考点33 基本不等式
1.(江苏省徐州市(苏北三市(徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测)已知,,
且,则的最大值为_________.
【答案】
【解析】
化为,即,
解得:,所以,的最大值为。
故答案为:
2.(江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三)已知,若,满足,且,
则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
由,且,,所以,即,所以,得,所以,当且仅当,
即时,等号成立,综上,的最小值为
3.(江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟)已知正实数满足,则
的最小值为____.
【答案】
【解析】
正实数x,y满足1,
则:x+y=xy,
则:4x+3y,
则:437+4,
故的最小值为.
故答案为:.
4.(江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考)设直线是曲线的切线,则直线的斜率
的最小值是_____. 【答案】4 【解析】
的定义域为(0,+∞)
y'=4x+,当且仅当x=时取等号·
即直线的斜率的最小值是4 故答案为:4
5.(江苏省徐州市2019届高三12月月考)已知正实数x ,y 满足14
1223x y x y
+=++,则x y +的最小值为______. 【答案】
94
【解析】
∵x >0,y >0,∴2x+y >0,2x+3y >0,x+y >0,
12x y ++423x y +=1,x+y=()()12234
x y x y ??+++??, 那么:x+y=(x+y )×1=
()()1
2234
x y x y ??+++??×(12x y ++423x y +) =
1
4
(1+()42234232x y x y x y x y ++++++)
=
()
522342342x y x y x y x y ++++++
∵
()2232342x y x y x y x y +++≥++,当且仅当2x=y=3
2
时取等号.
所以:x+y≥
59
144
+=. 故x+y 的最小值为9
4
.
故答案为:9 4
6.(江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研)在中,设角的对边分别是若成
等差数列,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
由题得,
所以,
所以
因为
所以
故答案为:
7.(江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一)已知,,且,则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
因为,当且仅当时取等号.因此的最小值是
8.(江苏省苏州市2018届高三调研测试)已知正实数 a,b,c满足,,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
由=1,可得,由,得,或
,,,,故答案为.
9.(江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测)已知,,且,则的最小值为____.
【答案】.
【解析】
由,,得,当且仅当时
等号成立,
又,则,所以x+y的最小值为.
故答案为:
10.(江苏省南通市2018届高三最后一卷)在斜△ABC中,若,则的最大值是____.
【答案】.
【解析】
在斜中,,
,
又,
,
所以
,
与同号,
又在中,,
所以
,
当且仅当时“=”成立,
的最大值为,故答案为.
11.()已知,且满足,则的最大值为_______
【答案】
【解析】
根据题意,,
又,,且,则,
则有,
即得最大值为.
故答案为:.
12.(江苏省盐城中学2018届高三考前热身2)已知正实数,满足,则的最小值为__________.
【答案】.
【解析】
根据题意,1,
又,则,
则3a+2b[5(a+b)+(a﹣b)]×[]
[6];
记
,
,
故在上单调递增,
即最小值为6
∴3a+2b[6]的最小值为6
故答案为:6.
13.(2018年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷)在中,角所对的边分别为,
,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.
【答案】9
【解析】
由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得
,化简得,因此
当且仅当时取等号,则的最小值为.
14.(江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四)已知函数(,为正实数)只有一个零点,则的最小值为__________.
【答案】.
【解析】
∵函数(,为正实数)只有一个零点,
∴,
∴.
∴.
令,则,
∴
,当且仅当,即时等号成立,此时.
∴的最小值为.
15.(江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试)若正数成等差数列,则的最小值为
_________.
【答案】
【解析】
因为正数a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.
所以
令5a+c=x,2a+c=y,则
所以
当且仅当时取等号.
故答案为:
16.(江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二)已知为正实数,且,
则的最小值为____.
【答案】.
【解析】
由题得,
代入已知得,
两边除以得
当且仅当ab=1时取等.
所以
即的最小值为.
故答案为:
17.(江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试)已知a ,b ,c 均为正数,且abc =4(a +b ),则a +b +
c 的最小值为_______.
【答案】8 【解析】
()4abc a b =+
()4a b c ab
+∴=
()
444448a b a b c a b a b ab
b a +++=++
=++
+≥=+= 18.(江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模)已知a b c ,,均为正数,且
()4abc a b =+,则a b c ++的最小值为____.
