中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.

图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.

设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的.

第三类问题是已知,求.

解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.

抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:

的随机变量.求.

解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.

某单位内部有260架电话分机,每个分机有的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.

如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.

解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则

的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,

成立.

在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.

设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,

以,上式右端为,即以的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.

证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.

作业:

p222ex32,33,34,35

五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和

的分布

当时,是否会收敛于分布

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.

设是独立随机变量序列,又,,这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.

以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.

证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.

六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.

林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.

七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,

证明:记,设,由于

因此,,其次,对,

用归纳法即得.

由于,因此,对也成立.

引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,

由归纳法可证结论成立.

引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.

林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.

证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,

(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.

为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,

把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.

(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,

(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.

其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

当时,

当时,

因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,

(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.

八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

一，大数定律的证明

二，中心极限定理的证明

§中心极限定理

我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.

我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x是许多随机误差的总和，即x=xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独

k

立的随机变量之和的分布.

在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.

定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量

2xk-nk=1

n的分布函数对任意的x，满足

nnxk-nk=1nx12e-xt2

2dt

中心极限定理及其应用

【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。

【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量

一、概述

概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列x1、x2、…xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。

二、定理及应用

1、定理一（林德贝格—勒维定理）

若

k1，=a,2，…是一列独立同分布的随机变量，且ed

k=kx2(2>0),k=1,2,…则有limp(k1

nnnax)n

n12et22dt。

当n充分大时，k1kna

n~n（0,1），k1nk~n（na,n）2

2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）

在n重伯努利试验中,事件a在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。,错误！未

找到引用源。为n次试验中事件a出现的次数,则limp(nnnpnpqx)21xet22dt

其中q1p。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可

以利用该定理来计算二项分布的概率。

同分布下中心极限定理的简单应用

独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和sn落在某区间的概率和已知随机变量之和sn取值的概率，求随机变量的个数。

例1：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为，均方差为，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少

解：设xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量x1，x2，…，x5000独立同分布且e(xi)=，d(xi)=。

由独立同分布的中心极限定理可知

[3]

=i-φ（）=

=

例2：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于解：设xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把x1，x2，…，xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为tn=x1+x2+…+xn，是独立同分布的随机变量之和。

由e(xi)=50、d(xi)=52得：e(tn)=50n，d(tn)=52n

根据独立同分布的中心极限定理：

[3]

即最多可以装98箱。

例3：报名听心理学课程的学生人数k是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问该教授讲授两个班的概率是多少分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为p（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即x=xi，其中每个xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。[2]

解：可知e(x)=100，d(x)=100

教授讲授两个班的概率是。

例4：火炮向目标不断地射击，若每次射中目标的概率是0、1。

(1)求在400次射击中击中目标的次数在区间［30，50］内的概率。

(2)问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10次的概率不小于

分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。[1]即

我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于二项分布，当二项分布b(n，p)，n较大、p较小时可用泊松分布估计近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，这时也可用泊松分布计算；但

是当n较大，p不接近0或1时，再用泊松分布估计二项分布的概率就不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。

解：(1)设在射击中击中目标的次数为yn，所求概率(30≤yn<50)等于：

最小正整数n=147就是所要求的最小射击数。

以上例子都是独立同分布的随机变量，可以用中心极限定理近似估算，但是如果不同分布，中心极限定理是否也成立呢

李雅普诺夫定理

当随机变量xi独立，但不一定同分布时，中心极限定理也成立。定理3[2](李雅普诺夫定理)：

设x1，x2，…，xn，…为独立随机变量序列，且e(xn)=an，d(xn)=σn2存在，bn2=σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：也就是说，无论各个随机变量xi服

从什么分布，只要满足李雅普诺夫条件，当n很大时，它们的和近似服从正态分布。由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较少，本文对它的应用将不举例说明。

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在生活中有着广泛的应用。

四、中心极限定理的意义

首先，中心极限定理的核心内容是只要n足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量观察法获得足够多的随机样本数据，几乎就可以把数理统计的全部处理问(更多内容请访问好范文网)题的方法应用于统计学，这从另一个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法论中居于主导地位。参考文献

[1]邓永录着应用概率及其理论基础.清华大学出版社。

[2]魏振军着概率论与数理统计三十三讲.中国统计出版社。

[3]程依明等着概率论与数理统计习题与解答.高等数学出版社。

中心极限定理

中心极限定理（centrallimittheorems）

什么是中心极限定理

大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最着名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式

中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

（一）辛钦中心极限定理

设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则

随机变量，在n无限增大时，服从参数为a

和的正态分布即n→∞时，

将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容

量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2/n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

设μn是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验中发生的概率为p，则当n无限大时，频率设μn/n

趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理

设

差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方

。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞

时，

，则对任意的x有：

该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

（四）林德贝尔格定理

设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x

，有

。

中心极限定理案例分析

案例一：中心极限定理在商业管理中的应用

水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少

（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为x，则x～b（5000，）

拥挤的概率是

有定理2，n=5000，p=，q=

，

故

即拥挤的概率

p(ζ>45)=1=

（2）欲求m

，使得

即

由于

即

查表

即

需装62个水龙头。

问题的变形：

（3）至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤解：欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥

故需要装67个水龙头。

（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何解：（1）

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

实验十三 二项分布的计算与中心极限定.

