数学本科和研究生初等教材

9月1日

数学研究生基础课程参考书目

*这个计划是按照美国的体系制订的，美国一年级的研究生课程大概相当于我国重点大学数学本科大三、大四的水平

第一学年

秋季学期春季学期

几何与拓扑I 几何与拓扑II

1、James R. Munkres, Topology

较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级

2、Basic Topology by Armstrong

本科生拓扑学教材

3、Kelley, General Topology

一般拓扑学的经典教材，不过观点较老

4、Willard, General Topology

一般拓扑学新的经典教材

5、Glen Bredon, Topology and geometry

研究生一年级的拓扑、几何教材

6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee

研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书

7、From calculus to cohomology by Madsen

很好的本科生代数拓扑、微分流形教材

代数I 代数II

1、Abstract Algebra Dummit

最好的本科代数学参考书，标准的研究生一年级代数教材

2、Algebra Lang

标准的研究生一、二年级代数教材，难度很高，适合作参考书

3、Algebra Hungerford

标准的研究生一年级代数教材，适合作参考书

4、Algebra M,Artin

标准的本科生代数教材

5、Advanced Modern Algebra by Rotman

较新的研究生代数教材，很全面

6、Algebra：a graduate course by Isaacs

较新的研究生代数教材

7、Basic algebra V ol I&II by Jacobson

经典的代数学全面参考书，适合研究生参考

分析基础复分析I

实分析I

1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis

本科数学分析的标准参考书

2、Walter Rudin, Real and complex analysis

标准的研究生一年级分析教材

3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis

本科高年级和研究生一年级经典的复分析教材

4、Functions of One Complex Variable I，J.B.Conway

研究生级别的单变量复分析经典

5、Lang, Complex analysis

研究生级别的单变量复分析参考书

6、Complex Analysis by Elias M. Stein

较新的研究生级别的单变量复分析教材

7、Lang, Real and Functional analysis

研究生级别的分析参考书

8、Royden, Real analysis

标准的研究生一年级实分析教材

9、Folland, Real analysis

标准的研究生一年级实分析教材

第二学年

秋季学期春季学期

代数III 代数IV

1、Commutative ring theory, by H. Matsumura

较新的研究生交换代数标准教材

2、Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel

经典的交换代数参考书

3、An introduction to Commutative Algebra by Atiyah

标准的交换代数入门教材

4、An introduction to homological algebra ,by weibel

较新的研究生二年级同调代数教材

5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach

经典全面的同调代数参考书

6、Homological Algebra by Cartan

经典的同调代数参考书

7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin

高级、经典的同调代数参考书

8、Homology by Saunders Mac Lane

经典的同调代数系统介绍

9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud 高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考

代数拓扑I 代数拓扑II

1、Algebraic Topology, A. Hatcher

最新的研究生代数拓扑标准教材

2、Spaniers "Algebraic Topology"

经典的代数拓扑参考书

3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu 研究生代数拓扑标准教材

4、Massey, A basic course in Algebraic topology

经典的研究生代数拓扑教材

5、Fulton , Algebraic topology：a first course

很好本科生高年级和研究生一年级的代数拓扑参考书

6、Glen Bredon, Topology and geometry

标准的研究生代数拓扑教材，有相当篇幅讲述光滑流形

7、Algebraic Topology Homology and Homotopy

高级、经典的代数拓扑参考书

8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May

研究生代数拓扑的入门教材，覆盖范围较广

9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead

高级、经典的代数拓扑参考书

实分析II 泛函分析

1、Royden, Real analysis

标准研究生分析教材

2、Walter Rudin, Real and complex analysis

标准研究生分析教材

3、Halmos，"Measure Theory"

