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北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷3

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项. （1）已知全集U

，集合{|021}x

A x =<<，3{|log 0}

B x x =>，则U ()A B I e=

（A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|01}x x << （D ）{|0}x x <

（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>y

x ”的

（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件

（C ）充分必要条（D ）既不充分又不必要条件

（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视

图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A ） 8 （B ） 4

（C

）（D

（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数 a 的值为（A ）1 （B

（C ）2 （D ）4

（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从

1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A ）120个（B ）80个（C ）40个（D ）20个

（6）点P 是抛物线x y 42

=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和

的最小值是

（A

（B

（C ）2 （D ）2

（7）已知棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，点E ，F 分别是棱1B B ，1D D 上的动

点，且1B E D F λ==1(0)2

λ<≤

．设E F 与A B 所成的角为α，与B C 所成的角为β，

则αβ+的最小值

（A ）不存在（B ）等于60? （C ）等于90? （D ）等于120?

（8）已知点P 是A B C ?的中位线E F 上任意一点，且//E F B C ，实数x ，y 满足

P A x P B y P C ++=0

．设A B C ?，P B C ?，P C A ?，P A B ?的面积分别为S ，1S ，2S ，

3S ，记

11S S

λ=，

22S S

λ=，

33S S

λ=．则23λλ?取最大值时，2x y +的值为

正视图

（A ）

（B ）

（C ） 1 （D ）2

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）已知复数z 满足1iz i =-，则z = .

（10）曲线C ：co s 1,

sin 1x y θθ=-??=+?

（θ为参数）的普通方程为 .

（11）曲线2

33y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.

(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*

1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a = ；并归

纳出数列{}n a 的通项公式n a = .

(13)如图，P A 与圆O 相切点A ，P C B 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30B P A ∠=

，P A =1P C =，则P B = ；圆O 的半径等于．

(14)已知函数2

()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数2

()2sin sin (

)2sin 12

f x x x x π=?+-+

()x ∈R .

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若0()2

3x f =

，

0ππ

4x ∈-

，

求0cos 2x 的值.

（16）（本小题满分13分）

为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为

，第二轮检测不合格的概率为

110

，两轮检测是否合格相互没有影响.

（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80

元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ). （17）（本小题满分13分）

在长方形11A A B B 中，124A B A A ==，C ，1C 分别是A B ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1C C 对折，使二面角11A C C B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1C C 的中点

（如图2）.

（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A B E ；（Ⅱ）求证：平面1A B E ⊥平面11A A B B ；（Ⅲ）求直线1B C 与平面1A B E 所成角的正弦值.

(18)（本小题满分13分）

设函数2

()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在1

[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）求函数)(x f 的极值点. (19)（本小题满分14分）

已知椭圆222

1(0)x y C a b a

=>>经过点(2, 1)A

，离心率为

．过点(3, 0)B 的直

线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求B M B N ?

的取值范围；

（Ⅲ）设直线A M 和直线A N 的斜率分别为A M k 和A N k ，求证:A M A N k k +为定值． (20)（本小题满分14分）

对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a b q r =+，0r b <≤. 特别地，当

0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =???.

图（1）

（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；

（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若

12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；

（Ⅲ）若B A ?，12)(=B card （()ca rd B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，

b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素

的任意子集为“和谐集”，并说明理由.

参考答案

1. D 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =<=>，所以{}1U C B x x =≤，

(){}0.U A C B x x =<

2. B 【解析】当0>>y x 时

1>y

x 成立，若

1>y

x ，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形.

3. C 【解析】侧视图应为矩形，高为4，宽为

=因此侧视图的面积为

4. A 【解析】由(1)0.5P X >=可知 1.a μ==

5. C 【解析】分四种情形处理，当中间数依次分别为3,4,5,6时，相应“伞数”的个数分别为2

2345,,,,A A A A 所以2

234540.A A A A +++=

6. D 【解析】点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和转化为点P 到点(0,1)A -的

距离与点P 到焦点()1,0F 的距离和，显然最小值为A F =

7. C 【解析】在1A A 上取一点M ，使E

M A B ∥，连结M F ，则M

E F α∠=，同理可判断αβ=.

在M F E ?中，1,M E E F M F ===

所以

1co s 2

α=

≥

，所以m in 45,α?

=因此()m in 90.αβ?

