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最新高级微观经济学试题练习-ONLY题目(新题标记版)

最新高级微观经济学试题练习-ONLY题目(新题标记版)

Shang Hai Normal University

《高级微观经济学》习题

1.一个凸的、单调偏好的消费者消费非负数量的12,x x :

(1)如果121212/(,)a a

u x x x x -=代表其偏好,那么,对参数值a 的取值有什么

限制?请解释。

(2)给定这些约束,计算马歇尔需求函数

2.已知柯布-道格拉斯效用函数11212αα(,)u x x x x -=,试回答下列问题:

(1)导出马歇尔需求函数(,)x p m 和间接效用函数(,)v p m ,并验证罗伊恒等式

(2)验证(,)x p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 (2)验证(,)x p m 满足瓦尔拉斯定律 (3)验证(,)v p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 (4)验证(,)v p m 在(,)p m 上是拟凹的

3.已知 CES 效用函数ρ

ρρ1

2121x x x x u )(),(+=(10<≠ρ),试回答下列问题:

(1)导出的希克斯需求函数(,)h p u 和支出函数(,)e p u ,并验证谢泼德引理 (2)验证(,)h p u 在p 上是零次齐次的

(3)验证(,)h p u 满足((,))u h p u u =,即没有超额效用 (4)验证(,)e p u 在p 上是一次齐次的 (5)验证(,)e p u 在u 上是严格递增的 (6)验证(,)e p u 在p 上是凹的

4.考察下式给出的间接效用函数:1212

(,,)m

v p p m p p =

+,求: (1) 马歇尔需求函数

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(2) 支出函数 (3) 直接效用函数

5.(,)i x p m 是消费者对商品i 的马歇尔需求函数(1,...,i k =),其需求收入弹性

和需求需求交叉价格弹性分别为:i i i x m m x η?=?,j i ij j i

p x p x γ?=?,试证明:

(1) 恩格尔加总规则:1

1k

i i i s η==∑,这里/i i i s p x m =

(2) 古诺加总规则:1

k

i ij i s s γ==-∑

6.令斯卢茨基方程右端第一项h i j x p ??

? ? ????

为ij s ,ij s 为i x 和j x 的净替代效应,设效用

函数为12r u x x =,试证明:1111220s p s p +=

7.某人的效应函数是1212(,)u x x x x =,他的收入100m =。最初的商品价格是p=(1,1),假设现在价格变化为p’=(1/4, 1)。计算EV 、CV 和⊿CS,比较计算结果并做简要解释

8.设一个严格风险规避者的期望效用函数为()u ?,他的初始财富W 0面临着损失L 美元的风险,设发生损失的概率为π。决策者可以购买保险以规避风险,假设1美元财产的保险费为p ,当损失发生时保险公司提供1美元的补偿;假设保险价格为公平保费率,则决策者会购买多少保险?

9.设消费者的期望效用函数为1()/u w w =-,他可以参加一次赌局,以p 的概率获得财富w 1,以(1-p )的概率获得财富w 2,当初始财富水平w 0为多少时,维持现有财富与接受赌局对他来说是无差异的?

10.如果个体的期望效用函数形如:2

0()u w Aw Bw B =->

(1)求该个体的绝对A-P 风险规避系数和相对A-P 风险规避系数;

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(2)证明绝对A-P 风险规避系数是财富ω的单增函数

11.证明:

(1)A-P 绝对风险厌恶系数A(w)=c 的充要条件是期望效用函数为:

0()()cx u w Ae A -=->

(2)A-P 相对风险厌恶系数R(w)=c≠1的充要条件是期望效用函数为:

10()()c u w Aw B A -=+>

(3)A-P 相对风险厌恶系数R(w)=1的充要条件是期望效用函数为:

0()ln ()u w A w B A =+>

12.假设某人是风险厌恶的,有2万元的初始财富;假设某种事故的发生的概率为50%,在事故发生的情况下该人的财富会损失一半:

(1)如果由一个保险公司向该个体提供事故保险,公平保费率应该是多少?用图解释,在公平保费率下,这个人会购买完全保险。

(2)如果有A 和B 两家保险公司同时以公平保费率提供保险服务,但A 公司要求客户只能购买完全保险,而B 公司不允许客户的投保超过他所有财产的一半,证明这个人会购买A 公司的保险。

