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常微分方程自学练习题22页word

常微分方程自学习题及答案

一填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程

21y dx

-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程

y x dx

/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.

14 ?????=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).

15方程0652

=+-???

??y dx dy dx dy 的通解是( ).

16方程534y x y dx dy =++??

??的阶数为_______________.

17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.

18若P(X)是方程组

Y =)(x A dx

的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件

u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件

)(),0(t u t x

u =??，；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-??，

T )(),(),(1t v t L u t L x

k =-??，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。

20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。

反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”） 21、一般

2个自变量

阶线性偏微分方程有如下形式：

+??+??+?

+??+??

y x e x u y x d u

y x c y

x u

y x b u

y x a y

),(),(),(),(2),(2

),(),(y x g u y x f =，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都

是（x,y ）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中

y x c y

x u

y x b u

y x a 2

),(),(2),(?

+??+??

称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数

a,b,c 作成的判别式△=b 2-ac 在区域Ω中的某点（x 0,y 0）大于零，则称方程在点（x 0,y 0）是型的；如果△=0，则称方程在点（x 0,y 0）是型的；如果△<0，则称方程在点（x 0,y 0）是型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）二单项选择:

1 方程y x dx

+=-31

满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).

(A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程

1+=y dx

dy ( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).

(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x e y = 4 方程x e y y x ==-''的一个特解*y 形如( ).

(A)b ae x = (B)bx axe x + (C)c bx ae x ++ (D)c bx axe x ++ 5 )(y f 连续可微是保证方程

)(y f dx

=解存在且唯一的( )条件．（A ）必要（B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程32

3y dx

=过点(0,0)有( ).

(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题 ??=10'x ????

01x , ????

??-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).

(A) ???? ??-t t u t )( (B) ???? ??-=t e u t )( (C) ???? ??-=e t u t )( (D) ???

? ??-=e e u t )( 9 方程

0cos 2=++x y x dx

是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程（C)超越方程 (D)二阶线性方程

10 方程032

=+??

??dx dy dx dy 的通解是( ).

(A)x e C C 321+ (B) x e C x C 321-+ (C)x e C C 321-+ (D)x e C 32-

11 方程0442

=++??

??y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).

(A) x e x 2,- (B)x e 2,1- (C)x e x 22,- (D)x x xe e 22,--

12 若y1和y2是方程0)()(2

=++??

??y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任

意常数）

(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程

21y dx

-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2

,2[π

π-

14 方程x e y x y -=23'是( ) .

(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程

=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c x

y +=1

(D)c x y +=

16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)x e y = 17 方程x e y y x +=-''的一个数解x y 形如( ).

(A) b ae x + (B)bx axe x + (C)c bx ae x ++ (D)c bx axe x ++ 18 初值问题 ?

?10'x ???

?-=??

?11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)???? ??-=t t u t )

( (B)???? ??=-t e u t t )( (C)???? ??-=-t t e t u )( (D) ???

? ??-=--t t t e e u )( 三求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分:

(1)

ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +??

??-=2

1 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx (5)3)'(2'y xy y +=

2 求方程的解 01

)4()5(=-x t

3 解方程:

x y dx

cos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x y

tg x y dx dy +=

5求方程: 26xy x

dx dy -=的通解

6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.

7 求解方程: 022244=++x dt x

d dt x d

8 求方程: 014

455=-dt x

d t dt

x d 的解 9 求方程25'5''x y y -=-的通解

10 求下列方程组的通解???????-=+=x dt

dy t

y dt dx

sin 1

11求初值问题??

?=--=0

)1('y y

x y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解

12 求方程的通解 (1)

y x y dx dy += (2) x

y x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2

=---dy x y dx x y (三种方法) (4)0452

=+??

??-??? ??y dx dy dx dy

13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解

14计算方程 t x dt

dt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: x xe y y y 210'2''=+-

16 试求???=02x ??

21x 的基解矩阵

17 试求矩阵???-=12A ??

41的特征值和对应的特征向量.

18 试求矩阵?

