复数不等式专题复习
复数不等式专题复习
1 ．复数z 满足1i z z ?=+,则z =
(A)1+i (B)1i - (C)122i -
- (D)122
i + 2 ．已知i 为虚数单位,则复数3
21i i
+等于 A.-1-i B.-1+I C.1+i D.1—i
3 ．复数3
1i z i
=+复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4 ． i 是虚数单位,复数i
i +12的实部为
A.2
B.2-
C.1
D.1- 5 ．已知复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A(l,2),B(-1,3),则21
z z =: A.1+i B.i C.1-i D.一i
6 ．已知i 为虚数单位,复数z=
122i i
--,则复数z 的虚部是 A.35i - B.35- C.45i D.45
7 ．已知i 是虚数单位,复数21i i
-+在复平面上的对应点在 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8 ．复数11i i
+-(i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 A.1-
B.0
C.1
D.2
9．已知),(2R b a i b i
i a ∈+=+,其中i 为虚数单位,则=-a b A.-1 B.1 C.2 D.3
10．复数311i i
-+(i 为虚数单位)的模是
B. C.5 D.8
11．2013
i的值为( )
A.1
B.i
C.-1
D.i
-
12．复数
3
1
i
z
i
+
=
-
的共轭复数z=
(A) 12i
+ (B)12i
- (C)2i+ (D)2i-
13．已知
2i
i(,i)
i
a
b a,b
-
=+∈R为虚数单位,则a b
-=
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-3
14．复数()2
3
1
i
i
+
-
= ( )
A.-3-4i
B. -3+4i
C. 3-4i
D. 3+4i
15．已知i是虚数单位,
则2
1-+在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
16 ．若,,0,
a b R ab
∈>
且则下列不等式中,恒成立的是
A.a b
+≥
B.
11
a b
+> C.2
b a
a b
+≥ D.222
a b ab
+>
17 ．设变量y
x,满足约束条件
?
?
?
?
?
-
≥
≤
+
≥
2
2
2
x
y
x
x
y
,则y
x
z3
-
=的最小值为
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
18 ．已知x,y满足条件
20
x
y x
x y k
≥
?
?
≤
?
?++≤
?
(k为常数),若目标函数3
z x y
=+的最大值为8,则k= A.16
- B.6
- C.
8
3
- D.6
19 ．在约束条件121
y x y x x y ≤???≥??+≤??下,目标函数12z x y =+的最大值为 (A)
14 (B)34 (C) 56 (D) 53
20 ．已知动点P(m,n)在不等式组400x y x y x +≤??-≥??≥?
表示的平面区域内部及其边界上运动,则35n z m -=-的最小值是
A.4
B.3
C.53
D.13
21 ．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥-??-≤?
则z x y =+
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最大值
D.既无最小值,也无最大值
22．已知变量,x y 满足约束条件??
???≤-≥-+≤-+01033032y y x y x , 则目标函数y x z +=2的最大值是 A.6 B.3 C.
2
3 D.1 23．设变量y x ,满足约束条件??
???≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ,则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为 A.-6,11 B.2,11 C.-11,6 D.-11,2
24．已知变量x 、y,满足2202301(24)0
x y x y z og x y x ,则ì- ???-+?++í??3???的最大值为 A.1 B.32
C.2
D.3
25．设第一象限内的点(,x y)满足
240
x y
x y
--
?
?
-
?
