第二章 随机变量及其分布答案

第二章 随机变量及其分布答案

一、选择题 1.答案：（B ）

注：对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B ） 解：由于X 服从参数为λ的泊松分布，故{},0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-==

= .又

},2{}1{===X P X P 故

1221!

2!

e e λ

λ

λλλ--=

?=，因此

0212222

{2}1{2}

1{0}{1}{2}2225110!1!2!P X P X P X P X P X e e e e

--->=-≤=-=-=-==---=-. 3.答案：（D ）

解：由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为

14

,[1,5]()0,[1,5]

x f x x ∈?=???.因此，若点,[1,5]a b ∈，则4}{a

b b X a P -=≤≤. 2{36}{35}4P X P X <<=<<=

，3

{04}{14}4P X P X <<=<<=， 21

{13}{13}42

P X P X -<≤=<≤==.

4 答案：（C ）

解：由于),4,(~μN X 故~(0,1);2

X N μ

- 由于0{0}{

}(),222

X P X P μμμ

--≤=≤=Φ-而1(0)2Φ=，故只有当0μ=时，才有2

1

}0{=≤X P ；

2{2}{2}1{2}1{}1(1);22X P X P X P X P μμμ

μμμ-+-->=>+=-≤+=-≤=-Φ

正态分布中的参数只要求0σ>，对μ没有要求.

5.答案：（C ）

解：连续型随机变量的函数未必是连续型的；如

(0,2),X 设在上服从均匀分布概率密度为

1

,02

()2

0,.

x p x ?<

(),

1,12x x y f x x ≤≤?==?<≤?

又设连续函数0,0,

(),01,

21, 1.

Y y y Y F Y y y ≤???

=<≤??>??故的分布函数为此时()Y f X =不是连续型随机变量也不是离散型随机变量

这里Y 表示事件}2

1

{≤X 出现的次数，故Y 是离散型的随机变量；

由于1

12

2

12

20

00

11{}()2|24P X f x dx xdx x ≤====??，故1~(3,)4Y B ，因此 223119

{2}()(1)4464

P y C ==-=.

6.答案：（A ）

解：由于~(2,)X B p ，故

00

2222{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p ≥=-<=-==--=--=-，

而5{1}9P X ≥=

，故2515

2933

p p p p -=?==或（舍）； 由于~(3,)Y B p ，故

0033311219

{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327

P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=.

7.答案：（B ）

解：这里()23g x x =-+，()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<，其反函数为

3

()2

y x h y -==-

，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y 的密度函数为3113

()()()2222

Y X X y y f y f f --=-

-=-. 8.答案：（D ）

注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 9.答案：（C ）

解：因为)1,1(~N X ，所以2(1)2

1()2x

t F x e

dt π

--

-∞

=

?，2

(1)

21()2x f x e π

-

-=.

101

{0}{

}(1)1(1)10.84310.1569,

11

{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ= 111

{1}{

}(0)0.5,

11

{1}1{1}1{1}1(0)0.5;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ= 10.答案：（A ）

解：由于2~(,4)X N μ，所以

14{4}{

}(1)1(1)44

X P P X P μμμ

μ---=≤-=≤=Φ-=-Φ； 由于2~(,5)Y N μ，所以

25{5}1{5}1{}1(1)55

Y P P Y P Y P μμμ

μμ-+-=≥+=-<+=-<=-Φ，

故12P P =. 11.答案：（C ）

解：因为

{||}{}{}{}

{}(1)(1)2(1)1

P X P X P X P X X P μσσμσσμσσμσμσμμμσμμ

σσσ

-<=-<-<=-<-<=-+<<+-+--+-=<<=Φ-Φ-=Φ- 所以{||}2(1)1P X μσ-<=Φ-，该值为一常数，与σ的取值无关. 12.答案：（B ）

解：由于()()f x f x =-，所以X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y 轴对称，因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，

从而马上可以得出1

(0)(0)2

F P X =≤=.我们可以画出函数()f x 的图形，借助图

形来选出答案B.

