第二讲 矩阵的数值运算

矩阵分析实验报告

矩 阵 分 析 实 验 报 告 学院：电气学院 专业：控制工程 姓名：XXXXXXXX 学号：211208010001

矩阵分析实验报告 实验题目 利用幂法求矩阵的谱半径 实验目的与要求 1、 熟悉matlab 矩阵实验室的功能和作用； 2、 利用幂法求矩阵的谱半径； 3、 会用matlab 对矩阵分析运算。 实验原理 理念 谱半径定义：设n n A C ?∈，1λ，2λ，3λ， ，j λ， n λ是A 的n 个特征值，称 ()max ||j j A ρλ= 为关于A 的谱半径。 关于矩阵的谱半径有如下结论： 设n n A C ?∈，则 （1）[]()()k k A A ρρ=； （2）2 2()()()H H A A AA A ρρ==。 由于谱半径就是矩阵的主特征值，所以实验换为求矩阵的主特征值。 算法介绍 定义：如果1λ是矩阵A 的特征值，并且其绝对值比A 的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量1V 称为主特征向量。 定义：如果特征向量中最大值的绝对值等于单位值（例如最大绝对值为1），则称其为是归一化的。

通过形成新的向量' 12=c n V （1/）[v v v ]，其中c=v 且1max {},j i n i ≤≤=v v 可将特 征向量 '12n [v v v ]进行归一化。 设矩阵A 有一主特征值λ，而且对应于λ有唯一的归一化特征向量V 。通过下面这个称为幂法（power method ）的迭代过程可求出特征对λ，V ，从下列向量开始： []' 0=111X （1） 用下面递归公式递归地生成序列{}k X ： k k Y AX = k+11 1 k k X Y c += （2） 其中1k c +是k Y 绝对值最大的分量。序列{}k X 和{}k c 将分别收敛到V 和λ： 1lim k X V =和lim k c λ= （3） 注：如果0X 是一个特征向量且0X V ≠，则必须选择其他的初始向量。 幂法定理：设n ×n 矩阵A 有n 个不同的特征值λ1，λ2，···，，λn ，而且它们按绝对 值大小排列，即： 123n λλλλ≥≥≥???≥ (4) 如果选择适当的X 0，则通过下列递推公式可生成序列{[() ()( ) ]}12k k k k n X x x x '=???和 {}k c ： k k Y AX = (5) 和： 11 1k k k X Y c ++= (6) 其中： () 1k k j c x +=且{} ()()1max k k j i i n x x ≤≤= (7) 这两个序列分别收敛到特征向量V 1和特征值λ1。即： 1lim k k X V →∞ =和1lim k k c λ→∞ = (8) 算法收敛性证明 证明：由于A 有n 个特征值，所以有对应的特征向量V j ，j=1，2，···n 。而且它们是

矩阵乘法的并行化 实验报告

北京科技大学计算机与通信工程学院 实验报告 实验名称： 学生姓名： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 实验成绩：________________________________ 实验地点： 实验时间：2015年05月

一、实验目的与实验要求 1、实验目的 1对比矩阵乘法的串行和并行算法，查看运行时间，得出相应的结论；2观察并行算法不同进程数运行结果，分析得出结论； 2、实验要求 1编写矩阵乘法的串行程序，多次运行得到结果汇总； 2编写基于MPI，分别实现矩阵乘法的并行化。对实现的并行程序进行正确性测试和性能测试，并对测试结果进行分析。 二、实验设备（环境）及要求 《VS2013》C++语言 MPICH2 三、实验内容与步骤 实验1，矩阵乘法的串行实验 （1）实验内容 编写串行程序，运行汇总结果。 （2）主要步骤 按照正常的矩阵乘法计算方法，在《VS2013》上编写矩阵乘法的串行程序，编译后多次运行，得到结果汇总。

实验2矩阵乘法的并行化实验 3个总进程

5个总进程 7个总进程

9个进程 16个进程 四：实验结果与分析（一）矩阵乘法并行化

矩阵并行化算法分析： 并行策略：1间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程1：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此O(n)=(n); 2间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程3：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此T(n)=O(n);

求矩阵的基本运算

求矩阵的基本运算 #include #include void jiafa() { int m,n; float a[20][20],b[20][20],c[20][20]; int i,j; printf("请输入矩阵行数："); scanf("%d",&m); printf("请输入矩阵列数："); scanf("%d",&n); printf("请输入第一个矩阵："); for(i=0; i

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知

? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为

矩阵连乘实验报告

华北电力大学科技学院 实验报告 实验名称矩阵连乘问题 课程名称计算机算法设计与分析 专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭 学号：121909020124 成绩： 指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14

