沪教版初中数学知识点汇总
第九章整式
第一节整式的概念
9.１．2．3、字母表示数
代数式:用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。
代数式的书写:１、代数式中出现乘号通常写作“＊”或省略不写,但数与数相乘不遵循此原则。
2、数字与字母相乘,数字写在字母前面,而有理数要写在无理数的前面。
3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
４、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。
代数式的值:用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。
注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。
2、若带入的值是负数时,应添上括号。
3、注意解题格式规范,应写“当…..时，原式＝……．.”.
4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4整式
1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母
也是单项式。
2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
３、单项式的次数:一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项
式的次数。
4、多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫
做常数项。
5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数
６、整式:单项式和多项式统称为整式。
9.５合并同类项
1、同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。
2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后
的系数,字母和字母的指数不变。
第二节9.6整式的加减:
去括号法则:
(1）括号前面是"+"号,去掉＂+"号和括号,括号里各项的不变号；
（2）括号前面是"-"号，去掉"－"号和括号,括号里的各项都变号。
添括号法则
(1)所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号；
(2)所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。
第三节整式的乘法9.７同底数幂的乘法、9.8幂的乘方、９．９积的乘方:
①同底数幂的乘法
a m·aｎ=a m+n(m、n都是正整数）。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方与积的乘方
（a m）n=ａmn(m、n都是正整数)
幂的乘方，底数不变,指数相乘。
(ab)ｎ=a n bｎ（n都是正整数)
积的乘方等于各因式乘方的积。
③同底数幂的除法
ａm÷a n=a m-n(ａ≠0,mn都是正整数,且m>n)
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
a0
0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。
a-ｐ（a≠０,p是正整数) 任何一个不等零的数
的-p（p是正整数）指数幂，等这个数的ｐ指数幂的倒数。
9．1０整式的乘法：
⑴单项式与单项式相乘：
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
⑵单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。
注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
⑶多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(ａ+b）（m＋ｎ）=aｍ＋bm+ａｎ＋ｂｎ。
第四节、乘法公式
9.１1平方差公式
①内容：
(a+ｂ）·（ａ－b）=ａ2-ｂ2
②意义:
两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
③特征:
Ⅰ.左边是两个二项式相乘,这两项中有一项相同，另一项互
为相反数;
Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差；
Ⅲ.公式中的a和ｂ可以使有理数,也可以是单项式或多项式。
④几何意义:
平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等
的表达式。
⑤拓展:
Ⅰ.立方和公式: (ａ＋b)（a2-ab＋b2)=a3+ｂ3；
Ⅱ.立方差公式： (a-ｂ)(a2+ａｂ+ｂ2）=ａ3－ｂ3。
（ａ－ｂ）(ａ＋aｂ+ａｂ2+…＋a2b+aｂ+b)＝a－b。
9.12完全平方公式:
①内容：
（a+b)2=a2+b2+2ａb；
（a-ｂ)2＝ａ2＋ｂ2-２ａｂ。
②意义:
两数和的平方，等于它们的平方和,加上它们积的２倍。
两数差的平方,等于它们的平方和，减去它们积的２倍。
③特征：
Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方,尾平方,积的２倍在中央。”
Ⅱ.公式中的ａ、b可以是单项式，也可以是多项式。
④推广:
Ⅰ.（a＋ｂ+ｃ)2＝a2+b2＋ｃ2+２ａｂ＋2bｃ＋2ac;
Ⅱ.（a＋ｂ）3=a3+b3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2;
Ⅲ.（ａ-b）3=a3－b3－3a2b＋３ab2。