，
，
≤
≥
若目标函数(0,0)
z ax by a b
=+＞＞的最大值是4,则
11
a b
+的最小值为
(A)3 (B)4 (C)8 (D)9
不等式与不等式组专题复习
不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7
考点2：不等式的解集
1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解
1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C．
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()
基本不等式专题复习
基本不等式专题复习 一、基础梳理 1．基本不等式： a+b 2 ≥√ab(a ，b >0) 2.变式：⑴a +b ≥2√ab ⑵ ab ≤( a+b 2 )2 3.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题 例1.若x>0，则x ＋2 x 的最小值是________． 解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2 x ＝22， 当且仅当x ＝2 x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2. 变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1 x －1 的最小值是________． (2)已知f(x)＝x ＋1 x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________． 解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1 x －1 ＋1≥2 x －1·1 x －1 ＋1＝3 当且仅当1 x-1= x-1 ，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60， ∴xy =1 6?2x ?3y ≤16( 2x+3y 2 )2 =150， 当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4?5x)(0 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 25123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为 定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2 、 a 2＋ b 2 2 的大小关系是 。 2.已知 12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 10求222 y x =+的最小值. 习题A 1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为( ) +2 6 B.2 3 +2 3 2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A. b a a b +≥2 +b 2 ≥2ab C.b a a b 22+ ≥a+b D.b a 11+≥2+ b a +2 3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2 +的最小 值是( ) B.1 D. 4 +3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) B.339 +2 2 2020年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】 专题四数列与不等式 考向一等差数列与等比数列的计算问题 【高考改编☆回顾基础】 1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】 设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以. 2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________. 【答案】8- 3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为 . - 【答案】24 【解析】 【命题预测☆看准方向】 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中 项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合. 预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018年全国卷II 理】记为等差数列的前项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2， a 3＋ b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1 【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①②，解得?????d ＝3，q ＝0 (舍去)或? ????d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 【例2】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63 4，则a 8＝________. 【答案】32 【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________． 【答案】 2 2 222n - 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 第七章 不等式 第一节 解不等式 题型82、一元二次不等式的解法 ? 知识点摘要： 一元二次不等式)0(02 ≠≥++a c bx ax 解法步骤： 1. 先看不等式对应的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 根的情况； 2. 再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解下列不等式 ①0322 ≥++x x ②0322 ＜++x x ③062 ≥--x x 2. 不等式组?????--0 30 122＜＜x x x 的解集为（ ） {}11|.＜ ＜x x A - {}30|.＜＜x x B {}10|.＜＜x x C {}31|.＜＜x x D - 3. 已知{ } ?? ? ??-=++2310|2 ， ＞c bx ax x ，则关于x 的不等式02＜a bx cx ++的解集为。 4. 已知关于x 的不等式02 ＜c bx ax ++的解集为{2|-＜x x 或}2 1- ＞x ，求关于x 不等式 02＞c bx ax +-的解集。 5. 解关于x 的不等式() ()R a a x a a x ∈++-， ＞03 2 2 。 { }{ } 034|023|2 22 ＜，＜a ax x x B x x x A +-=++=B A ?a 题型83、一元高次不等式的解法 ? 知识点摘要： 简单的一元高次不等式常用穿根法（穿针引线法）求解，用穿根法解一元高次不等式需要注意一下3点： 1. 每一个一次项系数都要化成正数； 2. 奇穿偶不穿； 3. 从右上角开始穿。 穿根法的解题原理，其实就是画出了相应高次函数大致图像，根据高次函数图像求解相应一元高次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解不等式()()()()021123 2 ＜--++x x x x ； 2. 解不等式()()()0211≥--+x x x ； 3. 解不等式()()()03212 ≤--+x x x ； 4. 解不等式()()0)2(113 2 ≥++-x x x x 。 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1＞2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x ＞1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|＞5的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8或x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 2017年中考数学专题练习6《不等式（组）》 【知识归纳】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 ，且不等式的两边都是 ，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >??? 的解集是 ，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审： ；②找： ；③设： ；④列： ；⑤解： ；⑥答： . 【基础检测】 1.（2016·内蒙古包头）不等式﹣ ≤1的解集是（ ） A ．x≤4 B ．x≥4 C ．x≤﹣1 D ．x≥﹣1 2.（2016·云南昆明）不等式组 的解集为（ ） 第六章 不等式 课 题：基本不等式 教学目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。 教学重点：2 a b +≤的证明过 程。 教学难点：2 a b +≤等号成立条件。 教学过程： 1.课题导入 2 a b +≤ 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的 两条直角边长为a,b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2 2 2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为2 22)(2b a ab b a -=-+ 当a b ≠时22 ,()0,,()0,a b a b a b ->=-=当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(2 2ab b a ≥+ 4．