??-=53

A ??

?35的特征值和特征向量 19 解方程组 ??=???? ??13''21y y ????22 ???

??21y y 20、????

????????><==>+∞<<-∞=?+?=???0,0,00/0,,0022

22x x y u y x u u u u y x

21、求解初值问题 ?????

?????∈==??∈==>∈?=???R x x t t u

R x t u t R x u u x x a t ,0/,0/0,,222

（提示：使D ′Alembert 公式）

22、求解初值问题??

??????

?≥<==>+∞<<-∞?=???0,,0,00/0,,22

x c c x t u t x u

t u x 为常数

23、求解第一初边值问题

????≥====≤≤==><<-?=???0,0/0/0),(0/0,0.,222

2t l x u x u l

x x t u t l x u u t u b x a ? 四名词解释

1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关

五证明题

1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程

)()()(1111t f x t G dt x

d t G dt x d n n n n n =+++--Λ )()()(2111t f x t G dt

d t G dt x d n n n n n =+++--Λ 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dt

d t G dt x d n n n n n +=+++--Λ的解。

3设f (x)在[0；+∞]上连续且lim f (x)=0求证：方程

)(x f y dx

=+的一切解y(x)；均有lim

y (x)=0 4 在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中p(x)、q(x)在（+∞∞-,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （x ）是（+∞∞-,）上的严格单调函数。

5证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()(2111t f x a dt

d t c d

e x d t n n n n n ++++--Λ的解。

6证明：函数组x x

x n e e e λλλΛ21,（其中当j i ≠

时j i λλ≠）在任意区间（a

,b ）上线性无关。

7试证：).(sin lim

x x

N W δ∏∞

→- 习题答案

一填空题: 1、 2

2、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

3、 e x ; xe x

∞

→x ∞→x

4、开

5、 1±=y

6、 ydt x x ?=1

7、 c t )(φ,c 为常数列向量 8、 y=x 2+c 9、初始 10、常微分方程 11、e ?p(x)dx

12、x 2+y 2=c ; c 为任意正常数 13、/ 14、??

? ??-21;21

15、???

????-=--=2

61656665p p y c p x

16、4 17、0

18、c x )(φ；其中c 是确定的n 维常数列向量 19、u(l,t)=g 2(t) , )(),(t v t l x

=?? 20、多于，少于 21、双曲，抛物，椭圆

二单项选择

1、D

2、C

3、C

4、D

5、B

6、C

7、A

8、D

9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 三求下列方程的解

1 (1）解：当1,0≠≠y y 时，分离变量取不定积分，得

?+=C dx ny

y dy

1 通积分为 1ny= Ce x

（2）解：令y= xu , 则,dx

x u dx dy +=代入原方程，得 21u dx

-= 分离变量，取不定积分，得 ?

+=-nC x

u du 112

（0≠C ）通积分为：nCx x

y 1arcsin = （3）解：方程两端同乘以 y -5,得

x y dx

y +=--45

令y -4= z ，则,4y -5-dx

dx dy =代入上式，得

x z dx

=--41

通解为

14+

-=-x Ce z x 原方程通解为

44+-=--x Ce y x （4）解：因为

x y M ??==??2 ，所以原方程是全微分方程。取（x 0,y 0）=（0，0）原方程的通积分为 ??=-x

C dy y xydx 0022 即 C y y x =-323

（5）解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c 3 2 解：设dt dx y =

则方程化为01=-y t dt dx ，积分后得y = ct 即ct dt

于是x=c 1t 5+c 2t 3+c 3t 2

+c 4t+c 5 其中 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5为任意常数

= )]

()()()()([)]()()()(dt x(t)d [21111111n n t x t G dt t x d t G dt t x d t x t G dt t x d t G n n n n n n n n +++++++----ΛΛ = f 1(t) + f 2(t)

故x 1(t)+x 2(t)为方程)()

