解决问题的策略等量代换
解决问题的策略
----等量代换
奎文区金宝双语学校王希娟
教学目标：
1、通过观察、操作、交流、能用一个相等的量去代换另一个量，初步体验
等量代换的数学思想方法。
2、在丰富的学习活动中培养学生观察、分析和推理能力。
3、经历解决问题的过程，感受等量代换与生活的密切联系及应用价值，体
验成功，增强自信心。
教学重难点：
重点：是体会等量代换的思想方法。
难点：是将等量代换的思想灵活运用于解决问题中。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
课前交流：同学们，解决问题这个课题大家以前学过吗？应用题学过吧？解决问题就是做应用题；谁知道策略这个词是什么意思？你在哪些地方见到过这个词？对！策略就是好的方法，那在我们数学上有哪些好的策略呢？今天我们就来一起研究一下数学中解决问题的策略！
一、故事引入
师：上课！同学们看过曹冲称象的故事吗？（有的看过，有的没有）在三国时期，有一位丞相叫曹操，有人送给他一头大象，曹操很想知道这头大象有多重，身边的人想了很多办法，都没有成功，这时曹操七岁的儿子曹冲想出了一个好办法，大家看！（视频）曹冲用和大象重量相等的石头来替换了大象的重量，称
出石头的重量，就是大象的体重，曹冲很聪明吧？其实曹冲运用了一个十分重要的策略，一种替换的方法，我们在数学上把它叫做“等量代换”（板书）。我们这节课就像曹冲小朋友学习，一起用等量代换的策略来解决数学问题。
二、创设情景，找等量关系
师：森林动物园刚刚建起了一座现代化的游乐场，让我们一起去看看吧。（出示熊猫和猴子的平衡跷跷板）请同学们仔细观察这幅图，你知道了什么？
生：一只熊猫和3只猴子的重量一样。
老师简写为（板书：一只熊猫=3只猴子）
你是怎么知道的？（跷跷板是平衡的）
师：2只熊猫的重量等于几只猴子的重量？
师：那9只猴子的重量等于几只熊猫呢？（培养学生的逆向思维能力。）
生：3只熊猫。
（出示猴子和兔子的跷跷板）根据这个跷跷板你又可以知道什么信息呢？
（一只猴子和两只兔子一样重。）
你们又是怎样知道的呢？（跷跷板是平衡的）
（板书：1只猴子=2只兔子）
师：2只猴子的重量等于几只兔子的重量呢？
师：6只兔子的重量等于几只猴子的重量呢？
（如果学生出现其他的信息，注意适当的引导和评价。）
师：就象这样，等号左右两边是一样重的两个量，那么这两个量就是相等的量，他们之间的关系也就是等量关系。譬如说“一只熊猫=3只猴子”这个等式中，一只熊猫和3之间就是等量关系，现在你能用谁和谁是等量关系来说一说这个
算式吗？
三、动手操作，自主合作，体验等量代换：
请同学们再观察这两条信息，你们还能创造出新的等量关系来吗？请同学们独立思考一下，有很多同学想出来了，好现在我们在小组内交流一下自己的想法好不好？哪位同学读一下我们的活动要求：
利用手中的学具，摆一摆、画一画、想一想、说一说，1只熊猫的体重还可以用哪几种动物的体重来替换呢？
（学生合作，教师指导巡视）
学生展示：
组一：（小圆片）我们小组创造的等量关系是：一只熊猫=6只兔子，因为一只猴子等于2只兔子，我们用2只兔子代换了一只猴子， 3只猴子的重量就换成了6只兔子的重量，所以一只熊猫=6只兔子。
组二：（贴图）我们小组创造的等量关系是：一只熊猫=1只猴子+4只兔子，因为一只猴子等于2只兔子，所以用2只猴子换成了4只兔子的重量。再加上一只猴子的重量就是一只熊猫的重量。
