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2007年北师大版数学中考专题复习动态几何

2007年北师大版数学中考专题复习------动态几何

图形的运动变化问题。【典型例题】

例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ?

的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。

分析：连接OM 交CD 于E ，

∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ?

中点

∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =

∴

CE CD =

23，

例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）

（2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1））分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E

DC 为⊙O 切线

（2）若∠ABC 为直角

则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BC

DC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线

DC AB BE =

=121

例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC

的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；

（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？

分析：（1）∵AB 为半圆直径

∴∠ACB ＝90° ∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10

∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝x

NF AB CP

CM =

NF x

4848=

-.. NF x

=-1025

S ND NF =2

=-=-

+=--x x x x x x ()()

102512

25121025122452

当

x =

5时，水池面积最大。

例4. 正方形ABCD 的边长为6cm ，M 、N 分别为AD 、BC 中点，将C 折至MN 上，落在P 处，折痕BQ 交MN 于E ，则BE ＝______cm 。

分析：△BPQ≌△BCQ

BP＝BC＝6

连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）

∴△BPC为等边三角形

∴∠PBC＝60°，

又∵∠∠＝°QBC PBC

∴在Rt△BEN中，BN＝3

∴BE=23

例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是。

分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1

过B作BM⊥x轴于M

则BM＝3，OM＝3

又∵AC与CB为入射光线与反射光线

∴∠AOC＝∠BCM

∴△AOC∽△BMC

∴AO

∴1

∴OC=

∴AC=

同理：BC = 15

∴AC BC

+==

例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：（1）AD⊥MN

BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

又∵∠ACB＝90°

∴∠DCA＋∠ECB＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

∵AC＝BC

∴△ADC≌△CEB

∴DC＝BE

AD＝CE

∴DE＝DC＋CE

＝BE＋AD

（2）与（1）同理

△ADC≌△CEB

∴CD＝BE

AD＝CE

∵DE＝CE－CD

＝AD－BE

（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时

与（1）（2）同理可知

CE＝AD，BE＝CD

∵DE＝CD－CE

＝BE－AD

例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

16？若存在，求出此时x的值；

若不存在，说明理由。

分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.

证明：连结CG

∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点

∴CG＝BG,CG⊥AB

∴∠ACG＝∠B＝45°

∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，

∴∠BGH＝∠CGK

∴△BGH≌△CGK

∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK

∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK

＝S△CHG＋S△BGH＝1

△ABC

＝1

23434＝4

即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化（2）∵AC＝BC＝4，BH＝x，

∴CH＝4－x，CK＝x

由S△GHK＝S四边形CHGK－S△CHK，

得y＝

4(4)

x x --

∴

y x x =

-+12242

∵0°＜α＜90°，

∴0＜x ＜4 （3）存在。

根据题意，得12245168

2x x -+=3

解这个方程，得x x 1213==，

即：当x =1或x =3时，△GHK 的面积均等于△ABC 的面积的5

16。

例8. 经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A 上和C 、D 四点（在图⑤、⑥中，有重合的点），得到了如图①～⑥所表示的六种不同情况。

（1）在六种不同情况下，PA 、PB 、PC 、PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明；

（2）已知⊙O 的半径为一定值，若点 P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点C 、D ，PC 2PD 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。

分析：（1）PA 2PB ＝PC 2PD 证明：连接AC 、BD 则△ACP ∽△DBP

∴

AP DP CP

BP = ∴AP 2BP ＝CP 2DP

（2）PC 2PD 的值为定值（当P 在圆外时）

借助图⑤，过P 作⊙O 切线PA

则PA PC PD 2

（连接PO 交⊙O 于E,并延长交⊙O 于F 时）

又有222

()()PA PE

PF OP r OP r OP r ==+-=-· ∴PC PD PE PF OP r 22==-22

（当P 在圆内时）借助图②，

连接OP 并延长分别交⊙O 于E ，F 时

22PC PD PE PF r OP ==- ·

例9. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点 Q 在半圆O 上运动，且总保持 PQ ＝PO ，过点 Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C 。

（1）当∠QPA ＝60°时，请你对ΔQCP 的形状做出猜想，并给予证明。（2）当QP ⊥AB 时，那么ΔQCP 的形状是________三角形。

（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，ΔQCP 一定是____三角形。分析：（1）△QCP 是等边三角形

证明：连接OQ ，则∵CQ 为⊙O 切线 ∴CQ ⊥OQ ，∴∠CQO ＝90° ∵PQ ＝PO ，∠QPC ＝60° ∴∠POQ ＝∠PQO ＝30° ∴∠C ＝90°－30°＝60° ∴∠CQP ＝∠C ＝∠QPC ＝60° ∴△QPC 是等边三角形（2）等腰直角三角形（3）等腰三角形

例10. 如图甲、乙、丙，在图甲中，以 O 为圆心，半径分别为R ，r （R ＞r ）的两个同心圆中，A 、D 为大⊙O 上的任意两点，小圆O 的割线 ABC 与DEF 都经过圆心O 现在我们证明：AB 2AC ＝DE 2DF

证明：因为小⊙O 的割线ABC 与DEF 都经过圆心O ，所以 AB ＝R －r ，AC ＝R ＋r ，DF ＝R －r ，DE ＝R ＋r ，所以AB ＝DE ，AC ＝DF ，故AB 2AC ＝DE 2DF 。阅读上述证明后，完成下列两题：

