分析误差与数据处理讲稿

第二章误差与数据处理

1、内容提要

有关误差的基本概念

误差产生的原因及出现的规律

提高分析结果准确度的方法

2、重点与难点

准确度与精密度

误差与偏差

系统误差与随机误差

正态分布与t分布

概率密度与置信区间

显著性检验

3、教学目标

了解误差的来源与分类

掌握准确度与精密度的表示方法

掌握总体平均值的置信区间概念

掌握随机误差的分布规律

掌握显著性检验的方法

掌握提高准确度的基本方法

掌握有效数字的修约规则和运算规则

了解误差传递的方式

了解一元线性回归分析的原理与方法

§2.1有关误差的一些基本概念

分析化学中的误差是客观存在的。

例如，设有一铁的标准样品，其含铁的标准值为T。对这一铁标准样品进行分析，即使采用最可靠的方法，使用最精密的仪器，由最有经验的分析工作者进行测定，所得的结果也不可能与T完全一致；由同一有经验的分析人员对同一样品进行多次分析，所得的结果也不可能完全一致。

1、准确度

准确度表征测定结果与真实值的符合程度。准确度的高低用误差来衡量。测量值与真实值之间差别越小，则分析结果的准确度越高。

2、精密度

精密度表征几次平行测量值相互符合程度。精密度的高低用偏差来衡量。平行测定所得数据间差别越小，则分析结果的精密度越高。

3、精密度与准确度的关系

例：A、B、C、D四个分析人员对同一铁标样（w Fe=37.40%）中的铁含量进行测量，结果如图示，比较其准确度和精密度?

精密度与准确度的关系可表示为：

(1).精密度是保证准确度的前提；

(2).精密度高，不一定准确度高

4 系统误差

系统误差是由某种固定的原因造成的误差。具有重现性，系统误差的正负、大小都有一定的规律性。在理论上讲是可以测定的，又称可测误差。系统误差存在与否决定分析结果的准确度。

(1).方法误差，由分析方法自身不足所造成的误差。如，重量分析法中，沉淀的溶解度大，沉淀不完全引起的分析结果偏低；滴定分析中，指示剂选择不适合，滴定终点与化学计量点不符合引起的误差。

(2).仪器误差，由测量仪器自身的不足所引起的误差。如，容量仪器体积不准确；分光光度计的波长不准确。

(3).试剂误差，由于试剂不纯引起的误差。如，试剂和蒸馏水含有待测组分，使测定

结果系统偏高。

(4).操作误差由分析人员的主观原因造成的误差。如分析人员掌握的分析操作与正确的分析操作有差别；分析人员对颜色敏感度的不同等。

5、随机误差(亦称偶然误差)

随机误差是由某些不确定的偶然的因素引起的误差。

例如，测量时环境温度、湿度和气压的微小波动；仪器电源的微小波动;分析人员对各份试样处理的微小差别等。

随即误差的正负、大小都不预见，也称不可测误差。随机误差的出现符合统计规律。随机误差的大小决定分析结果的精密度。

6、总体与样本

在统计学中，对于所考察的对象的全体，称为总体（或母体）。从总体中随机抽出的一组测量值，称为样品（或子样）。样品所含测量值的数目，称为样本容量（或大小）。

例如，对某批矿石中的镍含量进行分析，经取样、破碎、过筛、混匀、缩分后，得到一定数量（例如500 g）的试样供分析用。这就是分析试样，是供分析用的总体。如果分析人员甲和乙分别从中称取3份和4份进行平行分析，分别得到3个和4个测量值，则这两组分析结果就是矿石分析试样总体的两个随机样本，样本容量分别为3和4。

7、真值

某一物理量本身具有的客观存在的真实值。其值是未知的、客观存在的量，在特定情况下认为是已知的：

(1) 理论真值（如化合物的理论组成）；

(2) 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质量、物质的量单位等等）；

(3) 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精度的测量值）。

8、平均值

样本容量为n的一组测量数据的算数平均值为：

9、中位数

一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中位数x M。当测量值的个数为偶数时，中位数为中间相邻两个测量值的平均值。