第五节因式分解
⑴因式分解的意义：
把一个多项式化为几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式,即多项式化为几个整式的积。
注意:①因式分解的要求：
Ⅰ.结果一定是积的形式,分解的对象是多项式；
Ⅱ.每个因式必须是整式；
Ⅲ．各因式要分解到不能分解为止。
②因式分解与整式乘法的关系：
是两种不同的变形过程，即互逆关系。
９.1３提取公因式法：
①提公因式法分解因式：
mａ+mb＋mc=m(ａ+b＋c)，这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的m可以代表单项式,也可以代表多项式,ｍ称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母(或多项式因式):取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。
9.14公式法
②利用公式法分解因式:
Ⅰ.平方差公式:ａ2－b2=（a+b）·(ａ-b)。
Ⅱ.完全平方公式：ａ2＋ｂ2+２ａｂ=（ａ+ｂ）2；
a2+ｂ2－2ab=（ａ－ｂ）2。
Ⅲ.立方和与立方差公式:a3+ｂ3＝(ａ＋ｂ)(a2－aｂ+b2)；
a3-b3=(a-ｂ）（ａ2+ａb＋ｂ2）。
注意:(1)公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式
应考虑平方差或立方和、立方差公式;若多项式是三项式，可
考虑用完全平方公式。
9.１5．十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解
因式的方法叫做十字相乘法。
x2＋(ａ+b)x+ab＝(ｘ＋ａ）(x＋b)。
9.1６分组分解法：
Ⅰ.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。
Ⅱ.适用范围:适合四项以上的多项式的分解。
分组的标准为:分组后能提公因式或分组后能运用公式。
④其他方法:
.求根公式法：若ax2＋bｘ+c=０（ａ≠0）的两根是x1、ｘ2,
ａx2+ｂx+ｃ=ａ(x-ｘ1)（ｘ-ｘ2）。
⑶因式分解的一般步骤及注意问题：
①对多项式各项有公因式时,应先提供因式。
②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差
公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的
因式分解;如果是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法。
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
第六节整式除法:
9.17同底数幂的除法
同底数幂相除,底数不变，指数相减。
任何不等于零的数的零次幂为1，既:
9．18单项式除以单项式:
单项式与单项式相除的法则：
单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：①两个单项式相除,只要将系数及同底数幂分别相除即可。
②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
9．1９多项式与单项式相除:
多项式与单项式相除的法则：
一般地，多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加,
即（ｍa +ｍｂ+m ｃ+d ｍ）÷ｍ=a m ÷m +bm ÷m +ｃm ÷ｍ＋d ｍ÷ｍ。
注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式,反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。
⑶整式的混合运算：
关键是注意运算顺序，先乘方,在乘除,后加减,有括号时，先去小括号,再去中括号，最后去大括号,先做括号里的。
※ 内容整理
第十章 分 式
10.1、(1)、分式的意义
两个整式Ａ/B 相除,即Ａ÷B 时，可以表示为A ／Ｂ.如果B 中含有字母，那么Ａ/B 叫做分式。A 叫做分式的分子，Ｂ叫做分式的分母。
如果一个分式的分母为零,那么这个分式无意义。 10.2(2)、分式的基本性质 整式 整式和分式统称为有理式：:即有理式
分式
分式的分子和分母同时乘以(或除以）同一个不为0的整式, 分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C ／B*C Ａ／B=A÷C/B÷Ｃ （A,B,C 为整式，且B 、C≠0)
①约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式
的约分.
②分式的约分步骤:
(1)如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式,将它们的
公因式约去
(2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去.
注:公因式的提取方法:取分子和分母系数的,字母取分子和分
母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式．
③一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分
时，一般将一个分式化为最简分式。
④通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，
叫做分式的通分。
⑤分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母．同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.