经典的研究生实分析教材，适合作参考书

4、Walter Rudin, Functional analysis

标准的研究生泛函分析教材

5、Conway,A course of Functional analysis

标准的研究生泛函分析教材

6、Folland, Real analysis

标准研究生实分析教材

7、Functional Analysis by Lax

高级的研究生泛函分析教材

8、Functional Analysis by Yoshida

高级的研究生泛函分析参考书

9、Measure Theory, Donald L. Cohn

经典的测度论参考书

微分拓扑李群、李代数

1、Hirsch, Differential topology

标准的研究生微分拓扑教材，有相当难度

2、Lang, Differential and Riemannian manifolds

研究生微分流形的参考书，难度较高

3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups

标准的研究生微分流形教材，有相当的篇幅讲述李群

4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris

李群及其表示论的标准教材

5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg

李群的参考书

6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang

李群的参考书

7、Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee

较新的关于光滑流形的标准教材

8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan

最重要的李群、李代数参考书

9、Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Springer-Verlag, GTM-9

标准的李代数入门教材

第三学年

秋季学期春季学期

微分几何I 微分几何II

1、Peter Petersen, Riemannian Geometry

标准的黎曼几何教材

2、Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature by John M. Lee

最新的黎曼几何教材

3、doCarmo, Riemannian Geometry.

标准的黎曼几何教材

4、M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I—V

全面的微分几何经典，适合作参考书

5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces

标准的微分几何教材

6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry

最新的微分几何教材，很适合作参考书

7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry

经典的微分几何参考书

8、Boothby,Introduction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry

标准的微分几何入门教材，主要讲述微分流形

9、Riemannian Geometry I.Chavel

经典的黎曼几何参考书

10、Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”V ol 1—3

经典的现代几何学参考书

代数几何I 代数几何II

1、Harris,Algebraic Geometry: a first course

代数几何的入门教材

2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne

经典的代数几何教材，难度很高

3、Basic Algebraic Geometry 1&2 2nd ed. I.R.Shafarevich.

非常好的代数几何入门教材

4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris

全面、经典的代数几何参考书，偏复代数几何

5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud 高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考

6、The Geometry of Schemes by Eisenbud

很好的研究生代数几何入门教材

7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford

标准的研究生代数几何入门教材

8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford

复代数几何的经典

调和分析偏微分方程

1、An Introduction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson

调和分析的标准教材，很经典

2、Evans, Partial differential equations

偏微分方程的经典教材

3、Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag

偏微分方程的参考书

4、L. Hormander "Linear Partial Differential Operators, " I&II

偏微分方程的经典参考书

5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland

高级的研究生调和分析教材

6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt

抽象调和分析的经典参考书

7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein

标准的研究生调和分析教材

8、Elliptic Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg

偏微分方程的经典参考书

9、Partial Differential Equations ，by Jeffrey Rauch

标准的研究生偏微分方程教材

复分析II 多复分析导论

1、Functions of One Complex Variable II，J.B.Conway

单复变的经典教材，第二卷较深入

2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster

黎曼曲面的参考书

3、Compact riemann surfaces Jost

黎曼曲面的参考书

4、Compact riemann surfaces Narasimhan

黎曼曲面的参考书

5、Hormander " An introduction to Complex Analysis in Several Variables" 多复变的标准入门教材

