2007工科概率统计试卷A
河海大学2007~2008学年第一学期
一、（每空3分，共18分）填空题
1．设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A –B ）=0.3，则
=?)(B A P ；
2．某实习生用一台机器接连独立地制造了3 个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1
1
=+=
i i p i ，以X 表示 3 个零件中合格品的个数，则P {2=X }= ； 3．已知X
的密度函数为
1
22
1)(-+-=
x x
e x
f π
，则
=)(X D ；
4．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知
1)]2)(1[(=--X X E ，则λ= ；
5．设21,X X 是来自正态总体),0(2σN 的样本，则||/21X X U =服 从 分布；
6．设总体X 服从()10-分布),1(p B ，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，
X 为样本均值，则对任意整数==≤≤)(),0(n
k
X P n k k 。
二、（本题满分12分）有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有4个红球4个白球 ，第二个箱子装有2个红球6个白球，第三个箱子装有6个红球2个白球，现用掷骰子来决定从哪箱子里取出一只球，若出一点，则从第一个箱子取出一只球，若出6点，则从第三个箱子取出一只球，若出的是其他点，则从第二个箱子取出1只球。
1．试求取出的是1只红球的概率；
2．已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第二个箱子的概率。
三、（本题满分12分）设随机变量X 密度函数为
??
?
??≤<-≤≤=其它,021,210,
)(x x x x x f
求：1．X 的分布函数)(x F ；
2．)(,)(X D X E .
四、（本题满分18分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数， 求：1．关于X 和Y 的边缘密度分布函数)(,)(y f x f Y X ；
2．X 与Y 的协方差),(Y X Cov ； 3．Y X Z +=的密度函数)(z f Z 。
五、（本题满分10分）设),(~,),(~21p n B Y p n B X 且相互独立，证明：
),(~21p n n B Y X ++。 六、（本题满分15分）设总体X 服从()θ,0上的均匀分布，其中θ为未知
参数。n
X X X ,,,2
1
是来自X 的简单随机样本。求θ的矩估计量M
θ
?和极大似然估计量MLE θ?，并说明MLE
θ?是否为θ的无偏估计量，请给出理由。 七、（本题满分15分）某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）服从正态分布，现随机地抽取26只电池，测出其寿命的样本方差72002=s
1．试检验假设5000:,5000:2120≠=σσH H （给定显著性水平
05.0=α）；
2．求σ的置信度为0.95的置信区间。
附表：部分2χ分布表α=χ>χα)}()({2
2n n P
河海大学2008-2009学年第一学期
一、（每空2分，本题满分18分）填空题
1． 设某人射击的命中率为0.5，则他射击10次至少命中2次的概率为
；
2． 设X 为一随机变量，其分布律为 ，则=
q ；
X 的分布函数为
。
3．已知A 、B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则
=
)(B P 。
4． 设随机变量X 服从参数为1的泊松（Poisson ）分布，则
=
=)}({2X E X P 。
5．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自X 的一个简单随机样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，检验假设00:μ=μH ，
01:μ>μH ，其中0μ为已知常数，则检验统计量为，在显
著性检验水平为α时的拒绝域为
。
6．设101,,X X 是来自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，且
)(616211X X X Y +++=
，)(4
1
109872X X X X Y +++=，X
22136
.0q q -P 1
1
-
∑=-=10
7
222
)(31i i Y X S
令S
Y Y k
Z 2
1-=，则当=k 时，Z 服从t 分布，自由度为
。
二、（本题满分12分）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。 （1）求仪器的不合格率；
（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。 三、（本题满分12分）已知随机变量X 的密度函数为
?
??<<+-=其它,010),144()(2x x x c x f
求（1）常数c ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 。 四、（本题满分10分）设2)(=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0=ρXY ，求
（1）32322-+-=Y XY X U 的数学期望； （2）53+-=Y X V 的方差。 五、（本题满分18分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：
?
?