注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂的乘积。
注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质。
(２)分式的约分和通分都是互逆运算过程。
１0.3、分式的运算：
①分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：ａ/b* c／ｄ=ac/bd
②分式的除法法则:
Ⅰ.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
：a/ｂ÷c／d＝aｄ/bｃ
Ⅱ.除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数:a／ｂ÷ｃ/d=a/b＊ｄ/ｃ异分母分式通分时,关键是确定公分母,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
1０.4分式的加减
③同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减．用字母表示为：a ／c±b/c=a±b/c
④异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：
a/b±c/ｄ＝ad±cb/bd
10．5分式方程:
①分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
②分式方程的解法：
Ⅰ.去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方
程）;
Ⅱ.按解整式方程的步骤求出未知数的值;
Ⅲ.验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
1０.6整数指数幂及其运算
※内容整理
第十一章
（１）
为平移(Tranｓｌａ
关键:a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
(2）平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后,原图形与平移后的图形全等。
（3)简单的平移作图:
平移作图要注意:①方向;②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
2、旋转的定义和规律
(１）旋转的定义:在平面内,将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转(Ciｒcｕmrｏtate)。这个定点称为旋转中心;转动的角称为旋转角。
关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。ｂ．图形旋转四要素:原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
（２)旋转的规律(性质)：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)
注意:旋转后，原图形与旋转后的图形全等。
（3）简单的旋转作图:
旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。整个旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
3、图案的分析与设计
①首先找到基本图案,然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。
②图案设计的基本手段主要有:轴对称、平移、旋转三种方法。
4、旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后，与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角α满足0<α<3６0）
5、中心对称图形:如果把一个图形绕着一个定点旋转180后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
6、把一个图形绕着一个定点旋转１８0后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称,也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
7、轴对称知识回顾
(１）轴对称图形定义:如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形（Ａxｉally ＳymｍetriｃFigurｅ）。折痕所在的直线叫做对称轴。
（2）两个图形关于这条直线成轴对称:如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。
（３)注意:
①轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
②成轴对称的两个图形，必定是全等图形。
（４）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等;对应角相等。（３)简单的轴对称作图:
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形,可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次连结各特征点即可。
图形的平移
旋转对称图形中心对称图形
图形的运动图形的旋转
中心对称
轴对称图形
图形的翻折
轴对称
第十二章实数
第一节实数的概念
12.1实数的概念
有理数和无理数统称为实数。
实数按如下方式分类:
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点表示一个实数。
正数大于零,负数小于零，正数大于负数。
两个正数，绝对值大的数较大,两个负数,绝对值大的数反而小。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。
第二节数的开方
12.2平方根和开平方
如果一个数的平方等于ａ，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。
求一个数ɑ的平方跟的运算叫做开平方，ɑ叫做被开方数。
一个正数a的平方根有两个,它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。
正数ɑ的两个平方根可以用“±a”表示,其中a表示ɑ的正的平方根（又叫算术平方根)，读作“根号a”;a
-表示ɑ的负平方根,读作“负根号ɑ”。
零的平方根记作√0,√0=0.
（1）当a>0时,(a）2=a,（a
-)2＝a.
（2）当a≥0时,2a＝a;
当ａ≤0时, 2a=－ɑ
1２.3 立方根和开立方
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做ａ的立方根,用“3a”表示，读作“三次根号ɑ”。3a中的ɑ叫做被开方数，“3”叫做根指数。
求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。
正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数,零的立方根是零。
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
１2.4n次方根
如果一个数的n次方（n是大于1的整数)等于ɑ,那么这个数叫做ɑ的n次方根,当n为奇数时，这个数为ɑ的奇次方根；当n为偶数时,这个数为ɑ的偶次方根
求一个数ɑ的n次方跟的运算叫做开n次方，ɑ叫做被开方数，n叫做根指数。
实数ɑ的奇次方根有且只有一个，用“n a”表示，其中被开方数ɑ是任意一个实数,根指数n是大于１的奇数。
正数ɑ的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“n a”表示,负n次方根用“-n a”表示，其中被开方数ɑ＞0，根指数n是正偶数(当n＝2时,在±n a中省略n)负数的偶次方根不存在。
零的n次方根等于零，表示为n0＝０
“n a”读作“n次根号ɑ”
第三节实数的运算
12.5用数轴上的点表示数
有理数范围内绝对值、相反数意义:
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作∣ɑ∣．
绝对值相等,符号相反的两个数记作互为相反数；
零的相反数是零。非零实数ɑ的相反数是－ɑ。
实数大小的比较:
负数小于零;零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数,绝对值大的数较小。
从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
两点间的距离:
在数轴上，如果点Ａ、点Ｂ所对应的数分别为ɑ、b,那么
A、B两点的距离AB=∣ɑ－b∣．
12．6 实数的运算
设ɑ>0，ｂ>0，可知（·）=（)2·（)2＝ɑb。
根据平方根的意义,得=·。
同理:=
近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求,叫做精确度。
对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
第四节分数指数幂
分数指数幂
=(ɑ＞０)
=（ɑ>0）其中m、n为正整数，n>１.
