高中数学第8章第1节课时分层训练_1

分层训练(四十三)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

A 组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )

A ．x －y ＋1＝0

B ．x －y －1＝0

C ．x ＋y －1＝0

D ．x ＋y ＋1＝0

D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.]

2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足

( )

A ．a ＋b ＝1

B ．a －b ＝1

C ．a ＋b ＝0

D ．a －b ＝0

D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.

又因为tan α＝－a b ，所以－a b ＝－1，则a ＝b .]

3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) 导学号：510659

A ．m ≠－32

B ．m ≠0

C ．m ≠0且m ≠1

D ．m ≠1

D [由?????

2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1， 故m ≠1时方程表示一条直线．]

4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正

半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3)

B ．y －1＝－3(x －3)

C ．y －3＝3(x －1)

D ．y －3＝－3(x －1)

D [设点B 的坐标为(a,0)(a ＞0)，

由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2，

∴点B (2,0)，易得k AB ＝－3，

由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．]

5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )

A ．x ＝2

B ．y ＝1

C ．x ＝1

D ．y ＝2 A [∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.

依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，

∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.]

二、填空题

6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________. 导学号：510660

－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)，

∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，

∴P (－2,1)，

∴k ＝1＋1

－2－1

＝－23.] 7．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．

[－2,2] [b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，

如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值，

∴b 的取值范围是[－2,2]．]

8．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l 的方程为________．

4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0 [由题意知，截距不为0，设直线l 的方程为x a ＋y 12－a

＝1. 又直线l 过点(－3,4)，

从而－3a ＋412－a

＝1， 解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.]

三、解答题

9．(2017·温州模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．

[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，2分

直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.6分

若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，

由题意知????? －2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得?????

a ＝－4，

b ＝4，12分 此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.

综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.14分

10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．

(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；

(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围. 导学号：510661

[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零，

∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.

当直线不过原点时，截距存在且均不为0，

∴a －2a ＋1

＝a －2，即a ＋1＝1，3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.

因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分

(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分

∴????? －(a ＋1)＞0，a －2≤0或?????

－(a ＋1)＝0，a －2≤0，

∴a ≤－1.12分 综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.14分

B 组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )

A ．2x ＋y －7＝0

B ．x ＋y －5＝0

C ．2y －x －4＝0

D ．2x －y －1＝0 B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|P A |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为

y －3－3＝x －2

5－2，整理得x ＋y －5＝0.]

2．(2017·浙江杭州第二次质检)设集合{(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2≤10}所表示的区域为A ，过原点O 的直线l 将A 分成两部分．当这两部分面积之差最大时，直线l 的方程为________，此时直线l 落在区域A 内的线段长为________．

y ＝－12x 25 [易知区域A 表示一个圆面，圆心为M (1,2)．若要两部分面

积差最大，则直线l 与直线MO 垂直，则l ：y ＝－12x ，由圆的半径为10，圆心

M 到原点O 的距离为

＋12＝5得l 落在区域A 内的线段长度为2(10)2－(5)2＝2 5.]

3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．

(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；

(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. 导学号：510662

[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上

的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有????? －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解

得k ＞0；3分

当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.6分

(2)由l 的方程，得A ? ??

??－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得????? －1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，

解得k ＞0.9分

∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·????

??1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12? ????4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1

k

，即k＝1

2

，12分

∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.14分