基本不等式中“1的妙用”

基本不等式中“1的妙用”

一、考法解法

命题特点分析

此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式ax by +，一个是分式

m n x y

+，当然会在此基础上进行变形。

解题方法荟萃 主要是凑出可以使用基本不等式的形式：

y x x y μλ+的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。 二、典型题剖析

例题1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y

+的最小值； （2）已知,x y R *∈，23x y +=，求

12x y +的最小值； （3）已知,x y R *∈，322x y

+=，求62x y +的最小值； （4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。 【答案】（1）121222(2)()145249x y x y x y x y y x

+=++=+++≥+= 当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号 （2）121121221(2)()145243333

x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（） 当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号

（3）1323662=()(62)9218622y x x y x y x y x y

+++=+++≥+ 当且仅当63x y y x =即32+222

x y ==时取等号 （4）因为2x y xy +=，所以

121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥ 当且仅当

4x y y x

=即24x y ==时取等号

例题2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求1213

x y +++的最小值； （2）已知,x y R *

∈，1x y +=，求22

11x y x y +++的最小值； （3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223

x y y +++的最小值； （4）已知,x y R *∈，231x y +=，求

123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

【答案】

（1）整式变形成113x y +++=，

12112132(1)22(13)()(12)1135133133

y x x y x y x y x y +++=++++=+++≥+++++++ 当且仅当32(1)=13

y x x y ++++取等号 （2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111

x y x x y y x y x y x y x y +-+++-+++=+=+-+++-+++++++