ARCH与GARCH模型

3.1 ARCH 与GARCH 模型例

1. 自回归条件异方差模型

3.1.1问题的提出

对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程

εβββt t t t x x y +++=33221 （3.1.1）

中的εt 的方差可能与x t 22成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方

程的两边同时除以变量x t

2，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程 εβββ*233221

21

t t t t t t x x x x y +++= （3.1.2）

在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。通货膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度。

一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由Robert Engle 研究发展出来的，他认为用一个自回归条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model ，简计为ARCH 模型）会提高有效性。

3.1.2定义

一般的，公式（1）中随机误差项t ε的方差2

t σ可以依赖于任意多个滞后变化量i t -ε（i=1,2,…p ），记作ARCH （p ） εαεαεαασ

222221102.......p t p t t t ---++++= （3.1.3）

注意： （1） 为了保证在给定i t -2ε条件下，02≥t σ，就必须要求0≥α（p ,,1,0 =α）

； （2） 要保证误差序列t ε的平稳性，系数必须满足：121 p ααα++。

3.1.3检验

3.1.3.1Breusch-Pagan 检验

在同方差的假设下条件下：

SSR/2~X 2(1)

根据Eviews3.1 OLS 处理结果，可根据下式计算检验的统计量SSR/2

SSE

SSR SSR SST SSR R +==2 查自由度为1时的2χ分布表，找出给定显著性水平α条件下临界值，比较检验统计量与临界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设

3.1.3.2拉格朗日乘子检验法（ＬＭ）

已经讨论过两种假设检验法：F 检验（Wald 检验）法(第5章)和似然比检验法。Wald 检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(即一些回归参数等于0)是否显著地减弱了回归模型的解释能力。根据Wald 检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备择假设由无条件模型给定。在线性回归模型情况下，显著性由F 检验来评估。似然比检验法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，但是这一检验却是用2χ分布完成的。由于似然比(LR)检验法的基础是极大似然原则，因此它是很有吸引力的检验法。

拉格朗日乘数(LM)检验由有限制条件模型限定的原假设出发，检验向备择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的解释能力。拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术为基础，其中拉格朗日乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令UR β为无条件模型参数的极大似然估计，R β为有条件模型参数的极大似然估计。目标是在限制条件UR β=R β下求lnL(UR β)的极大，这就等价于求下式的极大

lnL(UR β)－λ（UR β－R β）

其中λ是拉格朗日乘数。很明显，限制条件成立时这个函数达到极大值。拉格朗日乘数度量的是限制条件的边际“价值”：λ越大，限制条件对lnL(UR β)的极大值影响就越大。 要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是

()λβ=??UK

L ln 所以λ是似然函数的斜率。如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无条件的参数很接近，而且λ的值会较小。但是，如果限制条件显著地不成立，则加上限制条件的损失，也就是λ，就会更大。因此，基于λ大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计数检验（score test ）。

拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外的解释变量的特殊情况。假如已经估计了有条件模型

R q K q k X X Y εβββ++++=-- 221 (3.1.4)

而且正在考虑可能加入另外q 个变量中的部分或全部变量的无条件模型

R U k k q K q k X X X Y εββββ++++++=-- 221 (3.1.5)

关于q 个变量中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗日乘数检验首先计算有条件模型

(10—17)的残差。特别地，

如：q

k q k R X X Y ------=βββε????221 (3.1.6) 然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有解释变量进行回归

μγγγε

++++=k k R X X 221? 如果所有这些另外加上的变量都是“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模型时，q 个多出来的变量的系数应当为0。然而，如果无条件模型中多包含的变量中有些对r 有决定性影响的话，我们认为它们的系数应当是统计上显著的，因此方程(3.1.6)的估计会很好地拟合数据。

拉格朗日乘数检验法依赖于回归方程(3.1.6)的显著性检验。特别地拉格朗日乘数检验统计量

LM=NR 20 （3.1.7）

服从自由度为q(限制条件个数)的2χ分布。N 为样本容量，20R 是回归方程(10-19)的2

R 。 如果计算出的检验统计值大于2χ分布的临界值，我们就拒绝有条件模型成立的原假设。拒绝原假设就是认为有些另外的变量应当被包含在模型之中。对模型(3.1.6)的t 统计量的研究能够表明应该选择哪些变量，但是没有什么公认的评价方法。

拉格朗日乘数检验法常常用来对异方差进行检验，就是White 检验。为了略为深化这里的讨论，假设估计了一个线性回归模型，但是担心误差项方差是否是两个外生变量x 和z 的函数。White 建议异方差由下面的误差项方差的函数所确定：

μββββββσ++++++=XZ Z X Z X 224232102 (3.1.8)

不存在异方差的原假设为方程(10-21)中的系数满足054321=====βββββ。为了用White 检验，用原始模型的残差平方和作为2σ的估计。按照拉格朗日乘数检验法，用方程(3.1.8)的回归计算NR 2，它应当服从自由度为5的2χ分布，其中数5是原假设中限制条件的个数。

实际操作：对最小平方估计的残差平方进行辅助回归，用2t e 的滞后项的平方22,1p t t e e -- 和常数项作回归，然后按辅助回归结果显示的R 2计算LM 统计量。在异方差的原假设H 0: 021====p ααα 的前提下，NR 2具有渐近()p 2χ分布，当NR 2大于()p 2χ分布的临界值时，接受模型随机误差项中存在ARCH 的影响作用。

3.1.4方差模型中的p+1个参数的参数估计

3.1.

4.1极大似然估计法

3.1.

4.2广义最小平方法

步骤：