华宏2003年mba联考辅导资料(b)
中篇
３． 乘积矩阵的列向量组和行向量组，
设Ａ是ｍ？ｎ矩阵Ｂ是ｎ？ｓ矩阵． Ａ的列向量组为？１，？？２，？ ，？ｎ，Ｂ的列向量组为？１，？？２，？ ，？ｓ， ＡＢ的列向量组为？１，？？２，？ ，？ｓ，则根据矩阵乘法的定义容易看出：
① ＡＢ的每个列向量组为？ｉ＝Ａ？ｉ，ｉ＝１，２，？，ｓ．
即Ａ（？１，？？２，？ ，？ｓ）＝ （Ａ？１，Ａ？２，？ ，Ａ？ｓ）．
② ？＝（ｂ１，ｂ２， ？，ｂｎ）Ｔ，则Ａ？＝ ｂ１？１＋ｂ２？２＋ ？＋ｂｎ？ｎ．
应用这两个性质可以得到：
乘积矩阵ＡＢ的第ｉ个列向量？ｉ是Ａ的列向量组为？１，？？２，？ ，？ｎ的线性组合，组合系数就是Ｂ的第ｉ个列向量？Ｉ的各分量．
类似地， 乘积矩阵ＡＢ的第ｉ个行向量是Ｂ的行向量组的线性组合，组合系数就是Ａ的第ｉ个行向量的各分量．
以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出．然而它们无论在理论上（有助于了解代数学中各部分内容的联系）和解题中都是很有用的．请读者注意例题中对它们的应用．下面是几个简单推论．
用对角矩阵？从左侧乘一个矩阵，相当于用？的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量； 用对角矩阵？从右侧乘一个矩阵，相当于用？的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量．
单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵．
数量矩阵ｋＥ乘一个矩阵相当于用ｋ乘此矩阵．
两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘．
求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂．
４． 矩阵方程和可逆矩阵（伴随矩阵）
（１） 矩阵方程
矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程．
（Ｉ） ＡＸ＝Ｂ． （ＩＩ） ＸＡ＝Ｂ．
其中Ａ必须是行列式不等于０的ｎ阶矩阵，这样这两个方程都是唯一解．
当Ｂ只有一列时，（Ｉ）就是一个线性方程组．由克莱姆法则知它是唯一解．设Ｂ有ｓ列， Ｂ＝（？１，？？２，？ ，？ｓ），则 Ｘ也有ｓ列，记Ｘ＝（？１，？？２，？，？ｓ）．得到Ａ？ｉ＝？ｉ，ｉ＝１，２， ？，ｓ，这些方程组都是唯一解，从而ＡＸ＝Ｂ唯一解．这些方程组系数矩阵都是Ａ，可同时求解，即得
（Ｉ）的解法：
将Ａ和Ｂ并列作矩阵（Ａ｜Ｂ），对它作初等行变换，使得Ａ边为单位矩阵，此时Ｂ边为解Ｘ．
（ＩＩ）的解法：对两边转置化为（Ｉ）的形式：ＡＴＸＴ＝ＢＴ．再用解（Ｉ）的方法求出ＸＴ，转置得Ｘ．．
矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往比较复杂，要用恒等变形简化为下上基本形式再求解．
（２） 可逆矩阵
定义 设Ａ是ｎ阶矩阵，如果存在ｎ阶矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝Ｅ， ＢＡ＝Ｅ，则称Ａ为可逆矩阵．
此时Ｂ是唯一的，称为Ａ的逆矩阵，通常记作Ａ－１．
矩阵可逆性的判别：
① ｎ阶矩阵Ａ可逆？｜Ａ｜（０．
② ｎ阶矩阵Ａ和Ｂ如果满足ＡＢ＝Ｅ，则Ａ和Ｂ都可逆并且互为逆矩阵．（即 ＡＢ＝Ｅ？ＢＡ＝Ｅ．） 可逆矩阵有以下性质：
① 如果Ａ可逆，则
Ａ－１也可逆，并且（Ａ－１）－１＝Ａ，｜Ａ－１｜＝｜Ａ｜－１．
ＡＴ也可逆，并且（ＡＴ）－１＝（Ａ－１）Ｔ．
当ｃ（０时， ｃＡ也可逆，并且（ｃＡ）－１＝ｃ－１Ａ－１．
对任何正整数ｋ， Ａｋ也可逆，并且（Ａｋ）－１＝（Ａ－１）ｋ．
（规定可逆矩阵Ａ的负整数次方幂Ａ－ｋ＝（Ａｋ）－１＝（Ａ－１）ｋ．
② 如果Ａ和Ｂ都可逆，则ＡＢ也可逆，并且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．
③ 如果Ａ可逆，则Ａ在乘法中有消去律：
ＡＢ＝０＝＝＞Ｂ＝０． ＢＡ＝０＝＝＞Ｂ＝０．
ＡＢ＝ＡＣ＝＝＞Ｂ＝Ｃ． ＢＡ＝ＣＡ＝＝＞Ｂ＝Ｃ．
④ 如果Ａ可逆，则Ａ在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边）：
ＡＢ＝Ｃ？Ｂ＝Ａ－１Ｃ． ＢＡ＝Ｃ？Ｂ＝ＣＡ－１．
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：
（Ｉ） ＡＸ＝Ｂ的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ ； （ＩＩ） ＸＡ＝Ｂ的解Ｘ＝ ＢＡ－１．
这种解法自然好记，但是计算量必初等变换法大（多了一次矩阵乘积运算）．
（３） 逆矩阵的计算和伴随矩阵
逆矩阵的计算有两种方法．
①初等变换法： Ａ－１是矩阵方程ＡＸ＝Ｅ的解，于是对（Ａ｜Ｅ）用初等行变换把化为Ｅ，则Ｅ化为Ａ－１．
② 伴随矩阵法
若Ａ是ｎ阶矩阵，记Ａｉｊ是｜Ａ｜的（ｉ，ｊ）位元素的代数余子式，规定Ａ的伴随矩阵为 Ａ１１ Ａ２１ ？ Ａｎ１
Ａ＊＝ Ａ１２ Ａ２２ ？ Ａｎ２ ＝（Ａｉｊ）Ｔ．
？ ？ ？
Ａ１ｎ Ａ２ｎ ？ Ａｍｎ
规定伴随矩阵不要求Ａ可逆．但是在Ａ可逆时， Ａ＊和Ａ－１有密切关系．
基本公式： ＡＡ＊＝ Ａ＊Ａ＝ ｜Ａ｜Ｅ．
于是对于可逆矩阵Ａ，有
Ａ－１＝ Ａ＊／｜Ａ｜， 或Ａ＊＝｜Ａ｜ Ａ－１．
因此可通过求Ａ＊来计算Ａ－１．这就是求逆矩阵的伴随矩阵法．
和初等变换法比较， 伴随矩阵法的计算量要大得多，除非ｎ＝２，一般不用它来求逆矩阵．对于２阶矩阵
ａ ｂ ＊ ｄ －ｂ
ｃ ｄ ＝ －ｃ ａ ，
因此当ａｄ－ｂｃ（０时，
ａ ｂ －１ ｄ －ｂ
ｃ ｄ ＝ －ｃ ａ （ａｄ－ｂｃ） ．
伴随矩阵的其它性质：
① 如果Ａ是可逆矩阵，则Ａ＊也可逆，并且（Ａ＊）－１＝ Ａ／｜Ａ｜＝（Ａ－１）＊．
② ｜Ａ＊｜＝｜Ａ｜Ｎ－１．
③ （Ａ－Ｔ）＊＝（Ａ＊）Ｔ．
④ （ｃＡ）＊＝ｃ ｎ－１Ａ＊．
⑤ （ＡＢ）＊＝ Ｂ＊Ａ＊； （Ａｋ）＊＝ （Ａ＊）ｋ．
⑥ （Ａ＊）＊＝｜Ａ｜Ｎ－２ Ａ．
练习题二
１．设？＝（１，２，３，４）Ｔ，？＝（１，１／２，１／３／１／４）Ｔ， ？＝？？Ｔ， 求？ｎ ．
１ １／２ ０
２．设？＝ ２ １ ０ ，求？ｎ．
１ １／２ ０
１ ０ ０
３．设？＝（１，０，１）Ｔ，？＝（０，１，１）Ｔ，Ｐ＝ １ １ ０ ， Ａ＝ Ｐ－１？？ ＴＰ，求Ａ２００３．
０ ０ １
４？？？设？？？？？？？？？？？Ｔ？？？？？？？？？？？？？Ｔ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？，Ｂ＝？？？ Ｔ？？求Ｂ５．？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
５． 已知３阶行列式｜？，？，？｜＝３，求｜３？－？＋２？，？？＋？＋？，２？＋５？－７？｜．
６．已知 ３ ０ １
Ａ＝ １ １ ０ ，ＡＢ＝Ａ＋２Ｂ，求Ｂ．
０ １ ４
７． 已知 ０ １ ０ １ －１
Ａ＝ －１ １ １ ，Ｂ＝ ２ ０ ，Ｘ＝ＡＸ＋Ｂ，求Ｘ．
－１ ０ －１ ５ ３？？
８．已知 １ －２ ０
Ｂ＝ ２ １ ０ ，（Ａ－ Ｅ）Ｂ ＝ Ａ，求Ａ．
０ ０ ２
９．已知 １ １ －１
？＝ －１ １ １ ，？＊Ｘ？？？？？？？Ｘ，求Ｘ．？
？？？？？？？？？ １
１０．已知 ０ １ １
？＝ １ ０ １ ，？？？？？？？？？？？，求？．
０ １ ０
１１． １ ０ ０
设 ？？＝ －２ ３ ０ ，？？＝（？＋Ｅ）－１（？－Ｅ），则（？－Ｅ）－１＝ ．
０ －４ ５
１２． Ａ是一个３阶矩阵， ３维向量组？１， ？２ ，？３线性无关，满足Ａ？１＝？２＋？３， Ａ？２＝？１＋？３， Ａ？３＝？１＋ ？２ ．求｜Ａ｜．
１３． 设 １ ０ ０ １ ０ ０
？？＝ ０ ０ ０ ， Ｂ＝ ２ －１ ０ ， Ｘ Ｂ ＝ Ｂ Ａ，求Ｘ和Ｘ１１．
０ ０ －１ ２ １ １
１４． ２ ０ ０
设 ？？＝（１／２） ０ １ ３ ，求（Ａ＊）？？．
０ ２ ５
１５．设ｎ阶矩阵？满足？？？？？？？？？？？，证明？可逆，并求？？？和（？？？）？？ ？？？？？
１６．设ｎ阶矩阵？？满足？Ｋ？？，？ｋ为一个自然数？，证明？？？可逆？
１７．设ｎ阶矩阵？？满足？？？？？？？？？？， 并且Ａ不是数量矩阵．问ａ为什么数时Ａ？ａＥ可逆？１８． 已知ｎ阶矩阵？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？证明？？？？？．？？？