6、Riemann surfaces , Lang

黎曼曲面的参考书

7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas

标准的研究生黎曼曲面教材

8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz

高级的研究生多复变参考书

9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz

高级的研究生复分析参考书

专业方向选修课：

1、多复分析

2、复几何

3、几何分析

4、抽象调和分析

5、代数几何

6、代数数论

7、微分几何

8、代数群、李代数与量子群

9、泛函分析与算子代数

10、数学物理

11、概率理论

12、动力系统与遍历理论

13、泛代数

*数学基础：

1、halmos ,native set theory

2、fraenkel ,abstract set theory

3、ebbinghaus ,mathematical logic

4、enderton ,a mathematical introduction to logic

5、landau, foundations of analysis

6、maclane ,categories for working mathematican

应该在核心课程学习的过程中穿插选修

假设本科应有的水平

分析

Walter Rudin, Principles of mathematical analysis

Apostol , mathematical analysis

M.spivak , calculus on manifolds

Munknes ,analysis on manifolds

Kolmogorov/fomin , introductory real analysis

Arnold ,ordinary differential equations

代数：

linear algebra by Stephen H. Friedberg

linear algebra by hoffman

linear algebra done right by Axler

advanced linear algebra by Roman

algebra ,artin

a first course in abstract algebra by rotman

几何：

do carmo, differential geometry of curves and surfaces

Differential topology by Pollack

Hilbert ,foundations of geometry

James R. Munkres, Topology

12:54 | 阅读评论(2) | 固定链接 | Mathematics

数学分析的一些课本

一、中文的：

最难的5套书：

1、《数学分析新讲》（1、

2、3册），张筑生，北大版

2、《数学分析》（1、2、3册），方企勤，高等教育版

3、《数学分析教程》（上、下册）常庚哲等，高等教育版

4、《数学分析》（上、下册）黄玉民等，科学出版社

5、《简明数学分析》王昆扬，高等教育版

最抽象的教材：

《数学分析》（上、下册），邹应，武汉大学数学基地班教材（个人认为是目前国内观点最高，最抽象的书）

二、国外的书

好书太多，菲赫金哥尔茨的《数学分析原理》太老了，他的那套《微积分学教程》3卷（共8本）才是他的成名作，不过也太老了。。。

美国的好书：

1、W.Rudin的《数学分析原理》

观点很高，1—7章（单变量部分）绝对经典，拓扑味很浓，写得很深（除非你资质太高，否则大一别看这本书），后面多变量部分也写的不错，不过过于急促了；

2、R.Courant的《微积分和数学分析引论》

绝对的经典，推荐必读，该书无论单变量还是多变量部分都写得很深，尤其是第二卷多变量部分，很早就引入了若当测度，n维欧氏空间的微积分，微分流形、外微分等现代分析的基本概念，写得非常详尽，尤其值得一提的是习题很不错，有相当的难度（此书在国外用的并不普遍，因为难度过高，常被当作参考书）；

3、Apostol的书

1）、《微积分》1、2卷，难度低于courant的书，入门很合适；

2）、《数学分析》，难度略低于RUDIN的书，也很不错

1）+2）基本上等于courant+rudin的难度，不过最难的绝对是前2套书；

4、spivark的《流形上的微积分》

主要是在流形上讲述微积分学，有很浓的拓扑味，一般结合RUDIN的书看，正好补充RUDIN 的书后面几章的缺陷，他还写过一本《calculus》据说也不错（我没看过）；

俄罗斯的书：

70年代以后的书观点都很高，不过翻译过来的很少，国内常见的有2套：

1、B.A卓里齐的《数学分析》

2、尼可尔斯基的《数学分析教程》

据说新近出的书还要难，不过国内很少见！！！

法国的书：

法国的数学分析教材据说全球最难、最抽象，国内很少见，我只见过3套：

1、迪斯米挨的《大学数学教程》不知有几卷，一开头就是拓扑、实分析等抽象的东西，如果

你实在够牛可以看看；

2、《普通数学》1—6卷，法国大学头2年的数学教材，看完这套可以看看Dieodonne的9卷

本《现代分析基础》；

3、Bourbaki的《数学基础》有6门核心课程（到现在为止不知出了多少卷了）可以说是近代数学的一个“最小工具箱”，可惜没有中文版，绝对超一流的难，绝对经典现代（该书

在不断的修订）

此外还有德国的书难度介于我过最难的数分和法国数分教材之间，就不再多说了！

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12:53 | 固定链接 | Mathematics

两套数学系课本与参考书书目

微积分：

R.Courant,F.John，Introduction to Calculus and Analysis vol I&II

T.M.Apostol Calculus vol I&II

T.M.Apostol Mathematical Analysis

Rudin "Principles of Mathematical Analysis"

Spivak "Calculus on Manifolds"

V.A.Zorich，Mathematical Analysis vol I&II Springer-Verlag

代数：

Friedberg "Linear Algebra" 4th ed. Prentice Hall

Axler "Linear Algebra Done Right" 2nd ed. Springer-Verlag

Hoffman & Kunz , Linear Algebra

Basic Algebra I&II, 2nd Edition by N. Jacobson

Algebra by Serge Lang

Dummit & Foote "Abstract Algebra" Wiley

Hungerford "Abstract Algebra: An Introduction" Brooks/Cole

分析：

Real & Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin

Royden "Real Analysis" 3rd ed. Prentice Hall

Ahlfors "Complex Analysis" 3rd ed. McGraw-Hill

Hormander "An Intro to Complex Analysis in Several Variables"