?-<<<<=其它,0)
1(20,10,1),(x y x y x f
求：
（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）)(X E 和)(X D ；
（3）条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；
（4）Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 六、（本题满分16分）设总体X 的概率密度函数为
???<<+θ=θ其它,
010,)1()(x x x f
其中1->θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。
（1）求θ的矩估计量M
θ?； （2）求θ的极大似然估计量MLE θ?；
（3）若给出来自该总体的一个样本1-e ,2-e ,2-e ,1-e ,3-e ,3-e ,2-e ,2-e ，求
概率}2.0{ 七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）： 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布),(2σμN 。 （1）试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α （2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02=σ，求水泥平均重量μ的置信度为95%的置信区间。 （已知：;5362 .0,9.49==s x 283.11.0=z ，645.105.0=z ，960.1025.0=z ；3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ，3722.1)10(1.0=t ，8695.1)8(05.0=t ，8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t ） 河海大学2009~2010学年第一学期 一、（每空2分，本题满分18分）填空题 1．一批电子元件共有100个，次品率为0.05，连续两次不放回地从中 任取一个，则第二次才取到正品的概率为。 2 ． 设 随 机 变 量 X ~)1.0,20(B ，则 ==)}({X E X P 。 3．假设随机事件A 与B 相互独立，5.0)(=A P ，α-=2)(B P ， 9 6 )(= ?B A P ，则=α。 4．设随机变量),10(~2σN X ，且3.0}2010{=< =<<}200{X P 。 5．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 则= =}0{XY P 。 6．已知随机变量)1,3(~-N X ，)3,1(~U Y ，且X 与Y 相互独立，设 随机变量232+-=Y X Z ，则= )(Z E ， =)(Z D 。 7．设随机变量 )1)((~>n n t X ，2 1X Y = ，则 ~ Y 。 8．设总体),(~2σμN X ，μ和2σ均未知，n X X X ,,,21 为来自该 总体的一个简单随机样本，则2σ的置信度为α-1的置信区间为 。 二、（本题满分12分）某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失了哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开2箱检查。（1）求任意打开的2箱都是民用口罩的概率；（2）在任意打开的2箱都是民用口罩的情况下，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。 三、（本题满分12分）已知随机变量X 的概率密度函数为 ?? ? ??<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x A x f 求（1）常数A ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）)23(2+-X X E ；（4） }5.15.0{≤ 四、（本题满分8分）设随机变量X 服从参数为3的泊松(Poisson)分布， Y 服从参数为4的泊松分布，且X 与Y 相互独立，证明X Y +服从参数 为7的泊松分布。 五、（本题满分8分）设X 、Y 是相互独立的随机变量，概率密度函数分别为 ???≤≤=其它,01 0,1)(x x f X ，?? ?≤>=-0 , 00 ,)(y y e y f y Y 求Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z 。 六、（本题满分12分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函 数为： ???≤≤≤≤=其它 ,01 ,10,2),(y x x y x f 求：（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ； （2）X 和Y 的相关系数XY ρ； （3）X 与Y 是否独立？为什么？ 七、（本题满分16分）设总体X 的密度函数为 ??? ??>=-其 它,00,1);(x e x f x θθθ 其中θ为未知参数。 （1）求θ的矩估计量M θ?和极大似然估计量MLE θ?； （2）问MLE θ?是否为θ的无偏估计量？为什么？ （3）若给出来自该总体的一个容量为8的样本的观测值：1、3、3、2、6、5、7、9，求}1{>X P 的极大似然估计值。 八、（本题满分14分）某电子制造厂生产的产品额定质量为500克，某日开工后随机抽查了9件进行测量，测量结果经计算得其平均值为 499=x ，样本方差为292=S ，设该天生产的产品质量服从正态分布),(2σμN 。 （1）试问该天生产机器工作是否正常?)05.0(=α （2）若已知该天生产的产品质量的方差为302=σ，求产品平均质量μ的置信度为95%的置信区间。 （283.11.0=z ，645.105.0=z ，960.1025.0=z ，3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ， 3722.1)10(1.0=t ，8695.1)8(05.0=t ，8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t ） 答案（A ） 一、填空题 1、0.6 2、 24 11 3、 2 1 4、1 5、t(1) 6、 k n k k n p p C --)1( 二、设i A ={}个箱子中取一只球 从第i ，=i 1,2,3 B ={}取出一只红球 1、∑==3 1 )()()(i i i A B P A P B P =61×84+64×82+61×86=8 3 2、)(2B A P =) ()()(22B P A B P A P =8 382 64?