(完整版)同济高数第七版上册考研数学考纲.docx

章节

1.1 映射与函数

1.2 数列的极限

1.3 函数的极限

1.4 无穷小与无

穷大

1.5 极限的预算法则

第一章函数与极限(没有第三章)

教材内容考纲要求必做例题

映射不作要求

函数、复合函数及分段函数的概念理解

函数的表示法掌握例5~10

函数的有界性、单调性、奇偶性、

了解

周期性，反函数、初等函数的概念

基本初等函数的性质及其图形掌握

建立应用问题的函数关系会

理解（数一数二）

数列极限的定义

了解（数三）【难

点】

收敛数列的性质了解

理解（数一数二）

单侧极限以及左、右极限与极限存

在的关系了解（数三）【难

例6

点】

掌握（数一数二）

函数极限的性质

了解（数三）

无穷小的概念理解

理解（数一数二）

无穷大的概念

了解（数三）

无穷小的基本性质理解

极限的性质

掌握（数一数二）

例 1-8

了解（数三）

极限的四则运算法则掌握

必做习题

P16 习题 1-1：

1（ 3）（ 5）（ 7），

2（ 3）， 3， 4（ 2）， 6

（2）， 12,13

P26 习题 1-2：

1（ 2）（ 6）（ 8）

P33 习题 1-3：

1（ 2）， 2， 3（ 1）， 4

P37 习题 1-4：

4,6

P45 习题 1-5：

1（ 3）（ 5）（11）（13），

2 （1）， 3,4,5

章节

1.6 极限存在准

教材内容

极限存在的两个准则（夹逼准则、

单调有界数列必有极限）

考纲要求

掌握（数一数二）

了解（数三）

必做例题必做习题

则，两个重要极限

1.7 无穷小的比

较

1.8 函数的连续

性与间断点

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

1.10 闭区间上连续函数的性

质

总复习

一

利用两个重要极限求极限的方法

柯西审敛原理

无穷小阶的定义及无穷小量的

比较方法

一些重要的等价无穷小及其性质

函数连续性的概念

（含左连续与右连续）

函数间断点的分类与判别

（第一类间断点与第二类间断点）

函数间断点的和、差、积、商的连

续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

有界性与最大值最小值定理，

零点定理与介值定理

一致连续性

总结归纳本章的基本概念、基

本定理、基本公式、基本方法

掌握【重点】

不作要求

掌握【重点】

理解【重点】

会【重点】

了解（会利用连

续性求极限）

理解【重点】（会

灵活应用这些性质）

不作要求

例1~4

例1~5

（熟记例

1,2 的结论）

例1~5

例1

例2~4

例5~8

例1

P52 习题 1-6：

1（4）（ 6）， 2,4

P55 习题 1-7：

1,3,4 （ 1）， 5

P61 习题 1-8：

3 （1）， 4，5

P65 习题 1-9：

3（ 3）（ 5）（ 7）（ 8 ）

4（ 4）（ 5）（ 6）（ 7 ）

（8）

5

6

P70 习题 1-10：

1,2,3,4,5

P70 总习题一：

3,5,9 （2）（ 4）（ 6）

（7）（ 8）， 10，11，

12,13,14

章节

2.1 导数概念

第二章导数与微分

教材内容考纲要求

导数的定义理解【重点】

了解（仅数学一数

导数的物理意义学二要求）（会用

导数描述物理量）

理解（数一数二）

了解（数三）（会

导数的几何意义

求

平面曲线的切线

必做例题

例1~6

引例 1

例 8,9，

引例 2

必做习题

P83 习题 2-1：

6,7,13,16（ 2），

17,18,19

2.2 函数的求导法则

2.3 高阶导

数

2.4 隐函数及由参数

方程所确

定的函数的导数，相

导数的经济意义

单侧导数以及单侧可

导与可导的关系

函数的可导性与连续性的关系

函数的和、差、积、

商的求导法则

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

基本求导法则与导数公式

分段函数的求导

高阶导数的概念

简单函数的高阶导数

隐函数的导数（对数求导法则）

由参数方程所确定

的函数的导数

了解（仅数三要求）

理解

理解【重点】

掌握

掌握

掌握【重点】（基

本

求导法则与导数公

式要非常熟悉）

会【重点】

了解【重点】

会（归纳法，

莱布尼茨公式）

会【重点】

会【重点】（仅数

一数二要求）

例 7

例 10,11