【易错点拨】在判断E F 与A B 所成的角α、B C 所成的角β时不能从图形直接判断为相等

是本题解答的一个障碍，由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。此外若采用空间坐标运算还可能出现坐标的确定有误. 8. A 【解析】123123111,,2

λλλλλλ++==

，

23232311,2164λλλλλλ+??

≤=== ?

??时取等号，此时点P 为E F 的中点，所以()

12P A P B P C =-+ ，因此113

,,2.222

x y x y ==+= 9. 1.i --【解析】把1iz i =-两边同乘以i -，则()()11.z i i i =-?-=--

10. ()()2

11 1.x y ++-=【解析】1cos ,1sin x y θθ+=-=，则()()2

11 1.x y ++-= 11. 4.【解析】先求曲线2

33y x =-与x 轴的交点分别为()()1,0,1,0

,-所以()1

1333 4.1

S x

d x x x

-=-=-?

【易错点拨】积分的上下限的确定是解题的关键，被积函数的“还原”是难点. 12.

,321

n -【解析】由 12a =，1120n n n n a a a a +++-=得243

a =

。

1120n n n n a a a a +++-= 可变形为111211n n a a +??-=- ???，则11n a ??-????为等比数列，首项为1

2-，

公比为1

2，所以1

112

1,.2221

n n

n a a -????

-=-?=

? ?-????

13. 12,7.【解析】由2

P A P C P B =?

得(2

12.1

P B =

=作直径A D 交P B 于E ，则

A E E D C E E

B ?=?.易求得2,3,8,A E

C E E B ===所以12,7.2

D E E A

D E r +==

14.

【解析】22

()(1)11F x ax b x b x ax bx b =+++--=++-，因为该函数总有两个不

同的零点，

所以()2

442440b a b a b a a a ?=-+=-+->恒成立只需要2

440,0 1.a a a -><<

所以1.3

P =

15. 【解析】

()2sin cos 2sin 1=?-+f x x x x sin 2cos 2=+x x

π(2)4

x =+

（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2

T =

令πππ2π22π2

2k x k -

≤≤()k ∈Z ，

所以3ππ2π22π4

k x k -+≤≤.

即3ππππ8

k x k -

≤≤.

所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -

()k ∈Z .

（Ⅱ）解法一：由已知得000(

)sin co s 2

3x f x x =+=

，

两边平方，得02

1sin 29x +=

所以 07

sin 29

x =- 因为0ππ(,

)44

x ∈-

，所以0π2(,

x π∈-

所以0co s 29

x ==

解法二：因为0ππ(,

x ∈-

，所以0ππ(0, )4

x +

∈.

又因为000ππ()(2)()2

3x x f x =?+=

，

得 0π1

sin ()4

3x +

所以0π

co s()43x +=

=所以，00000πππco s 2sin (2)sin [2()]2sin ()co s()2

4x x x x x π=+

123

39=?=.

16. 【解析】

（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则

111()1(1)(1)6104

P A =--

所以，该产品不能销售的概率为14

（Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---.

411(320)()4256P X =-==， 1

34133(200)()4464P X C =-=??=，

22241327(80)()()44128P X C =-=??=，3

341327(40)()4464P X C ==??=，

4381

(160)()4256

P X ===.

所以X

E (X )112727813202008040160256

128

256

=-?

40=

所以，均值E (X )为40. 17. 【解析】解法一：

（Ⅰ）证明：取1A B 的中点F ，连接D F ，E F .

因为D ，F 分别是11A B ，1A B 的中点，所以D F 是△11A B B 的中位线. ………………1分所以D F ∥1B B ∥1C C ，且111122D F B B C C ==

又因为E 是1C C 的中点，

所以1112C E C C =

所以D F ∥1C E ，且1D F C E =. 所以四边形1C E F D 是平行四边形.

所以1C D ∥E F . 又E F ?平面1A B E ，1C D ?平面1A B E ，所以1C D ∥平面1A B E .

（Ⅱ）证明：因为111C C A C ⊥，111C C B C ⊥且11111A C B C C = ，

所以1C C ⊥平面111A C B .

因为1B B ∥1C C , 所以1B B ⊥平面111A C B . 因为1C D ?平面111A C B ，所以11B B C D ⊥.

又1111A C C B =，且D 是11A B 的中点，所以111C D A B ⊥. 因为1111A B B B B = ，所以1C D ⊥平面11A A B B . 由（Ⅰ）知E F ∥1C D . 所以E F ⊥平面11A A B B . 又因为E F ?平面1A B E ，

所以平面1A B E ⊥平面11A A B B .

