一、第六章 圆周运动易错题培优(难)
1.两个质量分别为2m 和m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上,a 与转轴OO ’的距离为L ,b 与转轴的距离为2L ,a 、b 之间用强度足够大的轻绳相连,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍,重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,开始时轻绳刚好伸直但无张力,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )
A .a 、b 所受的摩擦力始终相等
B .b 比a 先达到最大静摩擦力
C .当2kg
L
ω=a 刚要开始滑动 D .当23kg
L
ω=b 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】
AB .木块随圆盘一起转动,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律可知,木块受到的静摩擦力f =mω2r ,则当圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动时,木块b 的最大静摩擦力先达到最大值;在木块b 的摩擦力没有达到最大值前,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律可知,f=mω2r ,a 和b 的质量分别是2m 和m ,而a 与转轴OO ′为L ,b 与转轴OO ′为2L ,所以结果a 和b 受到的摩擦力是相等的;当b 受到的静摩擦力达到最大后,b 受到的摩擦力与绳子的拉力合力提供向心力,即
kmg +F =mω2?2L ①
而a 受力为
f′-F =2mω2L ②
联立①②得
f′=4mω2L -kmg
综合得出,a 、b 受到的摩擦力不是始终相等,故A 错误,B 正确; C .当a 刚要滑动时,有
2kmg+kmg =2mω2L +mω2?2L
解得
34kg
L
ω=
选项C 错误;
D. 当b 恰好达到最大静摩擦时
2
02kmg m r ω=?
解得
02kg
L
ω=
因为
32432kg kg kg
L L L >>
,则23kg
L
ω=时,b 所受摩擦力达到最大值,大小为kmg ,选项D 正确。
故选BD 。
2.如图所示,有一可绕竖直中心轴转动的水平足够大圆盘,上面放置劲度系数为k 的弹簧,弹簧的一端固定于轴O 上,另一端连接质量为m 的小物块A (可视为质点),物块与圆盘间的动摩擦因数为μ,开始时弹簧未发生形变,长度为L ,若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,重力加速度为g ,物块A 始终与圆盘一起转动。则( )
A .当圆盘角速度缓慢地增加,物块受到摩擦力有可能背离圆心
B .当圆盘角速度增加到足够大,弹簧将伸长
C g
L
μ D .当弹簧的伸长量为x mg kx
mL
μ+【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB .开始时弹簧未发生形变,物块受到指向圆心的静摩擦力提供圆周运动的向心力;随着圆盘角速度缓慢地增加,当角速度增加到足够大时,物块将做离心运动,受到摩擦力为指向圆心的滑动摩擦力,弹簧将伸长。在物块与圆盘没有发生滑动的过程中,物块只能有背离圆心的趋势,摩擦力不可能背离圆心,选项A 错误,B 正确;
C .设圆盘的角速度为ω0时,物块将开始滑动,此时由最大静摩擦力提供物体所需要的向心力,有
20mg mL μω=
解得
0g
L
μω=
选项C 正确;
D .当弹簧的伸长量为x 时,物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力,则有
2
mg kx m x L μω+=+()
解得
mg kx
m x L μω+=
+()
选项D 错误。 故选BC 。
3.如图所示,两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上,两者用长为L 的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍,A 放在距离转轴L 处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O 1O 2转动,开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止开始转动,使角速度缓慢增大,以下说法正确的是( )
A .当23Kg
L
ω>
时,A 、B 相对于转盘会滑动 B 223Kg Kg
L L
ω<
C .ω在223Kg Kg
L L
ω<<
B 所受摩擦力变大 D .ω223Kg Kg
L L
ω<
A 所受摩擦力不变 【答案】A
B 【解析】 【分析】 【详解】
A .当A 所受的摩擦力达到最大静摩擦力时,A 、
B 相对于转盘会滑动,对A 有
21Kmg T m L ω-=
对B 有
212Kmg T m L ω+=?
解得
123Kg
L
ω=
当23Kg
L
ω>
时,A 、B 相对于转盘会滑动,故A 正确; B .当B 达到最大静摩擦力时,绳子开始出现弹力
2
22Kmg m L ω=?
解得
22Kg
L
ω=
当
223Kg Kg
L L
ω<<
时,绳子具有弹力,故B 正确; C .当ω在02Kg
L
ω<<
范围内增大时,B 所受的摩擦力变大;当2Kg
L
ω=时,B 受到的摩擦力达到最大;当ω在223Kg Kg
L L
ω<<
范围内增大时,B 所受摩擦力不变,故C 错误;
D .当ω在203Kg
L
ω<<范围内增大时,A 所受摩擦力一直增大,故D 错误。 故选AB 。
4.如图所示,水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做圆心为O 的匀速圆周运动,Oa 水平,从最高点b 沿顺时针方向运动到a 点的过程中( )
A .