１９．设Ａ，Ｂ，Ｃ都是ｎ阶可逆矩阵，Ｄ＝（ＡＢＡＣ）？１，证明ＢＡＣＤ＝ＣＤＡＢ．
２０．设Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，ＡＢ＋Ｅ可逆．证明ＢＡ＋Ｅ也可逆，并且
（ＢＡ＋Ｅ）？１＝Ｅ？？（ＡＢ＋Ｅ）？？Ａ ．
２１．Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，并且Ｂ和Ｅ？？ＡＢ都可逆，证明：
？（Ｅ ＋Ａ？）？？？？？？？？Ｅ？？（Ｅ ＋ ＡＢ）？？Ａ？．
２２．设Ａ，？是两个ｎ阶矩阵，则（ ）是Ａ，？ 可交换的充分必要条件．
（Ａ）？ （Ａ＋？）３＝ Ａ３＋３Ａ２？ ＋３Ａ？２＋？３ ．（Ｂ） Ａ２与？２可交换．
（Ｃ）？ Ａ＋？与Ａ？？可交换． （Ｄ）？ （Ａ？？２？Ａ２？２．
２３．设Ａ，Ｂ是两个ｎ阶矩阵，满足（ＡＢ）２＝Ｅ，则（ ）成立．
？Ａ） ＡＢ＝Ｅ．（Ｂ） ｜Ａ｜｜Ｂ｜＝１．（Ｃ） ＡＢ＝ＢＡ．（Ｄ？（ＢＡ）２＝Ｅ？？
２４．设Ａ，Ｂ是两个３阶矩阵，｜Ａ－１｜＝２，｜Ｂ－１｜＝３，则｜Ａ＊Ｂ－１－Ａ－１Ｂ＊｜＝（ ）．
？Ａ）３６．（Ｂ）１／３６．（Ｃ）－６．（Ｄ？？６．
２５．已知３阶矩阵？满足：
２ １ －３ －５ －３ ９
？？２＝ １ １ －２ ， ？３＝ －３ －２ ６ ， 求？．
－３ －２ ６ ９ ６ －１７
２６．设Ａ，Ｂ是两个ｎ阶矩阵，则（ ）成立．
？Ａ） 如果Ａ，Ｂ都可逆，则 ＡＢ＝ ＢＡ． （Ｂ）如果ＡＢ是非零数量矩阵，则ＡＢ＝ ＢＡ．
（Ｃ） 如果Ａ＊Ｂ＝ ＢＡ＊，则ＡＢ＝ ＢＡ． （Ｄ？如果（ＡＢ）２＝ Ａ２Ｂ２？则ＡＢ＝ ＢＡ．
２７．设？＝（－１，－１，２），？？＝（１，１，０），？？＝２Ｅ＋？Ｔ？？，Ｂ＝Ｅ＋３？ Ｔ？？，则ＡＢ－ＢＡ＝ ． 参考答案
１．？４ｎ？ ． ２． ２ ｎ－１？．
１ １ １
３．Ａ２００３＝ Ａ＝－１ －１ －１ ．
１ １ １４？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ －６ －９ －９
？？？？ Ｂ５？Ｂ＝？？？ Ｔ？？？？？？？２ ３ ３？？？？？？？．？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？２ ３ ３
５． －１３５．
６． ５ －２ －２
Ｂ＝ ４ －３ －２ ．
－２ ２ ３
７． ３ －１
Ｘ＝ ２ ０ ．
１ －１？？
８． １ １／２ ０
Ａ＝ －１／２ １ ０ ．
０ ０ １
９． １ １ ０
？？ Ｘ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
１ ０ １
１０ ２ ２ ２
Ｂ＝－３ １ ３ ２ ．
１ １ ２
１１． （？－Ｅ）－１＝ －（？＋Ｅ）／２．
１２． ２．
１３． 设 １ ０ ０ １ ０ ０
？？＝ ０ ０ ０ ， Ｂ＝ ２ －１ ０ ， Ｘ Ｂ ＝ Ｂ Ａ，求Ｘ和Ｘ１１．
０ ０ －１ ２ １ １
１４． （Ａ＊）？？＝－４？．
１５．？？？？＝（？？？？）／２ ，（？？？）？？＝ （？？？？）／４． ？？？？？
１６．设ｎ阶矩阵？？满足？Ｋ？？，？ｋ为一个自然数？，证明？？？可逆？
１７． Ａ不等于１和２．
１８． 已知ｎ阶矩阵？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？证明？？？？？．？？？
１９．设Ａ，Ｂ，Ｃ都是ｎ阶可逆矩阵，Ｄ＝（ＡＢＡＣ）？１，证明ＢＡＣＤ＝ＣＤＡＢ．
２０．设Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，ＡＢ＋Ｅ可逆．证明ＢＡ＋Ｅ也可逆，并且
（ＢＡ＋Ｅ）？１＝Ｅ？？（ＡＢ＋Ｅ）？？Ａ ．
２１．Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，并且Ｂ和Ｅ？？ＡＢ都可逆，证明：
？（Ｅ ＋Ａ？）？？？？？？？？Ｅ？？（Ｅ ＋ ＡＢ）？？Ａ？．
２２． （Ｃ）．
２３．（Ｄ）？
２４． （Ｂ）．
２５． －１ ０ １
？ ０ ０ １ ．
１ １ －２
２６．（Ｂ）．
２７． －２ －２ －２
ＡＢ－ＢＡ＝３（？Ｔ？？ Ｔ？－？ Ｔ？？Ｔ？）＝６ －２ －２ －２ ．
－２ －２ ４
第四章 向量组的线性关系与秩
１． 向量组的线性表示关系
如果ｎ维向量？等于ｎ维向量组？１，？？２，？ ，？ｓ的一个线性组合，就说？可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示．
判别＂？是否可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示？ 表示方式是否唯一？＂就是问：向量方程
ｘ１？１＋？ｘ２？２＋？ ＋ｘｓ？ｓ＝？
是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以？？１，？？２，？ ，？ｓ？？？？为增广矩阵的线性方程组？
？？？？？？？？设？１，？？２，？ ，？ｓ？和？１，？？？２，？ ，？？ｔ？都是ｎ维向量组，如果每个？ｉ都可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示，则说向量组？１，？？？２，？ ，？？ｔ可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示．
例如， 乘积矩阵ＡＢ的列向量组可以用Ａ的列向量组线性组合．反之，如果向量组？１，？？？２，？ ，？？ｔ可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示，则矩阵（？１，？？？２，？ ，？？ｔ）等于矩阵（？１，？？２，？ ，？ｓ）和一个ｓ？ｔ矩阵Ｃ的乘积． Ｃ可以这样构造： 它的第ｉ个列向量就是？ｉ对？１，？？２，？ ，？ｓ的分解系数．
当向量组？１，？？２，？ ，？ｓ？和？１，？？？２，？ ，？？ｔ？互相都可以表示时？就说它们互相等价？并记作？？１，？？２，？ ，？ｓ？？？？？１，？？？２，？ ，？？ｔ？？？
向量组的线性表示关系有传递性？从而等价关系也有传递性？
２． 向量组的线性相关性
线性相关性是描述向量组内在关系的概念．
定义 设？１，？？２，？ ，？ｓ？是ｎ维向量组，如果存在不全为０的一组数ｃ１，ｃ２，？ ，ｃｓ使得
ｃ１？１＋ ｃ２？２＋？ ，＋ｃｓ？ｓ＝０，
则说？１，？？２，？ ，？ｓ？线性相关？否则（即要使得ｃ１？１＋ ｃ２？２＋？ ，＋ｃｓ？ｓ＝０，必须ｃ１，ｃ２，？ ，ｃｓ全为０）就说它们线性无关．
于是，？？１，？？２，？ ，？ｓ？＂线性相关还是无关＂即ｘ１？１＋ ｘ２？２＋？ ，＋ｘｓ？ｓ＝０＂有还是没有非０解＂， 也就是以（？１，？？２，？ ，？ｓ？）为系数矩阵的齐次线性方程组有无非０解．
一个向量（ｓ＝１）相关（无关）即它是（不是）零向量．
与线性相关性有关的性质：
① ？１，？？２，？ ，？ｓ？线性相关？至少有一个？ｉ可以用其它向量线性表示．
② 当向量的个数ｓ大于维数ｎ时，？？１，？？２，？ ，？ｓ？一定线性相关．
③ 线性无关向量组的每个部分组都无关（从而每个向量就不是０）．
④ 如果？１，？？２，？ ，？ｓ？线性相关？而？１，？？２，？ ，？ｓ？？线性相关？则？可用？１，？？２，？ ，？ｓ？线性表示．
⑤ 如果？可用？１，？？２，？ ，？ｓ？线性表示？则表示方式唯一？？１，？？２，？ ，？ｓ？线性无关．
⑥ 如果？１，？？？２，？ ，？？ｔ可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示，并且ｔ＞ｓ，则 ？１．？２，？，？ｔ 线性相关．
推论 如果两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量个数相等．
３．向量组的极大无关组和秩
秩是刻画向量组相关＂程度＂的一个数量概念．它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组．
定义 设？１，？？２，？ ，？ｓ？是ｎ维向量组，（Ｉ）是它的一个部分组．如果
① （Ｉ）？线性无关．
② （Ｉ）？在扩大就线性相关．
就称（Ｉ）为？１，？？２，？ ，？ｓ？的一个极大无关组．
条件②可换为：任何？Ｉ都可用（Ｉ）？线性表示？也就是（Ｉ）？与？１，？？２，？ ，？ｓ？等价？ 当？１，？？２，？ ，？ｓ？不全为零向量时？？它就存在极大无关组？？并且任意两个极大无关组都等价？从而包含的向量个数相等？