=94 三、1、?∞ -=x dt t f x F )()( 当x ≤0，0)(=x F 当0＜x ≤1，?= =x x tdt x F 022 1)( 当0＜x ＜2，122 1 )2()(1021-+-=-+=??x x dt t tdt x F x 当x ≥2，1)(=x F ???? ? ????≥-+-≤≤=2 ,121,12211 0,2 10,0 )(22x x x x x x x x F 2、???+∞∞ -=-?+?==102 1 1)2()()(dx x x xdx x dx x xf x E ??= -+?=1 2 1 22 2 6 7)2()(dx x x xdx x x E 6 1167)()()(222=-= -=Ex x E x D 四、1、?-==1 122)(x x x dy x f ，（0＜x ＜1） ?-==1 122)(y Y y dx y f ， （0＜y ＜1） 2、3 22)(1 = ?=?xdx x X E 同理3 2)(= Y E ??-= ??=?10 1112 52)(x dy y x dx Y X E ))(()(),(EY EX Y X E Y X Cov -?= = 36 1)32(1252-=- 3、?+∞∞ --=dx x z x f z f Z ),()( ?? ?≤-≤-≤≤1 11 0x z x x ?? ? ??-≥≥≤≤11 10z x z x ?-≤≤-==1 1 )21() 2(22)(z Z z z dx z f 五、法一：因为),(~1p n B X 所以1 21n X X X X ++= 其中1 21n X X X ++独立同分布),1(p B 同理221n Y Y Y Y +++= 其中2,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B 又Y X 与相互独立 所以1,,,21n X X X ，2,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B 从而),(~21212121p n n B Y Y Y X X X Y X n n ++++++++=+ 法二：对任意的0≤k ≤21n n + )(k Y X P =+ =∑=-==k i i k Y i X P 0),( =∑=-==k i i k Y P i X P 0)()( [因为Y X ,独立] =∑=-------k i i k n i k i k n i n i i n p p C p p C 0 )(22 11)1()1( =k n n k k i i k n i n p p C C -+=--?? ????∑2121)1(0 =k n n k k n n p p C -++-212 1)1( 所以),(~21p n n B Y X ++ 六、2 )(θ = X E 由X X E =)( 得X M 2?=θ θ 1 )(= x f ，（0≤x ≤θ） 似然函数n L θ1 =，（0≤i x ≤θ，n i ,,2,1 =） n θ 1 = ，（0≤),,min(1n x x ≤),,max(1n x x ≤θ） 所以),,max(?21n MLE x x x =θ ???????≥≤=θ θθx x x x x F , 10, 0, 0)( MLE θ?的分布函数为 )(x F L =???????≥≤=θθθ x x x x x F n n n , 10, 0, 0)( 1)(-=n n L x n x f θ，（ 0＜x ＜θ） )?(MLE E θ=?≠+= ?-θθθθ 011n n dx x n x n n 从而MLE θ?不是θ的无偏估计量。 七、1、5000:20=σH ，5000:21≠σH 05.0=α 该检验的拒绝域为 ??????--)1()1(22202n x S n ασ 或? ?????--- )1()1(2 21202n x S n ασ 2S =7200 26=n 50002 0=σ 2 2 )1(σS n -= 5000 7200 )126(?-=36 而646.40)25()1(2025.022 ==-x n x α 120.13)25()1(2 975.022 1==--x n x α 由于13.120＜36＜40.646 即)1(2 2 1-- n x α ＜ 2 2 )1(σS n -＜)1(2 2 -n x α 从而接受0H ，即认为2σ=5000 2、σ的置信度为α-1的置信区间是 ????? ? ??-----)1()1(,1()1(2 212222 n x S n n x S n αα 95.01,7200,262=-==αS n =??? ? ? ???120.13720025, 646.40720025=（66.547,117.130） 2008-2009学年第一学期《概率论与数理统计》（工科）参考解答 A 卷 一．1．0.990234或9 10 5.055 .01?--；2．0.2；???????≤<≤<≤--<=x x x x x F 11 1096.00136.010 )(；3．0.7； 4． e 21 ； 5．n S X t /μ-= ，)1(-≥n t t α；6． 5 12 ，3。 二.设B ----“仪器不合格”,i A ----“仪器上有i 个部件不是优质品”,3,2,1,0=i ,显然3 210,,,A A A A 构成样本空间的一个完备事件组,且 0)|(0=A B P ,2.0)|(1=A B P ,6.0)|(2=A B P ,9.0)|(3=A B P , 504 .09.07.08.0)(0=??=A P , 398.01.07.08.09.03.08.09.07.02.0)(1=??+??+??=A P , 006.01.03.02.0)(3=??=A P ,092.0)()()(1)(3102=---=A P A P A P A P (1)由全概率公式有:1402.0)|()()(3 ==∑=i i i A B P A P B P (2)由贝 叶斯公 式有 : )|(0=B A P , 1402 796 )()|()()|(111= =B P A B P A P B A P , 1402 552 )()|()()|(222== B P A B P A P B A P , 1402 54 )()|()()|(333== B P A B P A P B A P , 从计算结果可知,一台不合格仪器中有一个部 件不是优质品的概率最大. 三.(1)由1)(=?+∞∞ -dx x f ,又= ?