初一数学下册动点问题
初一数学下册中的动点问题
张文彩初中一年级数学下册中有关几何内容是相交线与平行线，初一上册数学几何内容是点，线，面，体，还有角倍分的问题。所以在初一阶段有关动点的问题相对简单，很多都与平行线有关，有时与平面直角坐标系结合一起，目的是考察学生的观察能力与思维能力。下面根据平时的练习与本人的经验对初一数学下册出现的动点问题进行简单的总结，为初二初三年级研究复杂的动点问题打下坚实的基础。动点在数轴上有规律的运动。
一、平面直角坐标中的动点。
在平面直角坐标系中根据平移的性质：平移前后的线段互相平行且相等，前后的线段就构成了平行四边形的一组对边，经常就会提出平行四边形的面积问题，三角形面积问题，由平行线可以设计一些有关角度之间关系的问题。
例1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
P D C
B
A
O
x
y
（4）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合），设△CDP 与△BOP 的面积和为S ，则S 的取值范围是什么？
（5）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：
解析：（1）根据平移规律：左右平移横变化，左减右加；上下平移纵变化，上加下减。
A （－1，0），向上平移2个单位后得到坐标为：（-1,2），再向右平移1个单位，得到点C （0,2）；
B 的坐标分别为（3，0），向上平移2个单位后得到坐标现（3,2），再向右平移1个单位得到点D （4,2）。
（2）如图：根据平行四边形的面积公式：S 四边形ABDC =底×高。底是AB=4；高OC=2.所以S 四边形ABDC =4×2=8 根据三角形面积公式=底×高÷2，
△PAB 的底是AB=4，点P 在y 轴，所
以△PAB 的高就是OP 的长度，设OP 的长度是y ；
由S △PAB =S 四边形ABDC =8，
得方程4y ÷2=8，y=4.所以点P 的坐标是
结论，并求其值。
确的，请你找出来这个其中有且只有一个是正是定值是定值；,
BOP
CPO
DCP OPC BOP DCP ∠∠+∠∠∠+∠
P D
C
B
A
O
x
y
（0,4）或（0，-4）。
(3)如图：设x 轴上存在点F （x,0）
满足三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍 因为CD=4,OC=2
所以2FB=4，FB=2。所以点F （1,0）或（5,0）
（4）△CDP 与△BOP 的面积和是S ，所以
3 （5）因为CD ∥AB ，当点P 在线段BD 上运动时，可以证明 ∠PCD+∠POB=∠OPC ，所以第一个结论正确，结果等于1. 归纳：这道题目考察的知识点有：平移的规律，平行四边形的面积公式，三角形的面积计算，面积的取值范围，还有动点引起的角度的变化。涉及到的数学思想有：分类讨论思想，转换思想。体现了一题多问的解题模式。 例2在平面直角坐标系中，点A,B 分别是x 轴，y 轴上的点，且OA=a ，OB=b ，其中a,b 满足 1632=+-+-+a b b a ，将B 向左平移18个单位得到点C 。 （1）求点A,B,C 的坐标； 2 2 1 4 242 1 ?==??=FB s s DFB CDF P P OCP CDBO x x OC OC OB CD S S S -=?-+= -=721 )(21△梯形 （2）点M,N 分别为线段BC ，OA 上的两个动点，点M 从点B 以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N 从点A 以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤12）. ①当BM=ON 时，求t 的值。 ②是否存在一段时间，使得 BOAC NACM S S 四边形四边形＜21 ？若存在，求出t 的 取值范围 解：由题意得?? ?=+-=-+016032a b b a 解a=24,b=8,所以A(-24,0),B(0,8),C(-18,8) （2）由题意得，BM=t ，AN=2t ，OA=24, 所以ON=24-2t ；因为BM=ON ，所以t=24-2t; 解得t=3 （3） = 72+4t 由题意得72+4t<84； t<3 答：存在一段时间，使得BOAC NACM S S 四边形四边形＜21 ，t 的取值范围是0 t 2 1 1568)224(2 1 8)2418(21)(21 )(21+=?-+-?+=+-+=-=t t OB ON BM OB OA BC S S S NOBM AOBC NACM 梯形梯形四边形 归纳：本题根据：如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0，先求出点的坐标，然后再根据路程=速度×时间得到相关线段的长度。最后运用梯形的面积公式解决相关问题。 练习：1.如图，在长方形ABCD中，边AB=8，BC=4，以点O为原点，OA，OC所在的直线为y轴和x轴，建立直角坐标系．（1）点A的坐标为（0，4），则B点坐标为______，C点坐标为______； （2）当点P从C出发，以2单位/秒速度向CO方向移动（不超过O点），Q 从原点O出发以1单位/秒速度向OA方向移动（不超过A点），P，Q同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由. 二．平行线中的动点问题 在初一阶段，平行线的性质是重点内容，对于初一学生来说也是难点，平行线的性质与判定的灵活运用是现在考试中的热点，经常会设计类似下图的问题，如果学生能熟练掌握下图的规律，在以后的解决问题时就会起到事半功倍的效果，从而提升学生学习数学的兴趣。 如图AB∥CD，动点P所在的位置不同，∠PCD,∠PAB,∠APB三个角的关系就不同。 图1.∠PCD+∠PAB=∠APB（中间的角∠APB最大，两小的和等于最大角） 图2.∠PAB=∠APB+∠PCD（点P在最上边，上面的两个角的和等于最下面的角）图3.∠PCD=∠PAB+∠APB（点P在最下边，下面的两个角的和等于最上面的角）例3.（安阳期末）（1）已知AB∥CD，那么图1中∠PAB,∠APC,∠PCD之间有什么数量关系？并说明理由。 (2)已知∠BAC=80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用（1）的结论求出图2中∠F的度数。 解析：（1）过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD，所以PE∥CD 所以∠EPC=∠C，∠EPA=∠A 因为∠EPC=∠EPA+∠APC 所以∠C=∠A+∠APC 小结：这道题的规律是点P为两平行线外一点，三个角的大小关系是：两个较小角的和等于较大的角。 题中要求利用第一问的结论，求∠F。所以我们首先研究（1）的结论与（2）的图形有什么关系，能否把（2）的图形转化为与（1）的图形一样。