十字相乘法与韦达定理
十字相乘法与韦达定理
十字相乘法
一、知识准备：
ab x b a x ab bx ax x b x a x +++=+++=++)())((22
（1）左边：a x +与b x +的形式；
（2）右边：二次项系数为1；常数项的和)(b a +为一次项的系数；
常数项的积ab 作为常数项；
直接写出结果：
)3)(2(++x x = ， )4)(3(--x x = ， )2)(5(-+x x = ， )6)(8(+-x x = ，
二、探究活动：
1、ab x b a x b x a x +++=++)())((2
反过来：=+++ab x b a x )(2
也就是说，对于二次三项式q px x ++2
，如果常数q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且 常数q 等于两个因数a ，b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。
(1)对于二次项系数为1的二次三项式：方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试）
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
)3)(2(652--=+-x x x x 1582++x x 28112+-x x
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相
同．
)2)(3(62-+=-+x x x x 62--x x 1242--x x
练习：解方程（用十字相乘法）
0452=++x x 01282=+-x x 03652=--x x
02700602=-+x x 0525502=+-x x 08.48.22=--x x
它的特征是“拆两头，凑中间，多试验”
2522+-x x ； 3832-+x x 6752--x x
（3）解方程：15442
-+x x =0 3562
-+x x =0 413102
++x x =0
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的
1、把下列各式分解因式：
2252310a b ab +- 2265y xy x +- 91024+-x x
2、已知：x x 2
11240-+>，求x 的取值范围。
3、已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=2
2
220，求长方形的面积。
课后作业
1．如果))((2
b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(2
2
--=+++?x x b x b a x ，则a= ，b= ；
3．多项式a x x +-32
可分解为(x －5)(x －b )，则a= ，b= ； 4．解方程：
01072=+-x x 02452=--x x 03522=-+x x
045182=++x x 0800602=+-x x 0240222=-+x x
01250752=+-x x 038482=+-x x 036.09.02=-+x x
5.解方程
071522=+-x x 04832=+-x x 06542=-+x x
06752=-+x x 0101162=--x x 031082=++x x
2.18)1(5)1(552=++++x x 4.132)1(40)1(40402=++++x x
韦达定理及其应用
一、知识要点
1、若一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a
b x x -
=+21， a c
x x =
?21，；补充公式a
x x ?=-21
3、用韦达定理分解因式()()212
2
x x x x a a c x a b x a c bx ax --=??
?
?
?++
=++ 4、使用韦达定理时应满足的条件：
（1）方程必须是（ 一元二次方程 ），即条件为（ a ≠0 ） （2）方程必须有（ 实数根 ），即条件为（ b 2-4ac ≥0 ） 二、韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值
4.已知两数的和与积，求这两个数
5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0
6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2)
【例题求解】
【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b
a
a b +的值为( ) A ．
22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22
123
或2 【例3】 已知关于x 的方程：04
)2(2
2
=---m x m x
(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．
【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04
7
)21(222=+
-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．
(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB 课后练习 A 组 1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式14 212 1<-+x x x x ，则 实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ． 2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ． 3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，3 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ． 23 B ．2 5 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则) 1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．2 1 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． B 组 9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ． 10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． 11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ． 1949413 C ．999413 D ．97 9413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( ) A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=---x m x D ．02412=+--x m x 14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥ 43 C ．143≤ 3 ≤m ≤1 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根． (1)求rn 的值； （2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的3 1 ，请说明理由． 16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ． (1) 若62221=+x x ，求m 的值． (2)求2 2 212111x mx x mx -+-的最大值． 17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2 ＝2：1；又关于x 的方程012)1(24 122 =-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值． 18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值． 20、在ABC ?中，?=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632 =++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。 21.已知a ＋a 2－1＝0，b ＋b 2－1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值． 2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()() 《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下： ◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算： （1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、 十字相乘法与韦达定理 十字相乘法 一、知识准备： （1）左边：a x +与b x +的形式； （2）右边：二次项系数为1；常数项的和)(b a +为一次项的系数； 常数项的积ab 作为常数项； 直接写出结果： )3)(2(++x x = ， )4)(3(--x x = ， )2)(5(-+x x = ， )6)(8(+-x x = ， 二、探究活动： 1、ab x b a x b x a x +++=++)())((2 反过来：=+++ab x b a x )(2 也就是说，对于二次三项式q px x ++2 ，如果常数q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且 常数q 等于两个因数a ，b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。 (1)对于二次项系数为1的二次三项式：方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试） ①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； ②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相 同． 练习：解方程（用十字相乘法） (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间，多试验” 2522+-x x ； 3832-+x x 6752--x x （3）解方程：15442 -+x x =0 3562 -+x x =0 413102 ++x x =0 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的 1、把下列各式分解因式： 2、已知：x x 2 11240-+>，求x 的取值范围。 3、已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=2 2 220，求长方形的面积。 课后作业 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(2 2 --=+++?x x b x b a x ，则a= ，b= ； 3．多项式a x x +-32 可分解为(x －5)(x －b )，则a= ，b= ； 十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 南通十字相乘法 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 答案A 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超标部分按照基本价格的80%收费。某用户九月份用电84度，共交电费 十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x 十字相乘法(3) 教学目标 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 教学过程设计 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48； 3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y). 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式. 对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3 公式法和十字相乘法 概念回顾： 1.公式法 因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2 2．十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x 由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p 符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 例题精讲： 基础训练： 1. 用完全平方公式分解因式： 2.用完全平方公式分解因式： 3.用十字相乘法分解因式 4.用十字相乘法分解因式 十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ； 十字相乘法解数学题 首先声明不是本人的就是觉得好所以借用一下感谢王萧乔! 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80 分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一： 搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160 分，平均分80 分。男生和女生的比例是1：1。 方法二： 假设男生有A,女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A二B,因此男生和女生的比例是1: 1。 方法三： 男生：755 80 女生：855 男生： 女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B 有 （1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此： X：（1-X）=（C-B）： （A-C） 上面的计算过程可以抽象为： AC-BCBA-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点： 用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点： 得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点： 总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006 年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2： 5B．1： 3C．1： 4D．1：5 答案： C 分析： 男教练：90%2% 82% 男运动员：80%8% 男教练： 男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25 人，每季度共发放劳保费用15000 元，已知每个男职必每季度发580 元，每个女职员比每个男职员每季度多发50 元，该公司男女职员之比是多少 A. 2 : 1B. 3 : 2C.2: 3D. 1 : 2 答案： B 分析： 职工平均工资 男职工工资：58030 600 女职工工资：63020 男职工： 女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70 万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加 十字交叉法与十字相乘法辨析 【十字交叉法】实际上，我们常说的十字交叉法是十字交叉相比法，它是一种图示方法。十字交叉图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算，用来计算混合物中两种组成成分的比值。 以两混合液为例，分别设其质量为M1、M2,浓度为C1、C2，混合后浓度为C，则有 M1C1+M2C2=(M1+M2)*C,推出M1(C1-C)=M2(C-C2)推出M1/M2=(C-C2)/(C1-C)=(C2-C)/(C-C1)图示： M1…………C1……|C2-C| （M1+M2）……C M2…………C2……|C-C1| 运用十字交叉法进行计算时要注意，斜找差数，横看结果。 应用举例： 【例1】某同学欲配制40%的NaOH溶液100克，实验室中现有10%的NaOH溶液和NaOH固体，问此同学应各取上述物质多少克？ 【分析】10%NaOH溶液溶质为10，NaOH固体溶质为100，40%NaOH溶液溶质为40，利用十字交叉法 10……100-40 (40) 100……40-10 知两者质量比为60：30=2：1，故推出：需10%NaOH溶液为(2╱3)×100=66.7克，需NaOH固体为(1╱3)×100=33.3克 【例2】（2007年国家公务员考试题）某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%。而研究生毕业生数量比上年度增加10%，那么这所高校2006年毕业 的本科生有多少人？ [分析]那么根据题意,上一年度的毕业生有7650÷1.02=7500 可用十字交叉法表示如下： 本科生：-2%……10%-2%=8% ………………2% 研究生：10%……2%-（-2%）=4% 所以，本科和硕士的比例是8%：（-4%）=2:1. 则知上一年度本科生7500*(2/3)=5000 推出今年本科生5000*0.98=4900 【总结】可见，常用的解题方法实际正确叫法为十字交叉法，也就是十字交叉相比法。 ***************** 【真正的十字相乘法】 简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(ax+b)(cx+d)=kx^2+mx+n=acx^2+(ad+cb)x+bd的逆运算来进行因式分解。 图示：(ax+b)(cx+d)=kx^2+mx+n …………a……b …………c……d …………ac=k …………bd=n …………ad+cb=m 十字相乘法基本用法是把某些二次三项式分解因式。但要务必注意各项系数的符号。 9.15 十字相乘法 教学目标： 1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。 2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。 3.通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。 教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如q px x ++2的二次三项式分解因式。 教学难点：把q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，q b a =? p b a =+。 教学过程： 一、 复习导入： 师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解。 1.复习因式分解 因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 实质是(和差化积)与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反） 2.