Conway "Functions of One Complex Variable I&II Springer-Verlag

Conway A Course in Functional Analysis

Functional Analysis, 3rd Edition by W. Rudin

几何与拓扑：

Basic Topology by Armstrong

Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo Do Carmo

Hatcher "Algebraic Topology" Cambridge UP

Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall

M. Postnikov，Analytic geometry，Mir Publishers

M. Postnikov，Linear algebra and differential geometry，Mir Publishers

A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3 A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol 1-5 ,by Michael Spivak 方程：

Earl.A. Coddington，Theory of ordinary differential equations，McGraw-Hill Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag

Evans "Partial Differential Equations" …98 AMS

Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold

Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold

教材与参考书目

1、微积分原理I&II

R.Courant,F.John，Introduction to Calculus and Analysis vol I&II

T.M.Apostol Calculus vol I&II

张筑生，《数学分析新讲》（1~3册），北大版

常庚哲，《数学分析教程》（上、下册），高教版

陈纪修，《数学分析》（上、下册），高教版

2、解析几何

丘维生，《解析几何》，北大版

南开数学系，《空间解析几何》，高教版

M. Postnikov，Analytic geometry，Mir Publishers

3、线性代数I&II

蓝以中，《高等代数简明教程》（上、下册），北大版

丘维生，《高等代数》（上、下册），高教版

李炯生，《线性代数》，科大版

Friedberg "Linear Algebra" 4th ed. Prentice Hall

Axler "Linear Algebra Done Right" 2nd ed. Springer-Verlag

Hoffman & Kunz , Linear Algebra

4、集合论原理

耿素云，集合论与图论，北京大学出版社

Elements of Set Theory by Herbert Enderton

Set Theory by Thomas J. Jech

5、离散数学原理

耿素云，离散数学，高教版

Discrete Mathematics and its Applications Kenneth H. Rosen

6、普通物理学I&II

力学，赵凯华和罗蔚茵编写的《新概念物理教程》力学部分

高等教育出版社

热学，赵凯华和罗蔚茵编写的《新概念物理教程》热学部分。

高等教育出版社

电磁学，赵凯华和陈熙谋编写的《电磁学》，高等教育出版社。

光学，赵凯华和钟锡华编写的《光学》，北京大学出版社

7、数学分析原理I&II

Rudin "Principles of Mathematical Analysis"

Spivak "Calculus on Manifolds"

V.A.Zorich，Mathematical Analysis vol I&II Springer-Verlag

8、抽象代数I&II

莫宗坚，《代数学》（上、下册），北大版

Basic Algebra I&II, 2nd Edition by N. Jacobson

Algebra by Serge Lang

Dummit & Foote "Abstract Algebra" Wiley

Hungerford "Abstract Algebra: An Introduction" Brooks/Cole

9、拓扑学原理

尤承业，《基础拓扑学讲义》，北大版

Basic Topology by Armstrong

10、微分几何原理

陈维桓，《微分几何初步》

Differential Geometry of Curves and Surfaces by Manfredo Do Carmo

M. Postnikov，Linear algebra and differential geometry，Mir Publishers

A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau

11、常微分方程I&II

丁同仁，《常微分方程教程》，高教版

Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold

Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations by V. I. Arnold Earl.A. Coddington，Theory of ordinary differential equations，McGraw-Hill

12、概率论原理

汪仁官，《概率论引论》，北大版

A First Course in Probability by Sheldon Ross

13、统计学原理

陈家鼎，《数理统计学讲义》，高教版

R. Larsen and M. Marx: An Introduction to Mathematical Statistics, Prentice-Hall, 1986。

14、复分析原理

方企勤，《复变函数教程》，北大版

龚升，《简明复分析》，北大版

Ahlfors "Complex Analysis" 3rd ed. McGraw-Hill

Conway "Functions of One Complex Variable I&II Springer-Verlag

15、理论物理学I&II

量子力学：曾谨言，《量子力学教程》，高等教育出版社出版

电动力学：郭硕鸿，《电动力学》，高等教育出版社出版。

理论力学：周伯衍, 《理论力学教程》高等教育出版社。

热力学与统计物理：汪志诚，《热力学与统计物理》，高等教育出版社出版。

16、实分析I&II

周民强，《实变函数》，北大版

夏道行，《实变函数论与泛函分析》（上册），高教版

Real & Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin

Royden "Real Analysis" 3rd ed. Prentice Hall

严加安，《测度论讲义》，科学版

程士宏，《测度论与概率论》，北大版

Halmos，"Measure Theory"(GTM 18)

