《直线和圆》单元测试题

《直线和圆》单元测试题

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，请将正确答案填入答题卷）

1． 直线310x y -+=的倾斜角为

A ．0

150 B ．0

120 C ．0

60 D ．0

30 2．若A （－２，３）、B （３，－２）、Ｃ（2

1

，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 A ．

21 B ．2

1

- C ．－２ D ．２ 3．以A （１，３）和Ｂ（－５，１）为端点的线段AB 的中垂线方程是

A ．380x y -+=

B ．340x y ++=

C ．260x y --=

D ．380x y ++= 4. 点(,,)P a b c 到坐标平面zOx 的距离为

A ．22a c +

B ．a

C ．b

D ．c 5．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=

Ｄ．230x y +-=

6．直线过点P （0，2），且截圆2

2

4x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为 A ．3

2

±

B ．2±

C ．33±

D ．3±

7．直线1y x =+与圆2

2

1x y +=的位置关系为（ ）

A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．直线过圆心

D ．相离

8．已知圆1C ：2

(1)x ++2

(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为

A ．2

(2)x ++2

(2)y -=1 B ．2

(2)x -+2

(2)y +=1

C ．2(2)x ++2(2)y +=1

D ．2(2)x -+2

(2)y -=1 9．圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是

A ．

223 B ．2234- C ．2

2

34+ D ．0 10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）

A ．2

2

(2)1x y +-=

B ．22

(2)1x y ++=

C ．2

2

(1)(3)1x y -+-=

D ．2

2

(3)1x y +-=

11．如右图，定圆半径为a ，圆心坐标为(,)b c ，则直线

0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

12．直线l ：b x y +=与曲线c ：21x y -=有两个公共点，则b 的取值范围是

A ．22<

<-b B ．21≤≤b C ．21<≤b D ．21<

二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填入答题卷。)

13．（2009全国卷Ⅱ文）已知圆O ：52

2

=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相

切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

14．若圆422=+y x 与圆)0(0622

2>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则 a

=________.

15．若⊙221:5O x y +=与⊙22

2:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆

在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是

16．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，

则m 的倾斜角可以是： ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

《直线和圆》单元测试题答题卷

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13、___________ __ ___. 14. _______________ _. 15、_______________ _. 16、________________ _.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）已知直线02431=-+y x l ：

和014522=+-y x l ：的相交于点P 。

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 学号：_________ …………………………密………………………封………………………线……………………….....密 封 线 内 不 要 答 题

求：（Ⅰ）过点P 且平行于直线072=+-y x 的直线方程； （Ⅱ）过点P 且垂直于直线072=+-y x 的直线方程。

18．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为22(1)(1)1,(2,3)x y P -+-=点坐标为，求

过P点的圆的切线方程以及切线长。

l x y-+=，一束光线从点A（1，2）处射向x 19．（本小题满分12分）已知直线:30

轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点。

?是有限个还是无限个？

（Ⅰ）试判断由此得到的ABC

（Ⅱ）依你的判断，认为是无限个时求出所以这样的ABC ?的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC 的方程。

20．（本小题满分12分）已知圆2

2

:2610C x y x y ++-+=，直线:3l x my +=． （Ⅰ）若l 与C 相切，求m 的值；

（Ⅱ）是否存在m 值，使得l 与C 相交于A B 、两点，且0OA OB ?=（其中O 为坐标原

点），若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22

1:(3)(1)4C x y ++-=和圆22

2:(4)(5)4C x y -+-=.