10、误差

对真值为T的分析对象总体随机抽取一个样本进行n次测量。

(1) 个别测量值的误差为 E i =x i －T ；

(2) 实际上，通常用各次测量结果的平均值表示测定结果，测定结果的绝对误差为

E a =－T ；

(3) 测量结果的相对误差为 。

11、极差（R ）

式中，x max 和x min 分别为测量数据中的最大值和最小值。

12、相对极差（RR ）

13、公差

公差是生产部分对于分析结果允许误差的一种表示方法。如果分析结果超出允许的公差范围，称为超差，该项分析工作必须重做。 如，对钢中硫含量分析的允许公差范围规定如下： 硫的质量分数％ ≤0.020 0.020～0.0500.050～0.1000.100～0.200 ≥0.200公差（绝对误差）％

±0.002

± 0.004

± 0.006

± 0.010

±0.015

14、偏差与标准偏差

样品容量为 n 的一组测量数据； (1) 各次测量值的偏差为 x x d i i ?=

(2) 个别测量值的平均偏差为；

(3) 个别测量值的相对平均偏差为；

(4) 样本的标准偏差为

式中（n - 1）称为自由度，以f 表示。自由度f 是指计算一组测量数据分散程度的独立偏差数；

(5) 样本的相对标准偏差，亦称变异系数（CV）。

16、总体标准偏差

当测量次数为无限多次时，各测量值对总体平均值μ的偏离，用总体标准偏差σ表示，

17、总体平均值

当测量次数为无限多次时，所得的平均值为总体平均值μ，

若没有系统误差，则总体平均值μ就是真值T。

18、总体平均偏差

当测量次数为无限多次时，单次测量的平均偏差为

19、平均值的标准偏差

当测量次数无限增多（或实际上n > 30 ）时，单次测量值x i 的偏差为σi= x i－μ求各次测量值的偏差和，得

是平均值对总体平均值的偏离，即为平均值的总体标准偏差。

故

上式表明，测定的平均值的偏差等于各测量值偏差求平均值。当测定次数趋于无穷大时，正、负误差互相抵消，

计算平均值的偏差的平方，有

根据误差分布规律，上式二倍乘积的各项有不同的符号以及相对称的两项其绝对值相等，因而其代数和趋于零，上式变为：

即平均值的总体标准偏差为单次测定的总体标准误差除以测定次数的平方根。

对有限次测量，则为

平均值的标准偏差与测定次数的关系

增加测定次数，可以提高测量的精密度，但增加测定次数的代价不一定能从减小误差得到补偿。在分析化学实际工作中，一般平行测定4~6次就已足够。

20、有效数字

有效数字就是实际上能测到的数字，其最后一位是可疑数字。例如，读取滴定管上的刻度，三个学生可能得不同的读数。

甲 22.42 ml

乙 22.43 ml

丙 22.41 ml

这三个测量数据中，前三个数字都是准确的，第四位是估计出来的，所以稍有差别，称为可疑数字。这三个测量数据的有效数字都是4。

（1）.数字的修约规则

各测量值的有效数字位数确定后，就要将它后面多余的数字舍弃。舍弃多余数字的过程称为“数字修约”，目前一般采用“四舍六入五成双”规则。

“四舍六入五成双”规则规定，当测量值中被修约的那个数字等于或小于4时，该数字舍弃；等于或大于6时，进位；等于5时，如进位后末位数为偶数则进位，进位后末位数为奇数则舍弃。根据这一规则，将下列测量值修约为两位有效数字时，结果应为：

3.148 3.1 ； 7.397 7.4 ； 0.736 0.74 ； 75.5 76

（2）.数据的计算规则

数据的计算规则，是根据误差的传递规律而确定的。

加减法是各个测量值绝对误差的传递，绝对误差最大的测量值的绝对误差决定了分析结果的不确定性。因此，求几个测量值的代数和时，有效数字位数的保留，

应以小数点后位数最小的数为依据。

乘除法是各个测量值相对误差的传递，结果的相对误差应与各测量值中相对误差最大的那个数相适应。因此，在乘除法运算中通常根据有效数字位数最少的数来进行修约。

§2.2随机误差的分布随机误差是由一些偶然的因素造成的，其大小、正负具有随机性，服从一定的统计规律。

2.2.1 频率分布

某校的学生对海水中的卤素含量进行测定，得到

由于测定过程中存在随机误差，测量值有高有低，具有分散性。将测量值按大小顺序排列，由最大值和最小值可知测量值落在16.19g·L-1~15.84 g·L-1范围。如果按组距0.03 g·L-1。将198个测量值分组，每组中数据出现的个数称为频数(n i)，频数除以测量值总数(n)称为频率(n i /n)，频率除以组距(△S)称为频率密度(n i／n△S)，以频率密度对相应组值范围作图，就得到频率密度直方图。直接连接相邻组中值对应的频率密度点，得到频率密度分布图。