17、交换代数I&II

冯克勤，《交换代数基础》，高教版

Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel

18、拓扑学I&II

Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall

熊金成，《点集拓扑讲义》，高教版

Hatcher "Algebraic Topology" Cambridge UP

Spaniers "Algebraic Topology"

张筑生，《微分拓扑新讲》，北大版

19、微分几何I&II

陈省身，《微分几何讲义》，北大版

陈维桓，《微分流形初步》，高教版

苏步青, 《微分几何》，高教版

A.T.Fomenko Differential geometry and topology，Consultants Bureau

Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3

A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol 1-5 ,by Michael Spivak

20、数理逻辑原理

王捍贫, 数理逻辑，北京大学出版社,1997

H.B.Enderton, A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press, New York, 1972.

21、复分析I&II

Real & Complex Analysis, 3rd Edition by W. Rudin

Conway "Functions of One Complex Variable I&II Springer-Verlag

史济怀，《多复变函数论基础》，高教版

张南岳，《复变函数论选讲》，北大版

Hormander "An Intro to Complex Analysis in Several Variables"

22、泛函分析I&II

张恭庆，《泛函分析讲义》（上、下册），北大版

夏道行，《实变函数论与泛函分析》（下册），高教版

Conway A Course in Functional Analysis

Functional Analysis, 3rd Edition by W. Rudin

23、黎曼几何原理I&II

陈维桓，《黎曼几何引论》（上、下册），北大版

伍宏熙，《黎曼几何初步》，北大版

Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3

24、偏微分方程I&II

姜礼尚，《数学物理方程讲义》，高教版

谷超豪，《数学物理方程》，高教版

Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag

Evans "Partial Differential Equations" …98 AMS

L. Hormander "Linear Partial Differential Operators, " I&II

25、概率理论

程士宏，《高等概率论》，北大版

严士健，《概率论基础》，北大版

Probability: Theory and Examples by Richard A. Durrett

Foundations of Modern Probability by Olav Kallenberg 适合对已经熟悉概率论的人做案边参考，观点较高，也很简洁精要，但不适合做教材。

Chung KaiLai, A course in Probability Theory

Feller, An Introduction to Probability theory and its applications,I&II

26、数值分析

李庆扬，《数值分析》

R.L. Burden and D. Faires, Numerical analysis, 7th edition, Thomson Learning。

J. Stoer and R. Bulirsch, An introduction to numerical analysis, Springer-Verlag,

27、统计学理论

陈希孺，数理统计引论，科学出版社

陈希孺，高等数理统计，科大版

Statistical Inference by George Casella, Roger L. Berger, Cassell

28、随机过程

钱敏平，龚光鲁，随机过程，北京大学出版社

钱敏平，龚光鲁，随机微分方程，北京大学出版社

S.M. Ross, Stochastic Processes, John Wiley & Sons, 1983

A First Course in Stochastic Processes by Samuel Karlin, Howard Taylor

A Second Course in Stochastic Processes by Samuel Karlin, Howard Taylor

The Theory of Stochastic Processes I &II Gikhman, I.I., Skorokhod, A.V.

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12:53 | 固定链接 | Mathematics

9月1日

大学数学系课程全论

从数学分析的课本讲起吧.

复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此.

到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.

另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述

有点小错.

总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理".

后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷.这本书在外面的口碑不好，错误不少，据说南开的一位老师曾笑称此书的作者为“老糊涂”了。下面开始讲一些课本,或者说参考书:

1.菲赫今哥尔茨"微积分学教程","数学分析原理".前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.

此书堪称经典."微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道

题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.

2.Apostol"Mathematical Analysis"在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了.

3.W.Rudin"Principles of Mathematical Analysis"(有中译本:卢丁"数学分析原理")这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.

这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书.

说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.

4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等"数学分析习题集","数学分析习题课教材".北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,

原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答

5.克莱鲍尔"数学分析"记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.

6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多

得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.

下面的一些书可能是比较"新颖"的

7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.

7b."数学分析"忘了是谁写的了(卓里奇?), 也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高".

8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

9.说两句关于非数学专业的高等数学.这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.

10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金(Lusin)的"实变函数论"里面11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.

12.何琛,史济怀,徐森林"数学分析"这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以放在最后.

