得最大值49 . 此时2 1= 2 m ,22=m ,所以P 点的坐标为)41 ,22P( . 所以2 1S S 的最大值为49,取得最大值时点P 的坐标为)41 ,22P( . 3、(2016年上海高考)有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图 (1)求菜地内的分界线C 的方程 (2)菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为 3 8 。设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值 【解析】 (1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等,所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分,其方程为24y x =(02y <<). (2)依题意,点M 的坐标为1,14?? ??? . 所求的矩形面积为 52,而所求的五边形面积为114 . 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为 581 236 -=,而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为 1181 4312 -=,所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”. 4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 双曲线2 2 21(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。 (1)若l 的倾斜角为 2 π ,1F AB ?是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设3b = l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +?=,求l 的斜率. 【答案】(1)2y x =±.(2)155 ±. 【解析】(1)设(),x y A A A . 由题意,()2F ,0c ,21c b =+,() 2 2241y b c b A =-=, 因为1F ?AB 是等边三角形,所以23c y A =, 即() 24413b b +=,解得2 2b =. 故双曲线的渐近线方程为2y x =±. (2)由已知,()1F 2,0-,()2F 2,0. 设()11,x y A ,()22,x y B ,直线:l ()2y k x =-.显然0k ≠. 由()2 213 2y x y k x ?- =???=-? ,得()222234430k x k x k --++=. 因为l 与双曲线交于两点,所以2 30k -≠,且() 23610k ?=+>. 设AB 的中点为(),x y M M M . 由() 11F F 0A +B ?AB =即1F 0M?AB =,知1 F M ⊥AB ,故1F 1k k M ?=-. 而2122223x x k x k M +==-,()2623k y k x k M M =-=-,1F 2323 k k k M =-, 所以23123k k k ?=--,得2 35 k =,故l 的斜率为155±. 5、(2016年四川高考)已知椭圆E :x 2 a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个 顶点,直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (I )求椭圆E 的方程及点T 的坐标; (II )设O 是坐标原点,直线l ’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在 常数λ,使得∣PT ∣2 =λ∣PA ∣·∣PB ∣,并求λ的值. 有方程组 22 22 1, 2 3, x y b b y x ? += ? ? ?=-+ ? 得22 312(182)0 x x b -+-=.① 方程①的判别式为2 =24(3) b ?-,由=0 ?,得2=3 b, 此方程①的解为=2 x, 所以椭圆E的方程为 22 1 63 x y +=. 点T坐标为(2,1). 由②得 2 1212 4412 =, 33 m m x x x x - +-=. 所以22 111 2252 (2)(1) 3323 m m m PA x y x =--++-=--, 同理 2 52 23 m PB x =--, 所以12522(2)(2)433 m m PB PB x x ?= ---- 21212522(2)(2)()433 m m x x x x = ---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2 109m = . 故存在常数45 λ=,使得2 PT PA PB λ=?. 6、(2016年天津高考)设椭圆13222=+y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已知| |3||1||1FA e OA OF = +,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于 点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的l 斜率的取值范围. 【解析】 (2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由方程组 ?? ???-==+)2(134 2 2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2 222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而3 4122 +-=k k y B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3 412,3449(222++-=k k k k BF .由HF BF ⊥,得0=?, 所以034123449222=+++-k ky k k H ,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k k x k y 124912 -+-=. 设),(M M y x M ,由方程组?? ???-=-+ -=) 2(124912 x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202 2++=k k x M .在MAO ?中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2222 )2(M M M M y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1) 1(129 202 2≥++k k ,解得46- ≤k 或4 6≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4 6 []46,(+∞--∞ . 7、(2016年全国I 高考)设圆22 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交 圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【解析】(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+. 又圆A 的标准方程为16)1(2 2 =++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:13 42 2=+y x (0≠y ). 8、(2016年全国II 高考)已知椭圆:E 22 13 x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,||||t AM AN ==时,求AMN ?的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围. 【解析】⑴当4t =时,椭圆E 的方程为22 143 x y + =,A 点坐标为()20-,, 则直线AM 的方程为()2y k x =+. 联立()22 1432x y y k x ?+=???=+? 并整理得,() 2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或22 8634k x k -=-+,则222 2 286121213434k AM k k k k -=+-+=+++ 因为AM AN ⊥ ,所以2 1212413341AN k k k ==?? + +?- ? ?? 因为AM AN =,0k >, 2 12124343k k k =++ ,整理得()()21440k k k --+=, 2440k k -+=无实根,所以1k =. 所以AMN △ 的面积为2 2 1 1121442 23449 AM ?==?+?. ⑵直线AM 的方程为(y k x =, 联立(22 13x y t y k x ?+=???=? 并整理得,( )222223230tk x x t k t +++-= 解得x = x = 所以AM = 所以 AN k = 因为2AM AN = 所以 2k =,整理得,23632 k k t k -=-. 因为椭圆E 的焦点在x 轴,所以3t >,即236332k k k ->-,整理得()()231202 k k k +-<- 2k <. 9、(2016年全国III 高考)已知抛物线C :2 2y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点. (I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ; (II )若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆22 21x y a +=(a >1). (I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a 、k 表示); (II )若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 【试题解析】(I )设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22 211y kx x y a =+?? ?+=??得 ()2 2 2 2 120a k x a kx ++=,故10x =,222221a k x a k =-+. 因此22 21222 2111a k k x k a k AP =+-=++ (II )假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足 Q AP =A . 记直线AP ,Q A 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠ . 11、(2016江苏省高考) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2,4) (1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程; (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC =OA ,求直线l 的方程; (3) 设点T (t ,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。 解:圆M 的标准方程为()()2 2 6725x y -+-=,所以圆心M(6,7),半径为5,. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以007y <<,于是圆N 的半径为0y ,从而0075y y -=+,解得01y =. 因此,圆N 的标准方程为()()2 2 611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为 40 220 -=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离 2675.5 5 m m d ?-++= = 因为222425,BC OA == += 而2 22,2BC MC d ?? =+ ??? 所以()2 52555 m += +,解得m=5或m=-15. 故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y 因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=,所以2121 24x x t y y =+-??=+?……① 因为点Q 在圆M 上,所以()()22 226725.x y -+-=…….② 将①代入②,得()()22 114325x t y --+-=. 于是点()11,P x y 既在圆M 上,又在圆()()22 4325x t y -++-=????上, 从而圆()()2 2 6725x y -+-=与圆()()22 4325x t y -++-=????有公共点, 所以5555,-≤ ≤+解得22t -≤≤+. 因此,实数t 的取值范围是22?-+?.