【答案】8
【解析】∵a b c ,,均为正数,且()4abc a b =+
∴()4a b c ab
+=
∴()4448a b a b c a b a b ab
b a +++=++=++
+≥=,当且仅当2a =, 2b =时取等号
∴a b c ++的最小值为8 故答案为8.
19.(江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测)已知
()
,,0,a b c ∈+∞,则
()
2
2
22
5
2a b c
bc ac
++++的最小值为__________.
【答案】4
【解析】由均值不等式的结论有:
222222214
55a b c a c b c ?
???++=+++≥ ? ?????
,
即)
2
2222ac bc a b c +≤
++
,当且仅当a b ==时等号成立, 则
()
2
2
2
22
2
22
222
5
5
42a b c
a
b c
a b c ac bc
++++++++≥
≥
=+
综上可得:
()
2
2
2
2
5
2a b c
bc ac
++++的最小值为4.
20.(江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考)已知函数
()3
3x
x
f x e e x x -=-++,若整数a,b 满足()()2110f a f b -+-=,则
2221
1a b a b
+++的最小值为___. 【答案】
9
4
【解析】因为函数()33x
x
f x e e
x x -=-++在R 上单调递增,且为奇函数,又()()2110f a f b -+-=即
()()211f a f b -=--所以211b a -=-即 22a b +=,
又 22211a b a b +++=()()()2
2141212121
214111a a b a b a b a b a b
+-++++=++++-=++++ 又
()()()21212111219
21415+4=1144144
a b a b a b a b a b ??+????+=+++?=+++≥ ? ???+++???? 当14
,33a b =
=时取等号. 故答案为9
4
.
21.(江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测)为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG (图中阴影部分).以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系xOy (如图所示).景观湖的边界曲线符合函数模型.园区服务中心P 在x 轴正半轴上,PO =百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道直线段PQ最短.
【答案】(1) 的最小值为百米.
(2) 当点在线段上且距离轴百米,通道PQ最短.
【解析】
(1)设,,
则,
当且仅当,即时取等号.
所以的最小值为百米.
(2)当直线与边界曲线相切时,最短.
设切点为,由得,
所以切线的方程为.
因为在轴正半轴上,且PO=,所以点坐标为.
因为切线过点,所以,
整理得,解得,或.
因为,所以,此时切点为,切线方程为.
令,得,即点在线段上且距离轴百米.
答:当点在线段上且距离轴百米,通道PQ最短.
22.(江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测)已知,且.
(I)试利用基本不等式求的最小值;
(Ⅱ)若实数满足,求证:.
【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(1)由已知,且.即m可化为.由柯西不等式可得结论. (2)由(1)可得.再由柯西不等式即可得结论.
(1)由三个数的均值不等式得:
(当且仅当即时取“=”号),故有. 4分
(2),由柯西不等式得:
(当且仅当即时取“=”号)
整理得:,即.
23.(江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试)已知,求证
.
【答案】见解析
【解析】
证明:证法一因为a>0,b>0,a+b=1,
所以()[(2a+1)+(2b+1)]=1+4+
≥5+2=9.
而 (2a +1)+(2b +1)=4,所以
.
证法二 因为a >0,b >0,由柯西不等式得
()[(2a +1)+(2b +1)]
≥(
+
)2
=(1+2)2=9. 由a +b =1,得 (2a +1)+(2b +1)=4, 所以
.
24.(江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试)已知1a >, 1b >,求22
11
b a a b +--的最小值. 【答案】8 【解析】
因为1a >, 1b >,
所以
()24141b a b a +-≥-, ()2
4141a b a b +-≥-. 两式相加:
()()22
414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +, 所以
22811
b a a b +≥--. 当且仅当
()2411b a a =--且()2
411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时, 22
11
b a a b +--取得最小值8.