定义？？？如果？１，？？２，？ ，？ｓ？不全为零向量？则把它的极大无关组中所包含向量的个数？是一个正整数？称为？１，？？２，？ ，？ｓ？的秩？记作ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）．如果？１，？？２，？ ，？ｓ？全是零向量？则规定ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）＝０．
秩有以下性质：
① ？１，？？２，？ ，？ｓ？线性无关？ ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）＝ｓ．
②？？可用？１，？？２，？ ，？ｓ？线性表示？ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ，？）＝ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）．（见例３．２）
③ 如果ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）＝ｋ，则
ｉ）？？１，？？２，？ ，？ｓ？的每个含有多于ｋ个向量的部分组相关．
ｉｉ）？？１，？？２，？ ，？ｓ？的每个含有ｋ个向量的无关部分组一定是极大无关组．．
④ 如果？１，？？？２，？ ，？？ｔ可以用？１，？？２，？ ，？ｓ线性表示，则？
ｒ（？１，？？？２，？ ，？？ｔ）？ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）．
如果？１，？？２，？ ，？ｓ和？１，？？？２，？ ，？？ｔ等价，则？
ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ？）＝ｒ（？１，？？？２，？ ，？？ｔ）．
极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上（即包含的向量的个数不必有限），所有性质仍然成立．
４． 有相同线性关系的向量组
两个向量数相同的向量组？１，？？２，？ ，？ｓ和？１，？？？２，？ ，？？ｓ称为有相同线性关系，如果向量方程
ｘ１？１＋ ｘ２？２＋？ ＋ｘｓ？ｓ＝０和ｘ１？１＋ ｘ２？２＋？ ＋ｘｓ？ｓ＝０
同解．
（例如，当Ａ经过初等行变换化为Ｂ时， Ａ的列向量组和Ｂ的列向量组有相同线性关系．）
当？１，？？２，？ ，？ｓ和？１，？？？２，？ ，？？ｓ有相同线性关系时，
（１）它们的秩相等．
（２）它们的极大无关组相对应．
（３）它们有相同的内在线性表示关系．
５．矩阵的秩
定义 一个矩阵Ａ的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称为此矩阵的秩，记作ｒ（Ａ）．
于是
ｒ（Ａ）＝０？ Ａ＝０．
如果Ａ是ｍ？ｎ矩阵，则ｒ（Ａ）？Ｍｉｎ｛ｍ，ｎ｝，当等号成立时，称Ａ为满秩的．
如果Ａ是ｎ阶矩阵，则Ａ满秩，即ｒ（Ａ）＝ｎ？ Ａ的行（列）向量组无关
？｜Ａ｜？０？Ａ可逆？ＡＸ＝？有唯一解？齐次方程组ＡＸ＝０只有零解．
命题 ① 初等变换保持矩阵的秩？
②？阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数？
矩阵Ａ的ｒ阶子式：任取 Ａ的ｒ行和ｒ列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式．
命题 ｒ（Ａ）就是Ａ的不等于０的子式的阶数的最大值．（即Ａ的每个阶数大于ｒ（Ａ）的子式都为０，都是Ａ有阶数等于ｒ（Ａ）非０子式．）
在作矩阵的运算中，矩阵的秩有性质：
① ｒ（Ａ Ｔ）＝ｒ（Ａ）．
② 如果ｃ不为０，则ｒ（ｃＡ）＝ｒ（Ａ）．
③ ｒ（Ａ？Ｂ）？ｒ（Ａ）＋ ｒ（Ｂ）．
④ ？Ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝． ⑤当Ａ（或Ｂ）可逆时，ｒ（ＡＢ）＝ｒ（Ｂ）（或ｒ（Ａ））．
⑥ 如果ＡＢ＝０，ｎ为Ａ的列数（Ｂ的行数），则ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）？ｎ．
⑦ 如果ｒ（Ａ）等于列数，则ｒ（ＡＢ）＝ｒ（Ｂ）．
下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用．
设向量组？１，？？２，？ ，？ｓ线性无关，向量组？１，？？２，？ ，？ｔ可用？１，？？２，？ ，？ｍ线性表示，表示矩阵为Ｃ，则
ｉ） ｒ（？１，？？２，？ ，？ｔ）＝ｒ（Ｃ）．
ｉｉ） 如果ｔ＝ｓ （此时Ｃ是ｔ阶矩阵），则？１，？？２，？ ，？ｓ线性无关？ Ｃ可逆．
（令Ａ＝（？１，？？２，？ ，？ｓ）， Ｂ＝（？１，？？２，？ ，？ｔ），则Ｂ＝ＡＣ， 并且ｒ（Ａ）＝列数ｓ，用⑦得到ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ）＝ｒ（Ｃ）． ｔ＝ｓ时，Ｃ可逆？ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ）＝ｒ（Ｃ）＝ｓ ？？１，？？２，？ ，？ｓ线性无关．或直接用⑤证明ｉｉ）： Ｃ可逆时ｒ（Ｂ）＝ｒ（Ａ）＝ｓ，从而？１，？？２，？ ，？ｓ线性无关．如果Ｃ不
可逆，则ｒ（？１，？？２，？ ，？ｓ）？ｒ（Ｃ）＜ ｓ， 从而？１，？？２，？ ，？ｓ线性相关．）
练习题三
１． ？１，？２ ，．．．，？ｒ线性无关？ （ ）．
（Ａ） 存在全为零的实数ｋ１，ｋ２，．．．，ｋｒ，使得ｋ１？１＋ ｋ２？２＋．．．＋ ｋｒ？ｒ＝０；（Ｂ） 存在不全为零的实数ｋ１，ｋ２，．．．，ｋｒ，使得ｋ１？１＋ ｋ２？２＋．．．＋ ｋｒ？ｒ≠０；（Ｃ） 每个？ｉ都不能用其它向量线性表示；
有线性无关的部分组．
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MBA联考综合能力真题(完整版)
年月MBA联考综合能力真题(完整版)
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一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1.某部门在一次联欢活动中共设了26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400元，其他奖品均价为270元，一等奖的个数为 (A)6 (B)5(C)4(D)3(E)2 2.某单位进行办公室装修，若甲、乙两个装修公司合做，需10周完成，工时费为100万元;甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成，工时费为96万元.甲公司每周的工时费为 (A)7.5万元(B)7万元(C)6.5万元(D)6万元 (E)5.5万元 3.如图1，已知AE=3AB，BF=2BC.若ΔABC的面积是2，则ΔAEF的面积为 (A)14(B)12(C)10(D)8(E)6 4.某公司投资一个项目.已知上半年完成了预算的1/3,下半年完成了剩余部分的2/3此时还有8千万元投资未完成，则该项目的预算为 (A)3亿元(B)3.6亿元(C)3.9亿元(D)4.5亿元 (E)5.1亿元 5.如图2，圆A与圆B的半径均为1，则阴影部分的面积为
6.某容器中装满了浓度为90%的酒精，倒出1升后用水后又倒出1升，再用水将容器注满，已知此时的酒精浓度为40%，则该容器的容积是 (A)2.5升(B)3升(C)3.5升(D)4升(E)4.5升 7.已知为等差数列，且，则 (A)27(B)45(C)54(D)81(E)162 8.甲、乙两人上午8：00分别自A,B出发相向而行，9：00第一次相遇，之后速度均提高了1.5公里/小时，甲到B，乙到A后都立刻沿原路返回.若两人在10：30第二次相遇，则A,B两地的距离为 (A)5.6公里(B)7公里(C)8公里(D)9公里 (E)9.5公里 9.掷一枚均匀的硬币若干次，当正面向上次数大于反面向上次数时停止，则在4次之内停止的概率为 （A）（B）（C）（D）（E） 10.若几个质数(素数)的乘积为770，则它们的和为 (A)85(B)84(C)28(D)26(E)25 11.已知直线l是圆x2+y2=5在点(1，2)处的切线，则l在y轴上的截距为 (A)2/5(B) 2/3(C) 3/2(D)5/2(E)5 12.如图3，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2, F是棱C′D′的中点，则AF的长为