频数 (n i ） 频率(n i /n ） No 分组

频率密度 (n i ／n △S )1 15.83 1.0 0.005 0.17 2 15.86 2.0

频率密度分布图直观地反映出测量数据的集中趋势。

当测量值个数 n 趋近于无穷大，组距 △S 趋近于无穷小，频率密度曲线趋近于一条正态分布的平滑曲线。该曲线称为概率密度曲线。

2.2.2 正态分布

当测量值个数 n 趋近于无穷大，组距 △S 趋近于无穷小，频率分布曲线趋近于一条正态分布的平滑曲线，称为概率密度曲线。

正态分布的概率密度函数式是

这样的正态分布记作 N(μ,σ)，

其中，y 表示概率分布;x 表示测量值; μ表示总体平均值，即无限次测定所得数据

0.01 0.34 3 15.89 3.0 0.02 0.51 4 15.92 9.0 0.05 1.52 5 15.95 18.0 0.09 3.03 6 15.98 33.0 0.17 5.56 7 16.01 53.0 0.27 8.92 8 16.04 38.0 0.19 6.40 9 16.07 20.0 0.10 2.37 10 16.10 12.0 0.06 2.02 11 19.13 5.0 0.03 0.84 12 16.16 3.0 0.02 0.51 13

16.19

1.0

0.01

0.17

的平均值，表示无限个数据的集中趋势。

没有系统误差时，μ = T。σ表示总体标准偏差，表征无限次测定数据的分散程度。 (x - μ)表示随机误差，若以(x -μ)为横坐标，则曲线最高点横坐标为0。这时表示的是随机误差的正态分布。

测量值和随机误差的正态分布体现了随机误差的概率统计规律：

①小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，特别大的误差出现的概率极小；

②正误差出现的概率与负误差出现的概率相等；

③x = μ时，y值最大，表明测量值向μ集中的趋势；

④x = μ时，

表明数据的分散程度与σ有关，σ越大，测量值的分散程度越大，正态分布曲线也就越平坦。

思考：出现图示二条正态分布曲线的可能情况是什么？

2.2.3 标准正态分布

正态分布曲线的形状随σ而异。

令

将正态分布的概率密度函数转换为

这样的分布称为标准正态分布，记作N(0,1)。标准正态分布与σ无关

2.2.4 区间概率

随机误差在某一区间出现的概率（P），可以取不同的μ值对标准正态分布的概率密度函数进行定积分，

正态分布概率积分表中列出的面积与图中阴影部分相对应，表示随机误差在此区间的概率。若是求±μ值区间的概率，必须乘以2。例如:

测量值出

现的区间

随机误差出现的区 间(以σ为单

位) 概

率 (%)

μ=±1 x=μ±1σ 68.3 μ=±1.96 x=μ±1.96σ 95.0 μ=±2 x=μ±2σ 95.5 μ=±2.58 x=μ±2.58σ 99.0 μ=±3

x=μ±3σ 99.7

正态分布概率积分图

§2.3

§2.3有限数据的统计处理2.3.1. t 分布

正态分布是无限次测量数据的分布规律。当测量数据不多时，其分布服从t 分布规律。 定义：

t 分布函数是

t 分布曲线随自由度f 而改变。当f 趋近于无穷大时，t 分布趋近于正态分布。

区间概率

t 分布曲线下面一定区间内的积分面积，就是该区间内随机误差出现的概率。

不同f值及概率所相应的t值已有表可查。

表中置信度用P表示，它表示在区间内出现的概率；α 称为显著性水准，表

示在区间以外所出现的概率。

P=1-α;