2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 集合20|{<<=x x A ,}R x ∈,集合1|{x B =≤x ≤3,}R x ∈,则A ∩=B . 2. 设i 是虚数单位,若复数i i z 23-= ,则z 的虚部为 . 3. 执行所示伪代码,若输出的y 的值为17,则输入的x 的值是 . 4. 在平面直角坐标系xoy 中,点P 在角23 π 的终边上,且2OP =,则 点P 的坐标为 . 5. 某学校要从A ,B ,C ,D 这四名老师中选择两名去新疆支教 (每位老师被安排是等可能的),则A ,B 两名老师都被选中 的概率是 . 6. 函数128 1 --= x y 的定义域为 . 7. 在等差数列}{n a 中,94=a ,178=a ,则数列}{n a 的前n 项和=n S . 8. 已知53sin - =θ,2 3πθπ<<,则=θ2tan . 9. 已知实数2,,8m 构成一个等比数列,则椭圆2 21x y m +=的离心率是 . 10.若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直,则实数a 等于 . 11.在△ABC 中,已知A B 2=,则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 . 12.已知圆C :1)2()2(2 2 =-++y x ,直线l :)5(-=x k y ,若在圆C 上存在一点P , 在直线l 上存在一点Q ,使得PQ 的中点是坐标原点O ,则实数k 的取值范围是 . 13.在直角梯形ABCD 中,CD AB //,2=AB ,?=∠90DAB ,1==DC AD , AC 与BD 相交于点Q ,P 是线段BC 上一动点,则·的取值范围是 . 14.已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈,若存在非零实数t ,使得1 ()()2f t f t +=-, 则2 2 4a b +的最小值为 . (第3题)
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R);(4)????a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R); (5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+ b 2 2 (a >0,b >0). 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ,则22x y +的最小值是 ▲ . 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 (1)不等(等)号的定义:. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a >(对称性) ? a< b b (2)c ? > >,(传递性) a> c a b b (3)c + ? > >(加法单调性) c a+ a b b (4)d + > >,(同向不等式相加) a+ > ? d b c a c b (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >><>(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>?<(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号) 0,2b a ab a b >+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号) 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->-<<时,或 (7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么 2 2a b a b ++ 2013年江苏高考数学模拟试卷(六) 第1卷(必做题,共160分) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1((i 是虚数单位),则其共轭复数z = . 2.“m <1”是“函数f (x )=x 2+2x +m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3.在△ABC 中,AB =2,AC =3,→AB ·→ BC =1,则BC = . 4.一种有奖活动,规则如下:参加者同时掷两个正方体骰子一次, 如果向上的两个面上的数字相同,则可获得奖励,其余情况不奖励.那么,一个参加者获奖的概率为 . 5.为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ,则键盘输入x 的值应该为 . 6.如图,直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点,若点1P 的横坐标为 3 5,∠21OP P =3 π,则点2P 的横坐标为 . 7.已知不等式组???? ? x ≤1,x +y +2≥0,kx -y ≥0.表示的平面区域为Ω,其中k ≥0,则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 . 8.若关于x 的方程2 -|x | -x 2+a =0有两个不相等的实数解,则实数a 的取值范围是 . 9.用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为:1,该 长方体的最大体积是___ _____. 10.直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分,则22(1)k m +的最小 值为 . 11.已知双曲线122 22=-b y a x ()0,1>>b a 的焦距为c 2,离心率为e ,若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误!未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 (1)错误!未找到引用源。 (2)基本不等式:如果错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“”). 特例:错误!未找到引用源。同号. (3)其他变形: ①错误!未找到引用源。(沟通两和错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ②错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ③错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两和错误!未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串:错误!未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误!未找到引用源。. (1)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”. (2)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即积为定值,和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3 解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有() §7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式;2.利用基本不等式解决实际问题. 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件;2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用. 1. 基本不等式≤ab a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.2. 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)+≥2(a ,b 同号). b a a b (3)ab ≤ 2 (a ,b ∈R ). (a +b 2)(4) ≥2 (a ,b ∈R ). a 2+ b 22 (a +b 2)3. 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:a +b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2.(简记:积定和最p 小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是.(简记:和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1. 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为 正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2. 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ;≥ (a ,b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ,b >0)等.还要注意“添、 a 2+ b 2 2 a +b 2ab (a +b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 3. 对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +(m >0)的单调性. m x 1. 若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值是________. 