(完整版)MBA历年试题解析
2009年10月在职攻读工商管理硕士学位全国联考 综合能力数学试题 一?问题求解（第1~15小题，每小题3分，共45分，下例每题给 出A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑） 1. 已知某车间的男工人数比女工人数多80%,若在该车间的一次技术考核中全体工人的平均成绩为75分,而女工平均成绩比男工平均成绩高20%,则女工平均成绩为（）分。 （A）88 （B）86 （C）84 （D）82 （E）80 ［点拨］未知量设少的一方容易计算。 解：设女工人数为x，男工平均成绩为y，则 1.2y x y 1.8x 75 y 70 1.2y 84，选（C）。 x 1.8x 2. 某人在市场上买猪肉，小贩称得肉重为4斤，但此人不放心，拿出一个自备的100克重的砝码，将肉与砝码一起让小贩用原秤复称，结果重量为425斤，由此可知顾客应要求小贩补猪肉（）两 （A）3 （B）6 （C）4 （D）7 （E）8 ［点拨］比例问题，但应先化为同一计量单位。 解：——x 32，应要求小贩补猪肉40 32 8两。选（E）。 2.5 40 3. 甲、乙两商店某种商品的进价都是200元，甲店以高于进价20% 的价格出售，乙店以高于进价15%的价格出售，结果乙店的售出件数是甲店的两倍，扣除营业税后乙店的利润比甲店多5400元。若营业
税率是营业额的5%那么甲、乙两店售出该商品各为（）件 (A) 450, 900 (B) 500, 1000 (C) 550, 1100 （D）600, 1200 （E）650, 1300 ［点拨］直接设甲店售出件数，在利用利润差。 解：设甲店售出X件，则甲店的利润为200 0.2x 200 1.2x 5% 28x ,乙店的利润为200 0.15 2x 200 1.15 2x 5% 37x, 37x 28x 5400 x 600。选（D）。 4. 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相 反时每隔48秒相遇一次，当方向相同时每隔10分钟相遇一次。若甲每分钟比乙快40米，则甲、乙两人的跑步速度分别是（）米/分。 （A）470, 430 （B）380, 340 （C）370, 330 （D）280, 240 （E）270, 230 ［点拨］相遇问题。 解：设乙的跑步速度为x米/分，环形跑道长度为S，则 S 48 4 2x 4°60 5， x 230。选（E）。 —— 10. 40 5. 一艘小轮船上午& 00起航逆流而上（设船速和水流速度一定）, 中途船上一块木板落入水中，直到& 50船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于9：20追上木板，由上面数据可以算出木板落水的时间是（） （A）8：35 （B）8：30 （C）8：25 （D）8： 20 （E）8：15
2017年MBA管理类联考数学真题及解析
2017年管理类专业联考综合能力数学试题及解析 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A ．B ．C ．D ．E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1、某品牌的电冰箱连续两次降价10%后的售价是降价前的（） A.80% B.81% C.82% D.83% E.85% 2、甲、乙、丙三种货车的载重量成等差数列，2辆甲种车和1辆乙种车满载量为95吨，1辆甲种车和3辆丙种车满载量为150吨。则用甲、乙、丙各1辆车一次最多运送货物（）吨 A.125 B.120 C.115 D.110 E.105 3、张老师到一所中学进行招生咨询，上午接受了45名同学的咨询，其中的9名同学下午又咨询了张老师，占张老师下午咨询学生的10%。一天中向张老师咨询的学生人数为（） A.81 B.90 C.115 D.126 E.135 4、某种机器人可搜索到的区域是半径为1米的圆，若该机器人沿直线行走10米。其搜索过的区域的面积（单位：平方米）为（） A.102 π + B.10π+ C.202 π+ D.20π+ E.10π 5、不等式12x x -+≤的解集为（） A.(],1-∞ B.3,2 ??-∞ ?? ? C.31,2 ?????? D.[)1,+∞ E.3,2??+∞???? 6、在1与100之间，能被9整除的整数的平均值为（） A.27 B.36 C.45 D.54 E.63 7、某试卷由15道选择题组成，每道题有4个选项，只有一项是符合试题要求的，甲有6道题能确定正确选项，有5道题能排除2个错误选项，有4道题能排除1个错误选项。若从每
MBA联考综合能力模拟试题及答案
M B A联考综合能力模拟试 题及答案 Prepared on 24 November 2020
【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】 【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】 2015年MBA联考综合能力模拟试题及答案 一、问题求解(本大题共15小题，每小题3分，共45分)。 下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1．已知a=2005/2006, b=2006/2007, c=2007/2008, 则( )。 A. a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a E．以上结论均不正确 2．由整数的唯—分解定理：任一大于1的整数都能表成质数(素数)的乘积，即对于任一整数n>1，有 n=P1P2…P s， P1≤P2≤…≤P s 这里P1P2，…，P n是质数，且这种表示法是唯一的。现定义n的长度为S，则小于1000的正整数的长度最大可能是( )。 A. 10 B. 9 C．8 D．7 E．6 3．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )。 A. 3π B．4π C．π D．6π E．6 π 4．某单位有同规格的办公室若干间。若2人一间，则还有10人没有办公室，若4人一间，则仅有一间办公室不到4人，该单位的员工人数是( )。 A．18 B. 20 C．22 D．26 E．28 5．两个相同规格的容器，分别装上A，B两种液体后的总重量是1800克和1250克，已知A液体的重量是B液体的两倍，那么这个空容器的重量是( )克。 A. 550 B．600 C．700 D．1100 E．1200 6．A，B两地相距96公里，甲，乙两辆车同时从A地出发匀速驶往B地。开车1小时后，甲车在乙车前方12公里处，甲车比乙车早40分钟到达B地，甲车的行车速度是( )。 A. 12 B．24 C．36 D．48 E．60 7．某车间开展劳动竞赛后，每人1天多做10个零件，这样8个工人一天所做的零件就超过了200个。后来改进技术，每人1天又多做27个零件。这样他们4个人l天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人所做的零件个数，则该车间改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的( )。 A. 倍 B．倍 C．4倍 D．倍 E．倍 8．从1，3，5，7中任取两个不同的数，分别记作k, b，作直线y=kx+b，则这样的直线最多可作( )。 A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 E．24条 9．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是( )。 A． B. C. D. E. 10．方程x2-2007 |x|=2008 所有实数根的和等于( )。 A. 2007 B. 4 C．2 D．-2007 E．0 11. 若 f(x)=(m+1)x2-(m-1)x=3(m-1)<0 对一切实数x恒成立，则 m 的取值范围是（）。 A. (1,+ ) B. (- .-1) C. (- ,- ) D.( - ,- ) (1,+ ) E.不能确定 12. 若数列由a1=2,a n+1=a n+2n(n≥1)确定，则a100的值是( )。 A. 9900 B．9902 C．9904 D．10100 E．11000 13．在正数组成的等比数列中，公比q=5，且a1a2a3…a29a30，则a3a6a9…a30=( )。 A. 510 B. 520 C．516 D．515 E．514 14．已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图1所示，则阴影三角形的面积等于( )。 A. 8 B. 10 C．12 D．14 E．16 15．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=O的距离等于1的点有( )。 个个个 D．4个 E．5个 二、条件充分性判断(本大题l0小题，每小题3分，共30分) 解题说明：
