重力势能

课时作业16重力势能

时间：45分钟满分：100分

一、选择题(每小题6分，共48分)

1．物体沿不同的路径从A滑到B，如图所示，则重力做的功为()

A．沿路径ACB重力做的功大些

B．沿路径ADB重力做的功大些

C．沿路径ACB和ADB重力做功一样多

D．条件不足，无法判断

解析：重力做功与路径无关，只由初末位置的高度差决定，故C 正确．

答案：C

2．关于重力势能，下列说法中正确的是()

A．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大

B．一物体的重力势能从－5J变化到－3J，重力势能变大了

C．重力势能的减少量等于重力对物体做的功

D．一物体从楼顶落到地面，若受到空气阻力的作用，则物体重力势能的减小量小于自由下落时重力势能的减小量

解析：当物体在参考平面的下方时，距离越大，重力势能越小，A错误；重力势能的正负号表示势能的相对大小，－5J<－3J，B正

确；由重力做功与重力势能变化的关系W G ＝－ΔE p ，可知C 正确，D 错误．

答案：BC

3．物体在运动过程中克服重力做功50J ，则错误的是( )

A ．重力做功50J

B ．物体的重力势能一定增加50J

C ．物体的动能一定减少了50J

D ．重力对物体做功－50J

解析：克服重力做功，重力势能增加，动能的变化还要看其他外力，如果向上的拉力大于重力，动能可能增大，故选项C 错误．

答案：AC

4．利用潮汐可以发电，某海湾围海面积S ，涨潮与落潮水位差为h ，海水密度为ρ，每次潮汐可以发电的海水势能为( )

A ．ρSh 2

B.ρSh 22 C ．ρSh 2g

D.ρSh 2g 2

解析：海水势能中的Δh 为h 2

. 答案：D

5.如图所示，一个质量为M 的物体，放在水平地面上，物体上方安装一个长度为L 、劲度系数为k 的轻弹簧，现用手拉着弹簧上端的P 点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P 点的位移(开始时弹簧处于原长)是H ，则物体重力势能的增加量为

( )

A．MgH

B．MgH＋(Mg)2 k

C．MgH－(Mg)2 k

D．MgH－Mg k

解析：P点缓慢向上移动时，设弹簧伸长Δx，物体距离地面高为h，则有H＝h＋Δx，物体增加的重力势能等于克服重力所做的功，即ΔE p＝Mgh.P点缓慢向上移动中，物体处于平衡状态，物体受重力Mg和弹簧的弹力，根据二力平衡条件、胡克定律，则有kΔx＝Mg，

由此可知弹簧的伸长量为Δx＝Mg

k，P点向上移动的距离：H＝Δx＋

h，

所以物体上升的高度为：h＝H－Δx，

则物体重力势能的增加量为

ΔE p＝Mgh＝Mg(H－Δx)＝MgH－(Mg)2 k.

答案：C

6．一实心铁球和一实心木球质量相等，将它们放在同一水平面上(设该水平面处势能为零)，下列结论正确的是()

A．铁球的重力势能大于木球的重力势能

B．铁球的重力势能等于木球的重力势能

C．铁球的重力势能小于木球的重力势能

D．上述三种情况都有可能

解析：由于铁球的密度比木球的密度大，所以质量相等的木球的体积较大，放在同一水平面上时，木球的重心高，因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能，故C选项正确．

答案：C

7.质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点，如图所示，小球在水平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q点，在此过程中F做的功为()

A．FL sinθ

B．mgL cosθ

C．mgL(1－cosθ)

D．FL tanθ

解析：由题意知，水平力是变力，但水平力做功使小球的重力势能增加，水平力对小球做多少功，小球的重力势能就增加多少．所以，水平力对小球做的功为W＝mgL(1－cosθ)．

答案：C

8.质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面的高度为h，如图所示，若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化是()

A．mgh，减少mg(H－h)

B．mgh，增加mg(H＋h)

C．－mgh，增加mg(H－h)

D．－mgh，减少mg(H＋h)

解析：小球落地时在零势能面以下，其势能应为负值，即为－mgh.重力势能的变化ΔE p＝mgH－(－mgh)＝mg(H＋h)．答案：D

二、非选择题(共52分)

9．(6分)一个物体在A、B、C、D、E五个位置的重力势能分别为3J、1J、0、－1J、－3J．若将点E作为势能的参考平面，则A 点的势能是________J，各点间的势能差________．(填“变大”“变小”或“不变”)

解析：两点间重力势能的变化量与参考平面的选取无关．

答案：6不变

10．(6分)如图所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P 处，在这一过程中，重力对小球所做的功为________，小球重力势能

减少了________．

答案：mgR mgR

11．(10分)质量是100 g的球从1.8m的高处落到水平板上，又弹回到1.25m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？球的重力势能变化了多少？

解析：由重力做功的特点可知，此时重力所做的功为

W G＝mgH＝mg(h1－h2)

＝0.1×9.8×(1.8－1.25)J＝0.539J

由重力做功与重力势能的变化之间的关系可知，此时重力做正功，重力势能应减少，且减少量ΔE p＝W G＝0.539J.

答案：0.539J重力势能减少了0.539J

12．(14分)如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b 构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？

解析：重力对小球a做的功为

W 1＝2m ·g ·L ，

重力对小球b 做的功为

W 2＝－mgL ，

则重力对由a 、b 组成的系统所做的总功为

W G ＝W 1＋W 2＝2mgL ＋(－mgL )＝mgL .

因为W G >0，所以系统的重力势能减少，且减少了mgL .

答案：小球a 和b 构成的系统重力势能减少，且减少了mgL

13．(16分)质量为m 的均匀链条长为L ，放在光滑的水平桌面上时，有L 4

的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，则从开始下滑到链条刚滑离桌面过程中，重力势能变化了多少？

解析：解法1：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开

始桌面上的34L 的链条移至末态的下端34L 处，故重心下降了58

L ，所以重力势能减少了34mg ·58L ＝1532mgL ，即|ΔE P |＝1532

mgL . 解法2：以桌面为参考面，开始时重力势能E P1＝－14mg ×L 8

＝－mgL 32，末态时重力势能E P2＝－mg ×L 2＝－mgL 2

. 故重力势能变化了|ΔE P |＝|E P2－E P1|＝1532

mgL .