一、实验内容 矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,A n。 二、主要思想 由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为： (1)单个矩阵是完全加括号的； (2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号 的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。 运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行 1、分析最优解的结构 设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在A k和A k+1之间将矩阵链断开，1n,则其相应的完全加括号方式为((A1…A k)(A k+1…A n))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计

算结果相乘得到A[1:n]。 2、建立递归关系 设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1i n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。 当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。 当i

MATLAB矩阵运算基础练习题

第2章 MATLAB 矩阵运算基础 2.1 在MA TLAB 中如何建立矩阵?? ?? ??194375，并将其赋予变量a ？ 2.2 请产生一个100*5的矩阵，矩阵的每一行都是[1 2 3 4 5] 2.3产生一个1x10的随机矩阵，大小位于（-5 5） 2.2 有几种建立矩阵的方法？各有什么优点？ 可以用四种方法建立矩阵： ①直接输入法，如a=[2 5 7 3]，优点是输入方法方便简捷； ②通过M 文件建立矩阵，该方法适用于建立尺寸较大的矩阵，并且易于修改； ③由函数建立，如y=sin(x)，可以由MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵； ④通过数据文件建立，该方法可以调用由其他软件产生数据。 2.3 在进行算术运算时，数组运算和矩阵运算各有什么要求？ 进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则，如矩阵a 与b 相乘（a*b ）时必须满足a 的列数等于b 的行数。 2.4 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别？ 在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同，乘、除和乘方运算时，在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算，如a*b 为矩阵乘，a.*b 为数组乘。 2.5 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和，差，积，左除和右除。 2.6 求?? ?? ??+-+-+-+-++=i 44i 93i 49i 67i 23i 57i 41i 72i 53i 84x 的共轭转置。 2.7 计算???? ??=572396a 与??????=864142b 的数组乘积。 2.8 “左除”与“右除”有什么区别？ 在通常情况下，左除x=a\b 是a*x=b 的解，右除x=b/a 是x*a=b 的解，一般情况下，a\b ≠b/a 。 2.9 对于B AX =，如果??????????=753467294A ，???? ??????=282637B ，求解X 。 2.10 已知：???? ??????=987654321a ，分别计算a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。 2.11 ??????-=463521a ，?? ????-=263478b ，观察a 与b 之间的六种关系运算的结果。

数学实验矩阵的运算

数学实验报告 学院： 班级： 学号： 姓名： 完成日期：

实验四矩阵的运算 （一）投入产出分析 一．实验目的 1.理解投入产出分析中的基本概念和模型； 2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩 阵等的含义。 二．问题描述 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示 表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表 根据表回答下列问题： （1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？ （2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问

他们的总产出分别为多少? 三.实验过程 1．问题（1）的求解 （1）求直接消耗矩阵A 根据直接消耗的计算公式 a ij=x ij/x j 和各部门中间需求; x n a n 运行如下代码可得直接消耗系数表。 X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0]; X_colsum=[100 200 150]; X_rep=repmat(X_colsum,3,1) A=X./ X_rep 运行结果为： A = 0.1500 0.1000 0.2000 0.3000 0.0500 0.3000 0.2000 0.3000 0 （2）求解 根据公式 X=(I-A)-1y 在运行如下代码

y=[50;150;100]; n=size(y,1); W=eye(n)-A; X=W\y 运行结果为 X = 139.2801 267.6056 208.1377 即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。 2．问题2求解 设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为 Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy 利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果： dx=inv(W) 运行结果: dx = 1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167

MATLAB矩阵实验报告

MATLAB 程序设计实验 班级：电信1104班 姓名：龙刚 学号：1404110427 实验内容：了解MA TLAB 基本使用方法和矩阵的操作 一．实验目的 1.了解MA TLAB 的基本使用方法。 2.掌握MA TLAB 数据对象的特点和运算规则。 3.掌握MA TLAB 中建立矩阵的方法和矩阵的处理方法。 二．实验内容 1. 浏览MATLAB 的start 菜单，了解所安装的模块和功能。 2. 建立自己的工作目录，使用MA TLAB 将其设置为当前工作目录。使用path 命令和工作区浏览两种方法。 3. 使用Help 帮助功能，查询inv 、plot 、max 、round 等函数的用法和功能。使用help 命令和help 菜单。 4. 建立一组变量，如x=0:pi/10:2*pi ，y=sin(x)，在命令窗口显示这些变量；在变量窗口打开这些变量，观察其值并使用绘图菜单绘制y 。 5. 分多行输入一个MA TLAB 命令。 6. 求表达式的值 ()6210.3424510w -=+? ()22tan b c a e abc x b c a ππ++ -+=++，a=3.5，b=5，c=-9.8 ()220.5ln 1t z e t t =++，21350.65i t -??=??-?? 7.已知 1540783617A --????=??????，831253320B -????=????-?? 求 A+6B ，A 2-B+I A*B ，A.*B ，B*A A/B ，B/A [A,B]，[A([1,3], :); B^2]

