带电粒子在磁场中运动的轨迹欣赏

带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏

１.一朵梅花

例1.如图所示,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、ｂ、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感强度的大小为B。在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为+q的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发,初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少?（不计重力，整个装置在真空中)

解析：如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理,

有设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有:

由上面分析可知,要回到S点，粒子从a到d必经过4圆周，所以

半径Ｒ必定等于筒的外半径r，即R=ｒ．由以上各式解得

感受美:该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花辨”的鲜艳的油菜花

拓展1:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六条狭缝”，当电压

时,粒子经过一段运动后也能回到原出发点。

感受美：该运动轨迹构成了“六只花辨”的怒放的梅

花

拓展2:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“ｎ条狭缝”，当电压时,粒子经过一段运动后也能回到原出发点,并且粒子做匀速

m

r

qB

U

6

2

2

=

2

2

2

tan

2

?

?

?

?

??

=

n

m

r

qB

U

π

圆周运动的半径 感受美:粒子的运动轨迹构成了一朵“n 只花辨”盛开的鲜花。

拓展3:若圆筒上只在a 处有平行于轴线的狭缝，并且粒子与圆筒外壁发生了n 次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压 并且粒子运动的半径 感受美：该运动轨迹也构成了一朵“n 只花辨”

盛开的鲜花(右图为五次碰撞的情形)。

2．一座“拱桥”

例2．如图所示，在x 轴上方有垂直于x ｙ平面的匀强磁场,磁感应强度为B,在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场,场强为E ，一质量为ｍ，电量为—q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出,射出之后,第三次到达ｘ轴时,它与O 点的距离为Ｌ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不计）

解析:画出粒子运动轨迹如图所示,形成“拱桥”图形。 由题知粒子轨道半径

所以由牛顿定律知粒子运动速率为

对粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程y 由

动能定理知

:

所以粒子运动的总路程为

３、一个电风扇

例３、据有关资料介绍,受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装,而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区域内,面内半径为 外半径为R 2=1．０m,区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 n r R π

tan ?=2221tan 2??? ??+?=n m r qB U π1

tan +?=n r R π133

R m =

磁感应强度B=1.0 T,被束缚粒子的荷质比为

(１)若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入

磁场,求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0.

（２)若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度v0沿圆

环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一

次回到该点所需要的时间t

4、一朵葵花

例4.据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有级高的温度,因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器,由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下面的简化条件来讨论这个问题,如图所示,有一个环形区域，其

截面内半径为R1=a,外半径为R2＝(√2-1)a,环形区域内有垂直

纸面向外的匀强磁场,磁

感应强度为B。被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内

质量为m，电量为q的带电粒子,若带电粒子由反应区沿各

个不同射入磁场区域,不计带电粒子重力和运动过程中的相

互作用,则;

１、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界,允许带电粒子速度的最大值?m多大? ２、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半径方向垂直射入磁场, 求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到出发点所用的时间ｔ.

5、一枚铜钱

例5、如图所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，边界跟ｙ轴相切于坐标原点Ｏ。O点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为ｖ的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。

1、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；

2、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；

3、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回,且其电荷量保持不变。若从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度的已减小为v/2，求该粒子第一次回到O点经历的时间。

6、一滴水珠

例６、如图所示,真空中分布着有界的匀强电

场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场,

电场的宽度为L,电场强度为Ｅ,磁场的磁感应强度

都为B,且右边磁场范围足够大.一带正电粒子质

量为m,电荷量为q，从A点由静止释放经电场

加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后

能按某一路径再返回A点而重复上述过程,不计粒

子重力,求：

（1）粒子进入磁场的速率v;

（2）中间磁场的宽度ｄ

（3)求粒子从A点出发到第一次回到Ａ点所经历的时间t。

7、一个美丽的吸顶灯罩

例７．如图所示,两个同心圆是磁场的理想边界,内圆半径为R,外圆半径为Ｒ,磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为B,内圆的磁感应强度为B/３。t=0时一个质量为ｍ，带－q电量的离子(不计重力）,从内圆上的A 点沿半径方向飞进环形磁场,刚好没有飞出磁场。

(１）求离子速度大小

（2）离子自A点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从t=0开始经过多长时间第一次回到A点?