由于t值与置信度及自由度有关，一般表示为tα,f 。

例如：t0.05,10 表示置信度为 95%，自由度为 10 时的t 值。

2.3.2 置信区间

对少量测量数据，以样品平均值估计总体平均值可能存在的区间

为。

它表示在一定置信度下，以平均值为中心，包括总体平均值μ的范围，称为总体平均值的置信区间。

在测量次数增多（实际上时），总体标准偏差已知的情况下，总体平均值在

一定置信度下的置信区间为。

例如，μ= 36.86％±0.10％（置信度为95％），可理解为有95％的把握说在36.86％±0.10％区间里包含了总体平均值。

2.3.3 显著性检验

显著性检验是指对存在着差异的两个样本平均值之间、或样本平均值与总体真值之

间是否存在“显著性差异”的检验。

在实际工作中，往往会遇到对标准样品进行测定时，所得到的平均值与标准值（相

对真值）不完全一致；或者采用两种不同的分析法或不同的分析仪器或不同的分析

人员对同一试剂进行分析时，所得的样本平均值有一定的差异。显著性检验就是检

验这种差异是由随机误差引起或是由系统误差引起。如果存在“显著性差异”，就认为这种差异是由系统误差引起；否则这种误差就是由随机误差引起，认为是正常的。

2.3.3.1 t检验法

1.平均值与标准值的比较

根据下式计算出t值

从附录表中查出指定置信度下的值，并进行比较。如果,则认为存在着显著性差异，否则不存在显著性差异。在分析化学中，通常以95%的置信度为检验标准，即显著性水准为5%。

2.两组平均值的比较

设两组分析数据为

如证明s1和s2之间没有显著性差异（F 检验），则可以为，用下式求得合并标准偏差s。

或

计算t值，

附录表2-1 tα,f值表（双边）

置信度，显著性水准

f P=0.09P=0.95P=0.99

α=0.10α=0.05α=0.01

1 6.31 12.71 63.66

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.23 3.17

20 1.72 2.09 2.84

∞ 1.64 1.96 2.58

,得，并比较。

查附录表（总自由度f＝n+n-2）

12

如果，两组平均值存在显著性差异；

，两组平均值不存在显著性差异。

2.3.3.2 F检验

F 检验是通过比较两组数据的方差，以确定它们的精密度是否有显著性差异的

方法。按下式计算F值,

式中，和分别代表两组数据中自由度大的方差和小的方差。

查附录表22，的值，并比较，如果

则认为两组数据的精密度之间存在显著性差异（置信度为95％），否则不存在显著性差异。

附录表所列F值用于单边检验时，即检验某组数据的精密度是否大于或等于另一组数据的精密度，此时置信度为95％（显著性水平为0.05）。而用于判断两组数

据的精密度是否有显著性差异时，即一组数据的精密度可能大于，等于，也可能小

于另一组数据的精密度时，显著性水平为单边检验时的两倍，即α=0.10，因而此时

的置信度

（90%）

附录表2-2 置信度为 95% 的F值（单边）

f大2345678910∞

f小

219.0019.1619.2519.3019.3319.3619.3719.3819.3919.50

39.559.289.129.018.948.888.848.818.788.53

4 6.54 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.63

5 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.78 4.71 4.36

6 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.67

7 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.63 3.23

8 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.34 2.93

9 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.13 2.71

10 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.97 2.54

∞ 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.00

2.3.4 离群值的取舍

一组分析测量数据中的异常值的取舍，可按统计学方法进行处理。

2.3.4.1 格鲁布斯(Grubbs)法

有一组数据，从小到大排列为：

x1 , x2 , … x n-1 , x n

其中x1或x n可能是异常值。

统计量T 定义为

（x1为可疑值）

或

（x n为可疑值）

从附录表中查出指定显著性水平T 的Tα,n值,并进行比较。如果T计算 > Tα,n, 则异常值应舍去，否则应保留

2.3.4.2 Q检验法

有一组数据，从小到大排列为：

x1 , x2 , … x n-1 , x n

统计量Q 定义为

或

Q 称为“舍弃商”。

从附录表中查出指定置信度下的 Q p ,n 值，并进行比较，如果 Q 计算 > Q p ,n ,该异常值应舍弃，否则应予保留。

§2.4. 误差的传递

分析结果通常是经过一系列测量步骤之后获得的，其中每一步骤的测量误差都会反映到分析结果中去。误差的传递方式取决于： I 、误差的性质（随机误差或系统误差）；II 、分析结果与测量值之间的关系（线性组合、乘除、指数、对数等）。

2.4.1 系统误差

设A 、B 、C 、D 为相互独立的测量值；ΔA 、ΔB 、ΔC 、ΔD 分别是测量值A 、B 、C 、D 的系统误差（包含系统误差的正负号）；K 、K A 、K B 、…为常数；y 为由测量值根据化学计量关系计算所得的分析结果； Δy 为分析结果的系统误差。系统误差的传递公式：