MBA、MPA、MPACC管理类联考综合能力真题及答案1.doc
2012年MBA、MPA、MPACC管理类联考 综合能力真题及答案1 2012年硕士研究生入学考试管理类专业硕士综合能力真题及参考答案 说明：由于2012年试题为一题多卷，因此现场试卷中的选择题部分，不同考生有不同顺序。请在核对答 案时注意题目和选项的具体内容。一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡．．．上将所选项的字母涂黑。1.某商品的定价为200元，受金融危机的影响，连续两次降价20%后的售价为（A ）114元（B ）120元（C ）128元（D ）144元（E ）160元 2.如图1 ?ABC 是直角三角形，1S 2S 3S 为正方形，已知 a ， b ， c ，分别是1S 2S 3S 的边长，则 （A ）a=b+c (B) a 2 =b 2 +c 2
=2b 2 +2c 2 (D) a 3=b 3+c 3 (E) a 3=2b 3+2c 3 图1 3. 如图2，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是20m 的圆柱形、上半部分（顶部）是半球形，已知底面与顶部的造价是400元/m 2 ，侧面的造价是300元/ m 2 ,该储物罐的造价是。（≈π 3.14） （A ）56.52万元（B ）62.8万元（C ）75.36万元（D ）87.92万元 （ E ）100.48万元图2 4. 在一次商品促销活动中，主持人出示一个9位数，让顾客猜测商品的价格，商品的价格是该9位数中从左到右相邻的3个数字组成的3位数，若主持人出示的是513535319，则顾客一次猜中价格的概率是
MBA管理类联考综合能力试卷
管理类联考综合能力试卷 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A、B、 C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1．一家商店为回收资金，把甲乙两件商品以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）。 A．不亏不赚B．亏了50元C．赚了50元 D．赚了40元E．亏了40元 2．某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12。由于先增加若干名女运动员，使男女运动员比例变为20:13，后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例最终变为30:19。如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员的总人数为（）人。 A．686 B．637 C．700 D．661 E．600 3．某工厂定期购买一种原料。已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元，原料保管等费用平均每吨3元，每次购买原料需支付运费900元。若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料。 A．11 B．10 C．9 D．8 E．7 4．在某实验中，三个试管各盛水若干克。现将浓度为12%的盐水10克倒入A 管中，混合后取10克倒入B管中，混合后再取10克倒入C管中，结果A、B、C三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（）。 A．A试管，10克B．B试管，20克C．C试管，30克D．B试管，40克E．C试管，50克 5．一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间。若船在静水中的速度不变，则当这
条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将（ ）。 A ．增加 B ．减少半个小时 C ．不变 D ．减少1个小时 E ．无法判断 6．方程214x x -+=的根是（ ）。 A ．5x =-或1x = B ．5x =或1x =- C ．3x =或5 3 x =- D ．3x =-或53 x = E ．不存在 7．230x bx c ++= （0c ≠）的两个根为α、β，如果又以αβ+、αβ为根的一元二次方程是230x bx c -+=，则b 和c 分别为（ ）。 A ．2，6 B ．3，4 C ．2-，6- D ．3-，6- E ．以上均不对 8．若()()()()()()2 2 121111211n n n x x x a x a x na x ++++++=-+-++-L L 1，则 12323n a a a na ++++=L （ ）。 A ．312n - B ．1312n +- C ．3321n +- D ．332n - E ．334 n - 9．在36人中，血型情况如下：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人。若从中随机选出两人，则两人血型相同的概率是（ ）。 A ．77 315 B ． 44315 C ． 33315 D ． 9122 E ．以上均不对 10．湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似成正方形的四个顶点。若要修建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）种。 A ．12 B ．16 C ．18 D ．20 E ．24
历年mba联考综合考试真题及答案汇总
下面给大家汇总一下历年mba联考综合考试真题及答案备考攻略，希望可以帮到大家。想要了解更多权威真题下载，请与我们联系 2010年1月MBA联考综合真题 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1. 电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映一小时后，女士的20，男士的15离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（A）4:5 （B）1:1 （C）5:4 （D）20:17 （E）85:64 2. 某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15,则该商品的标价为 （A）276元（B）331元（C）345元（D）360元（E）400元 3. 三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，他们的年龄之和为 （A）21 （B）27 （C）33 （D）39 （E）51 4. 在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z= （A）2 （B）（C）3 （D）（E）4 5. 如图1，在直角三角形ABC区域内部有座山，现计划从BC边上的某点D开凿一条隧道到点A，要求隧道长度最短，已知AB长为5km，AC长为12km，则所开凿的隧道AD的长度约为 （A）（B）（C）（D）（E） 6. 某商店举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在4种赠品中随机选取2件不同的赠品，任意两位顾客所选的赠品中，恰有1件品种相同的概率是（A）（B）（C）（D）（E） 7. 多项式x3+ax2+bx-6的两个因式是x-1和x-2，则其第三个一次因式为 （Ａ）x-6 （B）x-3 （C）x+1 （D）x+2 （E）x+3 8. 某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机登记证、汽车驾驶证的人数分别为130，110，90. 又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证的人数为