15

答案：

32mgL

以重力势能驱动的具有方向控制功能小车的设计

以重力势能驱动的具有方向控制功能小车的设计 摘要：本文根据竞赛命题“无碳小车”，即给定一重力势能，根据能量转换原理，设计一种可将该重力势能转换为动能来驱动小车行走的装置。该小车要求采用三轮结构（1个转向轮，2个驱动轮），并且小车在前行时能够自动避开赛道上设置的障碍物（每间隔1米，放置一个直径20mm、高200mm的弹性障碍圆棒）。本小车最大的亮点是采用两边对称的永久磁铁固定车的车把，周期性使车把左右固定，使小车一直走的路线是相切的圆弧，从而实现绕过障碍物。本文将对小车的设计过程和亮点进行阐述。 关键词：无碳小车自动转弯圆弧路线重力 1引言 随着资源越来越少，而需求量越来越大的发展趋势，研究无碳能源越来越受到关注，本文设计的无碳小车就是一次小的创新。本研究就是来自第二届全国大学生工程训练综合能力竞赛赛题，通过设计研究，即围绕命题“无碳小车”，不利用有碳能源，即根据能量转换原理，将重力势能转换为小车的动能，并能实现自动转弯绕障碍的功能。 ２小车的相关参数选择和分析 图1：小车示意图

图2为小车的三维图 １)上图为小车的主要结构图 A 转向把 B 永久磁铁 C 打片(对称的两个) D 驱动转向把的装置 E 重物 F 前后皮带轮 G 转向轮 H 驱动轮 Ｉ支架 Ｊ直铁丝 ２)工作原理：利用重物的重力势能转化为小车前行的动能，同时带动皮带轮实现前轮转向 以下是工作示意图 ３)理论计算 小车参数：重物1Kg 小车总重： m=2.5kg （带重物与载荷） 小车后轮直径?＝110 绳索缠绕的直径为?＝7启动前直径大于10，这样便于小车启动。 受力如图所示 列平衡方程 ΣFx=0 Pcos α－Fs=0 Σfy=0 Fn + Psin α- mg=0 ΣM(F)=0 Mf – Pcos α·h －Psin α·d =0 D B F 1 C E F 2 A H G Ｉ Ｊ

重力势能教学设计方案比赛一等奖

重力势能教学设计 教材分析: 本节教材首先提出重力势能的基本定义，指出物体由于被举高而具有的能为重力势能，接着引出在物体被举高的过程中，伴随着重力做功，然后通过分析重力做功与路径无关的特点，推导得出重力势能的表达式。最后教材又安排了重力势能的相对性以及重力势能是与地球系统共有的特点这部分知识，以便完善和加深学生对重力势能的理解。 新教材在知识安排上与老教材相比有很大不同。老教材在给出“功是能量变化的量度”这一结论后探究重力做功与重力势能的变化关系，从而引出重力势能。而新教材对这一思想的引入采用的是逐渐渗透的方式。在对生活中生动实例的定性分析以后，引入重力做功，给出重力势能的表达形式，让学生在阶梯式的学习中自己寻找“功与能量”的关系。提升了学生对物理知识的兴趣，锻炼了学生的物理思维能力。 学生分析： （1）高一学生对事物的认知还停留在具体的形象思维上，抽象的逻辑思维的建立还需要时间。所以在教学中我们要借助图片视频等直观手段逐渐引入抽象的物理 概念。 （2）重力势能是学生在初中已经接触过的，但当时只停留在定性的分析上。新课应注意对知识从定性到定量的转化。 教学目标分析： 1.知识目标 （1）理解重力势能的概念，会用重力势能的表达式计算。 （2）会推导重力做功与重力势能的关系，知道重力做功与路径无关。 （3）知道重力势能的相对性。 2.技能目标 （1）根据功能关系，推导出重力势能的表达式 （2）学会从功能关系上解释和分析物理现象。 3.情感目标 渗透从对生活中有关物理现象的解释，得到物理结论的方法，激发和培养学生探索自然规律的兴趣。渗透社会公德教育，让学生认识到高空抛物的危害。 教学重点： 重力势能的概念及重力做功跟物体重力势能改变的关系。 教学难点 重力做功与路径无关及重力势能的相对性。 教具准备： Ppt课件，装沙的小桶，大小质量各异的3个小球 教学过程设计

重力势能和动能定理

第4讲 重力势能、弹性势能和动能定理 知识要点: 1..掌握重力做功与重力势能改变量之间的关系 2.掌握弹力做功与弹性势能改变量之间的关系 3.掌握动能定理及其应用 1．质量m =200kg 的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图象甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图象乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s 末汽车的速度恰好达到最大.则下列说法正确的是( ) A ．汽车受到的阻力200N B ．汽车的最大牵引力为700N C ．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90m D ．8s~18s 过程中汽车牵引力做的功为7×104 J 【答案】D 根据机车保持恒定的加速度启动，先做匀加速直线运动，当功率增大到最大功率后做变加速直线运动，最后牵引力减小到等于阻力时做匀速直线运动. A 、机车匀速时有 ，可得 ；故A 错误. B 、对启动的过程分析可知，最初的匀加速阶段时的牵引力最大，而由v-t 图象可知 ，故最大牵 引力为 ；B 错误. C 、汽车在做变加速运动过程的时间 ，速度从8m/s 增大为10m/s ，此过程牵引力的功率保持不 变，由动能定理 ，解得： ；故C 错误. D 、8s~18s 牵引力的功率保持不变，则牵引力的功为 ，故D 正确. 2．细绳拴一个质量为m 的小球将固定在墙上的轻质弹簧压缩，小球与弹簧不粘 连。距地面的高度为h ，如图所示。现将细线烧断，不计空气阻力，则 A ．小球的加速度始终为g B ．弹簧的弹力对小球做负功 C ．小球离开弹簧后在空中做平抛运动 D ．小球落地前瞬间的动能一定大于mgh 【答案】D 【解析】在绳子烧断之后小球受到弹簧的弹力和重力作用，合力斜向下，合力大于重力，所以烧断瞬间加速度大于g ，故选项A 错误；离开弹簧之后，小球只受到重力的作用，机械能守恒，故B 错误；小球离开弹簧时其速度方向沿合力方向，不是水平方向，所以小球离开弹簧之后尽管只受到重力作用，但是不做平抛运动，