8.已知 23100.7780414565532503269.5454 3.14A -????-??=????-?? 输出A 在[10,25]范围内的全部元素 取出A 的前三行构成矩阵B ，前两列构成矩阵C ，右下角3x2子矩阵构成矩阵D ，B 与C 的乘积构成矩阵E 分别求表达式E

矩阵计算习题及答案

1、选择题 1）下列变量中 A 是合法的。 A. Char_1,i,j *y, C. X\y, a1234 D. end, 1bcd 2）下列 C 是合法的常量。 A. 3e10 B. 1e500 C. D. 10-2 3）x=uint8，则x所占的字节是 D 个。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4）已知x=0：10，则x有 B 个元素。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5）产生对角线元素全为1其余为0的2×3矩阵的命令是 C 。 A. Ones(2,3) B. Ones(3,2) C. Eye(2,3) D. Eye(3,2) 6）a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则a(:,end)是指 C 。 A.所有元素 B. 第一行元素 C. 第三列元素 D. 第三行元素 7） a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则运行a(:,1)=[] 命令后 C 。 变成行向量 B. a数组成2行2列 C. a数组成3行2列 D. a数组没有元素 8）a= 123 456 789 ?? ? ? ? ?? ，则运行命令 mean(a)是 B 。 A. 计算a的平均值 B. 计算a每列的平均值 C. 计算a每行的平均值数组增加一列平均值 9）已知x是一个向量，计算 ln(x)的命令是 B 。 A. ln(x) B. log(x) C. Ln(x) D. lg10(x) 10）当a=时，使用取整函数得到3，则该函数名是 C 。 B. round C. ceil D. floor 11）已知a=0：4，b=1：5，下面的运算表达式出错的是 D 。 A. a+b B. a./b C. a'*b D. a*b 12）已知a=4，b=‘4’，下面说法错误的是 C 。 A. 变量a比变量b占用的空间大 B. 变量a、b可以进行加减乘除运算 C. 变量a、b数据类型相同 D. 变量b可以用eval计算 13）已知s=‘显示“hello”’，则s 元素的个数是 A 。 A. 12 B. 9 C. 7 D. 18 14）运行字符串函数strncmp('s1','s2',2)，则结果为 B 。 A. 1 B. 0 C. true D. fales 15）命令day（now）是指 C 。 A. 按日期字符串格式提取当前时间 B. 提取当前时间 C. 提取当前时间的日期 D. 按日期字符串格式提取当前日期

矩阵运算实验报告

实验报告 --矩阵运算 一．实验目的。 1.通过实践加强对程序设计语言课程知识点的理解和掌握，培养对课程知识综合运用能力、实际分析问题能力及编程能力，养成良好的编程习惯。 2.通过实践进一步领会程序设计的特点和应用，提高运用C++ 语言以及面向对象知识解决实际问题的能力。 3.通过实践掌握用C++ 语言编写面向对象的实用程序的设计方法，对面向对象方法和思想增加感性的认识； 4.学会利用C++程序设计语言编写出一些短小、可靠的Windows实用程序，切实提高面向对象的程序设计能力。为后续的相关课程的学习打下基础。 二．实验要求。 1.学会建立模板类； 2.实现矩阵的“加”、“减”、“乘”、“数乘”、“转置”； 3.动态存分配并用随机数填充； 4.注意“加”、“减”、“乘”要进行条件的判断； 三．设计思路。

3.1算法基本流程 1)获取用户输入的矩阵1的行数和列数,动态生成一个一维数组 2)利用随机数生成数组成员,并利用两个循环输出数组,使其符合矩阵的格式 3)矩阵2同矩阵1的处理方法 4)通过两个矩阵的行数和列数比较来判断能否进行加减乘等运算,如不能,输出相关信息 5)如能够进行计算,则利用数组进行相应运算,并按照正确格式输出 6)通过改变一维数组中元素的顺序来实现转置并输出 3.2算法流程图

四．基本界面。

五．关键代码。 5.1关键类的声明 class CMatrixclass { public: CMatrixclass() { int m_Row = 0; //行 int m_Col = 0; //列 m_pElements = NULL; //一维数组