+∞ ∞ -dx x f )(3 )144(1 2c dx x x c = +-?, 所以3=c ; (2) 当 ≤x 时, )(x F =0; 当1 0≤ )(x F ?? +-==∞ -x x dx x x dx x f 0 2)144(3)(x x x 3642 3 +-=, 当1>x 时, )(x F =1, 所以X 的分布函数为)(x F ?? ??? >≤<+-≤=1,110,3640,02 3x x x x x x . (3)? =≤<=≤<≤2 .01 .0)(}2.01.0{}5.01.0,2.0{dx x f X P X X P ? =+-=2 .01 .023)24(dx x x x 0.148 ? =≤<5 .01 .0)(}5.01.0{dx x f X P ? =+-=5 .01 .023)24(dx x x x 0.256, 所以 }5.01.0|2.0{≤<≤X X P 256 .0148.0}5.01.0{}5.01.0,2.0{=≤<≤<≤= X P X X P =0.5781. 四.(1))323()(22-+-=Y XY X E U E 3)()(2)(322-+-=Y E XY E X E 3)]()([])()()()([2)]()([322-++ρ+-+=Y E Y D Y D X D Y E X E X E X D XY =24; (2)),cov(6)()(9)53()(Y X Y D X D Y X D V D -+=+-=)()(645Y D X D XY ρ-==27. 五.(1)? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?? ???<<-==?-其它,01 0),1(21)1(20x x dy x , ? +∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(?? ???<<-==?-其它,02 0,2 11210y y dx y (2)? +∞ ∞ -=dx x xf X E X )()(?-?=1 )1(2dx x x = 3 1, ? +∞∞ -=dx x f x X E X )()(2 2?-?=1 2)1(2dx x x = 6 1 , 所以 )()()(22X E X E X D -=18 19161=-= (3)当20< ??? ????- <<-=-=其它,0210,222 11y x y y ; (4) } {}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=??≤+= z y x dxdy y x f ),( ? ?? ?? ?? ≤<≤+≤≤<=??????-----z z dy dx dy dx z dy dx z x z x z z x z z 2,121,1110,10,0) 1(201202000 ???? ????? ≤<≤-+---≤≤<=z z z z z z z z z 2,121,)1()2(2 1)2(10,20,0222,所以?????<≤-<≤==其它,021,210,)()(z z z z dz z dF z f Z Z . 六.(1)因?+∞ ∞ -=dx x xf X E )()(dx x 1 1 )1(+θ?+θ=2 1 +θ+θ= ,令X X E =)(即X =+θ+θ21,解 得X X M --=θ112?. (2)设n x x x ,,,21 是样本n X X X ,,,21 的观测值,则似然函数为 n i i x f L 1 )()(==θ,当 0 n i i x L 1 )1()(=θ +θ=θ,取对数得∑=θ++θ=n i i x n L 1 ln )1ln(ln ,故 由0ln 1ln 1 =++θ=θ∑=n i i x n d L d 解得∑=--=θn i i MLE x n 1 ln 1?,从而θ的极大似然估计量为 ∑=- -=θn i i MLE X n 1 ln 1? (3)因为12 .00 2.0)1(}2.0{+=+= θθθdx x X P ,所以}2.0{>X P 的极大似然估计为 1 ?2 .0+θMLE ,又16ln 1 -=∑=n i i x ,所以211681?-=---=θMLE ,故}2.0{>X P 的极大似然估计为2.02.01? =+θMLE . 七.(1)构造假设50:00=μ=μH ,50:1≠μH ,取检验统计量)1(~ /00-μ-= n t n S X T H 为真 ,由α=->α)}1(|{|2/n t T P 得拒绝域为: )1(||2/->αn t T . 又9 =n ,9.49=x , 29 .02=s ,05.0=α, 3060 .2)8(025.0=t , 3060.256.09 /29.0|509.49|<=-= T ,故应接受0H ,即认为包装机工作正常. (2)因为3.02=σ已知,所以总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为),(2 /2 /n z x n z x σ+σ-αα,又96.1025.02/==αz z ,故 ),(2 /2/n z x n z x σ+σ-αα=)9 3 .096.19.49,93.096.19.49(?+? -)2578.50,5422.49(=. 2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计》（工科） 参考解答 A 卷 一（每空2分，共18分）．1．19/396或0.048；2．182 2 209.01.0C ≈0.285；3.4/3； 4.0.6； 5.0.5； 6.-10，7； 7.F （n,1）； 8.)) 1()1(,)1()1(( 2 2/12 22/2 -χ--χ-α-αn S n n S n 。 二（12分）．A -----任取2箱都是民用口罩，k B ----丢失的一箱为k ，3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.则 （1）36 8 5110321)()()(29252925292 43 1 =?+?+?== ∑ =C C C C C C B A P B P A P k k k （2）.8 3368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=?= =A P C C A P B A P B P A B P 三（12分）.（1）由1)(=? +∞ ∞ -dx x f ,又= ? +∞ ∞ -dx x f )(1)2(2 1 1 =-+? ? dx x Axdx ，所以1=A (2)当0≤x 时, )(x F =0;当10≤ 2 1 )(x xdx dx x f x x ===? ? ∞ -,当21≤ 12 2)2()(2 1 1 -- =-+= ? ? x x dx x xdx x F x ，当2>x 时，)(x F =1,所以X 的分布函数为 ) (x F ???? ????? <≤<--≤<≤=x x x x x x x 2121,12210,210,02 2 ； （3）)23(2+-X X E =6 1)2)(23()23(2 1 21 2= -+-+ +-? ?dx x x x xdx x x ； （4）}5.15.0{≤ ?-+=5 .11 1 5 .0)2(dx x xdx =0.75 四（8分）．)3(~P X ，所以X 的分布律为! 