组三：（画图）我们小组创造的等量关系是：一只熊猫=2只兔子+2只猴子，因为一只猴子等于2只兔子，我们把1只猴子换成2只兔子再加上原来的2只猴子的重量就是一只熊猫的重量。
（对学生创造出的其他的等量关系给予肯定。）
师：看来咱班同学真是非常聪明，不但凭借自己的智慧创造出了这么多的等量关系，而且好把道理说得这么明白。那老师还想请同学们观察一下你们创造出的这三种等量关系都是怎样来代换的呢？
生：都是用兔子来换猴子，
师：看来在这两条信息中，小猴起到了一个桥梁的作用，是它把熊猫和小兔联系到了一起，让同学们又创造出了更多的等量关系。
师：可老师还想知道，为什么大家都是用2只兔子来换一只猴子，而不是用3只、4只兔子去换一只猴子呢？
生：如果用3只兔子的话，跷跷板就不平衡了。（课件演示3只兔子换一只猴子使翘翘板使去平衡，）
师：说明了我们在代换的时候应该注意什么问题呢？
生：只有等量才能代换。
师：也就是说我们在代换时，一定要用相等的量代换另一种量（板书），这样才能叫做等量代换，对不对？
四、运用等量代换的方法解决问题
看来，同学们的确很棒，不但找到了跷跷板中存在的等量代换知识，还说的非常明白。其实等量代换的方法不仅在跷跷板中存在着，在天平中也经常见到：
1、天平中的等量代换：
（出示西瓜和苹果的幻灯）观察上面两幅图，你知道了那些数学信息？
生：我们知道了一个西瓜的重量是4千克，4个苹果的重量是1千克。
师：你是怎样知道的。
（天平保持平衡，左右两边的物体同样重。）
根据上面的分析，你能说一下一个西瓜的重量等于几个苹果的重量吗？同桌可以小声的讨论一下。
学生分析回答：因为4个苹果等于1千克，我可以用四个苹果去代换一千克，用16个苹果就能代换4千克，所以一个西瓜的重量等于16个苹果的重量（对学生不同的方法给予肯定。）
师：思路非常的清晰，并且用上了等量代换的策略，很好，老师想问，在你的代换当中，谁是桥梁，把西瓜和苹果联系起来了？（生：砝码）师：那32个苹果应该和几个西瓜一样重呢？
生：2个，培养学生逆向思维的能力。
师：你是怎样算出来的？学生说出道理。（评价：很巧妙的利用前一个题的结论。）
师：有没有同学有别的办法呢？（拓展学生的发散思维。）
师：那如果把这个题目变一变，一个西瓜和6个梨子同样重，一个梨子和3个橘子同样重，一个西瓜和几个橘子同样重呢？（学生思考回答，因为1个梨子等于3个橘子，6个梨子等于18个橘子，所以1个西瓜的重量等于18个橘子。）（注重学生解题思路，说出代换过程，桥梁是谁？）
2、数学中的应用：
看来，天平中的等量代换知识虽然很多，但也被我们同学轻而易举的攻破了，其实呢，等量代换这种方法在我们数学中的应用中十分广泛，看，这种题目你会做了吗？
1，（）
（把第一个算式中的用代换，就变成了
，）
2）、，
求（）
（）。
师：我们再来挑战一下自我，看哪个小组的同学爱动脑筋！（出示三架天平）问，这个托盘里可以放哪几种水果？放几个？（生说代换过程）师：那老师变一变，你再仔细观察，你知道一个哈密瓜有多重，一个苹果有多种，一个梨有多重吗？
学生回答，可以小组讨论。
师：同学们看这个题目中几个量，也就是说，不管他有多少个量，只要我们找准他们之间的桥梁，正确、灵活的运用等量代换的策略，一定能够解决。
五、谈收获
师：这节愉快的课马上就要结束了，同学们谈谈你的收获吧！
生：……
师：同学们谈得真好！学了就要用，老师希望同学们在生活中遇到类似的问题，都能像曹冲一样灵活的运用等量代换！下课!