()()(1

11t x G dt

t x d t G dt t x d n n n n n +++--Λ=f1(t)+f2 (t)的解。 3 解：将变量分离，得到

xdx y

cos 2= 两边积分，即得 c x y

+=-sin 1

因而，通解为

x y +-

=sin 1

这里c 是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c ，得到 c = -1 因而，所求特解为 x

y sin 11

4 解：以

u x y = 及 u dx

dy x dx dy += 代入，则原方程变为 tgu u u dx

x +=+

即

tgu dx du = 将上式分离变量,即有

dx ctgudu = 两边积分,得到

c x n u n +=ιιsin 这里'c 是任意函数,整理后,得到

x e u c ?±='sin 令c e e =±',得到 sinu = cx 5 解: 令z = y -1得

y dx dz 2

--= 代入原方程得到

x z x dx dz +-=6

这是线性方程,求得它的通解为

6x x

c z +=

代回原来的变量y , 得到

6x x c y +=

这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。 6 解：这里M =3x 2+6xy 2 .N = 6x 2y+4y 3 ，这时

xy x

xy y M 12.12=??=?? 因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

2263xy x x

+=??

3246y y x y

+=??

由（1）对x 积分，得到 )(3223y y x x u ?++=

为了确定)(y ?，将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得

32246)(6y y x dy

y d y x y u +=+=??? 于是 dy

y d )(?= 4y 4

积分后可得

)(y ?=y 4 将)(y ?代入（3），得到

u = x 3 + 3x 2y 2 + y 4 因此，方程的通解为

x 3 + 3x 2y 2 + y 4=c 这里c 是任意常数

7 解：特征方程01224=++λλ即特征根±=λi 是重根，因此方程有四个实值解

cost 、tcost 、sint 、tsint

故通解为x = (c 1+c 2t)cost + (c 3+c 4t)sin 其中c 1 ; c 2 ; c 3 ; c 4为任意常数

8 解：令y dt x d =44 则方程化为：01

=?-y t

dt dy

积分后得y=ct 即ct dt

d =44于是 x=c 1t 5 + c 2t 3 + c 3t 2 + c 4t 1 + c 5

其中c 1 ; c 2 … c 5 为任意常数，这就是原方程的通解。 9 解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为5,021==λλ

齐次方程的通解为 y=C 1+C 2e 5x

因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y 1(x)=x （Ax 2 + Bx + C ）

代入原方程，比较系数确定出 A=31， B=51 ，C=25

2 原方程的通解为

x x x e C C y x 25

2513123521++++= 10 解：先解出齐次方程的通解 ??

???y

x =C 1????

??-t t sin cos +C 2??

???t t cos sin

令非齐次方程特解为

??????y x ~~=C 1(t)??????-t t sin cos +C 2(t)?

???t t cos sin )('),('21t C t C 满足

???-t

t sin cos ???t t cos sin ??????)(')('21t C t C =???

????0sin 1t 解得1)(',sin cos )('21==

t C t

t C 积分，得 t t C t n t C ==)(,sin 1)(21 通解为

???

????+-++?

?????+??????-=??????t t t n t t t t n t t t C t t C y x cos sin 1sin sin sin 1cos cos sin sin cos 21 11 解： M=max ),(y x f =4 41),

min(==M b a h 故解的存在区间为4

1≤+x 2) q 0(x)=0 q 1(x)=03

3|3)02(+==-?+x g dg g x x

q2(x)=0+x

x g g g g dg g g g ]9

1362633[]91929[32-+

-=-+-? =42

601893+---x x x x

12 求方程的通解: 1)

y x y dx dy +=

解: 变形Λy x y

y y x dx dy +=+=

2(1),将y 看作自变量, x 为未知函数解齐线性方程

x y

dy dx 1

=, 通解为x = cy 令x = c (y)y ….. (2)微分得,

)()())((y c y dy

y dc dy y y c d dy dx +== 由(1)(2)知

y y

y c y c y dy y dc y y x +=+=+)()()( 1)(=dy

y dc ,积分得c y y c ~)(+=故)~(c y x +=y (c ~是任意常数) 2)

y x y dx dy tan += 解: 令u x y =则ux y =, 于是u dx

x dx dy +=

则原方程变为u u u dx

x tan +=+

即x

dx du tan =

将上式分离变量有x

udu =cot

积分得,~1sin 1c

x n u n +=c ~为任意常数。整理x e u c

?±=~sin

令0~≠=±c c

e 得)0(sin ≠=c cx u 方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c 为任意常数) 3）0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法)