矩阵乘法的并行化实验报告

科技大学计算机与通信工程学院 实验报告 实验名称： 学生： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 实验成绩：________________________________ 实验地点： 实验时间：2015年05月

一、实验目的与实验要求 1、实验目的 1对比矩阵乘法的串行和并行算法，查看运行时间，得出相应的结论；2观察并行算法不同进程数运行结果，分析得出结论； 2、实验要求 1编写矩阵乘法的串行程序，多次运行得到结果汇总； 2编写基于MPI，分别实现矩阵乘法的并行化。对实现的并行程序进行正确性测试和性能测试，并对测试结果进行分析。 二、实验设备（环境）及要求 《VS2013》C++语言 MPICH2 三、实验容与步骤 实验1，矩阵乘法的串行实验 （1）实验容 编写串行程序，运行汇总结果。 （2）主要步骤 按照正常的矩阵乘法计算方法，在《VS2013》上编写矩阵乘法的串行程序，编译后多次运行，得到结果汇总。

实验2矩阵乘法的并行化实验 3个总进程

5个总进程 7个总进程

9个进程 16个进程 四：实验结果与分析（一）矩阵乘法并行化

矩阵并行化算法分析： 并行策略：1间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程1：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此O(n)=(n); 2间隔行带划分法 算法描述：将C=A*B中的A矩阵按行划分，从进程分得其中的几行后同时进行计算，最后通信将从进程的结果合并的主进程的C矩阵中 对于矩阵A*B 如图：进程1：矩阵A第一行 进程2：矩阵A第二行 进程3：矩阵A第三行 进程3：矩阵A第四行 时间复杂度分析： f(n) =6+2+8+k*n+k*n+k*n+3+10+n+k*n+k*n+n+2 (k为从进程分到的行数) 因此O(n)=(n)； 空间复杂度分析： 从进程的存储空间不共用，f(n)=n; 因此T(n)=O(n);

大数据数学基础(R语言描述) 第3章 线性代数基础 教案

第3章线性代数基础 教案 课程名称：大数据数学基础（R语言描述） 课程类别：必修 适用专业：大数据技术类相关专业 总学时：80学时（其中理论58学时，实验22学时） 总学分：5.0学分 本章学时：12学时 一、材料清单 （1）《大数据数学基础（R语言描述）》教材。 （2）配套PPT。 （3）引导性提问。 （4）探究性问题。 （5）拓展性问题。 二、教学目标与基本要求 1.教学目标 通过矩阵的定义，了解矩阵的运算；通过引入二阶行列式和三阶行列式，了解克拉默法则，行列式的6个性质和按行（列）展开；掌握逆矩阵和矩阵的秩，以及矩阵的特征分解、矩阵的对角化和矩阵的奇异值分解等应用和计算。 2.基本要求 （1）掌握矩阵的运算。

（2）掌握运用行列式的性质进行计算的方法。 （3）掌握特征分解、奇异值分解的应用。 三、问题 1.引导性提问 引导性提问需要教师根据教材内容和学生实际水平，提出问题，启发引导学生去解决问题，提问，从而达到理解、掌握知识，发展各种能力和提高思想觉悟的目的。 （1）线性代数的知识主要有哪些？ （2）线性代数与大数据有哪些联系？ 2.探究性问题 探究性问题需要教师深入钻研教材的基础上精心设计，提问的角度或者在引导性提问的基础上，从重点、难点问题切入，进行插入式提问。或者是对引导式提问中尚未涉及但在课文中又是重要的问题加以设问。 （1）行列式与矩阵有什么联系？ （2）向量与矩阵有什么联系？ 3.拓展性问题 拓展性问题需要教师深刻理解教材的意义，学生的学习动态后，根据学生学习层次，提出切实可行的关乎实际的可操作问题。亦可以提供拓展资料供学生研习探讨，完成拓展性问题。 （1）除本章的知识点外，特征分解在大数据方面的具体应用有哪些？ （2）除本章的知识点外，奇异值分解在大数据方面的具体应用有哪些？ 四、主要知识点、重点与难点

矩阵的基本运算

矩阵的基本运算 （摘自：华东师范大学数学系；https://www.wendangku.net/doc/aa6267370.html,/）§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为 C=×==

即Matlab返回： C = 19 22 43 50 如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np ×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B： A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8

矩阵计算

一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置 1 矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。 2 Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。 3 矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。 二、矩阵的基本计算 数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。 已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A ＋B、=A－B、=A＊B等。A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。图1中的数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。 三、矩阵计算的应用 下面让我们来计算一个灰色预测模型。 灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(X T X)－1(X T Y)，式中：XT是矩阵X的转置。 作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1}Y={33，34，35，37} 在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5)) 公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了，如图2。 如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。不过，使用Excel也是很方便的。