1）2 a b + 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2 a b + 2）2 a b +≤ 用分析法证明： 要证 2 a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）2 a b +≤ 的几何意义 探究：课本第110页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于 AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。2 a b +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2 ＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为 2b a +，显然，它大于或等于CD ，即 ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2 a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 2 b a +看作是正数a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 2 b a +为a 、 b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) y x x y +≥2； 江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式 填空题 错误！未指定书签。 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔 直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m . 【答案】14000 m . 错误！未指定书签。 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且 11121 a b b =+++,则2a b +的最小值为____. 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b , 设222223111 p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103 错误！未指定书签。 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件 )0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1, 则21 x x +-的最小值为_________. 【答案】1 错误！未指定书签。 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两 块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积 梯形的周长）2 (,则S 的最小值是______________ 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数 2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则 11a c c a +++的最小值为_____. 【答案】4 错误！未指定书签。 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=, 考点48 基本不等式(练习) 【题组一 直接型】 1．若，都是正数，且，则 的最大值为 。 a b 2a b +=()()11a b ++ 2．已知数列是等差数列，且，若，则的最大值_____. {}n a 0n a >12100500a a a ++?+=5051a a ? 3．若，则的最大值是 。 102a << ()12a a - 【题组二 换1型】 1．正实数 满足：，则的最小值为_____. ,x y 21x y +=21x y + 2．已知，，则的最小值为_______________； 0,0a b >>122a b +=a b + 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则 ＋的最小值是________． 4a ＋11b ＋c 4．已知，则的最小值为 。 1,0,2a b a b >>+=1112a b +- 【题组三 配凑型】 1．已知，求函数的最小值是 。 1x >-11y x x =+ + 2．若，则的最小值是 。 1a >11a a + - 3．已知实数，， ，则的最小值是 。 0a >0b >11111a b +=++2+a b 【题组四 消元型】 1．若正实数，满足，则的最小值为______. x y 2210y xy +-=2x y + 2．已知，则的最小值是_______． 22451(,)x y y x y R +=∈22x y + 3．已知实数满足，则的最小值为 。 ,x y 22455--=x xy y 222x y + 4．已知、为正实数，满足，则的最小值为______. x y 427x y xy ++=2x y + 【题组五 求参数】 1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为______。 , x y 1,12x y >>224121 x y m y x +≥--m 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 3.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。 0m >0xy >2x y +=24m x y +≥m 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 2 5123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式 02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、 a 2＋ b 2 2的大小关系是 。 2.已知12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 第22课时 基本不等式 一、基础练习 1、下列结论正确的有__________（填序号） （1）当x>0且x ≠1时log 2x+log x 2有最小值为2 （2 2+≥ （3）0 （2）某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不小于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。 例3：设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ（0<λ<1），画的上下各留8cm 的空白，左右各留5cm 的空白，怎样确定高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈23[,]34 ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 三、巩固练习： 1、若a ，b ，c>0且2a+b+c 最小值为___________ 2、若a>0，b>0，c>0，且a(a+b+c)+bc ≥16，2a+b+c ≤8，则a+b=_________ 3、若0 1 不等式与不等式组期末复习讲义 常考专题一 不等式的性质 主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主． 例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x + >；③136x -<；④0x π>；⑤132362 x x -+-<；⑥2x xy y +≥；⑦0x >. A .6个 B .5个 C .4个 D .3个 解析：③中 1 x 不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B . 例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()() 22 11a m b m +>+ C ．22 a b - <- D ．22 a b > 解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2， ∵2 10m +>，∴()() 2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性 质3，∵102- <，∴22a b -<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立． 思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除． 常考专题二 一元一次不等式(组)的解法 解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行． 例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2 5x x x x +<+?? ?--≤? ?①② 分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把 解集在数轴上表示出来． 解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下： (2)解不等式①，得1 2 x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下： 故不等式组的解集为1 2 x <- ． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解． 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 基础篇 一、单变量部分 1、 求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________ 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围均值不等式综合复习题
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