课例分析及反思：
1、创设各种活动，激发学习兴趣，培养学生的主动学习意识：
数学是活动的数学，课堂教学目标的达成必须依托丰富多彩的数学活动。因此，在本堂课的学习过程中，我让学生经历了“观察跷跷板游戏”、“学具操作创造等量关系”、“观察、分析、推理、交流、”“运用知识解决问题”等一系列活动来感知、体验等量关系，正是因为这些丰富多彩的活动，将学生的注意力和思维都投入到课堂之中。激发了学生的学习兴趣和创造能力，真正成为了
学习的主人。
2、根据需要，创造性的使用教材：
新课程理念倡导教师要对教材进行教学法的加工处理，将静态的知识转化为学生主动参与的数学活动，引导学生在“做数学”的过程中经历知识形成过程。因此，本节课我在教材的使用上做到了以下两点：
（1）我放弃课本例题用天平直观演示帮助学生理解等量代换的材料，选择儿童有一定生活经验的动物玩跷跷板游戏材料导入课题，设计丰富多彩的活动让学生动手操作、观察想象、推理交流，不仅激发学生的学习兴趣，而且促进学生学习方式的变化，增强了学生的自主学习意识。
(2)我改变课本练习内容的单一性，设计了“变、变、变”，让学生在变中发现不变，在不变中感悟等量代换的方法。这一做法：体现了“充分发挥学习材料的价值，把练习题用够、用活”的教学理念。
3、注重培养小组合作探究能力：
互助合作型学习是新课程提出的三大学习方法之一。在本节课中我充分利用小组合作来突破重难点。如：体验等量代换的方法是本节课的一个重点，也是一个难点。在这儿我让学生动手操作、独立思考、合作学习，根据已有的信息创造新的等量关系。在活动中有明确的要求，合理的分工。使学生在小组交流时人人有话可说，全班反馈时组长说起来也是那么有根有据，有条有理，使合作学习真正起到实效。
二、不足之处：
1、在体现“自主、互助、学习型的课堂教学模式上”做的还不够好。没有达到那种让学生在课堂上能够自主、快乐、充分的探究，达到生生之间多向、立体
式的信息传递的教学境界。这也是我在今后的教学中应该努力的方向。
2、课堂上，由于老怕时间不够用，我没有给予学生充分的思考和交流时间。因此，就出现部分学生可能掌握不了的情况。在今后的教学中应该面向全体学生，给学生充分的时间进行思考、交流。
3、多媒体课件也有点图案太多、颜色太杂，而分散学生的注意力。我感觉不是很好。
4、课堂语言还需要进一步精炼，调控课堂的能力还需要提高。评价学生方面还有不到位的地方。
当然，这只是我自己的一些反思，课中肯定还有很多不足，希望各位评委老师给我进行指导。谢谢！
等量代换法习题
等量代换法习题 练习一： 1、如果1个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃的重量。问一个梨的重量等于几个桃的重量？ 2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，同时又等2根香蕉的重量。问一根香蕉的重量等于几个苹果的重量？ 3、如果1个足球相当于2个排球的重量，一个排球相当于20个乒乓球的重量，假设一个乒乓球重8克，那么一个足球重多少克？ 4、1只猴子等于2只兔子的重量，1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重200克。1只猴子重多少克？ 练习二： 1、1只兔子的重量＋1只猴子的重量＝8只鸡的重量 3只兔子的重量＝9只鸡的重量 1只猴子的重量＝（）只鸡的重量 2、1只松鼠的重量＋1只兔子的重量＝5只鸭的重量
2只松鼠的重量＝6只鸭的重量 1只兔子的重量＝（）只鸭的重量 3、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？ 4、20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 5、2头小猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？ 练习三： 1、1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＝630克 1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝730克 1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个梨的重量＝330克 1个苹果的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝800克 求这四种水果各多少克？ 2、1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克 1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克 1只鸡的重量＋1只鸭的重量＝13千克 求这三种动物各多少千克？ 3、1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量＝90千克 1筐香蕉的重量＋1筐橘子的重量＝140千克 1筐苹果的重量＋1筐香蕉的重量＝150千克 求这三种水果各多少千克/ 4、红气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝35只 白气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝43只 红气球的个数＋白气球的个数＋绿气球的个数＝33只 红气球的个数＋蓝气球的个数＋白气球的个数＝48只 求这四种气球各有多少只？ 1、3包巧克力的价钱等于两袋糖的价钱，12袋牛肉干的价钱等于3包巧克力的价钱，一袋糖的价钱等于几 袋牛肉干的价钱？ 2、一只小猪的重量等于8只鸡的重量，4只鸡的重量等于6只鸭的重量。2只鸭的重量等于6条鱼的重量。 问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 3、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根 香蕉的重量？
(完整版)奥数一年级教案第四讲等量代换