例1~15

例1~8（记住

例4,5 的结

论）

数一、二

做例 1~9

数三做

例1~5

P94 习题 2-2：

2（ 9）， 3（ 3），

6（ 9）（ 10），7（8），

8（ 4）， 9,10（ 2），

11 （4）（ 9）

P100 习题 2-3：

1（ 3），3（ 2），4（2 ）

8,9,10（ 2）， 12

P108 习题 2-4：

1（3）， 2， 3（4 ）

4（ 1）（ 3）， 5（ 2），

8（ 3）数三不用做5,8

关变化率相关变换率不作要求

章节教材内容考纲要求

掌握（数一数二）

微分的定义、几何意义

了解（数三）

基本初等函数的微分方程掌握

2.5 函数的

微分

微分运算的法则了解（会求

（微分形式不变性）函数的微分）

微分在近似计算中的应用不作要求

总结归纳本章的基本概念、基

总习题二

本定理、基本公式、基本方法

第四章不定积分

原函数与不定积分的概念理解

4.1 不定积

掌握【重点】（熟分的概念基本积分表

记）与性质

不定积分的性质掌握

第一类换元法（凑微分法）掌握【重点】（熟

4.2 换元积

记 P205 公式，双分法

第二类换元法曲代换不作要求）

4.3 分部积

分部积分法适用场合及形式掌握【重点】分法

有理函数的积分

4.4 有理函会（仅数一数二要数的积分可化为有理函数的积分求）

（三角函数有理式和简单无理

函数）必做例题必做习题

例 1~6

P120 习题 2-5：

1,3（3）（ 6），

4（ 4）（ 6）（ 7）

P122 中习题二：

2， 3，6（ 1）， 7,11

12（ 1）， 13,14

数三不做12,13

P192 习题 4-1：

1（ 1）， 2（ 5）（ 8）例 1~3

（ 13）

5~15

（ 17）（ 19）（ 21）（ 25），

5,7

P207 习题 4-2：

例 1~20

2（ 4）（ 6）（ 11）（ 15）

（16）（ 17）（ 19）（ 21）例21~24（30）（32）（34）（36）

（37）

习题 4-3:2,5,6,9 ，

例1~9

12,17,18,21,22,24

例 1~5，习题4-4：

5~84,6,8,12,20,23

章节

4.5 积分表的使用

总习题四

5.1 定积分的概念与性

质

5.2 微积分基本公式

5.3 定积分的换元法和分部积分法

5.4 反常积

分

5.5 反常积分的审敛法

总习题五

教材内容考纲要求

不作要求

总结归纳本章的基本概念、基本

定理、基本公式、基本方法

第五章定积分

掌握（数一数二）

定积分的定义与性质了解（数三）

（性质6 会证明）

函数可积的两个充分条件理解【难点】

定积分的近似计算不作要求

理解【重点】（定

积分上限函数及其导数

理会证明、会求

导）

掌握【重点】

牛顿 -莱布尼茨共识

（定理会证明）

定积分的换元法与分部积分法掌握【重点】

无穷限的反常积分

了解概念，会计

算反常积分

无界函数的反常积分

不作要求

总结归纳本章的基本概念、基

本定理、基本公式、基本方法

必做例题必做习题

总习题四： 1,2,3

4（ 1）（ 5）（9）（ 10）

（12）（ 14）（ 16）（ 19）

（21）（ 25）（ 33）（ 35）

例1

习题 5-1：

4（ 4）， 5,7（ 4）， 11

习题 5-2:

3,5（2）， 6,7,8（ 3）

例 1~4，例 6

（ 8）（ 11）（ 12），

（记住结论），

11（ 2），12,13,14,15,16

例7,8

例1~4

习题 5-3：

例 5~7（记住结

1（ 4）（ 7）（ 10）（ 18）

论），例 8~11，

（ 19）（ 21）（ 25）（ 26）

例 12（记住结

2,5,6,7（ 10）（ 11）（ 13）

论）

习题 5-4：

例 1~71（4）（ 8）（ 10）

2,3（记住结论）， 4

总习题五 :

1(1)(2)(4)(5), 2 , 4(2)

5(2),6(1),

11(7)(9)(10), 12, 13,14

15,18

第六章

定积分的应用

章节 教材内容 考纲要求 必做例题

必做习题

6.1 定积分 元素法

理解

的元素法

平面图形的面积（直角坐标情

例 1~5

形、极坐标情形）

会

习题 6-2：

体积：数学三只要

6.2 定积分

1(1)(4), 2(1), 4, 5(1) 体积（旋转体的体积、平行截 求旋转体的体积

在几何学上

例 6~10

7, 9, 11, 12, 15(1)(3)