解：法一，这里M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4y

,1,1=??=??x

y M 因此此方程是恰当方程现求 u 使

23x y x

-=??（1），y x y u 4-=?? （2）

对（1）中x 积分得)(3y x yx u φ+-= （3）

对（3）中y 求导

y dy

y d x y u 4)(-=+=??φ 积分得22)(y y -=φ，代入（3）得 232y x yx u --= 故通解为c y x yx =--232，c 为任意常数法二，重新组合得

0432=+--xdy ydy dx x ydx ，即0223=+--xdy dy dx ydx )02(23=--y x xy d

于是通解为c y x xy =--232其中c 是任意常数。

4） 04)(5)(

24=+-y dx

dx dy 解：令dx dy p =则42244

45,045p p y y p p -==+-

对x 求导得 0)2

(,)25(25333=---=-=pdx dp p p dx dp p p dx dp p dx dp p P

积分得p

c p p p c

p p x c px p p --=--==--34

2424145445,)445( 于是方程通解为???

???

-=--=42341454145p p y p c p p x （p=0）

13 方程x y y 2sin 34''=+的通解

解：齐次方程是i y y 2,04,04''2,12±==+=+λλ t c t c y 2sin 2cos 21+= 由于2i 是特征方程单根

故所求特解应具形式 )2sin 2cos (1x b x A x y += 代入原方程 0,4

30,34=-=?==-B A B A x x y 2cos 4

31-=∴

故通解为t c t c x x y 2sin 2cos 2cos 43

21++-=，其中c 1c 2为任意常数

14 t x dt

dt x d cos 442=+- 解：特征方程0442=+-λλ有重根221==λλ

因此对应齐线性方程的通解为t

e t c c x 221)(+=，其中c 1,c 2为任意常数。

因为i ±不是特征根，现求形如t B t A x sin cos ~+=的特征解，代入原方程化简 cost 3B)sint (4A 4B)cost -(3A =++

于是0

34143=+=-B A B A 故 25

425

B A

故通解为t t e t c c x t sin 25

4cos 253)(221-++=其中c 1,c 2为任意常数 15 求下列常系数线性微分方程

对应的齐次方程为010'2''=+-y y y 特征方程为01022=+-λλ 特征根为 λ i a 31±= a 不是特征根，

故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x

的特解代入原方程得50

,101-==b a 故原方程通解为x x e x t c t c e y 221)50

101(

)3sin cos (-++=，

（21,c c 为任意常数） 16 解：因为??

?=02A ??

?21 = ??

?02 ??

?20 + ??

?00 ??

1而且后面的两个矩阵是可交换的

得到???=02exp exp At ???20exp ?t ???00 ???01t = ???0

2t e ???t e 21{E + ???00 ???

01t +

???00 2

01??? }!

Λ+t 但是，

???00 2

01???= ???00 ??

所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 ??

?=01exp 2t e At ???

17 解：特征方程为

)det(-=

-λλA E

0964

2=+-=--λλλ

因此，3=λ是A 的二重特征值.为了寻求对应于3=λ的特征向量,考虑方程组

???=-1

1)3(c A E ???--11 021=??

???c c 因此, 向量

a c =??

???11

是对应于特征值3=λ的特征向量,其中0≠a 是任意常数. 18 解A 特征方程为5

3)det(--=

-λλE A

0366352=+-=-λλλ

特征根为i 532,1±=λ 对应于1=3+5i 的特征向量??

???=u

u u 满足

??--=-55)(1i u E A λ 055=??

-i 解得u = a 0≠a 为任意常数对应于i 532-=λ特征向量??

????=u u v 满足??