本节课主要内容： 1、复习巩固秋季所学的等量代换问题，进一步掌握等量代换的方法，对于一年级孩子来说这 是一个难点，需要进一步加强. 2、通过等量代换的思想来学习图文算式，通过对数字的分析，填出适当的数字，培养学生的 逆向思维和发散思维，提高学生分析问题的能力和推理、判断的能力. 1、教学点为各位老师提供本节课挂图.
【教学思路】课前复习我们秋季所学的等量代换的知识，可以帮助我们学习今天的图文算式.等量代换是 一个难点，老师要引导学生来进行推理. （1）1只小兔的重量等于6只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡. （2）1个香蕉的重量=3个方块的重量，右边要放3个方块天平才能保持平衡. 1.看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡 . 2.下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡 ? 3.下图中0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个兄弟玩跷跷板，8和6先坐在一头，让哪两个兄弟坐在另一头，才能使跷跷板平衡？
（3）右边8+6=14，左边只能放9和5， 9+5=14. 【教学思路】通过这个故事引入新课，在这里不要求学生能马上做出来，可放在最后来解决.如果学生的能力较强，也可把这两个题作为引入新课的切入点进行讲解. （1）因为 ，所以=5，又因为 ，把=5替换，就变 成 ，这样我们就可以得出 =10. （2）我们把上下两个算式进行比较，我们发现下面比上面多了一个，得数多了18-14=4， 所以我们可以推断出=4，，根据第一个算式我们可以得出 ； 那么 =5. 小朋友，在上面的算式里，不但有数字，而且还有图形和图片，这些图形和 图片都表示一个数，这样的算式就是图文算式.解答这类题目，只要我们经过认真的分析、推理、逐步弄 清图形与数之间的关系，就能正确解答了.今天我们就一起来研究这有趣的图文算式吧！ 有一天，小狗老师要在动物学校挑选队员参加数学竞赛，小松鼠很高兴也跑来了.小狗老师说：“那我就来考考你！你把下面的题做对了就可以参加了.” 小松鼠看了半天说：“老师，你写的这是什么？”小狗老师说：“哈哈！看来你要好好学一学图文算式了，欢迎你下次再来.”小朋友们，上面的题你会吗？
(完整版)活用割补法求面积1
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
_用等量代换求面积的方法
用等量代换求面积的方法 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。 分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD 的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。 梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）， EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。 例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO的面积之差。 分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。 解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
小学奥数求面积专题
小学奥数求面积专题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
专题三组合图形的面积计算 1.等量代换法 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。 例2两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。例3 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。 例4在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。 例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 2.割补法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。、 例6求下列各图中阴影部分的面积： 例7如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯 形的面积。 例8下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米， 甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的 面积。 作业： 1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少 2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=） 4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
五年级奥数基础教程-用等量代换求面积小学
用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。 分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB 比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC 的长，从而求出ED的长。 梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）， EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。
五年级奥数第21讲 用等量代换求面积