有理数指数幂有下列性质:
设ɑ>b，b>0，P、q为有理数，那么
（1)·=，=
(２）=
(3）
本章小结
有理数
实数
运算法则及运算性质
近似数及近似计算
数的开方运算性质
第十三章相交线、平行线
第1节相交线
１３．1邻补角,对顶角
相交线的定义:
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。
对顶角的定义:
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的定义:
有公共顶点和一条公共边,并且互补的两个角称为邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
垂线的定义:
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
垂线的性质：
性质１:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:垂线段最短。
点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
同位角:
两个角都在两条被截线同侧,并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：
两个角都在两条被截线之间,并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。 同旁内角:
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。 平行线的概念
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也平行。
１3.2垂线 1.垂线与斜线
通过操作实践,所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：
在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条,并且只能作一条。 ２.点到直线的距离
联结直线外一点与直线上各点得所有线段中,垂线段最短。简单地说：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。 13.3同位角,内错角,同旁内角（三线八角）
第２节 平行线
13.４ 平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等,两直线平行)
平行线具有以下基本性质：
经过直线外地一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。(内错角相等,两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(同旁内角互补，两直线平行） 13.5 平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行,同 位角相等）
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。（两直线平行,内 错角相等）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。(两直线平行， 同旁内角互补)
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。(对于直线a 、b 、c ,如果c b b a //,//,那么c a //。被称为平行 的传递性）
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都
是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。
第十四章三角形
第1节三角形的有关概念与性质
14.1 三角形的有关概念
1.三角形的有关线段
三角形的高，中线,角平分线
2.三角形的分类
锐角三角形,直角三角形,钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形,等边三角形
14.2三角形的内角和
180。
三角形的内角和等于。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
360。
三角形的外角和等于。
第2节全等三角形
14.3全等三角形的概念与性质
能够重合的两个图形叫做全等形。
两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形。两个全等三角形,经过运动后一定重合,相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
14.4全等三角形的判定
判定方法1在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等(简记为S.A．S)。
判定方法2 在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为A.S.A)。
判定方法3在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为Ａ.A．S)。
判定方法４在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等（简记为S．S.S)。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“HL”。
ＳＳＡ、ＡAA不能识别两个三角形全等,识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果
有两边一角对应相等时,
找夹角——ＳAＳ
Ⅰ．已知两边找直角——ＨＬ
找另一边——SSS
找边的对角——ＡＡＳ
Ⅱ.已知一边一角边为角的邻边找夹角的另一边——SＡS
找夹边的另一角——ＡＳA
边为角的对边——找任意一角——AAＳ
Ⅲ.已知两角找夹边——ＡＳＡ
找任意一边——AＡS
第3节等腰三角形
14.5等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
14.6等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。
14.7等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三边都相等。
等边三角形的性质:
60。
等边三角形的每个内角等于。
判定等边三角形的方法:
（1)三个内角都相等的三角形是等边三角形。
60的等腰三角形是等边三角形。
(2)有一个角等于。
ＳＳA、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时,必须有边的参与,如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
1
定理：
⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等。
2
①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”。
②等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
推论:等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于６０°。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”。
①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是６0°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
②在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第十五章平面直角坐标系
第1节平面直角坐标系
15.１平面直角坐标系
在平面内取一点,过点画两条互相垂直的数轴，且使它们以点为公共原点。这样,就在平面内建立了一个直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的,它的正方向向右,这条数轴叫做横轴(记作轴);另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条轴叫做纵轴(记作轴)。如图所示，记作平面直角坐标系;点叫做坐标原点（简称原点），轴和轴统称为坐标轴。
在平面直角坐标系ｘOy中，点P所对应的有序实数对（ab）叫做点P的坐标，记作P(ａ,b），其中ɑ叫做横坐标，b叫做纵坐标。
象限的划分:
经过点A(ａ,b)且垂直于x轴的直线可以表示为直线ｘ=ɑ,经过点A(a,b)且垂直于y轴的直线可以表示为直线ｙ＝b.