????i

0)(2=-v E A λ 解得??????=1i v β ??

???v

v β为任意常数 0≠β 19 解:???

? ?

?=21

A 的特征方程为13)det(--=-λλA E 0)4)(1(22=--=--λλλ λ1=1, λ2=4为特征根,???

??-=?=-a a u u E A 10)4(为方程组解a 为任意常数.

???

??=?=-ββ20)4(2u u E A 为方程组解.

这样???

??+???? ??-=?

???

??ββ2''21a a y y 为方程的解

20、解：?

-∞

+∞

-+∏

dx x u y

x x y y x 20

00)(0)

),(?

)

arctan(2),()

arctan(2

0000

)(y

x u u y

x x u

y y x u dx

∏+=

∏

+=+

∏

-∞

即

21、解：由D ’Alembert 公式

公式为?

+-+

-++=at

x at

x d a

at x at x t x u ξξ???)(21

)]()([21),(

则?-++-++=at

x at

x d a t x u at x at x ξξ21][21),()()(22

=xt t

x ++2

22、解：由ξξ?ξd x t

t x u e t

)()(2

1),(42

?∞

∞

-∏=

ξξd x t

?∞

-∏=

4)(22

令

ηξ=-t

2 则

ηd t t

c t x u t

x e 22

),(22

?∞-

∏=

[]

[020

022

∏+∏

∏=

??-

∞

ηηηηηηd c d d c t

x t

x e

已知误差函数定义ηηd a erf a

e ?

-∏

2)(，故)]2(1[2),(t

x erf c t x u += 23、解：第一步对方程进行化简，使其不包括b 2u 项。令u=ve at ，代入方程，有

????≤≤====≤≤==><<-?=+???l x l x v x v l

x x t v t l x v t v ve b e x a ave e at

at at at 0,0/0/0),(0/0,0,222

2? 令a=-b 2

,则u=ve

t b -2

,v 为定解问题

????≥====≤≤==><

2t l x v x v l

x x t v t l x u t v x a ? 的解。由分离变量法，得

x k l a k y x v R t k e ∏∏-=∑∞=sin )(),(1

? l x k b l a k t x u d l k l k t

k l

k e ∏∏=∏=∑?∞=+-sin

)(),(sin )(21

][02

2??ξ

ξξ? 四名词解释

1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。

2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两

个以上

的微分方程称为偏微分方程。 3 形如

)()(y x f dx

?= 的方程，称为变量分离方程，这里)()(y x f ?分别是x , y 的连续函数。

4 形如 n

y x Q y x P dx

dy )()(+=

的方程，称为伯努利方程，这里)(),(x Q x P 为x 的连续函数，1,0≠n 是常数 5 函数f (x , y)称为在R 上关于y 满足Lipschitz 条件，如果存在常数L>0,使得

不等式2121).().(y y L y x f y x f -≤-

对于所有R y x y x ∈),(),,(21都成立, L 称为Lipschitz 常数.

6 定义在区间b t a ≤≤上的函数)(),(),(21t x t x t x k Λ, 如果存在不全为零的常数c 1 , c 2 ,

…. c k 使得恒等式0)()()(2211=+++t x c t x c t x c k k Λ对于所有[]b a t ,∈都成立,称这些函数是线性相关的.

五 1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中,已知p (x),q (x)在),(+∞-∞上连续,

求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 证明：方程0)(')(''=++y x q y x p y ，设)(x y φ=是它的任一非零解。

若p (x),q (x)在),(+∞-∞上连续，假设)(x y φ=在xoy 平面上与轴相切。则0'',0)('===y x y φ与方程有非零解)(x y φ=矛盾。故)(x y φ=与x 轴不相切。

2 由已知得)()()(11111t f x t G dt

d t G dt x d n n n n n =++--Λ

)()()(22111t f x t G dt

d t G dt x d n n n n n =++--Λ

把x 1(t)+x 2(t)代入方程)()()()(21111t f t f t x G dt x

d t G dt x d n n n n n +=++--Λ由左端得

))()()(())