第21讲用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。 分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD 的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。 梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）， EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。 例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO的面积之差。 分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。 解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。 解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
用割补法求面积
用割补法求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。
数学教案几何面积(割补法与等量代换法
教学内容概要 学生： 初中数学备课组教师：王老师年级：小五 日期上课时间 学生上课情况： 主课题：《组合图形求面积--割补法与等量代换法》 教学目标： 1、通过平行四边形，三角形，梯形面积计算公式，能正确求几何图形的面积。 2、让学生经历常见的几何面积公式的推导过程，通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，渗透转化的思想方法。 3、培养学生使用割补法，等量代换的思想解决实际面积问题的能力。 4、使学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识，体验数学的价值。 教学重点： 1、针对不规则图形能够找到其所包含的规则图形 2、熟练使用三个常见图形的面积的公式。 3、使用割补法求不规则图形以及阴影部分面积。 4、学会等量代换的思想。 教学难点： 1、能够求解复杂的面积。 2、学会和掌握面积求解的主要技巧--割补法与等量代换法 家庭作业 1、回家练习部分（所有题目） 考点及考试要求： 1、理解和掌握求几何面积的主要思路与步骤
教学内容 【知识精要--等量代换法】 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 【经典例题】 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
六年级上奥数第二讲 等量代换求面积
第二讲用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。
例4 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。 例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 巩固练习： 1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14） 4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。 6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。 影部分的面积和。
一年级等量代换1
观察下图，回答问题。 1. 一个苹果=（）个草莓 2．一只小狗与三只小兔子一样重 一只小狗和（） 只小鸡一样重。 一只小兔子与三只小鸡一样重 3.= = =（） 4. = = （） =
1. 一只猫 = （）只瓢虫 2. = = =（） = = （）3. = = = （） = = （） 4. = = = （） 等量代换（3）
1. = （）2. 3. 4.
等量代换（4） 1. 想一想，一颗五角星等于几个圆？ 2. 4. = = = （ ） 5． = = 那么 = （ ） 5. = = ？
= （） 等量代换法 例： 1、已知： 求：一个□等于几个○。 2、已知： ΔΔΔΔΔ○○○ΔΔ□○○○○ 48㎏ 求：□的重量是多少千克？ 3、一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍，问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔？ 4、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和一个苹果的重量 等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
5、如果鱼尾重4㎏，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾 的重量。问这条鱼有多少㎏重？ 自主练习 1、已知： 一个六个两个三个二个 柿子苹果苹果梨梨 60克 求：一个柿子的重量是多少克？ 2、桔子和苹果共有60个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果各有多少个？ 3、小林家养了一些鸡，黄鸡比白鸡少8只，白鸡的只数是黄鸡的2倍，小林家养黄鸡、白 鸡各多少只？ 4、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了8元1角钱。已知3支铅笔的价钱与 2个笔记本的价钱相等。求一支铅笔和一个笔记本各要多少钱？ 5、在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多15棵，又知花生棵数是白薯的6倍，求花 生和白薯各多少棵？
一年级奥数-等量代换思想
第四讲等量代换（1） 观察下图，回答问题。 一个苹果=（）个草莓 2 一只小狗和（） 只小鸡一样重。 一只小兔子与三只小鸡一样重 = （ 4. = = （） =
1. 一只猫 = （）只瓢虫 2. （ （ 3. （ = = （ （
1. = （2. 3. 4.