师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？ 答：提取公因式法，公式法， 在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，原理是如对于多项式44n m -，因式分解的结果 是) )()((22n m n m n m ++-，取7,7==n m 时，则各个因式的值是,98)(,14)(,0)(22=+=+=-n m n m n m 于是便可把“01498”作为一个密码， 那么对于2256y xy x ++，取8,6==y x 时，用上述方法产生的密码可以 是_________. 师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那2256y xy x ++能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类似于这样的多项式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解因式的方法——十字相乘法。（在讲新课之前我们先看几个小练习） 3.填空： =++)4)(3(x x =-+)4)(3(x x =+-)4)(3(x x =--)4)(3(x x 4. 问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗? 答:仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有 填空ab x b a x b x a x +++=++)())((2 二、探索新知： 1、观察与发现 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是整式乘法运算。 反过来可得 等式的左边是（二次三项式）, 右边是两个(一次二项式)相乘,这个过程将(和差)的形式转化成(积)的形式,进行的是(因式分解). 1 / 17 十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如2x px q ++这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位． 十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式， 即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式， 即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式． 十字相乘法 知识结构 知识精讲 内容分析 2/ 17 【例1】 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（ ）． A ．ab B ．a b + C ．ab - D ．()a b -+ 【难度】★ 【答案】D 【解析】22()()()x a x b x a b x ab x px q ++=+++=-+． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数． 【例2】 不能用十字相乘法分解的是（ ） A ．22x x +- B ．23103x x -+ C ．22568x xy y -- D ．242x x ++ 【难度】★ 【答案】D 【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1，判断出D ． 【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数． 【例3】 分解因式：（1）256x x ++； （2）256x x -+． 【难度】★ 【答案】（1）(3)(2)x x ++；（2）(3)(2)x x --． 【解析】直接十字相乘即可． 【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数． 【例4】 分解因式： （1）2712x x -+； （2）2412x x --； （3）2812x x ++； （4）21112x x --． 【难度】★ 【答案】（1）(3)(4)x x --；（2）(6)(2)x x -+；（3）(6)(2)x x ++；（4）(12)(1)x x -+． 【解析】直接十字相乘即可． 【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数． 例题解析 初中数学-十字相乘法练习题 ()()23x x ++= ()()23x x +-= ()()23x x -+= ()()23x x --= ()()x a x b ++= 232x x ++= 276x x -+= 2421x x --= 2215x x --= 223x x --= 2257x x +-= 2321a a --= 23145b b +-= 298x x ++= 2712x x -+= 2421a a --+ = 2328b b --= 25724--x x = ()()220x y x y +++- 4220x x -- = 2278a x ax +-= 22914a ab b -+ = 32412a a a --+= 21118x x ++= 22526a a -+= 22730a ab b --= 2232x xy y -+= 222256x y x y x -+= 278a a +- = 3)()(22-+++n m n m ()()2133x x ++= ()()2133x x --= ()()213x x +-= ()()213x x -+= 32576x y x y xy -- 219156n n n x x x ++-- 611724-+x x 4224257y y x x -+ 42246117y y x x -- 3)()(22----b a b a 3)2(8)2(42++-+y x y x = 3168)2(42++--y x y x = 222215228d c abcd b a +- = 42248102mb b ma ma +-= 2592a a -+= 2x 2 + 13x + 15= 22152y ay a --= 2210116y xy x ++-= 22166z yz y -- = 6)2(5)2(2++++b a b a = 3、（1）已知两数之积为15-，和为2，则此两数为 （2）已知()()212215x x x x x x ++=+-，且12x x ≥，求12,x x 的值 4、将二次三项式2x px q ++分解因式，关键是选择a 和b ，使 q =， p = （1）q 为正数时，a 、b ，且与 同号； （2）q 为负数时，a 、b ，其中绝对值 （填“较大”或“较 小”）因数与p 同号； （3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数。 5、 若多项式65222-++--y mx y xy x 可以分解为)32)(2(-++-y x y x ，则____=m ． 6、把多项式n n n b b a b a 5324257912-+-分解因式，并注明每一步因式分解所 用的方法． 7、已知012)1)((2222=--++y x y x ，求22y x +的值． 高一数学乘法公式及分解因式的十字相乘法苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 乘法公式及分解因式的十字相乘法 二. 教学目标： 为了使学生能够更好的学习高中数学，本节课将使学生掌握一些高中阶段常用的乘法公式以及分解因式的几种常用方法。 三. 教学重点：乘法公式及分解因式的十字相乘法 ［知识要点］ （一）乘法公式： 初中：（1）平方差公式 2 2 ()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 2 2 2()2a b a ab b ±=±+ 高中：（1）立方和公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=- （3）三数和平方公式2 2 2 2 ()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ （4）两数和立方公式3 223333)(b ab b a a b a +++=+ （5）两数差立方公式3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+- 例1. 计算)1)(1)(1)(1(2 2 +++--+x x x x x x 解法一：原式])1)[(1(2 2 2 2 x x x -+-= 1 ) 1)(1(6 242-=++-=x x x x 解法二：原式)1)(1)(1)(1(2 2++-+-+=x x x x x x 1 ) 1)(1(6 33-=-+=x x x 例2. 已知44=++=++ac bc ab c b a ，，求2 22c b a ++的值。 解：8)(2)(2 222=++-++=++ac bc ab c b a c b a （二）分解因式 1. 十字相乘法 关于x 的二次多项式ab x b a x +++)(2 ，怎样分解因式呢？ 例1. 分解因式： （1）232 +-x x ；（2）1242 -+x x ；（3）2 2)(aby xy b a x ++- 解：（1）)2)(1(232 --=+-x x x x （2）)6)(2(1242 +-=-+x x x x因式分解公式法、十字相乘法教师版
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
十字相乘法与韦达定理
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(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法(教案)
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