()(()())()((211

11t x t x t G dt

t x t x d t G dt t x t x d n n n n n +++++--Λ= )()()()()()()()()()(211

1111t x t G t x t G dt

t x d t Gn dt t x d t G dt t x d dt t x d n n n n n n n n n n ++++++----Λ 3 证明设y = y(x)是方程任一解，满足y (x 0) = y 0 ，该解的表达式为

2019年自学考试发展心理学练习题及答案(1)

2019 年自学考试发展心理学练习题及答案(1) 德国生理和实验心理学家普莱尔于19 世纪后半叶创立了儿童心理学。儿童发展心理学的创立，最根本的目的是要揭示发展的普遍行为模式。而儿童的动作发展模式、语言获得模式、皮亚杰所描述的儿童思维发展阶段等，都是儿童心理发展的普遍模式。儿童动作的发展是在脑和神经中枢、神经、肌肉控制下实行的，所以动作的发展与其身体的发展、大脑和神经系统的发育密切相关。动作的发展遵循以下三个规律： 1、从上到下。儿童最早发展的动作是头部动作，其次是躯干动作，最后是脚的动作。 2、由近及远。 3、由粗到细。儿童先学会大肌肉、大幅度的粗动作，在此基础上逐渐学会小肌肉的精细动作。儿童用手握铅笔自如地一笔一画地写字，往往要到 6-7 岁才能做到。 1、以下不是儿童动作发展所遵循的规律是(D) A.从上到下 B.由近及远 C.由粗到细 D.由前到后2、儿童最早发展的动作是(A) A. 头部动作B 躯干动作C. 手的动作D. 脚的动作 3、儿童的动作发展是沿着(A) 方向逐步成熟的。 A.抬头-翻身-坐-爬-站-行走B抬头-爬-站-翻身-坐-行走 C.坐-抬头-翻身-爬-站-行走D翻身-抬头-坐-爬-站-行走 4、儿童用手握铅笔自如地一笔一画地写字，往往要到(C) 岁才能做到。

A.3-4 B 4-5 C 6-7 D 7-8 5、儿童心理学的创始人是（C ） A. 夸美纽斯 B 何林渥斯 C 普莱尔 D 冯特儿童发展心理学自诞生以后发展出了多种理论派别。如以格塞尔为代表的成熟论。格塞尔的观点源自于他的双生子爬楼梯研究。他认为，个体的生理和心理发展，都是按照其基因规定的顺序有规则、有次序地实行的。他通过基因来指导发展过程的机制定义为成熟，心理发展是由机体成熟预先决定与表现的。行为主义的创始人华生，认为心理的本质就是行为，心理学研究的对象就是可观察到的行为。华生否认遗传在个体成长中的作用，认为一切行为都是刺激 - 反应的学习过程。他对待儿童心理发展的基本观点源于洛克的“白板说”。华生提出的研究方法有：观察、条件反射法、言语报告法、测验法。精神分析论则着重对“无意识”的探究。弗洛伊德认为，存有于潜意识中的性本能是心理的基本动力，心理的发展就是“性”的发展，或称心理性欲的发展。 4、潜伏期（6-11 岁） 5、青春期（11、12 岁开始）。相互作用论者，皮亚杰认为儿童心理的发生发展不是天生结构的展开，也不完全取决于环境的影响。在他看来，发展受四个因素的共同影响，这四个因素是：成熟、自然经验、社会经验以及平衡化，其中第四个是决定性因素。他将儿童的心理发展分为五个阶段： 1、口唇期（0-1 岁） 2、肛门期（1-3 岁） 3、性器期（3-6 岁）