也可以直接推导如下：

()()a

F a f x dx --∞-=?

，令u x =-，则有

1

()()()()()()().2a

a

a a

a

F a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞

∞

∞

∞

-=--===-=

-??????13.答案：（A ）

解：14

114

4

11

3

12137

{}()|42

8P X f x dx xdx x >====??. 14.答案：（B ）

解：

21121

{2}1{2}1{22}1{

}222X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<

1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.

15.答案：（C ）

解：由于X 服从参数为9

1

的指数分布，所以X 的概率密度为

91,0

()90x

e x

f x -?>?=???

，其它

，因此999933

3111{39}|9x x

P X e dx e e e --<<==-=-?. 16.答案：（D ）

解：对任意的0,x >{}1{}1()1(1)x x P X x P X x F x e e λλ-->=-≤=-=--=；选项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0λ>. 17.答案：（A ）

解：选项A 改为~(0,1)X N μ

σ

-，才是正确的； {(,)}()()()()a b P X a b F b F a μμ

σσ

--∈=-=Φ-Φ；

{||}{}{}

{}()()2()1,(0)

P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμμσμμ

σσσ

-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤≤=Φ-Φ-=Φ->. 18.答案：（B ）

解：由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为

1

5

,[1,6]()0,[1,6]

x f x x ∈?=???.而方程012=++Xx x 有实根，当且仅当24022X X X ?=-≥?≥≤-或，因此方程012=++Xx x 有实根的概率为 62

{2}{2}0.861

p P X P X -=≥+≤-=

=-. 19.答案：（A ）

解：由于2~(2,)X N σ，故

22

2

42

2

2

{24}{

}(0)0.30.8,X P X P σ

σ

σ

σ

σ

---<<=<

<

=ΦΦ=?Φ=()-(

)

从而202

2

2

{0}{}X P X P σσ

σ

σ

--<=<

=ΦΦ(-

)=1-(

)=1-0.8=0.2.

２０．答案：（Ｃ）

解：由于2~(,)X N μσ，所以~(0,1)X Y N μ

σ

-=

，{||}{||1}P X P Y μσ-<=<，

可见此概率不随σ和μ的变化而变化. 二、填空题 1.X x ≤.

2.解：由规范性知111115151248161616

c c c c c c =

+++=?=. 3.解：由规范性知1

22/31

1()2312/32k k a a a a ∞

====?=-∑.

4.解：设i A ={第i 个零件是合格品}，则

12323123112111312311

{2}{}{}{}23423423424

P X P A A A P A A A P A A A ==++=

++=. 5.0,1()0.6,111,1x F x x x <-??

=-≤

6.{},0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-==

=

7. 解：若k<0,则根据密度函数的定义有

1

6

03122

()()()()333

k P X k f x dx f x dx f x dx +∞

≥==+=+≠?

??，故k 0≥，当01k ≤≤时，由163122

()()()()(1)1333

k k P X k f x dx f x dx f x dx k k +∞≥==+=-+=?=???；当

13k <≤时，由题设632

()()()()3

k k P X k f x dx f x dx f x dx +∞+∞≥====???，即当

13k <≤时，结论成立；当36k <≤时，有

622

()()()(6)93

k k P X k f x dx f x dx k +∞≥===-

即当36k <≤时，结论不成立，同理6k >时结论也不成立.综上所述k 的取值范围是[1,3]. 8.解：因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--，所以只有在F （X ）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P （X=-1）=F （-1）-F （-1-0）=a ，P{X=1}=F （1）-F （1-0）=2/3-2a ，P{X=2}=F （2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.

9.解：由于]5,1[~U X ，所以X 的概率密度为1

,15

()40,x f x ?≤≤?=???其它

，

故2

1221

11

()()(1)44

x p x X x f x dx dx x ∞

-∞

<<===-?