MBA联考综合能力模拟试题及答案解析(1)
MBA联考综合能力模拟试题及答案解析（1） (1/21)逻辑推理 下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。 第1题 交管局要求司机在通过某特定路段时，在白天也要像晚上一样使用大灯，结果发现这条路上的年事故发生率比从前降低了15%。他们得出结论说：如果在全市范围内都推行该项规定会同样地降低事故发生率。 以下哪项如果为真，最能支持上述论证的结论? A.事故发生率与能见度有密切的关系。 B.由于可以选择其他路线，因此所测试路段的交通量在测试期间减少了。 C.在某些条件下，包括有雾和暴雨的条件下，大多数司机已经在白天使用了大灯。 D.司机们对在该测试路段使用大灯的要求的了解来自于在每个行驶方向上的三个显著的标牌。 E.该测试路段在选取时包括了在该市驾车时可能遇到的多种路况。 下一题 (2/21)逻辑推理 下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。 第2题 在20年内，识别针对某个人可能有的对某种疾病的基因敏感性或许是可以做到的。结果是，可以找出有效的措施来抵制每种这样的敏感性。所以，一旦找到了这样的措施，按这些措施做的人就再也不会生病了。 以上的论证依据下面哪个假设? A.对每种疾病来讲只有一种阻止其发生的措施。 B.在将来，基因学是唯一的有重要意义的医学专业。 C.所有的人类疾病部分意义上都是个人基因敏感性的结果。 D.所有人在基因上对某些疾病都是敏感的。 E.当确信某种医疗建议时，人们会按建议去做。 上一题下一题 (3/21)逻辑推理 下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。 第3题 对某生产事故原因的民意调查中，70%的人认为是设备故障，30%的人认为是违章操作，25%的人认为原因不清，需要深入调查。 以下哪项最能合理地解释上述看来包含矛盾的陈述? A.被调查的有125个人。 B.有的被调查者改变了自己的观点。 C.有的被调查者认为事故的发生既有设备故障的原因，也有违章操作的原因。 D.很多认为原因不清的被调查者实际上有自己倾向性的判断，但不愿意透露。 E.调查的操作出现技术性差错。 上一题下一题 (4/21)逻辑推理 下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求。 第4题 随着文化知识越来越重要，人们花在读书上的时间越来越多，文人学子中近视患者的比例越
2019全国MBA联考综合能力真题及答案
1、某车间计划10天完成一项任务，工作3天后事故停工2天，若仍要按原计划完成任务，则工作效率要提高( ) % % % % E. 60% [参考答案]C [详解]整个工程看做单位"1"，原计划的工作效率为1/10，实际的工作效率为(1-1/10x3)/( 10-3-2) =7/50，因此工作效率提高了(7/50-1/10)/(1/10)=40%，选C。 2、函数f(x)=2x+a/π2(a﹥0)，在(0，+∞)内最小值为f(x0)=12，则x0= [参考答案]B [详解]利用三个数的均值定理求最值：a+b+c≥33√abc。f(x)=2x+a/x2=x+x+a/x2≥33√x*x*a/x2，因此最小值为33√a=12→a=64，因此x=x=64/x2→x=4，选B。 （ 3、某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男、女观众人数为（） :4 :6 :13 :12 :3
[参考答案]C [详解]如图可得：一季度男女观众人数分別为: 男: 5w+ 4w+ 3w= 12w 女: 6w+ 3w+ 4w= l3w 故一季度男女人数比的: 12:13，选C。 4、; 2+b2=( ) 5、没实数a,b満足ab=6，|a+b| +|a-b|=6，则a E. 14 [参考答案]D [解析] : ab=6,特值法a=2，b=3満足条件，a2+b2=4+9=13，选D。 6、设圆C与圆(x-5)2+y2=2，关于y=2x时称，则圆C方程为( ) A.(x-3)2+(y-4)2=2 B.(x+4)2+(y-3)2=2 B.(x-3)2+(y+4)2=2 D.(x+3)2+(y+4)2=2 E.(x+3)2+(y-4)2= 2 … [参考答案]E 7、将一批树苗种在应该正方形花园边上，四角都种，如果每隔3米种一棵，那么剩下10课树苗,如果每隔2米种一棵那么种满正方形的3条边,则这批树苗有( ) 棵 A、54 B、60 C、70 D、82 E、94 [参考答案]D [详解]设正方形的边长为x，由已知可得方程4x/3+10=3x/2+1，求解得x=54
2013年MBA联考综合能力真题(完整版)
2013年全国硕士研究生入学统一考试 管理类专业学位联考综合能力试题 一、问题求解（第1～15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一个是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）。 1.某工厂生产一批零件，计划10天完成任务，实际提前两天完成，则每天的产量比计划平均提高了（ ）。 A.15% B.20% C.25% D.30% E.35% 2.甲乙两人同时从A 地出发，沿400米跑道同向匀速行走，25分钟后乙比甲少走了一圈。若乙行走一圈需要8分钟，则甲的速度是（ ）米/分钟 A.62 B.65 C.66 D.67 E.69 3.甲班共有30名学生，在一次满分为100分的考试中，全班平均成绩为90分，则成绩低于60分的学生至多有（ ）个。 A.8 B.7 C.6 D.5 E.4 4.某工程由甲公司承包需60天完成，由甲、乙两公司共同承包需28天完成，由乙、丙两公司共同承包需35天完成，则由丙公司承包并完成该工程需要的天数是（ ） A.85 B.90 C.95 D.100 E.105 5.已知) 10)(9(1)3)(2(1)2)(1(1)(+++???++++++=x x x x x x x f ，则=)8(f （ ） A.91 B.101 C.161 D.171 E.18 1 6.甲乙两商店同时购进了某品牌电视机，当甲商店售出了15台时乙商店售出了10台，此时两店的库存比为8:7，库存差为5，则甲乙两店总进货量为（ ） A.75 B.80 C.85 D.100 E.125 7.如图，在直角三角形ABC 中，4=AC ，3=BC ，BC DE //，已知梯形BCDE 的面积为3，则=DE （ ） A.3 B.13+ C.434- D.223 E.12+ 8.点)4,0(关于关于直线012=++y x 的对称点为（ ） A.)0,2( B.)0,3(- C.)1,6(- D.)2,4( E.)2,4(-
2015年管理类联考MBA综合能力数学真题及答案解析 (1)
2015年管理类联考综合能力数学真题 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡．．． 上将所选项的字母涂黑。 1、若实数c b a ,,满足5:2:1::=c b a ，且24=++c b a ，则=++222c b a （ ） （A ）30 （B ）90 （C ）120 （D ）240 （E ）270 2、设n m ,是小于20的质数，满足条件2=-n m 的{}n m ,共有（ ） （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）5组 （E ）6组 3、某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门人数是甲部门人数的2倍；如果把乙部门员工的5 1调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司的总人数为（ ） （A ）150 （B ）180 （C ）200 （D ）240 （E ）250 4、如图，BC 是半圆的直径，且BC=4，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为（ ） （A ）334-π （B ）3234-π （C ）332+π （D ）323 2+π （E ）322-π 5、某人驾车从A 地赶往B 地，前一半路程比计划多用了45分钟，平均速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B 地，则A 、B 两地距离为（ ） （A ）450千米 （B ）480千米 （C ）520千米 （D ）540千米 （E ）600千米 6、在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为80，81和81.5，三个班的学生分数之和为6952，三个班共有学生（ ） （A ）85名 （B ）86名 （C ）87名 （D ）88名 （E ）90名 7、有一根圆柱形铁管，管壁厚度为0.1m ，内径为1.8m ，长度为2m ，若将该铁管熔化后浇铸成长方体，则该长方体的体积为() 14.3,:3≈πm 单位（ ） （A ）0.38 （B ）0.59 （C ）1.19 （D ）5.09 （E ）6.28 8、如图，梯形ABCD 的上底与下底分别为5，7，E 为AC 与BD 的交点，MN 过点E 且平行于AD ，则MN=（ ） （A ）526 （B ）211 （C ）635 （D ）736 （E ）740