B 对A 的支持力越来越大 B .B 对A 的支持力越来越小
C .B 对A 的摩擦力越来越小
D .B 对A 的摩擦力越来越大 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】
由于始终做匀速圆周运动,合力指向圆心,合力大小不变,从最高点b 沿顺时针方向运动到a 点的过程中,合力的水平分量越来越大,竖直向下的分量越来越小,而合力由重力,支持力和摩擦力提供,因此对A 进行受力分析可知,A 受到的摩擦力越来越大,B 对A 的
支持力越来越大,因此AD 正确,BC 错误。 故选AD 。
5.如图所示,质量相等的A 、B 两个小球悬于同一悬点O ,且在O 点下方垂直距离h =1m 处的同一水平面内做匀速圆周运动,悬线长L 1=3m ,L 2=2m ,则A 、B 两小球( )
A .周期之比T 1:T 2=2:3
B .角速度之比ω1:ω2=1:1
C .线速度之比v 1:v 283
D .向心加速度之比a 1:a 2=8:3
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB .小球做圆周运动所需要的向心力由重力mg 和悬线拉力F 的合力提供,设悬线与竖直方向的夹角为θ。对任意一球受力分析,由牛顿第二定律有: 在竖直方向有
F cosθ-mg =0…①
在水平方向有
2
24sin sin F m L T
πθθ= …②
由①②得
cos 2L θ
T g
= 分析题意可知,连接两小球的悬线的悬点距两小球运动平面的距离为h =L cosθ,相等,所以周期相等
T 1:T 2=1:1
角速度
2T
πω=
则角速度之比
ω1:ω2=1:1
故A 错误,B 正确; C .根据合力提供向心力得
2
tan tan v mg m
h θθ
= 解得
tan v gh θ=
根据几何关系可知
22
11tan 8L h h
θ-== 2222tan 3L h
h
θ-=
=
故线速度之比
1283v v =::
故C 正确;
D .向心加速度a=vω,则向心加速度之比等于线速度之比为
1283a a =::
故D 错误。 故选BC 。
6.荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。某秋千的简化模型如图所示,长度均为L 的两根细绳下端拴一质量为m 的小球,上端拴在水平横杆上,小球静止时,细绳与竖直方向的夹角均为θ。保持两绳处于伸直状态,将小球拉高H 后由静止释放,已知重力加速度为g ,忽略空气阻力及摩擦,以下判断正确的是( )
A .小球释放瞬间处于平衡状态
B .小球释放瞬间,每根细绳的拉力大小均为
2cos 2cos L H
mg L θθ
-
C .小球摆到最低点时,每根细绳的拉力大小均为2cos θ
mg
D .小球摆到最低点时,每根细绳的拉力大小均为2cos 2cos mgH mg
L θθ
+
【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】
AB .设每根绳的拉力大小为T ,小球释放瞬间,受力分析如图1,所受合力不为0 由于速度为0,则有
2cos cos 0T mg θα-=
如图2,由几何关系,有
cos cos cos L H
L θαθ
-=
联立得
2cos 2cos L H
T mg L θθ
-=
A 错误,
B 正确;
CD .小球摆到最低点时,图1中的0α=,此时速度满足
2112
mgH mv =
由牛顿第二定律得
2
12cos v T mg m R
θ'-=
其中cos R L θ= 联立解得
22cos 2cos mgH mg
T L θθ
'=
+
C 错误,
D 正确。 故选BD 。
7.如图所示,匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2kg 和3kg 的小物体A 、B ,A 、B 间用细线沿半径方向相连。它们到转轴的距离分别为R A =0.2m 、R B =0.3m 。A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍。g 取10m/s 2,现极其缓慢地增大圆盘的角速度,则下列说法正确的是( )
A .小物体A 达到最大静摩擦力时,
B 受到的摩擦力大小为12N B .当A 恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为4rad/s
C 230
D .当A 恰好达到最大静摩擦力时,剪断细线,A 将做向心运动,B 将做离心运动 【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】
A .当增大原盘的角速度,
B 先达到最大静摩擦力,所以A 达到最大静摩擦力时,B 受摩擦力也最大,大小为
f B=km B
g =0.4?3?10N=12N
故A 正确;
B .当A 恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为ω,此时细线上的拉力为T ,由牛顿第二定律,对A
2A A A k T R m g m ω-=
对B
2B B B T km g m R ω+=
联立可解得
s 13
102
ω=
故B 错误;
C. 当细线上开始有弹力时,此时B 物体受到最大摩擦力,由牛顿第二定律,有
2B B 1B k m R m g ω=
可得
1230