（Ⅲ）解：由已知，将长方形11A A B B 沿1C C 对折后，二面角11A C C B --为直二面角，

因为在长方形11A A B B 中，C ，1C 分别是A B ，11A B 的中点，

所以1C C BC ⊥，1C C A C ⊥. 所以A C B ∠是二面角11A C C B --的平面角. 所以90A C B ∠=?. 所以B C A C ⊥. 又1B C C C ⊥，1A C C C C = ，

所以B C ⊥平面11A A C C ，即B C ⊥平面11A E C . 所以1

A B E

B A E C

A E C V V S

C --?==

其中1

111112112

A E C S A C C E ?=

??=，

所以1

112123

A B E

B A E

C A E C V V S B C --?==

??=

1112

A E

B S A B E F ?=

?=，

设点1C 到平面1A E B 的距离为h ，

所以1

1123

A B E

A E

B V S h -?=

=，即3

h =

设直线1B C 与平面1A B E 所成角为θ，

所以

sin

B C

θ===.

所以直线

B C与平面

A B E

解法二：

（Ⅰ）证明：由已知，将长方形

A A

B B沿

C C对折后，

二面角

A C C B

--为直二面角，因为在长方形

A A

B B中，C，

C分别是A B，

A B的中点，

所以

C C B C

⊥，

C C A C

⊥. 即A C B

∠是二面

角

A C C B

--的平面角.

所以90

A C B

∠=?. 所以B C A C

⊥.

所以

C A C B C C两两垂直.

以点C为原点，分别以

C A C B C C为,,

x y z轴，建立空间直角坐标系.……………1分

因为

A B A A

==，且D，E分别是

A B，

C C的中点，

所以

(0,0,2)

C，(1, 1,2)

D，

(2,0,2)

A，(0,2, 0)

B，(0, 0, 1)

所以

(1, 1, 0)

C D=

，

(2,2,2),(0,2, 1)

A B B E

=--=-

设平面

A B E的法向量为(,,)

x y z

n，

所以1

A B

B E

??=

所以

2220,

20.

x y z

y z

-+-=

-+=

令1

y=，则2

z=，1

x=-. 所以(1, 1,2)

又因为

(1, 1, 0)(1, 1,2)0

C D?=?-=

所以

C D⊥

又因为

C D?平面

A B E，

所以

C D∥平面

A B E.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

(2, 0, 0)A ，1(2, 0, 2)A ，(0, 2, 0)B ，1(0, 0, 2)A A = ，(2, 2, 0)A B =-

设平面11A A B B 的法向量为(, , )x y z =m ，

所以10,0.

A A A

B ??=???=??

m m 所以20, 220.z x y =??-+=? 令1y =，则1x =，0z =，所以(1, 1, 0)=m . 由（Ⅰ）知，平面1A B E 的法向量为(1, 1, 2)=-n . 所以(1, 1, 0)(1, 1, 2)0?=?-=m n .

所以⊥m n . 所以平面1A B E ⊥平面11A A B B .

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，(0, 2, 0)B ，1(0, 0, 2)C . 所以1(0, 2, 2)B C =-

又由（Ⅰ）知，平面1A B E 的法向量为(1, 1, 2)=-n . 设直线1B C 与平面1A B E 所成角为θ，则

111

sin co s , 6B C B C B C θ?=<>=

n n n . 所以直线1B C 与平面1A B E

所成角的正弦值为6

18. 【解析】

（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞.

因为1()20f x x x

+>，所以()f x 在[1,]e 上是增函数，

当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =. 所以()f x 在[1,]e 上的最小值为1.

（Ⅱ）解法一：2

1221

()2()x a x f x x a x

-+'=

+-=

设2

()221g x x ax =-+，

依题意，在区间1

[, 2]2

上存在子区间使得不等式()0g x >成立.

注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上，所以只要(2)0g >，或1

()02

g >即可.

由(2)0g >，即8410a -+>，得94

a <，由1

()02g >，即

1102

a -+>，得32

a <

，

所以94

a <

，

所以实数a 的取值范围是9

(, )4

-∞.

解法二：2

1221

()2()x a x f x x a x

-+'=

+-=

，

依题意得，在区间1

[, 2]2

上存在子区间使不等式22210x ax -+>成立.

又因为0x >，所以12(2)a x x

<+.

设1()2g x x x

，所以2a 小于函数()g x 在区间1[, 2]2

的最大值.