13.考虑下面保险需求的比较静态问题:

(1)证明:如果其他条件不变,则灾害发生的概率越高,或者灾害损失越大,则个体投保的金额越高

(2)如果灾害发生的概率p 增加时,保险公司按比例提高保费率:

00ππβ()p p =+-,讨论灾害发生概率从p 0增加到p 时保险需求的变化。

14.将A-P 绝对风险厌恶系数的导数定义为个体的风险容忍系数(risk tolerance ):

()1()'()"()R Tx Ax u x u x ==-,假设个体具有线性风险容忍系数:

()RT x x αβ=+,试证明:

()

10,1,11b

u a x γαβγβγ-=≠?=+

=-

14.当12αα≠时,一般的CES 技术(

)

11122

y x x

=+ρρρ

αα的替代弹性为多少?

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15.设生产函数为

1

121()()y f x k x x ---==+αβ(其中,000,,y k >>≤≤αβ)中各要素的产出弹性,并证明该生产技术的规模弹性为:

1

()(,)()

n

i i

i f x x

u x t f x ==

16.设12(,)f x x 是位似函数,证明它在12(,)x x 的技术替代率等于它在12(,)tx tx 处的技术替代率,即证明:1212(,)(,)MRTS tx tx MRTS x x =

17.对于C-D 生产函数12y Ax x =αβ

,求相应的条件要素需求函数和成本函数。当

A =1,1+=αβ时的成本函数又是什么?

18.对于C-D 生产函数

αβ

y Ax x αβαβA 120,1,0=>+≤>,, (1) 验证:仅在参数条件αβ1+≤下,利润最大化二阶条件才能得到满足

(2) 求要素需求函数和产品供给函数(可在结果中保留变量y ) (3) 求利润函数 (4) 验证Hotelling 引理

19.设某一厂商的生产函数是:12()y x x =+ρρβρ

,其中101,<≠<βρ。求厂商的

供给函数、要素需要函数和利润函数。

20.考虑一个完全竞争市场,生产q 的技术产生了成本函数2

()c q aq bq =+,q

的市场需求是p q αβ=-

(1)如果a>0,b<0,并且部门内存在J 个厂商,代表性厂商的短期均衡市场价格与产出是多少?

(2)如果a>0,并且b<0,长期均衡的市场价格与厂商数目是多少? (3)如果a>0,并且b>0,长期均衡的市场价格与厂商数目是多少?

21.考虑一个完全竞争市场,其中有J 个企业,如果单个企业生产函数为

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11j q x k

α

α

-=,w 为1x 的价格,r 为k 的价格,p 为产品的价格:

(1)单个企业的产品供给函数

(2)市场需求函数为294d

q (p )/p =,1241148/,w ,r ,k ,J α=====,求

市场供给函数、市场均衡价格、均衡产量,每个企业的供给量和利润水平。

22. 对CES 生产函数

()

αα

γA δx δx δδA 1112212,1,0=++=>

(1) 证明:边际产出()α

αi i i MP A δγx 1-=

(2) 求边际技术替代率MRTS 12

(3) 当γx x 21或变化时,MRTS 12如何随之变化 (4) 证明:技术替代弹性()σα11=-

23.对于C-D 生产函数αβ

y Ax x αβαβA 120,1,0=>+≤>,,

(1)验证:仅在参数条件αβ1+≤下,利润最大化的二阶条件才能得到满足

(2)求要素需求函数和产品供给函数(可在结果中保留变量y ) (3)求利润函数

(4)验证利润函数是()p w w 12,,的一次齐次函数 (5)验证Hotelling 引理

24.在拟线性效用假设下,消费者i 的间接效用函数形如i v p m ();+如果j πp ()是厂商j 的利润函数,定义一个福利函数为:

n n

i j i j W p v p πp 1

1

()()()===+∑∑

(1) 如果完全竞争均衡价格p*,存在,证明p*使得函数W(p)最小化 (2) 解释为什么p*不是使函数W(p)最大化,却反而使它最小化

25.假如某个城市可以想象成如图所示一条长为1的直线段,我们进一步将它表示为闭区间[0,1];在0和1处各有一个冰箱生产厂商,成本函数都是c x cx ()=,两家厂商进行价格竞争;有总数为N 的消费者均匀分布在[0,1]上,可以以z [0,1]

