机械优化设计

机械优化设计作业

姓名：屈洪

学号：200803601

班级：机设081班

斜齿圆柱齿轮减速器的优化设计

摘要: 提出了一种基于复合形法的斜齿圆柱齿轮减速器的优化设计方法, 以体积最小为优化设计目标, 给出了优化模型, 最后通过实例证明了这种优化设计方法的优越性。

关键词: 减速器; 优化设计; 复合形法

减速器是一种由封闭在刚性壳体内的齿轮传动、蜗轮蜗杆传动所组成的独立部件。减速器结构紧凑、效率高、传递运动准确可靠、使用维护简单、可批量生产, 故在机械工程领域内得到了广泛的应用。目前通用圆柱齿轮减速器虽已有标准系列, 但其参数的配合并不见得是最优的, 而现在的优化方法都比较成熟, 且有通用优化程序, 因此只需编制目标函数和约束条件, 采用计算机进行优化计算就能在短时间内得到最佳的设计结果。

本文提出了一种基于复合形法的斜齿圆柱齿轮减速器的优化设计方法。

1优化设计数学模型的建立

1. 1建立目标函数减速器优化的目标可以有很多, 但最小体积可以节省材料、降低成本, 且可满足许多特殊工况场合。因此, 本文对两级斜齿轮减速器进行优化设计, 使其在传递一定功率、转速和满足使用寿命要求下具有最小体积。

二级斜齿圆柱齿轮减速器相关尺寸如图 1 所示。

设计的寻优目标函数为:minf ( X ) = V = ( s1+ s2+ s3+ s4+ s5) B = [ ( d1 +d 22+d32+ d 4)d42+14·4d12+14·4d 42+18( d1 +d2)2+18( d3+ d4) ( d2+ d4) ]·(b1+ b3+ l)。其中: V 为两级齿轮具有的体积; sj 为图1 中5 个区域的面积,j = 1, 2, 3, 4, 5; dk为斜齿轮的分度圆直径, k= 1、2、3、4; l 为使一级大齿轮与二级小齿轮不发生干涉的间距; b1、b3分别为一级和二级齿轮的齿宽;B为一级和二级齿轮总宽。

1. 2选择设计变量因为齿轮的变位对体积影响不大, 为使问题简化,在优化过程中, 假定 4 个齿轮均为标准齿轮, 两级斜齿轮减速器优化设计选取9 个设计变量:X = ( mn1, mn3, Z1, Z2, Z3, 1, 3, b1, b3)T。其中: mn1、mn3、1、3、Z1、Z3分别为一级和二级齿轮模数、螺旋角以及小齿轮的齿数;Z2为一级大齿轮齿数。.

1. 3约束条件( 1) 依据齿轮法面模数mn≥1. 5 mm, 有:g1( X ) = mn1- 1. 5≥0 。g2( X ) = mn3- 1. 5≥0 。( 2) 依据不发生根切的最少齿数Zv≥17, 有:g3( X ) =Z1cos31- 17≥0 。g4( X ) =Z3cos33- 17≥0 。( 3) 依据斜齿轮螺旋角的取值范围为8o≤≤15o, 有:g5( X ) = 1-8180≥0 。g6( X ) = 3-8180≥0 。g7( X ) =15180- 1≥0 。g8( X ) =15180- 3≥0 。( 4) 为确保齿轮传动润滑条件, 应使i 1= ( 1. 1～1. 5) i2, i= i1·i 2,有:g9( X ) = (Z2Z1)2- 1. 1i≥0 。g10( X ) = 1. 5i - (Z2Z1) ≥0 。其中: i 为减速器总传动比; i1 为高速级传动比; i2 为低速级传动比。( 5) 依据齿轮齿宽系数0. 6≤d≤1. 2( 该设计问题属于齿轮为软齿面非对称分布传动) , 有:g11( X ) = b1- 0. 6mn1Z1cos 1≥0 。g12( X ) = b3- 0. 6mn3Z3cos 3≥0 。g13( X ) = 1. 2mn1Z1co s 1- b1≥0 。g14( X ) = 1. 2mn3Z3co s 3- b3≥0 。( 6) 依据满足齿面接触强度条件H≤[ ]H, 有:g15 ( X ) = [ ] H 12 - ZE ·ZH 1 ·Z 12K T 1b1d12·i1 + 1i1≥0 。g16(X) = [ ] H 34 -ZE·ZH 3·Z 32K T 3b3d32·i2 + 1i2≥0 。其中: [ ]H 12、[ ]H 34分别为Z1和Z2、Z3和Z4的接触疲劳许用应力; ZE为材料弹性影响系数; K 为载荷系数;ZH1、ZH 3、Z1、Z3、T1、T3分别为一、二级斜齿轮传动的节点啮合系数[ 3]、接触强度重合度系数以及传递的转矩。( 7) 依据满足齿轮齿根弯曲强度F≤[ ]F, 有:g17 ( X ) = [ ] F12-2K T 1b1d1 mn1·YF1·Y 1·Y 1·YS1≥0 。g18(X) = [ ] F34-2K T 3b3d3 mn3·Y F3·Y 3·Y 3·Y S 3≥0 。其中: YF1、YF3、Y1、Y3、Y1、Y3、YS1、YS3分别为一、二级斜齿轮传动的的齿形系数、弯曲强度重合度系数、螺旋角影响系数以及齿根