重力做功与重力势能变化的关系

4.1重力势能、重力做功与重力势能变化的关系 ★学习目标： 1、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算； 2、理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关； 3、知道重力势能的相对性，知道零势能面； ★学习重点: 1. 重力势能 2. 重力势能的变化和重力做功的关系 ★学习难点: 重力势能的变化和重力做功的关系 ★课前预习 1、重力势能 （1）定义：由于物体被举高而具有的能量。 （2）计算式：Ep= 即物体的重力势能E p等于物体的和它的的乘积 （3）重力势能是标量，是状态量， 单位：符号： （4）对Ep＝mgh的理解： a. 重力势能具有相对性，是相对于选取的参考面而言的。因此在计算重力势能时，应该明确选取零势能面。(通常以水平地面为参考平面) b. 式中h应为物体的距零势能面的高度。 c. 重力势能可正可负Ep>0，说明物体在零势能面， Ep＜0，说明物体在零势能面。 2﹑重力势能的变化ΔE P ΔE P = E P2 －E P1 注：重力势能的变化量与参考平面的选取（有关或无关）3、重力做功与重力势能的变化 （1）定量关系式为： a.下落时，重力做正功，重力势能，重力势能减少的数量等于重 力所做的功 b.向上时, 重力做负功（克服重力做功），重力势能，重力势能 增加的数量等于克服重力所做的功 (2)功能关系 即重力对物体所做的功等于物体重力势能的增量的。 4、重力做功的特点 小结：重力做的功只跟它的起点和终点位置的高度差有关，而跟物体运动的路径与物体的运动状态

★ 课堂讲练： 1、什么是重力势能？重力势能的大小与什么因素有关？ 2、有一个质量为10kg 的物体放在三楼顶，每层楼高为3m ，则你能计算出该物体的重力势能为多大吗？为什么？ 3、若物体处于零势能面处则物体具有的重力势能Ep ＝ 4、质量0.5kg 的小球，从桌面以上H=0.8m 的A 点落到地面的B 点，桌面高h=1.2m ．请按要求填写下表．(g=10m/s 2) 总结：(1) (2 ) 1、重力做功的特点 当物体向下运动时(1→2)，重力做的功为 当物体向上运动时(2→1)，重力做的功为 ； 可见：当物体向下运动时，重力做 功； 当物体向上运动时，重力做 功（物体克服重力做功）。 2、重力势能的变化

重力势能的概念及影响因素 专题练习(含答案)

重力势能的概念及影响因素专题练习 一、填空题 1．图中玩具猩猩手中的香蕉以相同大小的速度转动。右图所示，香蕉（看成点）从最高位置1 转到最低位置2 的过程中，其动能_____、依据是_____；重力势能_____、依据是_____；机械能_____，依据是_____（选填“增大”、“不变”、“减小”） 2．小明在参观科技馆时，发现一个有趣的器材，当把锥体放在斜面底部时，发现锥体自动往上“爬”，该装置可简化成下图，图中圆心为锥体的重心。锥体“爬坡”过程中，重力势能______________（选填“增大”“减小”或“不变”）。 3．如图所示，小杨跳横箱时，踏板将小杨“送”上横箱，这说明力能改变物体的_______；跃起的过程中，小杨的重力势能______（选填“增加”、“减小”或“不变”）；越过跳箱后，小杨受到________作用落到地面。

4．一个质量为0.5千克的物体在重力作用下竖直下落，它受到的阻力大小为1牛，则该物体受到的重力为_____牛，重力与阻力的合力为_____牛，这个过程中物体的运动状态_____(选填“发生”或“不发生”）改变，在这过程中物体的重力势能将_____（选填“变大”、“变小”或“不变”）。 5．在抗震救灾中，空降部队的战士跳伞时在空中未打开伞，且加速下降的过程中，战士的动能__，重力势能_____；如果伞打开后，战士匀速下降，则他的动能_____，机械能_____（选填“增大”、“减小”或“不变”）。 6．建高楼时首先要打好地基，原来相同高度的相同地桩，经打击后某一瞬间时三个地桩所处的位置如图所示，如果A、B两锤的质量相同，则刚开始下落时，_____锤的高度要高一些，如果B、C两锤刚下落时的高度相同，则_____锤的质量要小一些，打桩时，B锤把地打得最深，则B锤具有的重力势能_____（选填“一定”或“不一定”）大。 7．“嫦娥二号”在一个绕月椭圆轨道上运动的过程中，如图所示，当“嫦娥二号"由近月点向远月点运行时，动能________________，重力势能_____________，速度_______________。（均选填“变大”、“变小”或“不变”） 8．2019年3月31日，“天链”二号01星在西昌卫星发射中心成功发射成功（如图所示），“天链”二号中继星在随火箭加速上升过程中，重力势能_____（选填“变大”、“变小”或不变，下同），动能_____．