（Ⅰ）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

22．（本小题满分14分）已知圆2

2

:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。 （Ⅰ）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；

（Ⅱ）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； （Ⅲ）若定点P （1，1）分弦AB 为1

2

AP PB =，求此时直线l 的方程。

参考答案

1． 直线310x y -+=的斜率3k =

，设倾斜角为α，则0tan 360k αα==?=，

故选C 。

2．∵A （－２，３）、B （３，－２）、Ｃ（

2

1

，ｍ）三点共线，

∴AB AC k k =，即

2331

13(2)2

(2)2

m m ---=?=----，故选A 。

3．A （１，３）、Ｂ（－５，１）的中点为（－2，2），直线AB 的斜率

131

513

AB k -=

=--， ∴线段AB 的中垂线的斜率3k =-，

∴线段AB 的中垂线的方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=，故选B 。 4． 易知选C 。

5．解：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x =对称点为(2-x,y)

在直线210x y -+=上,0122=+--∴y x 化简得230x y +-=故选答案D.

解法二根据直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或

D,再根据两直线交点在直线1x =选答案D 。

6．设过点P （0，2）的直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由圆的弦长、弦心距及半径之间关系得：222223

(

)213

1

k k =-?=±

+，故选C 。 7．（2009重庆卷理）【答案】B

【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离12

22

d =

=，而2

012

<

<，选B 。 8．（2009宁夏海南卷文）【答案】B

【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11

1022

111a b b a -+?--=???-?=-?+?

，解得：

2

2

a b =??

=-?，对称圆的半径不变，为1，故选B 。.

9．过圆心作已知直线的垂线，于已知圆有两个交点，这两个交点一个到已知直线的距离最大，一个到已知直线的距离最小，所以圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是圆心（0，0）到直线03=--y x 的距离加上圆的半径，即

22

332

442

1(1)-+=+

+-，故选C 。 10．（2009重庆卷文）【答案】A

解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，则由题意知

2(1)(2)1o b -+-=，解得

2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2

2

(2)1x y +-=

解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

11．由图知，0b a c >>>，由0

0100

b c x ax by c b a

x y c a y b a +?=>?++=??-???+-=+??=-

知其交点在第四象

限，故选D 。

12．直线l ：b x y +=是与直线y x =平行的直线，当 直线l 位于图中直线1l 与2l 之间时，直线l ：b x y += 与曲线c ：21x y -=有两个公共点，所以21<≤b ，

故选C 。 13． 答案：

25

4

解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=2

1

-

(x -1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为4

25

52521=??。

14．（2009天津卷文）【答案】1

【解析】 由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a

y 1

=

，利用圆心（0，0）到直线的距离d 1

|1|

a =为13222=-，解得a=1 【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

15．（2009四川卷理）【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。

解析：由题知)0,(),0,0(21m O O ，且

53||5<

525)52()5(222±=?=+=m m ，∴45

20

52=??

=AB 。 16.（2009全国卷Ⅰ文）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。 解：两平行线间的距离为21

1|13|=+-=

d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜

角为o

45，所以直线m 的倾斜角等于0

754530=+o

或0

153045=-o

。故填写①或⑤

17．解法一、由342025140x y x y +-=??

-+=?解得2

2

x y =-??=?，即点P 坐标为(2,2)P -，直线

072=+-y x 的斜率为2

（Ⅰ）过点P 且平行于直线072=+-y x 的直线方程为22(2)y x -=+即

260x y -+=；

（Ⅱ）过点P 且垂直于直线072=+-y x 的直线方程为1

2(2)2

y x -=-

+即220x y +-=。

(1,2)A

3

l

'B

C

y

解法二、由342025140x y x y +-=??

-+=?解得2

2

x y =-??=?，即点P 坐标为(2,2)P -，

（Ⅰ）设过点P 且平行于直线072=+-y x 的直线方程为20x y m -+=，把2

2

x y =-??=?带

入得6m =，故所求直线方程为260x y -+=；

（Ⅱ）过点P 且垂直于直线072=+-y x 的直线方程为20x y n ++=，把2

2

x y =-??=?带入

得2n =-，故所求直线方程为220x y +-=。 18．解：(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为

3(2)y k x -=- 即230kx y k --+=

则圆心到切线的距离

2

|123|

11

k k d k --+=

=+

解得34

k =

故切线的方程为3460x y -+=

（2）若切线的斜率不存在，切线方程为x=2 ，此时直线也与圆相切。 综上所述，过P 点的切线的方程为3460x y -+=和x=2. ∵2

2

(21)(31)5CP =-+-= ∴其切线长2

2512l CP r =

-=-=

19．解：（Ⅰ）如图所示，设(,0)B m ，点A 关于x 轴的对称点为'

(1,2)A -，点B 关于直线l 的对称点为'

(3,3)B m -+，根据光学性质，点C 在直线'A B 上，又在直线'

AB 上。

求得直线'

A B 的方程为2

()1

y x m m =

--， 由2()1

3

y x m m y x ?