5、 △ + △ + △ + △ + ○ = 24 6、 ○ + △ = 9 ○ + ○ = △ + △ + △ ○ + ○ + △ + △ + △ = 23 △ = ( ) ○ = ( ) ☆ + ☆ - △ = 2 △=( ) ○=( ) ☆=( ) 等量代换（4） 1. 想一想，一颗五角星等于几个圆 4. （ ） 5． 那么 （ 5. = （
6、用○，★，△代表三个数，有： ○ + ○ + ○ =9，★ + ★ + ★ =18， △ + △ + △ = 27 ，○ + ★ + △ =（） 7、△ + △ = 10 ○ + ○ + ○ = 12 △ + ○－□ = 6 △ = ( ) ○ = ( ) □ = ( ) 8、△ + △ + △ + △= 20 △ + △－○ = 3 ○ + ○－☆－☆ = 10 △=( ) ○=( ) ☆=( ) 等量代换法 例： 1 求：一个□等于几个○。 2、已知： ○○○ΔΔ□○○○○ 48㎏
求：□的重量是多少千克 3、一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍，问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔 4、□+□+△+△=200 5、☆+☆+○+○=80 □+□+△+△+△=240 ☆+☆+○+○+○=100 □=( ) △=( ) ☆=( ) ○=( ) 6、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和一个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量 7、如果鱼尾重4㎏，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少㎏重 自主练习 1、已知： 一个六个两个三个二个 柿子苹果苹果梨 求：一个柿子的重量是多少克 2、桔子和苹果共有60个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果各有多少个
六年级下奥数 巧求面积
教育讲义：巧求面积 一、课题名称:巧求面积（二） 二、学习目标 1、掌握常见图形面积的公式，能够解决一些简单的实际问题。 2、利用等量代换、割补法、重新组合法、添辅助线等方法来求面积。 三、教学过程 知识回顾 【典型例题】 例1.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的面积。例2.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。
例3.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。 例4.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 例5.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。 例6.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 例7.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。 例8.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
归纳总结 组合图形阴影部分面积计算的解题思路 组合图形阴影部分面积计算是小学平面几何知识的综合运用，在小学数学中是一个重点，由于小学生只学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形面积的计算，但没有具体地学习线、面、图形相互关系方面的知识联系，因此，这些几何知识对于小学生来是零碎的；再说，小学生的空间思维发展滞后，于是组合图形阴影部分面积的计算在小学教育教学中成为了难点。 我总结了一点经验，概括了几种求组合图形阴影部分面积的解题思路，从思维上帮助学生清晰了解题思路，引导小学生走上正确地解决组合图形阴影部分面积的解题思路。 方法一：移拼、割补的思路 移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 方法二：重叠、分层的思路 重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。方法三：加法、分割的思路 加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 方法四：减法、拓展的思路 减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 课后作业 1、求阴影部分的周长和面积。(单位:厘米)
一年级等量代换
等量代换（1）观察下图，回答问题。 一个苹果=（）个草莓 2 一只小狗和（） 只小鸡一样重。 （ 4. = = （） = 等量代换（2） 1. 2. （ （ 3. （ = = （
（ 等量代换（3） 1. （ 2. 3. 4. 等量代换（4） 1. 2. 4. （ ） 5．
那么（ 5. = （ 等量代换法 例： ΔΔ 求：□的重量是多少千克？ 3、一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍，问买30支活动铅笔的钱能买几支钢 笔？ 4、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和一个苹果的 重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？ 5、如果鱼尾重4㎏，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加 鱼尾的重量。问这条鱼有多少㎏重？ 自主练习 1、已知： 一个六个两个三个二个 柿子苹果苹果梨梨 60克 求：一个柿子的重量是多少克？ 2、桔子和苹果共有60个，其中桔子数是苹果数的2倍，求桔子和苹果各有多少个？ 3、小林家养了一些鸡，黄鸡比白鸡少8只，白鸡的只数是黄鸡的2倍，小林家养黄鸡、 白鸡各多少只？
4、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了8元1角钱。已知3支铅笔的价 钱与2个笔记本的价钱相等。求一支铅笔和一个笔记本各要多少钱？ 5、在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多15棵，又知花生棵数是白薯的6倍， 求花生和白薯各多少棵？ 6、假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛 可换多少只兔子？ 7、商店运来两桶油，大桶有油60㎏，小桶有油45㎏，两桶油卖出同样多后，大桶剩 下的油刚好是小桶剩的油的4倍，问两桶各剩油多少㎏？
(完整word版)小学奥数求面积专题