高中物理重力势能

1、关于功率，下列说法正确的是（） A.力对物体做的功越多，功率就越大 B.做功时间短的机械功率大 C.完成相同的功，用的时间越长，功率越大 D.功率大的机械在单位时间里做的功多 2、甲、已两车的额定功率之比是1：2，当两车以各自的额定功率行驶时，可判定（）： A两车装的货物质量之比1：2 B在相同时间内，两车做功之比2：1 C两车行驰的速度比1：2 D速度相同时，两车的牵引力比1：2 3、（双选）竖直上抛一物体，物体又落回原处，已知空气阻力的大小正比于物体的速度（）A上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功。 B上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功。 C上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率。 D上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率。 4、设飞机飞行中所受阻力与速度的平方成正比，如果飞机以速度V匀速飞行时，其发动机功率为P，则飞机以2V匀速飞行时，其发动机的功率为：（） A 2P B 4P C 8P D 无法确定 5、关于重力势能的下列说法中正确的是（） A．重力势能的大小只由重物本身决定B．重力势能恒大于零 C．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零D．重力势能实际上是物体和地球所共有的6．（双选）关于重力势能与重力做功，下列说法中正确的是（） A．物体克服重力做的功等于重力势能的增加 B. 在同一高度，将物体以初速度V 向不同的方向抛出到落地过程中，重力做的功相等，物体所减 少的重力势能一定相等 C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功 D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力做的功与物体所增加的重力势能之和 7、一实心的正方体铁块与一实心的正方体木块质量相等，将它们放在水平地面上，下列结论正确的是（） A．铁块的重力势能大于木块的重力势能B铁块的重力势能等于木块的重力势能 C．铁块的重力势能小于木块的重力势能D．上述三种情况都有可能 8、离地面高度(不为零)相同的两物体甲和乙，已知M甲>M已，则(以地面为零势面)（） A甲物体的势能大 B乙物体的势能大 C甲. 乙两物体的势能相等 D 不能判断 9、用绳子吊起质量为M的物体，当物体以加速度a匀加速上升H的高度时，物体增加的重力势能为（） A MgH B HgH+MgaH C M(g-a)H D MgaH 10、沿高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面向上拉同一个物体到顶端，在下列说法中正确的是（） A沿坡度小，长度大的斜面上升克服重力做的功多 B沿坡度大，粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多 C沿坡度长，粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多 D以上几种情况下克服重力所做的功一样多 11、原来静止的列车在水平轨道上启动后就保持恒定的功率前进，在其后的一段较短的时间内(列车所受阻力恒定)（） A列车做匀加速直线运动。 B列车的加速度逐渐减小。 C列车的速度先增大后减小。 D列车的加速度先增大后减小。 12、以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为h，运动中空气阻力的大小恒为f,则小球从抛出点到再回到原抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（） A 0 B -fh C -2fh D -4fh

重力势能练习题

重力势能 1．下列关于重力势能的说法正确的是AB A ．重力势能是地球和物体共同具有，而不是物体单独具有的 B ．重力势能的大小是相对的 C ．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功 D ．在地面上的物体，它的重力势能一定等于零 解析：重力势能是相对于某个选定的零势能面来说的，对同一物体，选择的零势能面不同，重力势能是不同的。 2．一个实心铁球和一个实心木球质量相等，将它们放在同一水平地面上，下列结论中正确的是B A ．铁球的重力势能大于木球的重力势能 B ．铁球的重力势能小于木球的重力势能 C ．铁球的重力势能等于木球的重力势能 D ．上述三种情况都有可能 解析：由于铁球和木球的密度不同，质量相等的铁球和木球，木球的体积较大，放在同一水平面上时，木球的重心高， 因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能。 3．将重为50 N 的物体沿着竖直方向向上匀速吊起10 m 高，此过程中物体的重力势能变化了 J ，拉力对物体做功 J ．若物体以1 m/s 2的加速度上升10 m 高，此过程中物体的重力势能变化了 J ，拉力对物体做了 J 的功．（g 取10 m/s 2） 解析：物体重力势能增加了ΔE p =mgh =50×10 J=500 J 拉力做功W =F ·h =mgh =500J 。若物体匀加速上升，但重力势能仍 增加了500 J 因为F －G =g G ·a 所以F =G +G ·a /g =G ·g g a +=50×10 101+N=55 N 从而W F =F ·h =55×10 J=550 J ． 答案：500 500 500 550 4．盘在地面上的一根不均匀的金属链重30 N ，长1 m ，从甲端缓慢提起至乙端恰好离地面时需做功10 J ，如果改从乙 端提起至甲端恰好离地面需做功 J ．（g 取10 m/s 2） 解析：设链子两端分别为甲、乙，链子的质心距甲端x m ，距乙端y m ，则x +y =1 m 提甲端，质心需提高y m ，W 甲=mgy =10 J 提乙端，质心需提高x m ，W 乙=mgx 所以W 甲+W 乙=mg （x +y ）=30×1 J=30 J 所以W 乙=20 J ． 答案：20 5．地面上竖直放置一根劲度系数为k ，原长为L 0的轻质弹簧，在其正上方有一质量为m 的小球从h 高处自由落到下端 固定于地面的轻弹簧上，弹簧被压缩，求小球速度最大时重力势能是多少？（以地面为参考平面） 解析：当mg =kx 时，小球的速度最大， 所以x =mg /k ． 此时小球离地面高度为：H =L 0－x =L 0－mg /k 重力势能E p =mgH +mg （L 0－mg /k ）=mgL 0－m 2g 2/k ．

以重力势能驱动的具有方向控制的小车设计报告

上海交通大学 令狐采学 PRP学生研究论文 项目名称：以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车设 计 项目题目：无碳小车设计方案及分析 学生姓名： 学号： 所在院系：机械与动力工程学院 指导老师： 承担单位：工程训练中心 目录 一、功能及设计要求1 二、无碳小车设计方案错误!未定义书签。 2.1整车设计3 2.2转向轮设计4 2.3驱动轮设计5 2.4转向和驱动轮的链接5