3)(3 k e k X P k -= =，,...3,2,1,0=k ； 又因为)4(~P Y ，所以Y 的分布律为! 4)(4 k e k Y P k -= =，,...3,2,1,0=k ；令Y X Z +=，所以Z 的取值为 ,... 3,2,1,0，且 有 ∑∑=∞ ========= =k m m m X P m X k Z P m X P m X k Z P k Z P 0 ) ()|()()|()(! 7!3)!(4)()(7 340 k e m e m k e m X P m k Y P k k m m m k k m -=---== ?-==-== ∑ ∑，,...3,2,1,0=k 。从而X Y +服 从参数为7的泊松分布。 五（8分）．法1： ???? ?>≤≤=-?, , 0, 0,10, ),(其它y x e y x f y ???? ?? ≤+--------? ?? ?? ?? ?? ? ???≥+-=<<+-=≤==z y x x z z z y z x z z y Z z e e dy e dx z e z dy e dx z dxdy y x f z F 10 0)1(00,1,1,10,1,0,0),()( ??? ? ???≤<<-≥-=∴--.0,0,10,1, 1,)1()(z z e z e e z f z z Z 法 2：?+∞ ∞ --= dy y f y z f z f Y X Z )()()(，0,10><-<∴y y z ， ;0)(,0=≤∴z f z Z 时 ;1)(,100 z z y Z e dy e z f z ---==< 时 ;)1()(,11z z z y Z e e dy e z f z ----==≤? 时??? ? ???≤<<-≥-=∴--.0,0,10,1, 1,)1()(z z e z e e z f z z Z 六（12分）．(1) ?+∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( ?? ? ??<<-==? 其它,010),1(221 x x dy x ； ? +∞ ∞-=dx y x f y f Y ),()(?? ???<<==? 其它,01 0,220 y y dx y (2)? +∞ ∞ -=dx x xf X E X )()(?-?=1 )1(2dx x x = 3 1, ? +∞∞ -=dx x f x X E X )()(2 2?-?=10 2)1(2dx x x = 6 1 ,所以 )()()(22X E X E X D -=18 19161=-= ； ? +∞ ∞ -= dy y yf Y E Y )()(3 221 = ?= ? ydy y ， ?+∞ ∞ -= dy y f y Y E Y )()(222 121 2=?= ? ydy y ，18 1)()()(22= -=Y E Y E Y D 又4 1 2),()(1 10===????x D dy xy dx dxdy y x xyf XY E ，所以361323141)()()(),(=?-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，XY ρ= 2 118/136/1)()(),(= =Y D X D Y X Cov （3）因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。 七（16分）．（1）令X X E =)(，又θ=)(X E ，所以M θ?X =； ∏== θn i i x f L 1) ()(，当 n i x i ,..., 2,1,0=>时，∏ ∏=θ -=θ == θn i x n i i i e x f L 1 1 1)()(，所以 ∑=θ -θ-= θn i i x L 1 )ln ()(ln ，令 0)1()(ln 12=+-=∑=n i i x d L d θθθθ有MLE θ?X =； （2）因为θ===θ)()()?(X E X E E MLE ，所以MLE θ?X =为θ的无偏估计。 （3）因为}1{>X P θ-θ -∞ +=θ = ? 1 1 1e dx e x ，所以X MLE e e X P M LE 1 ?1}1{- θ- ∧ ==>，另5.4=x ，所 以}1{>X P 的极大似然估计值为5 .41- e 。 八（14分）．(1)构造假设500 :0 0=μ=μH , 500 :1≠μH ,取检验统计量 ) 1(~/00-μ-= n t n S X T H 为真 ,由 α =->α)}1(|{|2/n t T P 得拒绝域为: ) 1(||2/->αn t T .又 9=n ,499=x ,292=s ,05.0=α,3060.2)8(025.0=t , 3060 .256.09 /29| 500499|<=-= T ,故应接受 0H ,即认为包装机工作正常. (2)因为302 =σ已知,所以总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为 ),(2/2/n z x n z x σ +σ-αα,又96.1025.02/==αz z ,故 ),(2 /2 /n z x n z x σ+σ-αα=)9 30 96.1499,93096.1499(?+? -)578.502,422.495(=. 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线……………………………………………………… 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 概率论与数理统计 一、 单项选择题 1如果A ,B 为任意事件，下列命题正确的是 ( )。 A ：若A , B 互不相容，则A B ,也互不相容 B ：若A ,B 相互独立，则A B ,也 相互独立 C ：若A,B 不相容，则A,B 互相独立 D ： AB A B =? 2某人独射击时中靶率为2/3，若射击直到中靶为止，则射击次数为4的概率是( ) A:323?? ??? B: 32133??? ??? C: 31233??? ??? D: 3 13?? ??? 3设X 的密度为20()0x ke x f x -?>=??其它，则=k ( ) A:2 B:1/2 C: 4 D: 1/4 4. 设)1,3(~..-N X V R ，)1,2(~..N Y V R ，且X 和Y 相互独立，令72+-=Y X Z ， 则Z 服从（ ）分布。 A:)5,0(N B:)3,0(N C:)46,0(N D:)54,0(N 5，如果X,Y 为两个随机变量，满足0XY ρ=,下列命题中错误的是 ( )。 A ：X,Y 不相关 B ：X,Y 相互独立 C ：E(XY) =E(X)E(Y) D ：D(X-Y) =D(X)+D(Y) 二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分） 4 A,B 为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.2，若A,B 互不相容，则P(A-B)= ,P(A B ?)