1. 当 y =K +K A A+K B B +…时 有 Δy =K A ΔA +K B ΔB+…

2. 当时 有

D

D C C B B A A y y Δ?Δ?Δ+Δ=Δ 3.当 y =f (x )， 有

2.4.2 随机误差

设A 、B 、C 、D 为相互独立的测量值；s A 、s B 、s C 、s D 分别为测量值A 、B 、C 、D

的标准偏差;K 、K A 、K B 、…为常数；y 为由测量值根据化学计量关系计算所得的分析

结果；s y 为分析结果y 的标准偏差。 随机误差的传递公式为：

当y=K+K A A+K B B+…时

有

当时

有

当y=f(x)

有

§2.5 标准曲线及线性回归

在仪器分析中，常用标准工作曲线法确定待测组份的含量。由于随机误差的存在，测量值不可能完全落在同一曲线上。回归分析就是用数理统计方法确定一条对各测量值误差较小的直线。这条直线所表达的两个变量之间的某种线性关系是否有意义，则用相关系数进行判断。

2.5.1 一元线性回归方程

设以X表示自变量， y为因变量，则一元线性回归方程表示为： y=a+bx

其中a和b称为回归系数。设对y作n次独立的测量，得到一系列测量值：

（x i，y i），i=1,2,3,…,n

通常假设x i具有足够的精密度，所有的随机误差都来源于测量值 y。

根据最小二乘法的原理，最佳的回归线应是各测量值y i与相对应的落在回归线上的值之差的平方和（Q）为最小。

欲使Q 达到最小，对Q 分别求a和b的偏微分，并令其为零：

上两式求解得

2.5.2 相关系数

1、相关系数定义为

2、相关系数的物理意义

（1）.当所有的Y i 值都落在回归线上，R = ± 1;

（2）.当Y与x之间完全不存在线性关系时，R = 0;

（3）.当R的值在 0 与±1之间时，如果其值与指定置信度下相关系数临界值比较，

满足,就可以认为这一回归线是有意义的。

§2.6提高分析准确度的方法

2.6.1 减小测量误差

1、减少称量误差

一般分析天平一次读数的绝对误差E i= ± 0.0001 g

一次称量读两次E a= 2E i= ±0.0002 g

常量分析要求E r< 0.1%

故

即试样的质量必须在0.2 g以上。

2、减少容量误差

一般滴定管读数常有± 0.01 ml的误差

一次滴定中，读数两次E a = ± 0.02 ml

常量分析要求E r< 0.1%

故，要求滴定体积

2.6.2 减少随机误差

减小随机误差的有效方法是增加平行测定的次数。在一般的分析化学中，对于同一试样，通常要求平行测定2～4次。

2.6.3 消除系统误差

1、对照实验

对照实验是通过对测量平均值与标准值T或测量平均值与对照试验测量平均值

之间所进行的显著性检验的方法，检验是否存在系统误差。

实验数据误差分析和数据处理

第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值

第二章 误差和分析数据处理

第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。

误差和分析数据处理

第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。

按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i

实验大数据误差分析报告与大数据处理

第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差

误差分析和数据处理

误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，

故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的

误差分析和数据处理

误差分析和数据处理

误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。

（二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。

数据处理与误差分析报告

物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差

物理误差分析及数据处理

第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果

重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得

误差分析与数据处理

误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法 进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的 规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须 具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 —、一、基本概念 1.误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真 值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法 加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3 )个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能 使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的感官的灵 敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几 率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有 时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为: y= y = 式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。 自图I 一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 (2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。b为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在土

误差分析与数据处理

桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表

课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。

“误差分析和数据处理”习题及解答

“误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。 答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。 答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？ （1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。 答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。 （2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。

实验数据误差分析和数据处理

第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实

验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。

物理实验误差分析与数据处理

物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)

实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。

数据处理及误差分析

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还

误差理论与数据处理试题

误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。

实验数据误差分析和数据处理

2 (3) 均方根平均值 n 2.2. , 2 '乞 X X i X 2 X n id ---------------- — n n (2-3) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这 种情况 下表征平均值常用对数平均值。 设两个量捲、X 2，其对数平均值 1 -X 2 X 对 | In X t — In X 2 X i -X 2 (2-4) 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限 制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字 来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影 响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方 面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验 的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的 概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用 实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1. 真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若 在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细 致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测 量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种 (1) 算术平均值算术平均值是最常见的一种平均值。 设为、X 2、……、X n 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 -X 1 X 2 亠 亠 X n X n (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 r X 几 = n X i X 2 X n (2-1) (2-2)

第二章误差和分析数据处理.