2.5主要尺寸设计6 2.6能量计算7 2.7材料选择8 2.8工艺分析 (8) 2.9成本分析 (8) 三、实际测试结果分析及改进方案 3.1 比赛轨迹分析 (9) 3.2 理论分析 (10) 3.3 比赛实际状况 (11) 3.4 改进方案 (12) 摘要 本文详细介绍了我们根据全国大学生工程能力竞赛的要求设计的一辆无碳小车，包括驱动机构、转向机构的原理，小车的尺寸设计，行进路线计算，能量计算，材料选择和工艺分析等，根据此设计报告制造出的无碳小车成功的实现了竞赛的设计要求，并代表交大参加了全国工程能力竞赛，取得了好成绩。这是一辆纯机械系统控制，以重力势能驱动的能够自行按周期转向的小车，对于开阔机械设计者的思路有很好的效果，也体现了低碳环保的主题。 关键词：无碳设计自行转向重力势能 Abstract This text introduces a no-carbon car we desired according to the requirements of the national engineering competition. It contains the

idea we used to drive and turn the direction of the car, the desire of size, the simulation of its route and energy, the choice of material and manufacture process. The car we manufactured have successfully achieve the requirements of the competition and it has won the third price in the national competition. It is a car controlled without power; it is drived by gravitational potential energy and can turn its wheel automatically. It is a good example to broaden our prospective in mechanical desire and it also show the principle of low carbon and environmental friendly. Key words: no carbon,desire,turn automatically,gravitational potential energy 一、功能设计要求 给定一重力势能，根据能量转换原理，设计一种可将该重力势能转换为机械能并可用来驱动小车行走的装置。该自行小车在前行时能够自动避开赛道上设置的障碍物（每间隔1米，放置一个直径20mm、高200mm的弹性障碍圆棒）。以小车前行距离的远近、以及避开障碍的多少来综合评定成绩。 给定重力势能为5焦耳（取g=10m/s2），竞赛时统一用质量为1Kg的重块（￠50×65 mm，普通碳钢）铅垂下降来获得，落差500±2mm，重块落下后，须被小车承载并同小车一起运动，不允许掉落。 要求小车前行过程中完成的所有动作所需的能量均由此能量转换获得，不可使用任何其他的能量形式。

探究决定重力势能大小的因素-word

探究决定重力势能大小的因素 例：张军同学在探究“重力势能的大小跟哪些因素有关”的实验中，找来质量分别为50g、100g、200g的三个小钢球、刻度尺和装满松软细砂子的木箱，按图情景进行实验；先将木箱中的细砂抹平，再让小钢球从距地面H处由静止释放，小钢球砸进细砂并陷入其中，测出小钢球在细砂中下陷的深度d和释放前小球的高度H，下表是他5次实验的数据。 请回答下列问题： （1）实验中他根据判断物体重力势能的大小； （2）分析表中序号1、2、3的实验数据，得出的结论是，实验中，他使小球的保持不变； （3）分析表中序号为2、4、5的实验数据，得出的结论是，实验中，他使小球保持不变。 分析： （1）细砂陷得越深，说明小球做的功越多，具有的能也越大。 （2）从1、2、3看出，小球质量相等，但下落初始高度不相等，下陷深度不相等，所以说同一物体，位置越高，重力势能越大。 （3）由2、4、5数据看出，三次初始高度相等，但小球质量不相等，而下陷深度不相等，所以同一高度物体质量越大，重力势能越大。

答案：（1）小球在细砂中下陷的深度（d） （2）同一物体，位置越高，重力势能越大；质量 （3）同一高度，物体质量越大，重力势能越大；下落高度评注：用控制变量法研究物理问题，是我们常用的一种方法，要学会熟练应用。 跟踪巧练 1．如图所示，让钢球从斜面上由静止滚下，打到一个小木块上，能将木块撞出一段距离。放在同一水平面上相同位置的木块，被撞得越远，表示钢球的动能越大。现用质量不同的钢球从同一高度滚下，看哪次木块被推得远。回答以下问题： （1）设计本实验的目的是研究。 （2）让不同的钢球从同一高度滚下是为了。 （3）此实验得出的结论是。 （4）如表中给出了一头牛行走和一名普通中学生百米赛跑时的一些数据。 分析数据，可以看出，对物体动能大小影响较大的因素是，你这样判断的依据是。 2．请阅读下面的文章： 同学小明在某建筑工地看工人打桩，他们先把重锤高高举起，重锤落下就能把水泥柱打入地里，小明想：重锤被举高具有了重力势能，重力势能的大小与质量和高度有何关系？

以重力势能驱动的具有方向控制的小车设计报告

交通大学 PRP学生研究论文 项目名称：以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车设计项目题目：无碳小车设计方案及分析 学生： 学号： 所在院系：机械与动力工程学院 指导老师：

承担单位：工程训练中心 目录 一、功能及设计要求 (1) 二、无碳小车设计方案 (2) 2.1整车设计 (3) 2.2转向轮设计 (4) 2.3驱动轮设计 (5) 2.4转向和驱动轮的 (5) 2.5主要尺寸设计 (6) 2.6能量计算 (7) 2.7材料选择 (8) 2.8工艺分析 (8) 2.9成本分析 (8) 三、实际测试结果分析及改进方案 3.1 比赛轨迹分析 (9) 3.2 理论分析 (10)

3.3 比赛实际状况 (11) 3.4 改进方案 (12) 摘要 本文详细介绍了我们根据全国大学生工程能力竞赛的要求设计的一辆无碳小车，包括驱动机构、转向机构的原理，小车的尺寸设计，行进路线计算，能量计算，材料选择和工艺分析等，根据此设计报告制造出的无碳小车成功的实现了竞赛的设计要求，并代表交大参加了全国工程能力竞赛，取得了好成绩。这是一辆纯机械系统控制，以重力势能驱动的能够自行按周期转向的小车，对于开阔机械设计者的思路有很好的效果，也体现了低碳环保的主题。 关键词：无碳设计自行转向重力势能 Abstract This text introduces a no-carbon car we desired according to the requirements of the national engineering competition. It contains the idea we used to drive and turn the direction of the car, the desire of size, the simulation of its route and energy, the choice of material and manufacture process. The car we manufactured have successfully achieve the requirements of the competition and it has won the third price in the national competition. It is a car controlled without power; it is drived by gravitational potential energy and can turn its wheel automatically. It is a good example to broaden our prospective in mechanical desire and it also show the principle of low carbon and environmental friendly. Key words: no carbon,desire,turn automatically,gravitational potential energy