第2节直角坐标平面内点的运动
１5.２直角坐标平面内点的运动
点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，ａ点对应x轴的数值为横坐标,ｂ点对应ｙ轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标,记作（a，b）。
在直角坐标平面内，
平行于x轴的直线上的两点A（,y)、Ｂ(,y)的距离
AB=∣－∣；
平行于ｙ轴的直线上的两点C(x，）、D(ｘ,)的距离
CD=∣-∣．
点的平移?在平面直角坐标系中，(m>0）
将点（x，y）向右平移m个单位长度，可以得到对应点（x＋m，y);
将点(ｘ,y）向左平移m个单位长度，可以得到对应点(ｘ-m,y)；
将点(ｘ,y)向上平移m个单位长度,可以得到对应点(x，ｙ+m)；
将点（x，y）向下平移m个单位长度,可以得到对应点(x，y-m)。
坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，ｙ轴上，第一象限,第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中,除x轴与y轴的一个公共点(原点)之外,其他区域之间都没有公共点。
建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面(简称坐标平面）。这样，原来平面内的点都可以用有序实数对来表示。
在平面直角坐标系中,点所对应的有序实数对叫做点的坐标，记作,其中叫做横坐标，叫做纵坐标。
原点的坐标是。的坐标是,的坐标是。
在平面直角坐标系中对称点的特点:
①关于x成轴对称的点的坐标,横坐标相同，纵坐标互为相反数。
(横同纵反)
②关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同,横坐标互为相反数。
(横反纵同）
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标
互为相反数。(横纵皆反)
一般地，在直角坐标平面内，与点M（x,y）关于Ｘ轴对称的点的坐标为（x,y);与点Ｍ（x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,ｙ).
一般地,在直角坐标平面内,与点Ｍ（x,ｙ)关于原点对称的点的坐标为（-ｘ,-y）。
第十六章二次根式
第一节二次根式的概念和性质
16.1 二次根式
1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或O. 2． 二次根式的性质 ①??
?≤-≥==)
0()
0(2a a a a a a ；
②)0()(2
≥=a a a
③)0,0(≥≥?=b a b a ab ;
④
)0,0(>≥=b a b
a b a 16.2 最简二次根式与同类二次根式
1. 被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
2．化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 1６．３ 二次根式的运算
１．二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=
?b a ab b a
3.二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行.
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式.
4．二次根式相除，通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化.
二次根式的运算法则：
=（a+c)
(c ≥0)
).0,0(≥≥=?b a ab b a
=a ≥0,ｂ>0)
n =≥０）
第十七章 一元二次方程
１7.１ 一元二次方程的概念
１.只含有一个未知数，且未知数的最高次数是２的整式方程叫做一元二次方程
2．一般形式ｙ=ax 2＋bx+ｃ（ａ≠0)，称为一元二次方程的一般式,ax 叫做二次项,ａ是二次项系数;bx 叫做一次项,b 是一次项系数；ｃ叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法
1．特殊的一元二次方程的解法:开平方法,分解因式法
2．一般的一元二次方程的解法:配方法、求根公式法
3.求根公式x =：12x x =
=； △=2
4b ac -≥0
１7.3 一元二次方程的判别式
1．一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠: △＞０时,方程有两个不相等的实数根
△=0时,方程有两个相等的实数根 △＜0时,方程没有实数根 2.反过来说也是成立的
１7．４ 一元二次方程的应用
1.一般来说,如果二次三项式2
ax bx c ++(0a ≠)通过因式分解得2
ax bx c ++＝
12()()a x x x x --;1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根
2．把二次三项式分解因式时;
如果2
4b ac -≥0,那么先用公式法求出方程的两个实数根,再写出分解式
如果24b ac -＜0,那么方程没有实数根,那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设,列，解,答
第十八章 正比例函数和反比例函数 1８.1．函数的概念
1.在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量
２.在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取之范围内,变量y 随变量ｘ的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量
３.表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =
４．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域;如果变量y 是自变量ｘ的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值 18.2 正比例函数
1. 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例 ２.正比例函数：解析式形如y ＝kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数;正比例函数的定义域是一切实数
3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数()y f x =的图像
4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O(０，０)和点(1，ｋ)