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代表处于这一位置的那个消费者。每个消费者对冰箱的最大需求量为1,且如果消费者购买冰箱,他获得的间接效用是v (以货币单位计量);如果消费者向一个于他相距d 的厂商购买商品,他需要负担的交通费用是td t (0)>。

(1)求两个厂商的反应函数,并画出它们的反应曲线 (2)求该模型的的纳什均衡

26.考虑对大街上随地吐痰者进行惩罚的制度。记吐痰后被逮获的概率为P ,逮获后罚款金额为T ,则一个人在街上吐痰后的“期望罚金”是PT 。假设每个人都是风险厌恶的。保持期望罚金PT 不变,有两种惩罚方案:(a )P 较大T 较小;(b )P 较小而T 较大。问:哪一种惩罚方案更有效?

30.某人的效应函数是1212(,)u x x x x =,他的收入100m =。最初的商品价格是p=(1,1),假设现在价格变化为p’=(1/4, 1)。计算EV 、CV 和⊿CS ,比较计算结果并做简要解释.

27.假设一个供给存在时滞的市场需求和供给函数分别是

t t t t X a bp Y c dp a b c d 1,,,,0-=-=+>和 (1) 什么条件下市场是稳定的?

(2) 假如政府确定了一个目标价格p ,并发现在市场偏离该价格时进场

作调节性的买卖;政府的干涉政策奉行下面的原则:

()

t t G αp p 1-=-

其中t G 是政府在t 期的购买量(若t G 0<,政府实际上出售t G )。如果市场本身是不稳定的,政府这种干涉是否会稳定市场?如果市场本身是稳定的,政府的干涉是否会使市场不稳定。

28.一个垄断者面对着一个线性的需求:p q αβ=-,其成本函数为:

C cq F =+,这里一切参数均为正,并且

2

,()4a c a c F β>-> (1)求解垄断者的产出水平、价格与利润 (2)计算沉没损失,并表明该损失为正

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(3)如果政府要求这个厂商去确定可最大化消费与生产者剩余之和的价格,并在此价格上服务所有购买者,那么厂商必须索要什么价格呢?证明:在这种管制下,厂商的利润为负,故这种管制在长期内无法持续。

29.在一个斯坦克伯格双寡模型中,一个厂商是“领导者”而另一个则是“跟随者”,两个厂商都知道彼此的成本与市场需求,跟随者将领导者的产出当做给的,并依此来确定自己的产出。领导者将其跟随者的反应当做给的并依此来确定自己产出。假设厂商1和厂商2面临的市场需求是()12100p q q =-+。厂商的成本分别

是:2112210;c q c q ==。

(1)设厂商1是领导者,厂商2是跟随者,计算此时的市场均衡价格和各厂商的利润

(2)设厂商2是领导者,厂商1是跟随者,结论是否与(1)一样 (3)比较(1)和(2)的答案,厂商1希望谁成为市场的领导者?厂商2又希望谁成为市场的领导者

(4)如果每个厂商都希望自己成为市场的领导者,此时均衡的市场价格与厂商的利润是什么?它与古诺均衡有什么区别吗?

30.考虑一个两个厂商的行业,它们面临一条共同的反市场需求曲线:p=f(Q),

这里

2

1i

i Q Q ==∑,厂商的成本函数为:12(),,i i c c Q i ==,如果厂商象斯塔克伯格

模型中的厂商一样行为,设厂商1是领先厂商,求:

(1) 写出领先厂商的目标函数即其均衡的一阶条件 (2) 利用“猜想变量”解释不同寡头模型的均衡条件

31.考虑一个两个消费者、两者商品的交易经济,消费者的效用函数和初始禀赋如下:

()2

111212184(,),(,)u x x x x e ==

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()221212236(,)ln ln(),(,)u x x x x e =+= (1) 求对两种商品的超额需求

(2) 求该经济的瓦尔拉斯均衡时的均衡价格比率,并计算瓦尔拉斯均衡配置(WEA )

32.简述福利经济学第一定理和第二定理的基本内容及其重要意义。