群可逆元的一些刻画

一[收稿日期]２０１７Ｇ１０Ｇ２０;一[修改日期]２０１８Ｇ０１Ｇ１５一[基金项目]国家自然科学基金(１１４７１２８２)一[作者简介]马丽(１９９３－),女,硕士在读,基础数学专业．E m a i l :１１８１３９７２９１＠q q ．c o m 一[通讯作者]魏俊潮(１９６８－),男,博士,教授,从事环论研究．E m a i l :j c w e i y z ＠１２６．c o m 第３４卷第２期大一学一数一学V o l ．３４,?．２２０１８年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p

r ．２０１８群可逆元的一些刻画

马一丽,一史丽妍,一魏俊潮(扬州大学数学科学学院,江苏扬州２２５００２

)一一[摘一要]研究了群可逆元的一些性质,给出群可逆元的一些刻画,进一步研究正则元是群可逆元的若干条件．[关键词]群可逆元;广义群可逆元;正则元;直接有限环[中图分类号]O １７７．５一一[文献标识码]A一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０２Ｇ０００１Ｇ０６

１一引一一言

本文中,R 表示有单位元的结合环,用N (R ),E (R ),Z (R ),J (R ),U (R )分别表示R 的全体幂零元集合二幂等元集合二中心二J a c o b s o n 根和可逆元集合．

设a ?R ,记c o m m (a )＝x ?R a x ＝x a {},则c o m m (a )是环R 的一个子环．记c o m m ２(a )＝y ?R x y ＝y

x ,x ?c o m m (a ){},则c o m m ２(a )也是R 的子环．设R 为一个环,a ?R ,若存在b ?R ,使得a ＝a b a ,则称a 为R 的正则元,且称b 是a 的内逆元,正则元a 的内逆元是不唯一的,用a －表示a 的全体内逆元的集合．若还有b a b ＝b ;a b ＝b a ,

则称a 是R 的群可逆元,且称b 为a 的群逆元．由文献[１]知,若b 存在,则它是唯一的,通常记为a ＃,且a ＃?c o m m ２(a )．

本文中用R ＃表示R 的全体群可逆元的集合．根据文献[４]中的定理３．２知,a ?R ＃当且仅当存在唯一的幂等元e ?c o m m ２(a ),使得e a ＝０且a ＋e ＝u ?U (R ),此时a ＃＝u －１(１－e )．

称幂等元e 为a 的谱幂等元,记为a π,容易证明a π＝１－a a ＃．设a ?R ,记l (a )＝{x ?R x a ＝０},则l (a )是R 的左理想,称左理想l (a )为a 的左零化子．记r (a )＝{y ?R a y ＝０

},则r (a )为R 的右理想,称右理想r (a )为a 的右零化子．

根据文献[５],R 中的元素a 称为广义群可逆元,若存在正整数n ,使得a n ?R ＃．显然,群可逆元为广义群可逆元．

B a n a c h 代数中的D r a z i n 逆概念被引进环论中以后,环论工作者对强正则元及强πＧ正则元进行了

许多视角上的新刻画,强正则元也称为群可逆元．人们从刻画强正则环转化为刻画强正则元并给出群逆元的表示．利用所得结果去表示复方阵为群可逆元的条件并给出其群逆元的表示形式,为计算数学提供计算技巧与表达形式．受此影响,本文主要研究群可逆元的一些性质与刻画．

２一主要结果

引理１[２－３]一(i )a ?R ＃当且仅当存在p ２＝p ?R ,使得a R ＝p R 且R a ＝R p ．

(i i )a ?R ＃当且仅当a ?a ２R ?R a ２．