重力势能

《重力势能》教案

学[知识目标] 1.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算. 2.理解重力势能的变化和重力做功的关系。 3.知道重力势能的相对性. [能力目标] 1、通过回忆前面的知识，为新的学习打下基础； 2、结合已有工具，配合教师的引导，让学生自己推导关系，发现新的学 习； 3、过程中配合练习，加深学生对公式、结论的理解和应用，同时发现新 的知识 4.学会从功和能的关系上解释物理现象。 [情感目标] 1.渗透从对生活中有关物理现象的观察，得到物理结论的方法，激发和培养学生探索自然规律的兴趣． 2.渗透社会公德教育：预防高空坠物的危险

2、重力势能大小 演示实验【提供实验器材：大小和质量不同的两个钢珠、 装有沙子的水槽、刻度尺】 请小组起来展示自己的设计思想、实验过程、的出的结论。 实验一：将同一个钢珠从不同的高度释放，观察钢 珠在沙子中下陷的深度。 实验二：用大小不同的两个钢珠从同高一度释放，观察钢珠在沙子中下陷的深度。 学生回答观察的现象：钢珠的释放高度越大，钢珠在沙 子中下陷的深度越大。钢珠的质量越大，钢珠在沙子中 下陷的深度越大。 引导学生归纳上述演示，我们可以定性得到：重力势 能跟物体的质量和高度都有关系，且物体的质量越大， 高度越高，重力势能就越大。 物理学中就用ｍｇｈ这个式子来表示物体的重力势 能. （板书）：重力势能公式：E Ｐ＝mgh 3. 重力势能的单位：焦耳。 4. 单位符号：J 5. 重力势能是标量。 探究二：重力做功的特点？ 根据功的计算公式分别计算甲、乙、丙三种情况中小球由A 运 动到B 过程中重力所做的功。 学生回答观察的现象：钢珠的释放高度越大，钢珠在沙子中下陷的深度越大。质量大的钢珠在沙子中下陷的深度越大 动手计算，让两个同学上讲台把答案展示出来 认并 1 甲 A A B B 乙 h 1 h 2 h

高一物理《重力势能》测试题

版权所有@中国教育考试资源网 高一物理《重力势能》测试题 1．关于重力势能的下列说法中正确的是：( ) A ．重力势能的大小只由重物本身决定 B ．重力势能恒大于零 C ．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零 D ．重力势能实际上是物体和地球所共有的 落到桌面过程中，势能减少多少？ （2）以桌面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中势能减少多少？

9．如图7所示，重物A 质量为m ，置于水平地面上，其上表面竖直固定着一根轻弹簧，弹簧长为L 0劲度系数为k ，下端与物体相连结，现将上端P 缓缓地竖直提起一段距离L ，使重物离开地面，这时重物具有的重力势能为多少？（以地面为零势面）． ※10.如图5所示,劲度系数为K 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1、m 2的物块1、2栓接,劲度系数为K 2的轻质弹簧上端与物块2栓接,下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓缓地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物块2的重力势能增加了多少？ 1.D ; 2.AB ; 3. C ; 4. CD ; 5.ACD ; 6.1500J 7. mgssin θ 8.解:（1）以地面为零势能面 ①Ep 1=mg(h 1-h 2)=24J ②下落过程中的重力势能的减小量为ΔEp ΔEp=Ep 2-Ep 1=24J （2）以桌面为零势能面 Ep 1′=mgh 1=8J Ep 2′=-mgh 2=-16J 重力势能的减小量为ΔEp ′ ΔEp ′= Ep 1′-Ep 2′=24J

版权所有@中国教育考试资源网 9.解:物体受力平衡,则由胡克定律F=kx 得： Kx=mg 则 x=mg/k 则物体上升的高度h 为： H=L+L O -x 以地面为零势能面 Ep=mgh=mg(L+L O )-(mg)2 /k 10.解:开始时弹簧K 2的弹力等于m 1和m 2的总重力;最后, 弹簧K 2的弹力等于零,由胡克定律和势能的概念得:物块2的重力势能增加了 ΔE P2= 2 212)(k g m m g m + = 22212)(k g m m m +.

动能和势能1讲解

动能和势能1 一、选择题(每题分，计分) 1.自行车是我们熟悉的交通工具，从自行车的结构和使用来看，它涉及不少有关力学的知识.以下各项内容中叙述正确的是 ········································································ ( ) A. 车铃中装有弹簧，使用时利用了弹簧的弹性势能来复位 B. 车轴里的滚珠利用了滚动代替滑动，从而减小了摩擦 C. 坐垫呈马鞍型，它能够增大坐垫与人体的接触面积以减小臀部所受的压强 D. 车的把手上有凹槽、脚踏板凹凸不平，是通过改变接触面粗糙程度来增大摩擦 2.在探究“物体动能的大小与哪些因素有关”的实验中，小红同学让同一铁球从斜面的不同高度由静止释放，撞击同一木块，如图所示。该实验是通过观察木块移动的距离来说明铁球对木块做功的多少。下列实验与此实验方法相同的是【】 ······································· ( ) A. 用红墨水在水中的扩散现象来认识分子是运动的 B. 建立牛顿第一定律用“伽利略斜面小车实验”进行研究 C. 用不同的电阻和相同的电源研究电流和电阻的关系 D. 研究光的直线传播时引入“光线” 3.如图所示是火箭发射升空时的情景，以下说法正确的是: ···································· ( ) A. 火箭上升过程中动能不变，重力势能增大，机械能增大 B. 火箭升空利用了力的作用是相互的 C. 火箭升空时受到平衡力的作用 D. 火箭升空时受到惯性力的作用 4.喷洒农药的飞机在喷洒农药的过程中，在空中某一高度匀速飞行，则飞机在此过程中( ) A. 动能保持不变 B. 重力势能保持不变 C. 机械能保持不变 D. 机械能逐渐减小 5.下列物理现象解释正确的是 ········································································· ( ) A. 硬币越过“栏杆”是因为空气流速越快压强越大 B. 铁锁下降时动能转化为重力势能