面面积为已知的立体的体积）

的应用

16, 19, 21, 22, 28

平面曲线的弧长

会（数一数二） 例 11~15

数三不做 22,28

6.3 定积分 用定积分求变力做功、

习题 6-3：

在物理学上

会（数一数二）

例 1~5

水压力、引力

5, 11

的应用

总习题六

总结归纳本章的基本概念、基

总习题六 :

本定理、基本公式、基本方法

1, 2 , 4, 5, 6, 7, 9

第七章 微分方程

7.1 微分方程的

微分方程的阶、解、通解、

例 1,2

习题 7-1 ： 1(3)(4)

了解

2(2)(4), 3(2), 4(3),5(1),

基本概念

初始条件和特解

7

7.2 可分离变量 可分离变量的微分方程的

习 题

7-2 ： 掌握

例 1~4

1(3)(4)(5)(7)

的微分方程

概念及其解法

(9), 2(3)(4)

7.3 齐次方程

7.4 一阶线性微

分方程

7.5 可降阶的高

阶微分方程

一阶齐次微分方程的形式及

其解法

可化为一阶齐次微分方程

的形式及其解法

一阶线性微分方程的

形式及其解法

伯努利方程的形式及其解法

用降阶法解下列形式的微分

方程：

y (n) f ( x), y n f (x, y ' ) 掌握【重点】

例 1,2

习题 7-3:

1(1)(5), 2(2)

不作要求

习题 7-4:

掌握（熟记公式）

例 1,3

1(3)(5)(8)(10),

2(1)(3), 3 ,7(3)

会（仅数一） 例 4 8(5)

例 习题 7-5:

会（仅数一数二）

1(3)(4)(7), 2(2)

1,3,5,6

章节教材内容考纲要求必做例

题

7.6 高阶线性微线性微分方程的解的结构：齐理解（数一数二）次线性微分方程与非齐次线性了解（数三）

分方程

微分方程的解的性质【难点】

二阶常系数齐次线性微分方程

会解【重点】（特征

例 1~3方程、求通解的步骤）

7.7 常系数齐次

线性微分方程

n 阶常系数齐次线性微分方程会（数一数二）例 6~7

7.8 常系数非齐二阶常系数齐次线性微分方程

中自由项为：多项式、指数函会解【重点】（数三

次线性微分方例 1~4数、正弦函数、余弦函数以及不要求和与积）

程

它们的和与积

*7.9 欧拉方程欧拉方程的形式和通解会（数一数二）

*7.10 常系数线

性微分方程组不作要求解法举例

总结归纳本章的基本概念、基

总习题七

本定理、基本公式、基本方法

必做习题

习题 7-6：

1(3)(6), 3, 4(2), 5

习题 7-7:

1(1)(4)(9),

2(2)(4)

数三不做1（9）

习题 7-8:

1(2)(4)(7)(9)

2(2)(4)

6

习题 7-9:

5, 8

总习题七：

1(1)(2)(4), 2

3(2), 4(1)(2)(7)

5(3)(4), 6, 8

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

高等数学(同济第七版)提纲

函数、极限、连续 一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数 二、极限 1、数列的极限 夹逼准则 2、函数的极限 （1）两个重要极限 （2）无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。等价无穷小代换；

三、连续 间断点：第一类，第二类左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。 闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性 第二章导数与微分 一、相关概念 1、导数的两大定义式； 2、左右导数；

3、几何意义； 4、可导与连续的关系。 5、16个基本导数公式，4个求导法则 二、六大类函数求导 1、复合函数求导； 2、隐函数求导； 3、参数方程所确定的函数求导； 4、幂指函数求导； 对数求导法 5、分段函数求导； 6、抽象函数求导。 三、微分 1、概念；可微 2、计算

第三章微分中值定理 与导数的应用 一、中值定理 罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理 二、洛必达法则 三、单调性和凹凸性 单调性：求单调区间； 求极值； 证明不等式； 证明方程根的唯一性。极值的第一充分条件 有且仅有；

凹凸性：凹凸区间；拐点 四、渐近线 1、水平渐近线 2、垂直渐近线 3、斜渐近线 第四章不定积分 一、不定积分的概念； （13+2） 原函数；被积函数；积分变量 二、计算 1、凑微分法（第一类换元法） 2、第二类换元法 3、分部积分法 （一）4小题

（二）2小题 （三）1小题 简单根式的积分 第五章定积分 一、相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和[a,b]积分区间 比较性质 定积分的中值定理 二、关于计算方面的内容 1、定积分的计算； 2、广义积分（反常积分）；（1）无穷限的广义积分；

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)