实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言 二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概 率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的 值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近 用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。 联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。 我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图 练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图 根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。 定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。 由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

中心极限定理

中心极限定理 中心极限定理（Central Limit Theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。 （二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 差：。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

数理统计作业二__用数学实验的方法验证大数定理和中心极限定理

验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式 =RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）： 图一 图二 从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。

验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k， k=1,2,3······之间是独立同分布，所以 )5.0, ( ~ E n 1 k k n B ∑ =。由中心极 限定理可知，当n的取值足够大时，∑ = n 1 k k E 这一随机变量的分布与正太分 布具有很好的近似，下面用MATLAB软件分别画出n取不同值时∑ = n 1 k k E 的分 布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N（5，2.5）。 MATLAB结果图：

MATLAB源程序： MATLAB结果图：

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MATLAB源程序： ⑤观察得出，当N足够大时，其密度函数服从正态分布，即满足 中心极限定理。

中心极限定理

中心极限定理 从总体中抽取容量为n的一个样本时，当样本容量足够大时，样本均值x的抽样分布近似服从于正态分布。 eg:用R从0-10的均匀分布中产生100个样本量为n=2的随机样本，对每个样本计算，并画出100个的频数分布，对于n=5,10,30,50,重复这一个过程。 a=matrix(rep(0,200),nrow=100,byrow=T) set.seed(200) for(i in 1:100) a[i,]=runif(2,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100 个样本量n=2的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,1000),nrow=100,byrow=T) set.seed(1000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(10,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=10的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,3000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(30,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=30的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2) a=matrix(rep(0,5000),nrow=100,byrow=T) set.seed(3000) for(i in 1:100) a[i,]=runif(50,0,10) b=matrix(rep(0,100),nrow=100) for(t in 1:100) b[t]=b[t]+mean(a[t,]) hist(b,freq=FALSE,density=20,main="100个样本量n=50的随机样本",xlab="x的均值") sd=sd(b) mean=mean(b) x=seq(min(b),max(b),by=0.1) y=dnorm(x,mean,sd) lines(x,y,col="red",lwd=2)

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名：于丹 指导教师：金铁英 完成日期：2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

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【最新整理，下载后即可编辑】 验证大数定理： 1、实验原理： 证明大数定理即证明样本均值趋近于总体均值。 2、实验步骤： ①在excel中，用公式=RAND( )*9+1 生成2000个1到10之间的随机数。 ②选择样本的前50个，前100个，前150个…前2000个，分别求出均值。 ③利用excel作出上述求出值的样本均值折线图（图一）和总体均值折线图（图二）： 图一 图二 从图一和图二中可以看出样本均值最终趋于水平，即趋于总体均值，大数定理得证。

验证中心极限定理： 1、实验原理： 证明中心极限定理即证明N 个独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布。本次实验采用独立同分布于0-1分布B(1,0.5)的随机变量序列E k ，k=1,2,3······来验证中心极限定理。因为E k ，k=1,2,3······之间是独立同分布，所以)5.0,(~E n 1k k n B ∑=。由中心极限定理可知，当n 的取值足够大时，∑=n 1k k E 这一随机变量的分布与正太分布具有很好的近似，下面用MATLAB 软件分别画出n 取不同值时∑=n 1k k E 的分布及对应的正太分布的图像，通过对比这两条曲线的相似度来验证中心极限定理。 2、实验步骤： ①当n=10时，对应正态分布为N （5，2.5）。 MATLAB 结果图： MATLAB 源程序：

②当n=20时，对应正态分布为N（10，5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

③当n=30时，对应正态分布为N（15，7.5）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

④当n=40时，对应正态分布为N（20,10）。MATLAB结果图： MATLAB源程序：

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理证明

中心极限定理证明 目录 第一篇：中心极限定理证明 第二篇：大数定理中心极限定理证明 第三篇：中心极限定理 第四篇：中心极限定理应用 第五篇：中心极限定理 更多相关范文 正文 第一篇：中心极限定理证明 中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史

上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此 故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次? 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

中心极限定理的发展

中心极限定理的创立和发展 1141010113 万帅 关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。 引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。 “中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。 历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。中心极限定理的发展主要分为三个阶段。 创立阶段：1733-----1853年 人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理” 法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】 泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。 从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领

中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

中心极限定理及其意义

中心极限定理及其意义

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题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

抽样技术上机实验_中心极限定理验证

均匀分布中心极限定律的实现： clc clear n=200000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; sigma=1/12; population=0:0.001:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-0.5)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布的实现： clc clear n=10000; %/* ???′′?êy*/ k=100; %/* ?ù±???êy*/ mu=0; u=0; p=0.5; sigma=p*(1-p); population=0:1; for i=1:n y = randsample(population,k,1); mu=[mu,mean(y)]; end mu=(mu-p)/(sqrt(sigma)/sqrt(k)); %hist(mu(2:end),1000) [f, x1] = ksdensity(mu(2:end)); plot(x1, f) hold on plot(x1,normpdf(x1,0,1),'r') hold off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 两点分布1以概率0.4发生