命题1以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车功能

附件1 命题1：以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车 1．功能设计要求 给定一重力势能，根据能量转换原理，设计一种可将该重力势能转换为机械能并可用来驱动小车行走的装置。该自行小车在前行时能够自动避开赛道上设置的障碍物（每间隔1米，放置一个直径20mm、高200mm的弹性障碍圆棒）。以小车前行距离的远近、以及避开障碍的多少来综合评定成绩。 给定重力势能为5焦耳（取g=10m/s2），竞赛时统一用质量为1Kg的重块（￠50×65 mm，普通碳钢）铅垂下降来获得，落差500±2mm，重块落下后，须被小车承载并同小车一起运动，不允许掉落（见图1和图2）。 要求小车前行过程中完成的所有动作所需的能量均由此能量转换获得，不可使用任何其他的能量形式。 小车要求采用三轮结构（1个转向轮，2个驱动轮），具体结构造型以及材料选用均由参赛者自主设计完成。要求满足：①小车上面要装载一件外形尺寸为￠60×20 mm的实心圆柱型钢制质量块作为载荷，其质量应不小于750克；在小车行走过程中，载荷不允许掉落。②转向轮最大外径应不小于￠30mm。 参赛者需要提交关于作品的设计说明书和工程管理方案、加工工艺方案及成本分析方案报告。 要求参赛者在自制的载荷质量块上自主设计并加工出反映本届竞赛主题的徽标。参赛队参赛时同时提交徽标设计说明（篇幅限制为A4纸一张，文字部分的字数不超过300字，内容包括创意、材料、制作说明），作为评分点之一。 2．本校制作：以参赛小组为单位，每组不多于3人。按照预赛阶段的要求，在各自所在的学校内，自主设计相关结构，图片和动画。通过学校选拔比赛，决定1-2项参加省级分区赛的项目，并制作出全部零件。 3．省分区赛内容：加载符合本命题规定的比赛载荷质量块，在硬质水平地面（例如光滑的水泥地面、水磨石地面或室内标准球赛地板等）的指定赛道上进行比赛，小车需按规定绕过各个障碍。行走绕过的障碍越多，得分越高。每个参

2 重力势能

重力势能

知识点一重力做的功 [观图助学] 设想你要从某座高楼的第17层下到第8层，你可以乘电梯下，也可以沿楼梯走下。两种方式下楼，重力对你做的功是否相等？ 1.做功表达式：W G＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。 2.做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。

3.做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。 [思考判断] (1)物体只要运动，其重力一定做功。(×) (2)物体向高处运动时，重力一定做负功。(√) (3)质量越大，重力做功越多。(×) (4)物体的高度只要发生变化，其重力一定做功。(√) (5)重力做功多少取决于物体的重力和它通过的路程。(×) 左图中的两种下楼方式重力做功是相等的，重力是恒力，利用恒力做功表达式可推导。 重力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

瀑布中的水落下的过程中重力做正功 货物被起重机吊起的过程中重力做负功 知识点二重力势能 1.定义：我们把mgh叫作物体的重力势能，常用E p表示。 2.表达式：E p＝mgh。 3.单位：在国际单位制中是焦耳，符号为J。1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m。 4.重力做功与重力势能变化的关系 (1)表达式：W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

(2)两种情况 ①当物体从高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即W G＞0，E p1＞E p2。 ②当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即W G＜0，E p1＜E p2。重力做负功也可以说成物体克服重力做功。 重力势能是标量，其正负表示大小。 知识点三重力势能的相对性 1.参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。 2.重力势能的相对性 选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。 对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。[思考判断] (1)物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定。(×) (2)物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大。(×)

第三节 动能和重力势能

第三节动能和重力势能 【自主学习部分】 一、功与能 1、功（W） （1）前面我们学习了功，主要是机械做功。 ①功的定义是_________________________________； ②做功的两个要素是_____________、________________________________； ③功的计算式_______________，单位___________。 （2）其他形式的做功及做功的效果 做功的效果就是能量的转化，例如，冬天手冷，双手互搓动取暖，此时通过双手间摩擦力做功把人体内储存的能量转化为内能（热能）。家里的用电器通过电流做功把电能转化为其他形式的能（光能、机械能等） 2、能（E） 能对我们来说并不陌生，我们身边有很多熟悉的能，例如太阳能、_________、________等，以及今天将学习的动能和重力势能。 3、功与能的关系 （1）功的单位是焦耳（J），能的单位也是焦耳（J），两者单位一样。但这是两个物理概念，不能混为一谈。能是一个状态量，例如这杯水在10℃时含有的内能是多少J；功是一个过程量，做功总是要经过一个过程的，例如一个力做机械功，要经过一个过程。 （2）功是能量变化 ．．．．的量度。 功和能之间有一定关系的，功是能量变化的量度，例如，一个物体动能增加了，必定有施力物体对该物体做正功，施力物体的能量转化为该物体的动能。撤去力以后，物体在摩擦力的作用下慢慢停下，这个过程中，摩擦力对物体做负功，物体的动能转化为内能（热量散发到空气中） 二、动能 1、关于动能，我们在初中就接触过，首先请举一些动能的例子；动能的大小与哪些因素有关？ 2、理论推导动能大小的计算式 从初中的学习我们已经知道，动能大小与质量和速度有关，那么究竟有怎样的定量关系呢？我们模拟一情景，从已经学过的功的理论推导。 （1）情景：一颗质量为m、静止在枪膛中的子弹，扣动扳机后，子弹从枪口射出，它从射出枪口时的动能是多大呢？试讨论下列问题： ①子弹从枪膛里射出的过程中，什么力在对子弹做功？ ②子弹的动能是从哪里转化而来的？ （2）理论推导 ①火药气体对子弹做的功为W=FS，这个做功过程把火药爆炸产生的能量转化为子弹的