如图4延长BD，过F作BD的平行线，这样就能看到点A和P在两平 行线外侧， ∠A=∠ACE-∠ABC=80°； ∠BCF=∠FCE-∠FBC= ? = ∠40 ABC) ∠ - ACE ( 2 1 小结：这道题目实际上是例1图3的应用。掌握住上面的规律来解题能起到事半功倍的效果。 三．动点在截线上运动 例2：已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC 与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明． 解析：（1）对于图①,过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质可以证得：∠APC=∠A+∠C。从而求得∠C的度数。 点P在线段EF上运动时（注意：关键词是线段），∠A、∠APC与∠C之间的关系就是：∠APC=∠A+∠C。证明方法参考（1）. 当点P在FE延长线上运动时，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可以证得 ∠C=∠A+∠APC 例4.如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°. （1）求∠EDC的度数； （2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）； （3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）． 分析：（1）根据角平分线的性质结合∠ADC=70°即可求得结果； （2）过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，从而可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再根据角平分线的性质可得∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°，即可求得结果； （3）过点E作EF∥AB，根据角平分线的性质可得∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°，再根据平行线的性质可得∠BEF的度数，从而求得结果. 解：（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°， ∴∠EDC=∠ADC=×70°=35°； （2）过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+35°； （3）过点E作EF∥AB ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=35° ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=35°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+35°=215°-n°. 点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，正确作出辅助线是解题关键. 练习： 1.已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P是直线AB上的一个动点． (1)、如图，点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系？并说出理由. (2)、如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间关系(点P和 A、B不重合) （直接写出结论） 四、综合运用，提升能力 例2.如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足。（1）则C点的坐标为__________;A点的坐标为__________． （2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1,2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使,若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO, 点G是第二象限中一点，连OG,使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化,若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 解析：根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 所以，a-2b=0,b-2=0；可得b=2;a=4 答：A(0,4);C(2,0) （2）首先得出OP=2-t，QO=2t，D（1，2），再 表示出△DOP和△DOQ的面积，进而得出等式求出答 案． 由题意可得：OP=2-t ，QO=2t ，D （1，2）， 则S △DOP=1212OP ?yD=1212（2-t ）×2=2-t ， S △DOQ=1212OQ ?xD=1212×2t ×1=t ， ∵S △ODP=S △ODQ ，∴2-t=t ， ∴解得：t=1， 2 OEC ∠ACE ∠+OHC ∠3的值不变，其值是）（ ∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO ， ∴∠GOC+∠ACO=180°， ∴OG ∥AC ， ∴∠1=∠CAO ， ∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4， 如图，过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，则∠4=∠PHC ，PH ∥OG ， ∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2， ∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4， =2． 点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 练习：已知：在如图①至图③中，△ABC 的面积为a ，解答下面各题： （1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB；连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，求S3的大小（用含a的代数式表示）；（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF （如图3），此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少倍？