2013年MBA联考综合能力真题(完整版)
2013年全国硕士研究生入学统一考试 管理类专业学位联考综合能力试题 一、问题求解（第 1?15小题，每小题 3分，共45分，下列每题给出的 A 、B 、C D E 五个选项中，只有一个是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑） 。 1.某工厂生产一批零件，计划 10天完成任务，实际提前两天完成，则每天的产量比计 划平均提高了（ ）。 A. 15% B.20% C.25% D.30% E.35% 2.甲乙两人同时从 A 地出发，沿400米跑道同向匀速行走，25分钟后乙比甲少走了一 圈。若乙行走一圈需要 8分钟，则甲的速度是（ ）米/分钟 B. 丄 10 C. 丄 16 D. — 17 E. — 18 6.甲乙两商店同时购进了某品牌电视机，当甲商店售出了 15台时乙商店售出了 10 此时两店的库存比为 8:7，库存差为5,则甲乙两店总进货量为（ 7.如图，在直角三角形 ABC 中，AC=4, BC=3, DE//BC ，已知梯形BCDE 的 面积为3，则DE =（） 1 / 17 A.62 B.65 C.66 D.67 E.69 3.甲班共有30名学生, 低于60分的学生至多有（ 在一次满分为 ）个。 100分的考试中, 全班平均成绩为90分，则成绩 A.8 B.7 C.6 D.5 E.4 4.某工程由甲公司承包需 两公司共同承包需 35天完成, 由甲、乙两公司共同承包需 28天完成，由乙、 ） 60天完成， 则由丙公司承包并完成该工程需要的天数是（ A.85 B.90 C.95 D.100 E.105 5.已知 f(x)= + ----------------- + ...+ (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 9)( x 10) ，则 f(8)=( A.75 B.80 C.85 D.100 E.125 台,
MBA联考综合能力-89
MBA联考综合能力-89 (总分：167.00，做题时间：90分钟) 一、问题求解(总题数：15，分数：45.00) 1.若x3+x2+ax+b台旨被x2-3x+2整除，则 ? A. a=4，b=4 ? B. a=-4，b=-4 ? C. a=10，b=-8 ? D. a=-10，b=8 ? E. a=2，b=0 A. B. C. D. √ E. x2-3x+2=(x-1)(x-2)，令x=1，a+b+2=0，令x=2，2a+b+12=0．解得a=-10，b=8． 2.已知圆C与圆：x2+y2-2x=0关于直线x+y=0对称，则圆C的方程为( ) ? A. (x+1)2+y2=1 ? B. x2+y2=1 ? C. x2+(y+1)2=1 ? D. x2+(y-1)2=1 ? E. 以上都不对 A. B. C. √ D. E. 已知圆x2+y2-2x=0圆心为(1，0)，半径为1。故圆C的圆心为(0，-1)，半径为1，故圆C的方程可知。 3.如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006= ? A. 2004 ? B. 2005 ? C. 2006 ? D. 2007 ? E. 2008 A. B. C. √
D. E. 数列通项公式与周期规律的应用．[解析] 观察正方形每翻转4次P点回到左上角，所以周期为4且坐标增加4．因为2006次=2004次+2次，所以坐标为-1+2004+3=2006，选C．[评注] 通过对所给图像的观察，总结规律关系式，进行解答． 4.一个球从18010次着地时，共经过的路程是______米。(精确到1米且不计任何阻力) ? A.480 ? B.300 ? C.240 ? D.450 ? E.360 A. B. √ C. D. E. 5.某城市现居民住房的总面积为a平方米，当地政府计划每年以20%的住房增长率建设新房，并决定每年拆除固定数量的危旧房。如果10年后该地的住房总面积正好比现有住房面积翻了两番，那么，每年应该拆除危旧房的面积是______平方米。(注：1.29≈5.2，1.210≈ 6.2，1.211≈6.4，精确到小数点后一位) E．以上结论都不正确 A. B. √ C. D. E. 6.某公司电子产品1月份按原定价的80%出售，能获利20%，2月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么2月份进价是1月份的{{U}} {{/U}}． ? A.92% ? B.90% ? C.85% ? D.80% ? E.75% A. B. √ C. D. E. 设1月份进价为t，则有[*]，其中S为原定价，对于2月份，有[*]，其中t'为2月进价．故选B．
MBA联考综合能力真题2017年
[真题] MBA联考综合能力真题2017年 一、问题求解下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一个选项符合试题要求． 第1题： 甲从1、2、3中抽取一个数，记为a；乙从1、2、3、4中抽取一数，记为b，规定当a＞b或者a+1＜b时甲获胜，则甲取胜的概率为______。 A. B. C. D. E. 参考答案：E [解析] 穷举法设取的数为点集(a，b)满足a＞b或a+1＜b的情况有(2，1)、(3，1)、(3，2)和(1，3)、(1，4)、(2，4)共6种，而全部的点集总数为3×4=12 种，所以甲获胜的概率为。故选E。 第2题： 已知△ABC和△A'B'C'满足AB:A'B'=AC:A'C'=2:3，∠A+∠A'=π，则△ABC和△A'B'C'的面积比为______。 A. B. C.2:3 D.2:5 E.4:9 参考答案：E 第3题： 将6人分成3组，每组2人，则不同的分组方式共有______。 A.12种 B.15种 C.30种
D.45种 E.90种 参考答案：B [解析] 直接法平均分组，。故选B。 第4题： 甲、乙、丙三人各投篮10次，投了3轮，投中次数如下表：
| 第一轮 | 第二轮 | 第三轮 | |||||||||||||||||||||||
| 甲 | 2 | 5 | 8 | ||||||||||||||||||||||
| 乙 | 5 | 2 | 5 | ||||||||||||||||||||||
| 丙 | 8 | 4 | 9 | ||||||||||||||||||||||
2004年10月MBA考试综合能力真题和答案