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

自学者参考相对论习题

自学者参考相对论习题 8-1 一艘空间飞船以0.99c 的速率飞经地球上空1000 m 高度，向地上的观察者发出持续2×10-6 s 的激光脉冲. 当飞船正好在观察者头顶上垂直于视线飞行时，观察者测得脉冲讯号的持续时间为多少？在每一脉冲期间相对于地球飞了多远？ 8-1 62 21014/1?×=?Δ=Δc v t τ s , 4200=Δ=Δt v l m. 8-2 1952年杜宾等人报导，把 π+ 介子加速到相对于实验室的速度为(1- 5)×10-5 c 时，它在自身静止的参考系内的平均寿命为2.5×10-8 s ，它在实验室参考系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？ 8-2 5 105.2?×=Δ=Δτγt s , l = 7.5×103 m. 8-3 在惯性系K 中观测到两事件发生在同一地点，时间先后相差2 s ．在另一相对于K 运动的惯性系K ′中观测到两事件之间的时间间隔为3 s ．求K ′系相对于K 系的速度和在其中测得两事件之间的空间距离. 8-3 c c t v ?= ?ΔΔ?=3 5 )(12τ , c t v l 5=Δ=. 8-4 在惯性系K 中观测到两事件同时发生，空间距离相隔1 m ．惯性系K ′沿两事件联线的方向相对于K 运动，在K ′系中观测到两事件之间的距离为3 m ．求K ′系相对于K 系的速度和在其中测得两事件之间的时间间隔。 8-4 c c x x v ?= ?ΔΔ?=3 8 )' (12, 81094.0'?×?=Δt s. 8-5 一质点在惯性系K 中作匀速圆周运动，轨迹方程为x 2 + y 2 = a 2, z = 0, 在以速度V 相对于K 系沿x 方向运动的惯性系K ′中观测，该质点的轨迹若何？ 8-5 质点的轨迹为一椭圆： 1')/1('2 2 2222=+?a y a c v x . 8-6 斜放的直尺以速度V 相对于惯性系K 沿x 方向运动，它的固有长度为l 0，在与之共动的惯性系K ′中它与x ′轴的夹角为θ′.试证明：对于K 系的观察者来说，其长度l 和与x 轴的夹角θ分别为 2 2 2 2 2 2 0/1'tan tan ,sin )'cos /1(c V c V l l ?= +?=θθθθ. 8-6 )/1' tan arctan(2 2c v ?=θθ. 8-7 惯性系K ′相对于惯性系K 以速度V 沿x 方向运动，在K ′系观测，一质点的速度矢量

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*）将 x y u =带入（*）中得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》第三版答案

《常微分方程》第三版答案习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-

令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

电路网络自学习题.

电路原理自习习题电自学院电路电机教研室上海电力学院 2003.1

1-1 根据图示参考方向，判断各元件是吸收还是发出功率，其功率各为多少？图题1-1 1-2 各元件的条件如图所示。图题1-2 (1)若元件A吸收功率为10 W，求I a；(2)若元件B产生功率为(－10 W)，求U b； (3)若元件C吸收功率为(－10 W)，求I c；(4)求元件D吸收的功率。 1-3 电路如图所示，求各电路中所标出的未知量u、i、R或p的值。图题1-3 1-7 (1)已知电容元件电压u的波形如图题1-7(b)所示。试求i(t)并绘出波形图。 (2)若已知的是其电流i的波形，如图题1-7(c)所示。设u(0)＝0，试求u(t)(t≥0)并绘出波形图。如果u(0)改为－20 V，则结果如何? ·1·

·2· 图题1-7 1-13 图示各电路中的电源对外部是提供功率还是吸收功率?其功率为多少 ? 图题1-13 1-15 求图示各电路中电压源流过的电流和它发出的功率。图题1-15 1-18 (1)求图题1-18(a)电路中受控电压源的端电压和它的功率； (2)求图题1-18(b)电路中受控电流源的电流和它的功率； (3)试问(1)、(2)中的受控源是否可以用电阻或独立电源来替代?若能，所替代元件的参数值为多少?并说明如何联接。图题1-18

1-19 试用虚断路和虚短路的概念求图示两电路中的i1、i2及u o的表达式。图题1-19 1-22 求图示各电路中的U ab，设端口a、b均为开路。图题1-22 1-24 电路如图示，求m、n两点间的电压U mn。图题1-24 图题1-26 1-26 求图题1-26所示电路中的电压u和电流i，并求受控源吸收的功率。 ·3·