=

-?-??=+?解得353c m x m -=-

直线'AB 的方程为1

2(1)4

m y x ---=

- 由12(1)4

3m y x y x --?-=-???=+?

解得35c m x m -=+， 则

35335m m m m --=

-+，得2

3830m m +-=解得13

m =或3m =-。 而当3m =-时，点B 在直线l 上，不能构成三角形，故这样的三角形只有一个。

（Ⅱ）当13m =

时，115

(,0),(,)322

B C -， ∴线段BC 的方程为11

310()23

x y x +-=-

≤≤。 20．解：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y －3)2=9， 圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3，

……2分

若 l 与C 相切，则得

2

1331m

|

m |+-+-=3，

……4分

∴(3m －4)2=9(1+m 2)，∴m =

24

7

．

……5分

(Ⅱ)假设存在m 满足题意。

由 x 2+y 2+2x －6y+1=0 ，消去x 得 x=3－my (m 2+1)y 2－(8m+6)y+16=0，

……7分

由△=(8m+6)2－4(m 2+1)·16>0，得m>247

， ……8分

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1+y 2=1682++m m ，y 1y 2=1

16

2+m ．

OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2

=(3－my 1)(3－my 2)+y 1y 2

=9－3m(y 1+y 2)+(m 2+1)y 1y 2

=9－3m ·1682++m m +(m 2+1)·116

2+m

=25－

1

182422++m m m =0

……12分

24m 2+18m=25m 2+25，m 2－18m+25=0， ∴m=9±214，适合m>

24

7

， ∴存在m=9±214符合要求．

……14分

21．（2009江苏卷）【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分12分。 (Ⅰ)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --= 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离22

234()12

d =-=， 结合点到直线距离公式，得：

2

|314|

1,1

k k k ---=+

化简得：2

72470,0,,24

k k k or k +===- 求直线l 的方程为：0y

=或7

(4)24

y x =-

-，即0y =或724280x y +-= (Ⅱ) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：

1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11

0,0kx y n km x y n m k k

-+-=--++=

因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

故有：2

2

41|5|

|31|111n m k n km k k k k --++--+-=++，

化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或

x

y

O

B

M A

(1,1)P

C l

关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=???

?

--=??m-n+8=0

或m+n-5=0

解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22

-。

22．解：（Ⅰ）解法一：圆22

:(1)5C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为5。

∴圆心C 到直线:10l mx y m -+-=的距离21

522

1

m m d m m -=

≤

=<+ ∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；

方法二：∵直线:10l mx y m -+-=过定点(1,1)P ，而点(1,1)P 在圆2

2

:(1)5

C x y +-=内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点； （Ⅱ）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则CM MP ⊥， ∴2

22

CM

MP CP +=

设(,)(1)M x y x ≠，则2

2

2

2

(1)(1)(1)1x y x y +-+-+-=， 化简得：2

2

210(1)x y x y x +--+=≠

当M 与P 重合时，1,1x y ==也满足上式。 故弦AB 中点的轨迹方程是2

2

210x y x y +--+=。 （Ⅲ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由12AP PB =得1

2

AP PB =， ∴121

1(1)2

x x -=

-，化简的2132x x =-………………① 又由22

10(1)5mx y m x y -+-=??+-=?消去y 得2222

(1)250m x m x m +-+-=……………（*） ∴2

122

21m x x m +=+ ………………………………②

由①②解得2

12

31m x m

+=+，带入（*）式解得1m =±， ∴直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=。