第二章 误差和分析数据处理 思考题和习题 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t 分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F 检验，在F 检验通过后，才能进行t 检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。 (1)41016.614 .1510.452.2??? (2)0001120.010.514.2101.3?? (3) 002034.0512.21003.40.514???- (4)050.110 12.21.80324.02??? (5)5462.31050.78940.142.551.22856.23-??-+?(6) pH = 2.10 , 求[H +] = ? （2.54×10-3；2.98×106；4.02；53.0；3.144；7.9×10-3mol/L ）

误差和分析数据处理习题

第二章误差和分析数据处理习题 一、最佳选择题 1. 如果要求分析结果达到%的准确度，使用灵敏度为的天平称取试样时，至少应称取（） A. 0.1g B. C. 0.05g D. 0.5g 2. 定量分析结果的标准偏差代表的是（）。 A. 分析结果的准确度 B. 分析结果的精密度和准确度 C. 分析结果的精密度 D. 平均值的绝对误差 3. 对某试样进行平行三次测定，得出某组分的平均含量为% ，而真实含量为 % ，则 %%=% 为（） A. 相对误差 B. 绝对误差 C. 相对偏差 D. 绝对偏差 4. 下列论述正确的是：（） A. 准确度高，一定需要精密度好； B. 进行分析时，过失误差是不可避免的； C. 精密度高，准确度一定高； D. 精密度高，系统误差一定小； 5. 下面哪一种方法不属于减小系统误差的方法（） A. 做对照实验 B. 校正仪器 C. 做空白实验 D. 增加平行测定次数 6. 下列表述中,最能说明系统误差小的是 ( ) A. 高精密度 B. 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 C. 标准差大 D. 仔细校正所用砝码和容量仪器等 7. 用下列何种方法可减免分析测定中的系统误差（） A. 进行仪器校正 B. 增加测定次数 C. 认真细心操作 D. 测定时保证环境的湿度一致 8. 下列有关偶然误差的论述中不正确的是（） A．偶然误差是由一些不确定的偶然因素造成的； B．偶然误差出现正误差和负误差的机会均等； C．偶然误差在分析中是不可避免的； D．偶然误差具有单向性

9. 滴定分析中出现下列情况，属于系统误差的是：（） A. 滴定时有溶液溅出 B. 读取滴定管读数时，最后一位估测不准 C. 试剂中含少量待测离子 D. 砝码读错 10. 某一称量结果为, 其有效数字为几位（） A . 1 位 B. 2 位 C. 3 位 D. 4 位 11. 测的某种新合成的有机酸pK a值为，其K a值应表示为（） A. ×10 -13； B. ×10 -13； -13； D. 4×10 -13 12. 指出下列表述中错误的表述 ( A ) A. 置信水平愈高,测定的可靠性愈高 B. 置信水平愈高,置信区间愈宽 C. 置信区间的大小与测定次数的平方根成反比 D. 置信区间的位置取决于测定的平均值 13. 下列有关置信区间的描述中，正确的有：（ A ） A. 在一定置信度时，以测量值的平均值为中心的包括真值的范围即为置信区间 B. 真值落在某一可靠区间的几率即为置信区间 C. 其他条件不变时，给定的置信度越高，平均值的置信区间越宽 D. 平均值的数值越大，置信置信区间越宽 14. 分析测定中，使用校正的方法，可消除的误差是 ( )。 A. 系统误差 B. 偶然误差 C. 过失误差 D. 随即误差 15. 关于t分布曲线和正态分布曲线形状的叙述，正确的是： ( ) A. 形状完全相同，无差异； B. t分布曲线随f而变化，正态分布曲线随u而变； C. 两者相似，而t分布曲线随f而改变； D. 两者相似，都随f而改变。 16. ) 457 .2 1. 17 /( ) 25751 .0 83 .2 5. 472 (+ ? ? = y的计算结果应取有效数字的位数是 ( ) A. 3位 B. 4位 C. 5位 D. 6位 17. 以下情况产生的误差属于系统误差的是 ( )。 A. 指示剂变色点与化学计量点不一致； B. 滴定管读数最后一位估测不准； C. 称样时砝码数值记错； D. 称量过程中天平零点稍有变动。 18. 下列数据中有效数字不是四位的是( )。 A. B. 0.0024 C. D.