（3）从ｔ＝0开始到离子第二次回到A点,离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？

①、依题意在外磁场轨迹与外圆相切，如

图

由牛顿第二定律：mv2/r１=qvB (2)

分

由图中几何关系得:

得：……2分

由以上各式得:……２分

②、离子从Ａ出发经C、Ｄ第一次回到A

轨迹如图,在内圆的磁场区域:mv2/r2=ｑｖ

B/３

可得: ……………1分

周期：……………１分

由几何关系可知：β=π／６

在外磁场区域的周期:…………………………1分

由几何关系可知:α=4π/３

离子A→C→D→A的时间：…………………………2分

…………………………1分

③、从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运动６次,时间为t ２:

…………………………2分

得:…………………………1分

例8、如图所示，半径分别为a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁

场,中心O 处固定一个半径很小(可忽略)的金属球,在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场,小圆周与金属球间电势差为U ，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿

＋ｘ轴方向以很小的初速度逸出,粒子质量为m,电量为q ，（不计粒

子重力,忽略粒子初速度）求:

(1)粒子到达小圆周上时的速度为多大？

(2)粒子以（1)中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过

某一临界值时,粒子将不能到达大圆周,求此最小值Ｂ。

(３）若磁感应强度取(2)中最小值,且ｂ=（＋１)a,要粒子恰好第一次沿

逸出方向的反方向回到原出发点,粒子需经过多少次回旋?并求粒子在磁场中运动的时间。(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回）

８、一沿抛物线（或直线）上升的气泡

例9、如图所示，在xo ｙ的平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场,变化规律如乙图所示(规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在ｔ=0时刻,质量为m 、电荷量为ｑ的带正电粒子自坐标原点O 处以?0=2m/s 的速度沿x 轴正方向水平射出。已知电场强度， 磁感应度 ，不计粒子重力。求: （1)1s 末粒子速度的大小和方向;

(2）１ｓ～2s 内，粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；

(3）画出0～4s 内粒子的运动轨迹示意图(要求:体现粒子运动特点）;

（4）(2n-１)ｓ~２ｎs(n=１,2,3,…）n 内粒子运动至最高点的位置坐标。

2m E q =02m B q π=

９、一幅窗帘或一块磁砖

例10、如图所示：由光滑绝缘壁围成的正方形(边长为a)匀强磁场区域的磁感强度为Ｂ,质量为m、电量为q的正粒子垂直于磁场方向和边界从下边界正中央的A孔射入该磁场中,粒子碰撞时无能量和电量损失，不计粒子重力和碰撞时间,粒子运动半径小于a，要使粒子仍能从A孔射出，求粒子的入射速度和粒子在磁场中的运动时间?

1０、一串“葡萄”

例11如图（甲)所示,两块水平放置的平行金属板,板长L=1.4m,板距d=3０cｍ。两板间有B=1.25T，垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图(乙）所示的脉冲电压。在ｔ＝０时，质量m=2×１0-15kg,电量为q=1×10-10C的正离子，以速度为4×１03m／s从两板中间水平射入。试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。

11、一颗“心脏”

例1２如图所示,以ab为分界面的两个匀强磁场,方向均垂直于纸面向里,其磁感应强度B1=2Ｂ2，现有一质量为m,带电量为+q的粒子,从O点沿图示方向以速度ｖ进入B1中,经过时间t=_＿＿＿粒子重新回到O点（重力不计）

１２、一只漂亮的蝴蝶

例13如图(a）所示，在xOｙ平面上-H

沿x轴正向平行地向ｙ轴射来.试设计一个磁轴的负半轴的远处以相同的速率v

０

场区域，使得

（1）所有电子都能在磁场力作用下通过原点Ｏ; ?（2）这一片电子最后扩展到-2Ｈ＜ｙ＜２Ｈ范围内,继续沿x轴正向平行地以相同的速率v０向远处射出．已知电子的电量为ｅ、质量为m，不考虑电子间的相互作用.

1３、一个古朴的窗口

例14、如图所示，与纸面垂直的竖直面ＭN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E=2.5×1０2Ｎ/C的匀强电场(上、下及左侧无界）。一个质量为m＝0.5ｋg、电量为q＝2.０×10—2Ｃ的可视为质点的带正电小球,在ｔ＝0时刻以大小为ｖ0的水平初速度向右通过电场中的一点P,当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图所示随时间周期性变化的磁场,使得小球能竖直向下通过D点,D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D到竖直面MＮ的距离DQ为Ｌ/π。设磁感应强度垂直纸面向里为正。(g=10m/ｓ2)

为已知量，试推出满足条件时t1的表达式（用题中所给（1)如果磁感应强度B

０

物理量的符号表示)

（2)若小球能始终在电场所在空间做周期性运动。则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小