= 5 一个袋中装有5个白球4个黑球。从中随机取2个（不放回），则取出的球依 次为白，黑两球的概率为 ，取出第二个为白球的概率为 ，如果已知第 二次取出的为白球，则第一次取出的为黑球的概率为 6某学生和朋友约定：在他参加的3门不同的考试中如果有一门过了95分就要 开香槟庆祝，已知他这3门功课过95分的概率分别为1/2,1/4,1/5,则他们开香 槟庆祝的概率为 7.若在高中生中，学生的平均身高为165厘米，方差为10，利用切比雪夫不等 式估计身高在160厘米~170厘米之间的概率至少为 8若X~N(1,4)，Y 的概率密度函数,0()0,y e y f y -?>=??其它 ，X,Y 互相独立，则 E(2X+Y-2XY+2)= ，D (2X+Y-2)= )B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ? 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 （ A ） （2009 ～ 2010 第 一 学 期） 2010-1-14 任课教师 学院： 班级： 上课时间：星期 ____,_____节 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 （ ） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 （ ） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 （ ） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 （ ） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). 0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。 7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之 2008-2009学年第一学期期末试卷-B 卷 概率论与数理统计 课程号： 课序号： 开课学院： 统计学院 1． 设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 2． 设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪B ( ) 3． 若X 服从二项分布B(n,p), 则EX=p ( ) 4． 样本均值X = n 1∑ =n i i X 1 是总体均值EX 的无偏估计 （ ） 5． X ～N(μ,21σ) , Y ～N(μ,22σ) ，则 X －Y ～N(0,21σ－22σ) （ ） 二、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且 ()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________. 2．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中 各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. 3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0, x x f x < 三、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 （A）X与Y独立. （B）() D X Y DX DY -=+. （C）() D X Y DX DY -=-. （D）() D XY DXDY =. （）2．设随机变量X的概率密度为 2 (2) 4 (), x f x x + - =-∞<<∞ 且~(0,1) Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A）1/2, 1. a b ==（B ）2, a b == （C）1/2,1 a b ==-. （D ）2, a b ==（）3．设随机变量X与Y 相互独立，其概率分布分别为 01 0.40.6 X P 01 0.40.6 Y P 则有 （A）()0. P X Y ==（B）()0.5. P X Y == （C）()0.52. P X Y ==（D）() 1. P X Y ==（）4．对任意随机变量X，若E X存在，则[()] E E EX等于 （A）0.（B）.X（C）. E X（D）3 (). E X（）5．设 12 ,,, n x x x 为正态总体(,4) Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的置信度为1α -的置信区间为 （A） /2/2 (x u x u αα -+ （B） 1/2/2 (x u x u αα - -+ （C）(x u x u αα -+ （D） /2/2 (x u x u αα -+（） 四、（8分）甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2， 而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。求 （1）目标被击毁的概率； （2）若目标已被击毁，问被甲阵地击毁的概率。 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数 ) (,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则 ___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 3141===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数 ___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则 ____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒， 求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服 从均匀分布，Y 的概率密度为?? ???≤>=-000 212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的 二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体),(~220N X 的简单随机样本，求系数 a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2 χ分布，并求其自由度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态 分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值 μ的置信区间 (9610502.,./==ααz ) 三、（14分）设X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为 ???≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ，?? ???≤>=-000 y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度 四、（14 分）设 ?? ???≤<-=其它,),()(~0063θ θθx x x x f X ,且n X X ,, 1是总体 X 的简单随机样本，求 (1)θ的矩估计量θ ，(2) )(θ D 五、(12分)据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。(7881080.).(=Φ) 华南理工大学期末试卷 《概率论与数理统计》试卷A 卷 注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2.解答就答在试卷上； 3.考试形式：闭卷； 4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。 注：标准正态分布的分布函数值 Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525 一、选择题（每题3分，共18分） 1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ?B 成立，则 （ ） A. P(A ?B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A ︱B)= ) () (B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B) 2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( ) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/8 3. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有 （ ） A. D(ξ η)=D ξD η B. D(ξ+η)=D ξ+D η C. ξ和η独立 D. ξ和η不独立 4. 设P(x)=? ? ??∈],0[,0] ,0[,sin 2ππA x A x x 。若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ） A.1/2 B.1/3 C.1 D.3/2 5. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2 σ),则Z= ∑=-6 1 22 )(1 i i u ξ σ的密度函 数最可能是 （ ） A. f(z)=?? ???≤>0,00 ,1612 /2z z e z z B. f(z)= +∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)= +∞<<-∞-z e z ,12112 /2 π D. f(z)= ?????≤>-0 ,00,1612 /2z z e z z 6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布 B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布 C. （ξ，η）为二维连续性随机变量 D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0 二、填空题（每空3分，共27分） 1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=2 3 4-e ，则EX= 。 2. 已知DX=25 , DY=36 , XY r =0.4 , 则cov (X,Y)= ________. 3. 设离散型随机变量X 分布率为P{X=k}=5A k )2 1 ( (k=1,2,…),则A= . 4. 设ξ表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6，则ξ 2 的 数学期望E(ξ2 )= . 5. 设随机变量ξ的分布函数F(x)=???≤>--0 ,00 ,1x x e x λ （λ﹥0），则ξ的密度函数 p(x)=______________ ,E ξ= , D ξ= . 6. 设X ～N(2, 2σ),且P{2 模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ，概率P{—0.5 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U 2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -（）≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -（）≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为 __________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 解答： 由)2(4)1(==≤X P X P 知λλλ λλ---=+e e e 22 即0122 =--λλ 解得1=λ，故 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为 =)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解在(0,2)上函数2 y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________， }1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故2λ= 41e -=-. 5． 设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0,10,)1()(x x x f θ θ1->θ. n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为概率统计试题库及答案
09-10-1-概率统计A--期末考试试卷答案
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