又因为2

1()2g x x

'=-

，

由2

1()20g x x

'=->解得2

x >；

由2

1()20g x x

'=-

<解得02x <<

所以函数()g x 在区间(

2)2

上递增，在区间1(

上递减.

所以函数()g x 在12

x =，或2x =处取得最大值.

又9(2)2

g =

，1

()32

g =，所以922

a <

，94

a <

所以实数a 的取值范围是9

(, )4

-∞.

（Ⅲ）因为2

221

()x a x f x x

-+'=

，令2

()221h x x ax =-+

①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点；

②当0a >时，（ⅰ）当0

≤，

即0a

<≤

在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，

此时，函数()f x 没有极值点；

（ⅱ）当0?>

，即a >

22x <<

()0h x <，这时()0f x '<；

当02

x <<

或2

x >

时，()0h x >，这时()0f x '>；

所以，当a >

x =

是函数()f x

的极大值点；2

x =

是函

数()f x 的极小值点.

综上，当a

≤

()f x 没有极值点；

当a >

x =是函数()f x

的极大值点；2

x =

是函数()

f x 的极小值点.

19. 【解析】

（Ⅰ）由题意得22222411,,2a b a b c c a

?+=???

=+??

?=??

解得a =

b =

故椭圆C 的方程为

=．

（Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，

由22(3),

1,6

3y k x x y =-???+=?

?得2222(12)121860k x k x k +-+-=.

因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，

所以4

1444(12)(186)24(1)0k k k k ?=-+-=->，解得11k -<<. 设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，

则2122

1212k

x x k

+，2

122

18612k x x k

+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．

所以1212(3)(3)B M B N x x y y ?=--+

1212(1)[3()9]k x x x x =+-++

3312k k +=+

332

2(12)

k =+

+．

因为11k -<<，所以2

33232

2(12)

k <+

+≤．

故B M B N ?

的取值范围为(2, 3]．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得A M A N k k +1212112

y y x x --=

+--

122112(31)(2)(31)(2)

(2)(2)

kx k x kx k x x x ---+---=

121212122(51)()124

2()4

kx x k x x k x x x x -++++=-++

222

2(186)(51)12(124)(12)

186244(12)

k k k k k k k k k --+?+++=

--++

244222

k k -+==--．

所以A M A N k k +为定值2-． 20. 【解析】

（Ⅰ）解：因为201191229=?+,

所以22,9q r ==.

（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若

||{1,2,3x y -∈，则()()f x f y ≠.

设(1)f a =，{1,2,3}a ∈，(2)f b =，{1,2,3}b ∈，由已知a b ≠,

C 1

B 1

A 1

由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1)f f ≠，(3)(2)f f ≠. 不妨令(3)f c =，{1,2,3}c ∈，这里c a ≠，且c b ≠，同理，(4)f b ≠，且(4)f c ≠，

因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但是|41|3-=，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若

||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠.

（Ⅲ）当8m =时，记}16,,2,1|7{???=+=i i M ，}4,3,2,1|)7(2{=+=i i N 记P =M

N C ，则12)(=P card ，显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同样的，当

9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此7m ≤.

下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设}7,,,,{1121a a a B ???=，

若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合}16,8,4,2{1=B ，}12,6,3{2=B ，

}20,10,5{3=B ，}18,9{4=B ，}22,11{5=B ，}23,19,17,15,13{='B .

以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '?的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7. 【巩固部分】

1-2已知R a ∈，则“2a <”是“22a a <”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】2202a a a

2-3如图，三棱柱的侧棱长为4，底面是边长为2的正三角形，1111A A A B C ⊥面，正视图是长为4，宽为2的矩形,则该三棱柱的侧视图的面积为 A

．B ． 32 C ． 4 D

【答案】A 。

【解析

】根据正视图与左视图的高度相等，俯视图与左视图宽度一样，易知左视图的面积为

422

=3-5由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有 A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个【答案】B.

【解析】分两类:若末位数字为5，则倒数第二位为6，前两位数字排法有623=A 种；若末位数字为3，将5，6视为一个元素，排法有2×2

2A ×2=8种，故5，6相邻的奇数的个数共有6+8=14个.