一、问题求解 (本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的五项选择中选择一项) 1、甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行。1小时后他们分别到达各自的终点A和B。若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B。问甲的速度和乙的速度之比是 A、3:5 B、4:3 C、4:5 D、3:4 E、以上结论均不正确 2、某单位有职工40人，其中参加计算机考核的有31人，参加外语考核的有20人，有8人没有参加任何一种考核，则同时参加两项考核的职工有 A、10人 B、13人 C、15人 D、19人 E、以上结论均不正确 3、若展开式的第4项与第6项的和等于第5项的2倍，则.x= 4、由图形判断如下三个表达式的大小： Y g(x) a b X A、xzw B、-xzw C、yzw D、-yzw E、以上结论均不正确 7、根据图形(a)、(b)、(c)、(d)，判断函数f(x)的单调性 Y X Y y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) X X Y Y X (a) (b) (c) (d) A、(a) (b) (d) (c) 均单调增加 B、(a) (d) 单调增加，(b) (c) 单调减少 C、(a) (c) 单调增加，(b) (d) 单调减少 D、(a) (b) (d) 单调增加，(c) 单调减少 E、(a) (b) (c) 单调增加，(d) 单调减少 9、三阶矩阵A的元素全为2，则A的特征值为 A、0，6，-6 B、0，0，6 C、0，0，-6 D、0，2，6 E、2，2，2 10、甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.80和0.75。今每人各投一球，结果有一球命中。乙未命中的概率为 11、某保险公司向2500名同一年龄的特定对象售出年保险金额为5万元的人寿保险，每人应付年保险费200元。若一年里每个被保险人的死亡概率是0.002，则保险公司年利润（利息
MBA联考综合真题及参考答案
M B A联考综合真题及参 考答案 The pony was revised in January 2021
2010年1月MBA联考综合真题 一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A、B、C、D、 E五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1. 电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映一小时 后，女士的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为 （A）4:5 （B）1:1 （C）5:4 （D）20:17 （E）85:64 2. 某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15%,则该商品的标价为 （A）276元（B）331元（C）345元（D）360元（E）400元 3. 三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数）， 且依次相差6岁，他们的年龄之和为 （A）21 （B）27 （C）33 （D）39 （E）51 4. 在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z= （A）2 （B）（C）3 （D）（E）4 23
x a y b c z 5. 如图1，在直角三角形ABC区域内部有座山，现计划从BC边上的某点D开凿一 条隧道到点A，要求隧道长度最短，已知AB长为5km，AC长为12km，则所开 凿的隧道AD的长度约为 （A）4.12km （B）4.22km （C）4.42km （D）4.62km （E）4.92km 6. 某商店举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在4种赠品中随机选取2 件不同的赠品，任意两位顾客所选的赠品中，恰有1件品种相同的概率是 （A）（B）（C）（D）（E） 7. 多项式x3+ax2+bx-6的两个因式是x-1和x-2，则其第三个一次因式为 （Ａ）x-6 （B）x-3 （C）x+1 （D）x+2 （E）x+3 8. 某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机登记证、汽车驾驶证的人数分别为 130，110，90. 又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证的人数为
2002年01月MBA考试综合能力真题和答案
一、条件充分性判断（本题共20小题，每小题2分，共40分） 解题说明： 本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读条件（1）和（2）后选择： A：条件（1）充分，但条件（2）不充分 B：条件（2）充分，但条件（1）不充分 C：条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D：条件（1）充分，条件（2）也充分。 E：条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。 1．? 对于一项工作，丙的工作效率比甲的工作效率高。 （1）甲，乙两人合作，需10天完成该项工作 （2）乙，丙两人合作，需7天完成该项工作 2．对于数列{a[m1]? n}（n=1，2，…）[m2]? ，s100＝a1+a2+[m3]? …+a100的值可确定。（1）a1+a2+[m4]? a98+a99=10 （2）a1+a2+[m5]? a97+a98=12 3．甲数比丙数小 （1）甲数和乙数之比是2：3，乙数和丙数之比是8：7 （2）丙数是甲数与乙数之差的120％ 4．不等式˛－xI+˛+xI>a对于任意的x成立 （1）a∈(-∞,2)? （2）a=2 5.（x+? ）6的展开式中，常数项为60。? （1）a=1? （2）a=-2 6．x和y的算数平均值为5，且? （1）x=4,? y=6? （2）x=2,? y=8 7.在一个宴会上，每个客人都免费获得一份冰淇淋或一份水果沙拉，但不能同时获得二者，可以确定有多少客人能获得水果沙拉。 （1）在该宴会上，60％的客人都获得了冰淇淋 （2）在该宴会上，免费提供的冰淇淋和水果沙拉共120份。 8．可以确定每杯葡萄酒的价格上涨了百分之几。 （1）每杯葡萄酒的价格上涨了0.5元 （2）葡萄酒的价格上涨后每杯7元 9．王刚和赵宏一起工作，一小时可打出9000字的文件，可以确定赵宏单独工作1小时打多少字。 （1）王刚打字速度是赵宏打字速度的一半 （2）王刚单独工作3小时可以打9000字。 10．张文从农场用车运输1000只鸡到鸡场，可以确定路程有多远。 （1）张文的车可运载44箱鸡蛋 （2）从农场到市场的距离为200公里 11．某一动画片由17280幅画面组成。可以确定放映该动画片需要多少分钟。 （1）该动画片在不受干扰的情况下每秒针滚动24幅画面
emba联考综合能力试题
1-5 BABAE 6-10 ACAAE 11-15 DBCDE 16-20 ABDAD 21-25 EACAC 三、逻辑推理：第26～55小题，每小题2分，共60分。下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 26. 人民既是历史的创造者，也是历史的见证者;既是历史的“剧中人”，也是历史的“剧作者”。离开人民，文艺就会变成无根的浮萍、无病的呻吟、无魂的躯壳。观照人民的生活、命运、情感，表达人民的心愿、心情、心声，我们的作品才会在人民中传之久远。 根据以上陈述，可以得出以下哪项? (A)只有不离开人民，文艺才不会变成无根的浮萍、无病的呻吟、
无魂的躯壳。 (B)历史的创造者都不是历史的“剧中人”。 (C)历史的创造者都是历史的见证者。 (D)历史的“剧中人”都是历史的“剧作者”。 (E)我们的作品只要表达人民的心愿、心情、心声，就会在人民中传之久远。 27. 盛夏时节的某一天，某市早报刊载了由该市专业气象台提供的全国部分城市当天天气预报，择其内容列表如下： 天津阴上海雷阵雨昆明小雨 呼和浩特阵雨哈尔滨少云乌鲁木齐晴 西安中雨南昌大雨香港多云 南京雷阵雨拉萨阵雨福州阴
根据上述信息，以下哪项作出的论断最为准确? (A)由于所列城市盛夏天气变化频繁，所以上面所列的9类天气一定就是所有的天气类型 (B)由于所列城市并非我国的所有城市，所以上面所列的9类天气一定不是所有的天气类型 (C)由于所列城市在同一天不一定展示所有的天气类型，所以上面所列的9类天气可能不是所有的天气类型 (D)由于所列城市在同一天可能展示所有的天气类型，所以上面所列的9类天气一定是所有的天气类型 (E)由于所列城市分处我国的东南西北中，所以上面所列的9类天气一定就是所有的天气类型 28. 现在许多人很少在深夜11点以前安然入睡，他们未必都在熬夜用功，大多是在玩手机或看电视，其结果就是晚睡，第二天就会头晕脑涨、哈欠连天。不少人常常对此感到后悔，但一到晚上他们多半还会这么做。有专家就此指出，人们似乎从晚睡中得到了快乐，但这种快乐其实隐藏着某种烦恼。
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