2012 乳品工艺学自学思考题

2012年乳品工艺学自学思考题 1. 乳中主要成分的平均含量、存在状态及特点 2. 简述影响乳成分变化的因素 3. 异常乳的概念、种类及特点 4. 乳中蛋白质的种类和特点 5. 酪蛋白凝固方式有哪些？各依据什么原理？各应用在哪些乳制品的加工中？ 6. 乳中的酶类对乳品加工有什么意义？ 7. 乳糖的溶解度（包括初溶解度、终溶解度、过溶解度） 8. 乳脂肪酸组成有什么特点？ 9. 乳的密度、相对密度、酸度、冰点 10. 乳中微生物的主要来源 11. 什么是嗜冷菌？ 12. 影响原料乳中微生物的因素有哪些？ 13. 乳中微生物生长变化的规律（室温和冷藏） 14. 如何提高原料乳的微生物质量 15. 牛乳的脱气、净化、冷却、贮存的设备 16. 什么是标准化？请举例说明如何进行乳的标准化 17. 举例说明乳品工业中有哪些热处理方法 18. 牛乳分离的原理 19. 牛乳均质的原理 20. 解释概念：浓缩、蒸发、闪蒸、单效蒸发、多效蒸发、升膜蒸发、降膜蒸发、MVR、TVR 21. 简述喷雾干燥的原理和流程 22. 什么是流化床干燥和多级干燥？ 23. 什么是CIP清洗？ 24. 什么是巴氏杀菌乳、UHT乳、二次灭菌乳、ESL乳 25. 巴氏杀菌乳的生产工艺及其控制要点 26. UHT乳在货架期容易出现的主要问题 27. 什么是发酵乳？有哪些种类？ 28. 如何选择发酵剂的菌种 29. 发酵剂制备的一般过程 30. 什么是发酵剂活力？简述影响发酵剂活力的主要因素 31. 什么是乳酸菌噬菌体？简述其类型、来源、危害和防治措施 32. 什么是酸奶？有哪些类型？ 33. 写出凝固型酸奶和搅拌型酸奶的一般工艺流程，并说说它们在工艺上的主要区别 34. 什么是益生菌？选择益生菌的一般标准是什么？ 35. 什么是淡炼乳、甜炼乳，两者在保藏原理上有何区别？ 36. 简述甜炼乳的工艺流程及操作要点

离散数学自学考试复习题

离散数学自学考试复习题课程代码：02324 一、单项选择题 1．下列命题公式为重言式的是（） A ．p → (p ∨q) B ．(p ∨┐p)→q C ．q ∧┐q D ．p→┐q 2．下列语句中不是．．命题的只有（） A ．这个语句是假的。 B ．1+1=1.0 C ．飞碟来自地球外的星球。 D ．凡石头都可练成金。 3．下列等价式正确的是（） A ．┐)()(x A x ???┐A B ．A y x A y x ))(())((????? C ．┐)()(x A x ???┐A D ．)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ?∨??∧? 4．在公式),()())(),()()((z y P y z Q y x P y x ?→∧??中变元y 是（） A ．自由变元 B ．约束变元 C ．既是自由变元，又是约束变元 D ．既不是自由变元，又不是约束变元 5．设A={1，2，3}，A 上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S 是（） A ．自反关系 B ．反自反关系 C ．对称关系 D ．传递关系 6．设集合X 为人的全体，在X 上定义关系R 、S 为R={|a ，b ∈X ∧a 是b 的母亲}，那么关系{|a ，b ∈x ∧ a 是b 的祖母}的表达式为（） A ．R S B ．R -1 S C ．S R D ．R S -1 7．设A 是正整数集，R={(x ，y)|x ，y ∈A ∧x+3y=12}，则R ∩ ({2，3，4，6}×{2，3，4，6})= （） A ． O / B ．{<3，3>} C ．{<3， 3> ，<6，2>} D ．{<3，3>，<6，2>，<9，1>}