ω=
故C 正确;
D. 当A 恰好达到最大静摩擦力时,剪断细线,A 物体摩擦力减小,随圆盘继续做圆周运动,而B 不再受细线拉力,最大摩擦力不足以提供向心力,做离心运动,故D 错误。 故选AC 。
8.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,管道内侧壁半径为R , 小球半径为r ,则下列说法中正确的是( )
A .小球通过最高点时的最小速度min v Rg =
B .小球通过最高点时的最小速度min 0v =
C .小球在水平线ab 以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D .小球在水平线ab 以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】BC 【解析】 【详解】
AB.因是在圆形管道内做圆周运动,所以在最高点时,内壁可以给小球沿半径向外的支持力,所以小球通过最高点时的最小速度可以为零.所以选项A 错误,B 正确;
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时,竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外,小球的向心力是沿半径向圆心的,小球与外壁一定会相互挤压,所以小球一定会受到外壁的作用力,内壁管壁对小球一定无作用力,所以选项C 正确;
D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时,当速度较小时,重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力,此时小球与外壁不存在相互挤压,外侧管壁对小球没有作用力,选项D 错误.
9.如图所示,足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆,原长为L 的轻质弹簧套在竖直杆上,质量均为m 的光滑小球A 、B 用长为L 的轻杆及光滑铰链相连,小球A 穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B 以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动,当转动的角速度为ω0时,小球B 刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内,劲度系数为k ,重力加速度为g ,则
A .小球均静止时,弹簧的长度为L -
mg
k
B .角速度ω=ω0时,小球A 对弹簧的压力为mg
C .角速度ω02kg
kL mg
-D .角速度从ω0继续增大的过程中,小球A 对弹簧的压力不变 【答案】ACD
【解析】 【详解】
A .若两球静止时,均受力平衡,对
B 球分析可知杆的弹力为零,
B N mg =;
设弹簧的压缩量为x ,再对A 球分析可得:
1mg kx =,
故弹簧的长度为:
11mg
L L x L k
=-=-
, 故A 项正确;
BC .当转动的角速度为ω0时,小球B 刚好离开台面,即0B
N '=,设杆与转盘的夹角为θ,由牛顿第二定律可知:
2
0cos tan mg m L ωθθ
=?? sin F mg θ?=杆
而对A 球依然处于平衡,有:
2sin k F mg F kx θ+==杆
而由几何关系:
1
sin L x L
θ-=
联立四式解得:
2k F mg =,
0ω=
则弹簧对A 球的弹力为2mg ,由牛顿第三定律可知A 球队弹簧的压力为2mg ,故B 错误,C 正确;
D .当角速度从ω0继续增大,B 球将飘起来,杆与水平方向的夹角θ变小,对A 与B 的系统,在竖直方向始终处于平衡,有:
2k F mg mg mg =+=
则弹簧对A 球的弹力是2mg ,由牛顿第三定律可知A 球队弹簧的压力依然为2mg ,故D 正确; 故选ACD 。
10.如图所示,在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ,圆盘可绕垂直圆盘间的动摩擦因数均为0.1μ=,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。三个物体与中心轴O 处共线且0.2 m OA OB BC r ====。现将三个物体用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。若圆盘从静止开始转动,角速度ω极其缓慢地增大,
重力加速度g 取210 m/s ,则对于这个过程,下列说法正确的是( )
A .A 、
B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B .B 、
C 两个物体所受的静摩擦力先增大后不变 C .当 5 rad/s ω>时整体会发生滑动
D 2 rad/s 5 rad/s ω<<时,在ω增大的过程中B 、C 间细线的拉力不断增大 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
ABC .当圆盘转速增大时,由静摩擦力提供向心力。三个物体的角速度相等,由
2F m r ω=
知,由于C 的半径最大,质量最大,故C 所需要的向心力增加得最快,最先达到最大静摩擦力,此时
21222C mg m r μω?=?