答案 81 解析 由于x >0,y >0,则x +y ≥2, xy 所以xy ≤ 2 =81, (x +y 2)当且仅当x =y =9时,xy 取到最大值81. 2. 已知t >0,则函数y = 的最小值为________. t 2-4t +1 t 答案 -2 江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.若全集}3,2,1{=U ,}2,1{=A ,则=A C U . 【答案】}3{ 2.函数x y ln =的定义域为 . 【答案】),1[+∞ 3.若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ,则αtan . 【答案】3- 4.在ABC ?中,角C B A ,,的对边为c b a ,,,若7,5,3===c b a ,则角=C . 【答案】 3 2π 5.已知向量)1,1(-=m ,)sin ,(cos αα=n ,其中],0[πα∈,若n m //,则=α . 【答案】 4 3π 6.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若63=a ,497=S ,则公差=d . 【答案】1 7.在平面直角坐标系中,曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 . 【答案】23+=x y 8.实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件(选填“充分不必要”,“必要不充分”, “充要”,“既不充分也不必要”之一) 【答案】充分不必要 9.在ABC ?中,0 60,1,2===A AC AB ,点D 为BC 上一点,若?=?2,则 AD . 【答案】 3 3 2 10.若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列,则 =d . 【答案】 6 π 11.如图,在四边形ABCD 中,0 60,3,2===A AD AB ,分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=, CD CF λ=其中0>λ,若15=?AD EF ,则λ的值为 . 【答案】 2 5 12.已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增,则实数m 的取值集合为 . 【答案】}1{- 13.已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ,其中2 1 1-=a ,设1+-=n n a n b λ,若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项,则实数λ的取值范围是 . 【答案】)7,5( 14.在ABC ?中,3tan -=A ,ABC ?的面积为1,0P 为线段BC 上的一个定点,P 为线段BC 上的任意一点,满足BC CP =03,且恒有C P A P PC PA 00?≥?,则线段BC 的长为 . 【答案】6 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切,且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. (1)求b a ,的值; (2)求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值. 1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为. 13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间:30分钟 满分:55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·南通二模)已知f (x )=????? x 2 ,x ≥0, -x 2+3x ,x <0, 则不等式f (x ) 3.设a >0,不等式-c 高三数学不等式练习题(理) 一、选择题 1、以下命题正确的是( ) A 若b a >,d c >,则bd ac > B 若 bc ac >,则b a < C 若 22c b c a <, 则b a < D 若b a >,d c >,则d b c a ->- 2、不等式 1 1x ≤的解集是( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .(-∞,0)∪[1,+∞) D .(-∞,0)∪(1,+∞) 3、在的条件下,,00>>b a 三个结论:①22b a b a ab +≤+,②,222 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2,其中正确的个数是 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4、已知p :存在01,2≤+∈mx R x ;q :对任意01,2 >++∈mx x R x ,若p 或q 为假,则实数m 的取 值范围为( ) A. 2-≤m B. 2≥m C. 22-≤≥m m 或 D. 22≤≤m - 5、若+ ∈R b a ,,且4=+b a ,则b a 22log log +的最大值是( ) A .0 B .1 C .2 D .4 6.如果方程02)1(2 2 =-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是 A .)22(,- B .(-2,0) C .(-2,1) D .(0,1) 7、已知()f x =1ln 0 10 x x x x ?>??? ??,则()1f x >-的解集为( ) A .(1) (0)e ∞-,-, B .(1)()e ∞∞-,-,+ C .(1,0)()e ∞-,+ D .(1,0)(0)e -, 8、下列结论正确的是( ) A .当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B .10,2x x x >+≥当时 C .x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D .当1 02,x x x <≤-时无最大值 9、在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车 可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( ) A .2000元 B .2200元 C .2400元 D .2800元 基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断. ∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy , 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2+bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0);②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x );②当0a g (x )?f (x ) 专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含 已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时; 若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x (II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31< 2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点,会对考生的未来发展产生重要的影响作用,甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩,自然是要付出努力的,只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳,希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结: 1.用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。 2.性质: ①如果xy,那么yy;(对称性) ②如果xy,yz;那么xz;(传递性) ③如果xy,而z为任意实数或整式,那么x+zy+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性) ④如果xy,z0,那么xzyz;如果xy,z0,那么xz ⑤如果xy,mn,那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0,mn0,那么xmyn; ⑦如果xy0,那么x的n次幂y的n次幂(n为正数),x的n次幂。或者说,不等式的基本性质有: ①对称性; ②传递性; ③加法单调性,即同向不等式可加性; ④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类: ①一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组: a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点: ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注:不等式两边相加或相减同一个数或式子,不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数,不等号的方向不变。(相当系数化1,这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。(÷或×1个负高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
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