(新)高中数学三角函数习题及答案
第一章 三角函数
一、选择题
1．已知 α 为第三象限角，则 2
α
所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限
D ．第二、四象限
3．sin
3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－
4
3
3
B ．
4
3
3 C ．－
4
3 D ．
4
3 4．已知tan θ＋θtan 1
＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2
B ．2
C ．－2
D ．±2
5．已知sin x ＋cos x ＝51
(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－
4
3
B ．－
3
4 C ．
4
3 D ．
3
4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3
π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π±
3
π
2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C
B ．B ?A ?C
C ．C ?A ?B
D ．B ?C ?A
8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3
1
，则sin β 的值是( )．
A ．3
1
B ．－3
1
C ．
3
2
2 D ．－
3
2
2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ?
?4π5 ，π
B ．??
?
??π ，4π
C ．??
? ??4π5 ，4π
D ．??? ??π ，4π∪??? ?
?23π ，4π5
10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ?
?
3π － 2x ，x ∈R
B ．y ＝sin ??
?
??6π ＋ 2x ，x ∈R
C ．y ＝sin ??? ?
?
3π ＋ 2x ，x ∈R
D ．y ＝sin ??? ?
?
32π ＋ 2x ，x ∈R
二、填空题
11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??
?
???3π4π ，上的最大值是 ．
12．已知sin α＝
552，2
π
≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ??
?
??α － 2π＝ ．
14．若将函数y ＝tan ??? ?
?
4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝
tan ??? ?
?
6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ．
15．已知函数f (x )＝
21(sin x ＋cos x )－2
1
|sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ?
?
3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：
①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ??? ?
?
6π － 2x ；
②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－
6
π
，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6
π
对称． 其中正确的是______________．
三、解答题
17．求函数f (x )＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．
18．化简：
(1))－()＋(－)＋＋()
＋()－(－)＋＋(－αααααα????180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ；
(2))
－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z )．
19．求函数y ＝sin ??? ?
?
6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．
20．(1)设函数f (x )＝
x
a
x sin sin ＋(0＜x ＜π)，如果 a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最
小值，如果存在请写出最大(小)值；
(2)已知k ＜0，求函数y ＝sin 2 x ＋k (cos x －1)的最小值．
参考答案
一、选择题 1．D
解析：2k π＋π＜α＜2k π＋23π，k ∈Z ?k π＋2π＜2
α＜k π＋43
π，k ∈Z ．
2．B
解析：∵ sin θcos θ＞0，∴ sin θ，cos θ同号．
当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限． 3．A
解析：原式＝??
?
??-??? ??-??? ?
?
-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433． 4．D 解析：tan θ＋
θtan 1＝θθcos sin ＋θ
θsin cos ＝θθcos sin 1＝2，sin θ cos θ＝21
． (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin θ＋cos θ＝±2． 5．B
解析：由 得25cos 2 x －5cos x －12＝0．
解得cos x ＝
54或－5
3． 又 0≤x ＜π，∴ sin x ＞0． 若cos x ＝
5
4，则sin x ＋cos x ≠51，
∴ cos x ＝－53，sin x ＝5
4，∴ tan x ＝－34
．
6．D
解析：若 α，β 是第四象限角，且sin α＞sin β，如图，利用单位圆中的三角函数线确定α，β 的终边，故选D ．
???
1＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x (第6题`)
7．B
解析：这三个集合可以看作是由角±3
π
2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合．
8．B
解析：∵ cos (α＋β)＝1， ∴ α＋β＝2k π，k ∈Z ． ∴ β＝2k π－α．
∴ sin β＝sin (2k π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－31
．
9．C
解析：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π
和4
5π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．
10．C
解析：第一步得到函数y ＝sin ?
?? ?
?
+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ??? ?
?+3π2x 的图象． 二、填空题 11．
4
15
． 解析：f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在???
???3π4π ，
上是增函数，f (x )≤sin 23π＋3tan 3π＝415． 12．－2． 解析：由sin α＝552，2
π
≤α≤π?cos α＝－55，所以tan α＝－2． 13．
5
3
． 解析：sin ??? ??α ＋ 2π＝53，即cos α＝53，∴ sin ??
?
??α － 2π＝cos α＝53．
14．2
1．
解析：函数y ＝tan ??? ??
4π＋x ω (ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数
y ＝tan ????????? ?
?4π＋6π－x ω＝tan ??? ??
ωω6π－4π＋x 的图象，则6π＝4π－6πω＋k π(k ∈Z )，
ω＝6k ＋
21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝2
1． 15．?????
?221 ，－．
解析：f (x )＝
21(sin x ＋cos x )－21|sin x －cos x |＝???)＜()(x x x x x x cos sin
sin cos ≥sin
cos 即 f (x )等价于min {sin x ，cos x }，如图可知， f (x )max ＝f ??
?
??4π＝22，f (x )min ＝f (π) ＝－1．
16．①③．
解析：① f (x )＝4sin ??? ??+3π2x ＝4cos ??? ??--3π22π
x
＝4cos ??? ?
?
+-6π2x
＝4cos ??? ?
?
-6π2x ．
② T ＝2
2π
＝π，最小正周期为π．
③ 令 2x ＋
3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6
π， ∴ 函数f (x )关于点??
? ?
?
0 6
π－，
对称． ④ 令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π
时，k ＝－2
1，与k ∈Z 矛盾． ∴ ①③正确． 三、解答题
17．{x |2k π＜x ≤2k π＋
4
π
，k ∈Z }． 解析：为使函数有意义必须且只需?????-② 0 ≥
1 cos 2①
＞0 sin x x
(第15题)
先在[0，2π)内考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线． 由①得x ∈(0，π)，
由②得x ∈[0，
4π]∪[4
7
π，2π]． 二者的公共部分为x ∈???
??4π0，．
所以，函数f (x )的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋4
π
，k ∈Z }． 18．(1)－1；(2) ±α
cos 2
． 解析：(1)原式＝
αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－α
α
tan tan ＝－1．
(2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝α cos 2
．
②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝
])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα＝－α
cos 2
．
19．对称中心坐标为???
??0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝
2πk ＋3π(k ∈Z )． 解析：∵ y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z ，
∴ 令2x －
6π
＝k π，得x ＝2πk ＋12
π． ∴ 所求的对称中心坐标为???
??0 ，12π ＋ 2πk ，k ∈Z ． 又 y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2
π
， ∴ 令2x －
6π＝k π＋2π，得x ＝2
πk ＋3π
． ∴ 所求的对称轴方程为x ＝
2
πk ＋3π
(k ∈Z )． 20．(1)有最小值无最大值，且最小值为1＋a ； (2)0． 解析：(1) f (x )＝
x a x sin sin ＋＝1＋x
a sin ，由0＜x ＜π，得0＜sin x ≤1，又a ＞0，所以当
sin x ＝1时，f (x )取最小值1＋a ；此函数没有最大值．
(2)∵－1≤cos x ≤1，k ＜0， ∴ k (cos x －1)≥0， 又 sin 2 x ≥0，
∴当cos x＝1，即x＝2k (k∈Z)时，f(x)＝sin2 x＋k(cos x－1)有最小值f(x)min＝0．