?

. 10.22

()21

(),2x f x e

x μσ

πσ

--

=-∞<<∞；2

2

1(),2y f y e y π

-=-∞<<∞ 11.解：}{2337327222(2)( 2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910X P X P ?----?

-<<=<

??

=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=. 12.解：

22

2

42

22

0.30(24)()()(0)()0.8X p X p σ

σ

σσσ

---=<≤=<

≤

=Φ-Φ?Φ=，故

2

0222

(0)

(

)(

)

1(

)0.2

X p X p σ

σ

σ

σ

---≤=≤

=Φ=-Φ=. 13.解:由()()()1()

1333

(0)()()()2222303

2p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥?<=-<---?Φ==<=<=Φ-?=?=.

１４．解：

120160

160

200160

0.80(120200)()

40

40

40

40

(

)()2(

)1(

)0.9(1.28)31.25

X p X p σ

σ

σ

σσ

σ

σ

σ

---=<≤=<≤

=Φ-Φ-

=Φ-?Φ==Φ?=.

１５．130.50.5-??

???

１６．解：由题设25/9{1}1{0}1(1)P X P X p =≥=-==--，故2

13

p -=，从而25/9{1}1{0}1(1)12/3P X P X p p =≥=-==--?-=， 故3{1}1{0}1(2/3)19/27P Y P Y ≥=-==-=. １７．解：0

11(){}{},(04)22

y Y F y P Y y P X y dx y y =<=<==<

'==

<<.

１８．解：由题设可知二次方程240y y X ++=无实根的概率为 Ｐ（１６－４Ｘ＜０）＝Ｐ（Ｘ<４）＝１／２，

由于正态分布密度函数曲线是关于直线x μ=对称的，因此根据概率密度的性质，

有{}1/24

<=?= P Xμμ

离散型随机变量与正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、选择题、填空题 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为 c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1， 则ab 的最大值为 ( ) A.148 B.124 C.1 12 D.16 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( ) A ．1 B ．1±22 C ．1－2 2 D ．1＋ 2 2 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝c k (k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12

随机变量及其分布函数

随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ，

00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：

随机变量的函数的分布

8.随机变量的函数的分布 【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。

简单随机变量之和与正态分布

简单随机变量之和与正态分布 本文将笼统，随意的讲解，为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。 首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。假设我们手里有一枚硬币，我们认定硬币的正面为1，反面为0，那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。如果我不写概率也是写概率的比例，那么这个比例可以写为1：1。现在我们抛两次硬币，那么这个结果有四种，00，01，10，11。相信你知道我在说什么。那么正同我们提到的，我们要的是随机变量之和，所以我们有0，1，2。且他们的比例可以很容易的得到，是1：2：1。那么如果抛三次硬币呢？可能的结果就是0，1，2，3，而他们的比例是1：3：3：1。也许你已经发现这个规律了，也许你没有，但我会告诉你的。假如你抛2N次硬币，并且求和，那么其结果就是0，1，2……2N，共2N+1种可能。这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。你可以代入刚才抛三次的情况，C30：C31：C32：C33就是我们得到的1：3：3：1。至于为什么这个比例符合组合数，抛两次硬币那里举了个例子，就不重复了。这里简单的定义以下，每个随机变量称作X i他们的和称作Y，也就是： 2N Y=∑X i 1 （为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次，因为我想保证我抛的是偶数次，这样Y的均值就是N了，你会发现抛两次的时候，Y的均值就是1，但是如果你抛三次，Y的均值就会是1.5，我想避免这个小数。） 所以接下来我们就要说明，组合数的分布规律为什么就成了正态分布。那么首先，你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次，来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。 从Y的取值范围你也能猜出，这里分别是N取5，10，15，20的情况，实际上除了N 取5，也就是抛10次的时候，你还能看得清楚红线和蓝线，当N取10也就是抛20次以后，两线其实非常吻合了。你还可以看一下他们之间的误差，其峰值也是逐渐减小的。