浅谈矩阵计算

浅谈矩阵计算 一丶引言 矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。 作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。 矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。 二、矩阵的介绍与基本运算 由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计

矩阵连乘实验报告

矩阵连乘实验报告

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华北电力大学科技学院 实验报告 实验名称矩阵连乘问题 课程名称计算机算法设计与分析 专业班级：?软件12K１??学生姓名：吴旭 学号：1２1909０２0１２4 成绩: 指导老师: 刘老师?实验日期：2０１４．11.１4

一、实验内容 矩阵连乘问题,给定n个矩阵｛A1，A２,…，A n｝，其中A i与A i+1是可乘的,ｉ=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,Ａ２,…,A n。 二、主要思想 由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用２个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为: (1)单个矩阵是完全加括号的； (2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的 矩阵连乘积Ｂ和Ｃ的乘积并加括号，即Ａ=(BC)。 运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行 1、分析最优解的结构 设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为Ａ［i：j］。考察计算Ａ[1：ｎ]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在Aｋ和A k＋１之间将矩阵链断开,1≤k≤n,则其相应的完全加括号方式为((Ａ …A k)(Ａk+1…A n)）。依此次序，先计算A[１:k]和Ａ[k＋1:ｎ］,然后１

大数据CPDA考试模拟样题—数据分析算法与模型

考试模拟样题—数据分析算法与模型 一.计算题 (共4题,100.0分） 1.下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据： 一元线性回归.xlsx 一元线性回归预测.xlsx 要求：（1）绘制散点图，并计算相关系数，说明二者之间的关系； （2）人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义； （3）计算判定系数，并解释其意义； （4）检验回归方程线性关系的显著性（a=0.05）； （5）如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平； （6）求人均GDP为5000元时，人均消费水平95%的置信区间和预测区间。（所有结果均保留三位小数） 正确答案： （1）以人均GDP为x，人均消费水平为y绘制散点图，如下：

用相关系数矩阵分析可求得相关系数为0.9981。从图和相关系数都可以看出人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）有比较强的正相关关系。 （2）以人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，做线性回归分析，得到回归方程如下： y = 0.3087x + 734.6928 回归系数0.3087表示人均GDP每增加一个单位，人均消费水平大致增加0.3087个单位，人均GDP对人均消费水平的影响是正向的，人均GDP越高人均消费水平也越高。 （3）判定系数R方为0.9963，说明模型拟合效果很好。 （4）T检验和F检验的P值都小于0.05，线性关系显著。 （5）做预测分析可得，如果某地区的人均GDP为5000元，则其人均消费水平为2278.1066元。 （6）人均GDP为5000元时，由预测分析的结果可知，人均消费水平95%的置信区间为[1990.7491,2565.4640]，预测区间为 [1580.4632,2975.7500]。 2.根据以下给出的数据进行分析，本次给出鸢尾花数据，其中包含萼片长、萼片宽、花瓣长、花瓣宽、以及花的类型数据，请根据以下问题进行回答。（本

实验报告 矩阵快速转置

实验报告 实验项目名称：实现矩阵的快速 转置的操作 所属课题名称：数据结构 实验类型：验证实验 实验日期：2010/12/20 学院：数学与信息科学学院 专业: 信息与计算科学 班级: 082班 姓名：李晓璐 学号：0801214037

实验稀疏矩阵的快速转置操作 一、实验目的 1、了解稀疏矩阵的三元组存储形式。 2、熟悉掌握三元表存储矩阵的转置算法。 二、实验环境 硬件：PC 微型计算机、256M以上内存，40G以上硬盘。 软件：Windows XP，Turbo C/C++ 三、实验内容 转置运算是一种最简单的矩阵运算。对于一个m*n的矩阵M，它的转置矩阵T是一个n*m的矩阵。假设a和b是TSMatrix型的变量，分别表示矩阵M和T。按照a.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入b中恰当的位置。实现由a得到b的方式如下。 在转置前，应先求得M的每一列中非零元的个数，进而求得每一列的第一个非零元在b.data中应有的位置。在此，设num和cpot两个向量，num[col]表示矩阵M中第col列中非零元的个数，cpot[col]指示M中第col列的第一个非零元在b.data中应有的位置。显然有： cpot[1]=1; cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1] 四、实验步骤 1、本实验的程序清单如下。 “TSMatrix.h” #define MAXSIZE 12500 #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define OVERFLOW 0 typedef int Status; typedef int ElemType; struct Triple { int i,j;