概率论与数理统计专业学习资料

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、排列组合初步

（1）排列组合公式 )!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )!

(!!n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程

x x x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1

例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？

例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则

共有不同的涂法

A ．120种

B ．140种

C ．160种

D ．180种

(4)一些常见排列

①特殊排列

相邻

彼此隔开

顺序一定和不可分辨

例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不

同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

②重复排列和非重复排列（有序）

例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

③对立事件

例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

④顺序问题

例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）

例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）

例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）

2、随机试验、随机事件及其运算

（1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。

例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示，例如n ωωωΛ,,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是Ω的子集。

如果某个ω是事件A 的组成部分，即这个ω在事件A 中出现，记为A ∈ω。如果在一次试验中所出现的ω有A ∈ω，则称在这次试验中事件A 发生。

如果ω不是事件A 的组成部分，就记为A ∈ω。在一次试验中，所出现的ω有A ∈ω，则称此次试验A 没有发生。

Ω

为必然事件，?为不可能事件。

（2）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ?

如果同时有B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。

A 、

B 中至少有一个发生的事件：A Y B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。

A 、

B 同时发生：A I B ，或者AB 。A I B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：Y I ∞=∞==11i i i i A A B A B A I Y =，B A B A Y I =

例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间Ω。若A 表示取到的两只球是白色的事件，B 表示取到的两只球是红色的事件，试用A 、B 表示下列事件：

（1）两只球是颜色相同的事件C ，

（2）两只球是颜色不同的事件D ，

（3）两只球中至少有一只白球的事件E 。

例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若A i 表示第i 次正面朝上，用A i 表示下列事件：

（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C ，

（2）至少有一次正面朝上的事件D ，

（3）前两次正面朝上的事件E 。

3、概率的定义和性质

（1）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有

∑∞

=∞==???? ??11)(i i i i A P A P Y

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° {

}n ωωωΛ21,=Ω， 2° n

P P P n 1)()()(21===ωωωΛ。 设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有

P(A)={})()()(21m ωωωY ΛY Y =)()()(21m P P P ωωω+++Λ

n

m =基本事件总数所包含的基本事件数A = 例1．18：集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素与B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。

例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？

例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是

A ．141

B ．131

C ．121

D ． 11

1 例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序）

例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序）

例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）

注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）

（1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A ＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P(B )=1- P(B)

例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A +B ).

例1．26：对于任意两个互不相容的事件A 与B ， 以下等式中只有一个不正确，它是： (A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A ∪B )-1 (C) P(A -B)= P(A )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A -B)]=P(A) (E)p[B A -]=P(A) -P(A ∪B )

（3）条件概率和乘法公式

定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)

()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )

()(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A)

乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =

更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式

设事件n B B B ,,,21Λ满足

1°n B B B ,,,21Λ两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，

2°

Y n i i B A 1=?，

则有 )|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。

此公式即为全概率公式。

例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所

结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球

2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：

A ．0.5625

B ．0.5

C ．0.45

D ．0.375

E ． 0.225

例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足

1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i

1，2，…，n ， 2°

Y n i i B A 1=?，0)(>A P ，

则 ∑==n j j

j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)/()()

/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C 表示被检验者的确患有肝癌的事件，A 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(=C A P ，98.0)/(=C A P ，004.0)(=C P 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率)|(A C P 。

5、事件的独立性和伯努利试验

（1）两个事件的独立性

设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。 若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。（证明）

由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）

同时，?与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性

设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A 、B 、C 相互独立。

对于n 个事件类似。

两两互斥→互相互斥。

两两独立→互相独立？

例1．33：已知)/()/(A B P A B P =，证明事件A 、B 相互独立。

例1．34：A ，B ，C 相互独立的充分条件：

（1）A ，B ，C 两两独立

（2）A 与BC 独立