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0

二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7

=? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

1多维随机变量及其联合分布

3.1多维随机变量及其分布 教学目标：本节讲解的是多维随机变量及其分布.通过本节的教学，要求学生正确理解多维随机变量及其分布，掌握多维随机变量及其分布的计算方法，运用定义和性质解决有关问题. 教学重点：多维随机变量及其分布的定义与性质. 教学难点：多维随机变量及其分布的证明与计算. 二维随机变量 定义1 设E 是随机试验，则由定义在E 的样板空间Ω上的随机变量X 与Y 构成的有序对),(Y X 称为二维随机变量（或二维随机向量）。 定义2 对任意实数y x ,，二元函数 },{)}(){(),(y Y x X P y Y x X P y x F ≤≤≡≤≤= 称为二维随机变量),(Y X 的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。 若把二维随机变量),(Y X 看成平面上随机点),(Y X 的坐标，则分布函数 ),(y x F 就表示随机点落在以点),(y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。 ),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 分布函数具有以下基本性质： （1）1),(0≤≤y x F ，且 对任意固定的y ，0),(=-∞y F ， 对任意固定的x ，0),(=-∞x F ， 0),(=-∞-∞F ，1),(=∞∞F 。 （2）),(y x F 分别是x 和y 的不减函数。 （3）),(),0(y x F y x F =+，),()0,(y x F y x F =+，即),(y x F 关于x 或y 均右连续。

（4）若2121,y y x x <<，则 0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F 如果二维随机变量),(Y X 可能取的值是有限对或可列无限对，则称),(Y X 是二维离散型随机变量。),(Y X 的分布律或X 和Y 的联合分布律为 ij j i p y Y x X P ===},{， ,2,1,=j i 。 其中 ij p 满足 （1） ; 0≥ij p （2） 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p 。 X 和Y 的联合分布律也可用表格表示： ij j j j i i i p p p y p p p y p p p y x x x X Y 2122212212111121\ X 和Y 的联合分布函数为 ∑∑≤≤= x x y y ij i j p y x F ),(。 【例1】吴书p.66.例1。 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次品．每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取，连续抽取两次．定义随机变量X 和Y 如下： 试求),(Y X 的分布律和分布函数。 解 10X ?=? ?，第一次取到次品，第一次取到正品10Y ?=? ?，第二次取到次品 ，第二次取到正品

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）

§4随机变量函数的分布

§3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ

F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X

第八讲：正态分布及随机变量函数的分布.

一、分布函数(P27) 定义(P27):设X是随机变量，对任意实数兀，事件{X a

分布函数的性质(P28) (1) 单调不减性：若Xl—CO X—?-Foo (3) 右连续性；R卩对于任意实数心有； F(x0 +0) = lim F(x) = F(x0). KT威 若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变最的分布函数 一般地，对离散型随机变量，若P{X= x k}=p k, 其分布函数为F(x) = P{X

连续型随机变(P30) 定义(P31):对任意实数x,如果随机变量X的分布函数F (x)可以写成 F(x)=P(X < 其时(x) > 0 则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为X ~ (-oo

随机变量及其分布--正态分布

正态分布 知识点 一、正态曲线 函数f(x)＝1 2πσ 2 2 () 2 e xμ σ - - ，x∈R的图象如图所示 x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值1 σ2π ； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

二、正态分布 bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正一般地，如果对于任何实数a，b(a

【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【过关练习】 1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是() A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

随机变量及其分布-正态分布

正态分布知识点 一、正态曲线 函数f(x)＝ 1 2πσ 2 2 () 2 e xμ σ - - ，x∈R的图象如图所示 x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值1 σ2π ； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

二、 正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a

题型一正态曲线的图象的应用 【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【过关练习】 1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的

随机变量及其分布习题解答

第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤

5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．