4-8如图正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设A P A B A F

αβ=+

（α、β∈R ），则αβ+的取值范围是

A. []1,2

B. []2,3

C. []3,4

D. []4,5 【答案】 C 。

【解析】建立如图坐标系,设AB=2,则()()0,0,2,0,A

B (

(,2,

C D

, (

(

0,,1,

E F -，则EC 的方程

:60x +

-=;CD 的方程

0y +-=。

因P 是△CDE 内(包括边界)的动点，则可行域为

0x y y ?+-≥≤≤+-≤又A P A B A F αβ=+ , 则(),A P x y = ,()2,0A B =

A F =-

所以()(

)(,2,0x y αβ=+-

得

)260220x y αβαβαβ?-+≥=-???≤≤?=??-+-≤

312342αββαβα+≥??

?≤≤?≤+≤??≤?

. 5-12若数列}{n a 满足

k a a a a n

n n n =+

+++11

2（k 为常数），则称数列}{n a 为等比和数列，k 称为公

比和．已知数列}{n a 是以3为公比和的等比和数列，其中2,121==a a ，则=2009a ．【答案】1004

．

【解析】因为

311

2=++++n

n n n a a a a ，且

2=a a ，所以

3=a a ，

4=a a ，…

所以122a a =，23a a =，342a a =，… 整个数列为： 1，2，2，4，4，8，8，16，16，… 显然，偶数项是以2为公比的等比数列，1004

200820092

==a a ．

6-14在[]0,4上任取两个数,a b ，那么函数2

()f x x ax b =++无零点的概率为____. 【答案】

1112

。

【解析】易知(),a b 的遍取区域为正方形，其面积为16.

由函数2

()f x x ax b =++无零点得到2

40,4a b a b ?=-<<。

340

114

3a d a a

1131.

1612P =-=

7-17如图,长方体1111D C B A ABCD -中，

11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.

(Ⅰ)求证：直线//1BB 平面DE D 1； (Ⅱ)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1；

(Ⅲ)求三棱锥DE A A 1-的体积.

(Ⅰ)证明：在长方体1111D C B A ABCD -中, 11//DD BB ，又 ∵ ?1BB 平面DE D 1，?1DD 平面DE D 1

∴ 直线//1BB 平面DE D 1.

(Ⅱ)证明：在长方形ABCD 中,∵11==AA AB ,2=AD , ∴2==DE AE ,

∴2

4AD

DE AE

==+,故DE AE ⊥,

∵在长方形ABCD 中有⊥1DD 平面ABCD ,?AE 平面ABCD , ∴ ⊥1DD AE , 又∵D DE DD = 1,

∴直线AE ⊥平面DE D 1, 而?AE 平面AE A 1,

所以平面AE A 1⊥平面DE D 1. (Ⅲ)=-DE A A V 1

?-ADE ADE

S AA V 13

1212

113

???

8-19已知离心率为

3的椭圆1C 的顶点21,A A 恰好是双曲线

=-y

的左右焦点，点P

是椭圆上不同于21,A A 的任意一点，设直线21,PA PA 的斜率分别为21,k k . （Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；

（Ⅱ）试判断21k k ?的值是否与点P 的位置有关，并证明你的结论；

（Ⅲ）当2

11=k 时，圆2C ：022

=-+mx y x 被直线2PA 截得弦长为

54，求实数m 的

值。

解：（Ⅰ）双曲线

=-y

的左右焦点为)0,2(±

即21,A A 的坐标分别为)0,2(),0,2(-.

所以设椭圆1C 的标准方程为

)0(12

2>>=+

b a b

y a

x ,则2=a ,

且=

c e 2

3,所以3=c ,从而12

=-=c

所以椭圆1C 的标准方程为

(Ⅱ)设),(00y x P 则

0=+

y x ，即4

x y -

x -=

2(0000021--?

---=

?x y x y k k =-=

x y 4

所以21k k ?的值与点P 的位置无关，恒为4

1-。

（Ⅲ）由圆2C ：0222=-+mx y x 得2

22)(m y m x =+-，其圆心为)0,(2m C ，半径为m ，由（Ⅱ）知当2

11=

k 时，2

12-

=k ，

故直线2PA 的方程为)2(2

1--

=x y 即022=-+y x ，

所以圆心为)0,(2m C 到直线2PA 的距离为5

022

+-?+=

m m d ，

又由已知圆2C ：022

2=-+mx y x 被直线2PA 截得弦长为

54及垂径定理得

圆心)0,(2m C 到直线2PA 的距离2

)

52(

d ，

所以2

)

52(

-m 5

2-=m ，即022

=-+m m ，解得2-=m 或1=m 。

所以实数m 的值为1或2-.

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷汇编专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，

它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<