应力集中系数。

2优化方法本优化过程的目标函数和约束条件较为复杂, 需要大量的数值计算, 因此采用MAT LAB 编程, 选用求解约束问题极小值的复合形法进行求解。复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要方法, 其大致过程是在可行域内选取p 个设计点作为初始复合形的顶点, 通常取n+ 1≤p≤2n( n 为设计变量个数) 。比较这些顶点的目标函数值, 其中目标函数值最大的点为坏点, 以坏点之外其余各点的中心为映射中心, 寻找坏点的反射点。如果反射点优于坏点, 则以反射点代替坏点, 构成新的复合形。依此步骤重复多次, 使复合形的位置越来越靠近最优点, 最后输出复合形中目标函数值最小的点作为近似最优点[ 4]。

3实例计算与结果分析试设计两级斜齿圆柱齿轮减速器, 输入功率P=4. 5 kW,转速n1= 960 r/ m in,传动比i = 20,齿轮材料为45 钢调质, [ ]H= 540 MP a, [ ] F = 167 MP a,取齿面接触疲劳强度计算时的齿间载荷分配系数K H =1. 4, 取齿根弯曲疲劳强度计算时的齿间载荷分配系数K F= 1. 5。复合形法不需要计算目标函数的导数, 也不进行一维搜索, 对目标函数和约束函数都没有特殊的要求,适应范围较广, 程序编制也较简单。本文采取复合形法对两级斜齿轮进行优化设计, 优化前、后两级斜齿轮各参数值见表1。由于减速器部分设计参数如Z1、Z2、Z3、mn1、mn3是离散值, 需要对原程序加入取整处理。经优化后的最优解为f ( X*) =220 047. 629 2 mm3, 设计方案齿轮和轴的总体积和为f = 294 024. 090 4 mm3, 体积下降25.

16% , 效果显著。

表1优化前、后两级斜齿轮各参数值

4结论通过建立两级斜齿圆柱齿轮减速器的数学模型,添加对应的约束条件, 运用复合形法在保证减速器承载能力的前提下, 成功地对其结构参数进行了优化设计, 减小了两级斜齿圆柱齿轮减速器的体积、降低了制造成本、节省了金属材料、拓展了其应用场合, 为产品的改进设计提供了理论依据, 并且由于使用了M AT L AB 工具箱大大地简化了优化过程。

参考文献: [ 1] 孙靖明. 机械优化设计[M ] .北京: 机械工业出版社, 2004.[ 2] 王晨曦. 基于混合离散复合形法的工程优化设计[ J] . 长安大学学报(自然科学版) , 2004, 24( 4) : 92-96.[ 3] 李克勤, 刘小鹏. 基于M A T L A B 的二级圆柱斜齿轮减速器优化[J] .湖北工学院学报, 2003, 18(2) : 41-42.[ 4] 张金海, 叶颖民, 刘伟涛.