关于数学分析的习题,还有一本书,就是G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了.该书的内容还是非常丰富的.在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的.

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空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.

当然,这里还要提到十来年前大概做过教材的一本书:项武义,潘养廉等"古典几何学".这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.

可以考虑的参考书包括:

陈(受鸟)"空间解析几何学"内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.

朱鼎勋"解析几何学"这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.

如果想了解比较"新"的动态,可以考虑Postnikov"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.

我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去.

上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有

相当深刻的了解.狄隆涅"(解析)几何学"这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.

穆斯海里什维利"解析几何学教程"这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已).

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高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.

现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什么地方讲的特别好,恐怕说不出来.

值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他了,估计是找不到了).

从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.

蒋尔雄,吴景琨等"线性代数"这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.

屠伯埙等"高等代数"这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁

开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.

如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.屠伯埙等"线性代数-方法导引"这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.

另外,讲到矩阵论.就必须提到甘特玛赫尔"矩阵论"我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.

许以超"线性代数和矩阵论"虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.

华罗庚"高等数学引论"华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.

高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如贾柯勃逊(N.Jacobson)Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31("抽象代数学"第二卷:线性代数)这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.

Greub Linear Algebra(GTM23)这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.

还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:

丘维声"高等代数"(上,下)北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作经常至夜里二,三点.

李炯生,查建国"线性代数"这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.

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从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.这里我打算还是从现行课本讲起.

常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响)但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.

下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.彼得罗夫斯基"常微分方程讲义"在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.

下面转到欧美方面,Coddington & Levinson"Theory of Ordinary Differnetial Equations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.

比较"现代"的表述有Hirsh & Smale"Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems"(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问.图书馆里有中译本. Arnol'd"常微分方程"必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM 里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.

再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多.

看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.

再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看卡姆克(Kamke)常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,理图里有.

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对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象Courant-Hilbert"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些. 而且,王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?有一本.

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单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数一样的地位...")就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.

复旦现在这门课是张锦豪老师教.张老师是做多复变的.毫无疑问,多复变在二十世纪的数学里也占有相当重要的地位,不仅它自身的内容非常丰富,在其它分支中的应用也是相当多的--举个例子就是Penrose的Spinor理论,基本上就是一个复分析的问题.这就扯远了,就此打住.

张老师用的是他自己的讲义,那书要到今年夏天才能印出来.所以还是这两年上过这门课的ddmm来谈谈感受比较好.

1现在具体的情况我不是很清楚,复旦以前有一本范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的. 不知道数学系的学生还发这本书吗?

如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:

2普里瓦洛夫"复变函数(论)引论"这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句"sin z有界无界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上被开回去了,实在是不幸之至.

3马库雪维奇"解析函数论(教程?)"这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.做课本,学完后再看3.,然后就可以开始做研究了.这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert吧! 再说点西方的:

4.L.Alfors(阿尔福斯)"Complex Analysis(复分析)"这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮,

这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.

5.H.Cartan(亨利.嘉当)"解析函数论引论"这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))

6.J.B.Conway"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)(GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是 1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到.

7.K.Kodaira(小平邦彦)"An Introduction to Complex Analysis"这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的基本上都有了"的那种类型.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"我就找不出什么错.

偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的，习题较多。科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。

其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。

人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题

9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的. 10."解析函数论习题集"实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.

其它的书我认为可以翻翻的包括

张南岳,陈怀惠"复变函数论选讲"这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"(这部分内容在6.里面也有),然后去看.这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.

12.J.-P. Serre(塞尔)"A course of Arithmetics"(数论教程)第二部分的十来页东西就可以理解下述Dirichlet定理的证明了:"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.

在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,

庄圻泰,何育瓒等"复变函数论(专题?)选讲"差不多的题目应该有两本,一本肯定理图里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得太专门了点.

除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合看.

14.W.Rudin"Real and Complex Analysis"必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候再谈吧! 15.L.Hormander"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些

奇异积分.

16.Titchmarch"函数论"这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!

17.戈鲁辛"复变函数几何理论"这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.