得
1 2.5 rad/s 2g
r
μω=
=
当C 所受的摩擦力达到最大静摩擦力之后,BC 间细线开始提供拉力,B 的摩擦力增大,达到最大静摩擦力后,AB 间细线开始有力的作用,随着角速度增大,A 所受的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A 与B 的摩擦力也达到最大值,且B 、C 间细线的拉力大于AB 整体的摩擦力时整体将会出现相对滑动,此时A 与B 还受到细线的拉力,对C 有
2
2222T mg m r μω+?=?
对AB 整体有
2T mg μ=
得2g
r
μω,当
5 rad/s g
r
μω>
=
时,整体会发生滑动。故A 错误,BC 正确。
D 2.5 rad/s 5 rad/s ω<<时,在ω增大的过程中,BC 间细线的拉力逐渐增大。故D 错误。 故选BC 。
11.如图所示,b球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,BC为圆周运动的直径,竖直平台与b球运动轨迹相切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时,将a球从切点正上方的A点水平抛出,重力加速度大小为g,从a球水平抛出开始计时,为使b球在运动一周的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹),则下列说法正确的是()
A.a球在C点与b球相遇时,a球的运动时间最短
B.a球在C点与b球相遇时,a球的初始速度最小
C.若a球在C点与b球相遇,则a2gR
D.若a球在C点与b球相遇,则b 2R g
【答案】C 【解析】【分析】【详解】
A.平抛时间只取决于竖直高度,高度R不变,时间均为
2R
t
g
=A错误。
BC.平抛的初速度为
x
v
t
=时间相等,在C点相遇时,水平位移最大
max 2
x R
=
则初始速度最大为:
max 2
2 R
v gR
t
==
故B错误,C正确。
D.在C点相遇时,b球运动半个周期,故b球做匀速圆周运动的周期为
2
22
b R
T t
g
==
故D错误。
故选C。
12.如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用
力是( )
①a 处为拉力,b 处为拉力 ②a 处为拉力,b 处为推力 ③a 处为推力,b 处为拉力 ④a 处为推力,b 处为推力
A .①③
B .②③
C .①②
D .②④
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
a 处圆心在上方,合力提供向心力向上,故需有向上的拉力大于向下的重力;
b 处合力向下,重力也向下,受力如图:
根据牛顿第二定律有
2
1v F mg m R
+=
当F 1<0,杆对球有推力,向上; 当F 1>0,杆对球有拉力,向下; 当F 1=0,杆对球无作用力。
故杆对球的作用力情况①②都有可能,选项C 正确,ABD 错误。 故选C 。
13.如图所示为某一传动机构中两个匀速转动的相互咬合的齿轮,a 、b 、c 、d 四点均在齿轮上。a 、b 、c 、d 四个点中角速度ω与其半径r 成反比的两个点是( )
A .a 、b
B .b 、c
C .b 、d
D .a 、d
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
a 、
b 同轴转动,
c 、
d 同轴转动,角速度相同,b 、c 紧密咬合的齿轮是同缘传动,边缘点线速度相等,根据v =ωr 得b 、c 两点角速度ω与其半径r 成反比,选项B 正确,ACD 错误。 故选B 。
14.如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上O A 、两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质置为m 的小球上,OA OB AB ==现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形OAB 始终在竖直平面内,若转动过程中OB AB 、两绳始终处于拉直状态,重力加速度为g ,则下列说法正确的是( )
A .O
B 绳的拉力范围为3
03
mg B .OB 323
mg C .AB 323
mg D .AB 绳的拉力范围为3
0mg 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
当转动的角速度为零时,OB 绳的拉力最小,AB 绳的拉力最大。这时二者的值相同,设为
1F ,则
12cos 30F mg ?=
13F =
增大转动的角速度,当AB 绳的拉力刚好等于零时,OB 拉力最大,设这时绳的拉力2F ,则
2cos30
F mg
?=
223
F mg
=
因此OB拉力范围为
323
~
mg mg
AB拉力范围为
23
0~mg,故ACD错误,B正确。
故选B。
15.用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥顶上,如图所示。设小球在水平:面内做匀速圆周运动的角速度为ω,线所受拉力为T,则下列T随2ω变化的图像可能正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
对小球受力分析如图
当角速度较小时,小球在光滑锥面上做匀速圆周运动,根据向心力公式可得
2sin cos sin T N mL θθθω-=?
cos sin T N mg θθ+=
联立解得
22cos sin T mg mL θθω=+?
当角速度较大时,小球离开光滑锥面做匀速圆周运动,根据向心力公式可得
2sin sin T mL ααω=?
则
2T mL ω=
综上所述,ABD 错误,C 正确。 故选C 。