专题三组合图形的面积计算 1.等量代换法 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。 例2两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 例3 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。 例4在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。 例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 2.割补法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。、
例6求下列各图中阴影部分的面积： 例7如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面 积。 例8下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40 厘米2。求乙正方形的面积。 作业： 1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？ 2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面积。（π=3.14） 4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。 5.左下图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。 6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
六年级奥数巧求面积(一)
专题三 巧求面积（一） 指点迷津 解几何图形的面积，要仔细看图，正确地运用各种简单图形的面积计算公式，同时还要把涉及到的其他知识加以综合运用。 常用方法有：等量代换、添加辅助线、图形割补等。 范例点拨 例1 如右图，正方形ABCD 的边长是4cm ，CG 是3cm ，长方形DEFG 的长DG 是5cm ，那么它的宽DE 是多少厘米？ 思路提示：可通过添加辅助线即连AG 可达到解题的目的。 尝试解答： 例2 如右图△ABC 的各条边都延长1倍至A '、B '、C '，连接 这些点得到△C B A '''。若△ABC 的面积为1，求△C B A '''的面积。 思路提示：连接A B '、C A '、B C '，通过制造等底等高的三角形达到解 题的目的。 尝试解答： 例3 如图所示，ABCD 是直角梯形，AB=4cm ，AD=5cm ， DE=3cm,那么阴影部分（△BOC ）的面积是多少？ 思路提示：可通过S △ABC 与S △ABD 面积相等来解答。 尝试解答： 例4 用同样大小的长方形瓷砖摆成了右下图所示的图形， 已知瓷砖的宽是12cm ，求阴影部分的总面积。 思路提示：观察右图，可发现2块瓷砖的长与3块瓷砖的宽相等， 以此为解题的突破口，可达到解题的目的。 尝试解答：
触类旁通 1.如下图：周长为68cm的大矩形被分成7个相同的小矩形，大矩形的面积是多少？ 2.下图的长方形是由6个小正方形组成，如果中间阴影部分是最小的正方形，面积为1cm2,那么长方形的面积为多少平方厘米？ 3.将△ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果△ABC的面积是1 cm2，那么△DEF的面积是多少平方厘米？ 4.求下列各图中的阴影部分的面积。（单位：cm） （1）（2） （3）（4）AB=2cm，CE=6cm，CD=5cm，AF=4cm
三年级面积计算、等量代换、重叠问题知识点
三年级面积计算 专题简析： 我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。 例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？ 思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。 4米 3米 正方形的面积：3×3=9米。 练习一 1，把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？ 2，把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？ 3，将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？ 例题2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？ 思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。
练习二 1，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？ 2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。 3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。 例题3 求下面图形的面积。（单位：厘米） 1 4 3 2 思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图： 1 4 3 2 从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。 所以，这个图形的面积为：8＋3=11平方厘米。 想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？ 练习三 计算下面图形的面积。（单位：厘米）
用割补法求面积
例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。
用等量代换求面积
预备知识____面积计算 一、常用的基本图形面积公式： 二、介绍几种常用来计算不规则图形面积的方法： 1、分割法：过能对图形的分割，变成几个我们熟知的图形； 2、割补法：过能对图形的割补（面积不变），使它变成我们熟知的图形； 3、通过旋转、平移，把它变成我们能计算的图形。
用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在 一起，求阴影部分的面积。 分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的 上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等， 解：所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底CD为10-3=7（厘米），下底EF=10（厘米），高EO=2（厘米） 面积S=（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯 形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变， 解：平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2， 所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。