最后讲一本书,不知道复旦有没有:

18. R.Remmert"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚.

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的作者J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)

这门课没读过,不过如果现在的课本还是

1.I.Tomescu"组合学引论"的话,倒还是想说两句的.首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了)作为补充,可以考虑

2.I.Tomescu"Problem in graph theory and combinatorics(???)"这本书有比较详细的提示和解答,里面的题目也非常好,高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).不过复旦是不是有我不是最清楚.

Lovasz"Problems in Combinatorics(?)"这是本相当好的习题集,作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家.唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千万不要被吓倒!

(这里应当声明,已经快五年没好好看过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所偏差,还望大家原谅)

有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概可以算

Bondy,Murty"Graph Theory and Applications(?)"(中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)这本书内容翔实,写得很容易读,而且有许多难度适当的习题,注意这些习题不仅在书后(好象)有简短的提示,而且在图书馆里面还有一本

5."图论及其应用"习题解答做得还算不错吧.翻译成中文的书里面,还有上海科技出版的Harary(哈拉里)"Graph Theory"(图论)这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好找的.这本书其实已经有点专著的味道了.

讲到图论,还有象7.B. Bollobas"Graph Theory"(GTM 63)这本书世界图书刚刚重印,市面上应该还能见到不少.Bollobas现在是在剑桥吧,国际数学家大会上也是做过

45分钟报告的.(作为参照,改革开放以来,从大陆出去做过45分钟报告的好象才两个人--在国外工作的加上去也不到十个吧)

8.G.Chartrand,L. Lesniak"Graph and Digraphs"是本好书,浅显易懂.

此外还有9.C. Berger"Graph and Hypergraph"是这里的框架性著作

还有一些不讲或不专讲图论的组合书,

中文的有

李乔"组合数学基础"我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦头,现在在上海交大.他这本书写得很不错,不过一个小小的遗憾,就是这书的书脊上印的是"组合数学础基".

11.I. Anderson"Combinatorics of Finite Sets"

Bollobas"Combinatorics"这两本书国内影印过

理图里面还能找到一本薄得要死的名著Ryser(赖瑟)"组合数学"这里面记得有一些讲组合设计的章节还是

很简单明了的.

至于象魏万迪"组合论"这书感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好看.

着重算法的书很多就是计算机类的了,比如

朱洪等"算法设计和分析"

卢开澄"组合数学--算法与分析"印象中该书第一版是上下两册,第二版就只剩下一半篇幅了,没有很仔细得比较过前后两版,所以也说不出究竟变了点什么.

组合数学有不少书是可以看着玩的,比如外国教材中心里面有一本书好象叫"Graph theory from Euler to Konig"(等于就是说讲现代图论的史前史),等等.

如果要求不是很高,那么下面的书可能可以算篇幅不大,内容不深,但多少也讲了些东西的:

17.I. Anderson"A First Course in COmbinatorial Mathematics"

18.C.Berger"组合学原理"(上海科技)

19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长)"组合学引论"这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.其它都还好,在北美的评价也不错.

此外,最近刚刚看到出了一本20.Lovasz,et al.(ed.)"Handbook of Combinatorics"厚厚的两大本,里面有很多人的文章,算得上是包罗万象了.

组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是不是被证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫

21.Appel ,Haken"Every Planar Map is Four Colorable"如果你觉得这书块头太大,可以先翻翻他们在

22.Steen(ed.)"mathematics today"(中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文章,写得非常的好.

最后补充canetti指出的23.Reinhard Diestel"Graph Theory"(GTM173)这本书里面讲到了概率方法,这个感觉是一个很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields奖的T.Gower(这位是靠Banach空间理论得奖的,但是他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了)

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抽象代数有的地方管这叫"近世代数",反正近不近各人自己看着办吧!

从历史上说,可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性,而是重要性,给出意见....",现藏法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角落.到今天这已经是一门无处不在的分支了.

不止一个老师教导过我们:在复旦,你们受到的分析训练将是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.现行教材是我的本家写的,总的说来作为初学还很可以一读,原因将在下面说明.

1.北大的课本是丁石孙,聂灵沼"代数学引论"这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了

2.N.Jacobson"Basic Algebra I,II"这书在总书库里面有不少,理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人.这本书从观点上说是相当现代化的,比同作者的那本

3.N. Jacobson"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)要改进不少.

有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去比较一下.

从习题的角度上说,可以看徐诚浩"抽象代数--方法导引"这本书可以说比较适合在复旦学这门课.