以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车(S轨迹)

以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车（S轨迹） 小组成员：邵显晶、侯单懿、张烨、廖轶

目录Part One：绪论 1.1 命题要求 1.2 选题项目 1.3 前期思考 Part Two：方案设计 2.1 原动模块 2.2 传动模块 2.3 转向模块 2.4 行进模块 2.5 微调模块

Part One：绪论 1.1 命题要求 本届竞赛命题为“以重力势能驱动的具有方向控制功能的自行小车”。 设计一种小车，驱动其行走及转向的能量是根据能量转换原理，由给定重力势能转换而得到的。该给定重力势能由竞赛时统一使用质量为1Kg的标准砝码（￠50×65 mm，碳钢制作）来获得，要求砝码的可下降高度为400±2mm。标准砝码始终由小车承载，不允许从小车上掉落。图1为小车示意图。 图1 无碳小车示意图 要求小车在行走过程中完成所有动作所需的能量均由此给定重力势能转换而得，不可以使用任何其他来源的能量。 要求小车具有转向控制机构，且此转向控制机构具有可调节功能，以适应放有不同间距障碍物的竞赛场地。 要求小车为三轮结构。其中一轮为转向轮，另外二轮为行进轮，允许二行进轮中的一个轮为从动轮。具体设计、材料选用及加工制作均由参赛学生自主完成。

1.2 选题项目 第一轮“S”型赛道避障行驶竞赛 经现场公开抽签，在±200～300mm范围内产生一个“S”型赛道第一轮障碍物间距变化值和变化方向。 竞赛小车在前行时能够自动绕过赛道上设置的障碍物，如图2。赛道宽度为2米，障碍物为直径20mm、高200mm的圆棒，沿赛道中线从距出发线1米处开始按间距1米摆放，摆放完成后，将偶数位置的障碍物按抽签得到的碍物间距变化值和变化方向进行移动（正值远离，负值移近），形成的即为竞赛时的赛道。以小车前行的距离和成功绕障数量来评定成绩，。 参赛前，各队加载由竞赛组委会统一提供的标准砝码，在指定的赛道上进行比赛。小车出发位置自定，但不得超过出发端线和赛道边界线。每队小车运行2次，取2次成绩中的最好成绩。 图2 无碳小车在重力势能作用下自动行走示意图 小车有效的绕障方法为：小车从赛道一侧越过一个障碍后，整体越过赛道中线且障碍物不被撞倒或推出障碍物定位圆；连续运行，直至小车停止。 小车有效的运行距离为：停止时小车最远端与出发线之间的垂直距离。

重力势能教案

7.4 重力势能 设计思路 《重力势能》一节新教材与旧教材相比有很大变化。教材首先从重力做功开始，讨论物体竖直向下运动、沿倾斜直线向下运动、以至物体沿任意路径向下运动几种情况的重力做功，利用极限思想，严格证明了重力对物体做功与路径无关。分析“mgh”是一个具有特殊意义的物理量，来定义重力势能。然后再分析重力势能的变化和重力做功的关系，再讲重力势能的相对性和系统性。这样将重力势能的讲法准确了，也加深了，思路比较清晰。 本节课内容既是重点又是难点，学生在一节课内不容易全面理解和掌握，教学中不宜追求多而全，可以在后续课程中逐渐理解与加深。 教学过程中可以多举身边的实际例子，由简单的现象如自由落体等进行分析，便于得出结论，学生也容易接受。 教法上教师应充分调动学生的思维，使学生始终处于学习的主体，激发探究意识和学习的积极性。 教学三维目标 1、知识与技能 （1）理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算； （2）理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关；（3）知道重力势能的相对性和系统性。 2、过程与方法 （1）根据已有的知识，利用极限的思想证明重力做功与路径无关； （2）根据功和能的关系，推导重力势能的表达式。使学生体会知识建立的方法。 3、情感态度与价值观：从对生活中有关的物理现象观察、对已有知识的掌握得到物理结论，激发和培养学生探索自然规律的兴趣。 教学重点：重力做功与路径无关，重力势能的概念，重力势能的变化和重力做功的关系。 教学难点：重力势能的变化和重力做功的关系，重力势能的相对性和系统性。 教学内容： 第四节重力势能

（一）引入新课 问题1：水力发电站是利用水来发电的，水是利用什么来发电的呢？高处的石头欲落下，你为什么害怕，急于要躲开呢？（物体由于被举高而具有重力势能。） 问题2：怎么样认识重力势能呢？ 演示：粉笔在竖直方向上的运动。（引导学生分析粉笔上升和下降过程重力做功与重力势能的变化） 功与能是两个密切联系的物理量。物体的高度发生变化，重力势能发生变化，重力要做功。我们认识重力势能，不能脱离重力做功的研究。 （二）进行新课 本节课就从重力做功的研究入手，来认识重力势能。 1、重力做功 根据功的计算公式分别计算甲、乙、丙三种情况中小球由A 到B 过程中重力所做的功。 过程甲、乙结果为：W mg =mgh=mgh 1-mgh 2 过程丙：物体沿任意路径向下运动情况，学生会感到困难。在分析过程中要体现出极限思想，主要强调的是科学方法。思路为：逐步提出问题，引发学生思考并逐步进行分析计算。 （1）物体沿曲线运动，就已有的知识，重力做功能求出吗？（不能）怎么办？ （2）想一想我们能够解决的是什么样的情况？（物体沿直线运动过程重力做功，可以根据过程甲乙的计算结果进行计算。） （3）回忆前面学习过的方法，可不可以变曲为直呢，怎么变？（将整个路径分成许多很短的间隔） 甲 乙 丙