（1）将图甲变换成图乙（ABC 不经过圆心O ，DEF 经过圆心O ）．求证：AB 2AC ＝DE 2DF （2）将图乙变换成图丙（ABC 与DEF 都不经过圆心O ），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。分析：（1）连接AO 并延长与小⊙O 交于B'、C'两点可证得：AB AC DE DF ''22，=而AB AC AB AC 22='' ∴AB AC DE DF 22=

（2）猜想AB 2AC ＝DE 2DF ，连接DO 交小⊙O 于E'、F' 由（1）得AB 2AC ＝DE'2DF'，而DE'2DF'＝DE 2DF

故猜想成立。

【模拟试题】

一、填空题：

1. 方程()x -=212

的根是。

2. 已知a ，b 是方程2

2610x x --=的两根，则代数式()

a b

ab +的值是________。

3. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：。

4. 抛物线

y x x =--2

21与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________。 5. 已知，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB ＝10cm ，PA ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径＝。

6. 如图，直线TB 与△ABC 的外接圆相切于点B ，AD ∥BC,∠BAD ＝70°,∠ACB ＝40°，则∠TBC ＝。

7. 如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是AB ?

上的三等分点，若⊙O 的半径为1，E 为线段AB 上任意一点，则图中阴影

部分的面积为。

8. 已知r 1、r 2分别是⊙O 1、⊙O 2的半径,两圆有且只有一条公切线,O 1O 2 ＝ 3, r 1 ＝ 5, 则r 2 ＝。

9. 一圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径r 为 cm 。

那么该班共有人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是 .

二、选择题：

11. 已知关于x 的一元二次方程2

20x x k ++=有实数根，则k 的取值范围是（）

A. k ≤1

B. k ≥1

C. k ＜1

D. k ＞1

12. 使关于x 的分式方程

a x x a x 2

24222-+-=

-产生增根的a 的值是（） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关

13. 为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车的平均速度为x 千米/时，提速后火车的平均速度为y 千米/时，则x 、y 应满足的关系式是（）

A. x －y ＝1326

742.

B. y －x ＝1326

742.

C. 132********x y -＝.

D. 13261326

742y x -=.

14. 把抛物线y x bx c =++2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y x x =-+2

35，则有（）

A. b ＝3， c ＝7

B. b ＝－9， c ＝－15

C. b ＝3， c ＝3

D. b ＝－9， c ＝21

15. 二次函数y ax bx c =++2

的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的为（）

A. ab ＜0

B. bc ＜0

C. a ＋b ＋c ＞0

D. a －b ＋c ＜0

16. 已知点（－1，y 1）, (－3，y 2), (－0.5，y 3)在函数

y x x =++36122

的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A. y y y 123>> B. y y y 213>> C. y y y 231>> D. y y y 312>> 17. 下列语句中正确的有（）

A. 相等的圆心角所对的弧相等；

B. 平分弦的直径垂直于弦；

C. 长度相等的两条弧是等弧；

D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

18. 已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长为23cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为（） A. 1cm B. 2cm C.

2cm D. 3cm

19. 如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC,∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于（）

A. 20°

B. 30°

C. 40°

D. 50°

20. 如图， PT 是⊙O 的切线, T 为切点, PBA 是割线, 交⊙O 于A 、B 两点,与直径CT 交于点D, 已知CD ＝2, AD ＝3, BD ＝4, 那么PB 等于（）

A. 6

B. 615

C. 20

D. 7

三、解答题： 21.解方程

（1）08

032

..x x +=

（2）x

22. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连结AE，EF。

（1）试说明：AE是∠BAC的平分线；

（2）若∠ABD＝60°。问：AB与EF是否平行？请说明理由。

23. 如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）。

（1）求∠ACB；

（2）求△ABD的最大面积。

【试题答案】一、填空题 1. 13x =，21x =

3. y x =--2

1（此题答案不惟一，只要a <0，c >0都正确） 4. 22 5. 7

6. 30°

7. 16π

8. 2或8

9. 2

10. 65，2

二、选择题

11. A 12. C 13. C 14. A 15. D 16. C 17. D 18. A 19. C 20. C

21. （1）

x 132=-

，x 21

（2）检验：x x 1222==-，是原方程的解。 22. 连BE

（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°

∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°

∵AC ⊥CD ，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90° 又∵CD 与⊙O 相切，∴∠CEA ＝∠ABE ， ∴∠CAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠CAB 。

（2）∵∠ABD ＝60°，∵BD ⊥CD ，AC ⊥CD ∴AC ∥BD ，∴∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＝60° ∵∠DFE ＝∠BAE ＝60°

∴∠DFE ＝∠DBA ，∴AB ∥EF

23. （1）连OA 、OB ，过O 作OE ⊥AB 于E 点

∴

AE BE AB ==

∵OA ＝2，∴

sin ∠AOE =

∴∠AOE ＝60°，即∠AOB ＝120° ∴∠D ＝60°，∴∠D ＋∠C ＝180° ∴∠C ＝120°，∴∠ACB ＝120°

（2）要使△ABD 的面积最大，∵AB =23

∴D 在AB ?

上最高点，即过D 作AB 的垂线DE ，

∴DE 经过O 点，在Rt △AOE 中，OA ＝2，AE ＝3 ∴OE ＝1，∴DE ＝3

∴

S ABD △33=

232333

即S ABD △最大值=33