(炎德英才大联考)湖南省长沙市一中高三月考(五)文数试题解析(解析版) Word版含解斩

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合2

{x |x 2x 0}A =-≤，{x |x a}B =≤，若A B ?，则实数的取值范围是（ ）

A.2a ≥

B.2a >

C. 0a <

D.0a ≤ 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得集合2

{x |x 2x 0}A =-≤{|02}x x =≤≤，要使得A B ?，则2a ≥，故选A.1

考点：集合的运算.

2.因为是虚数单位，复数20171+i

i z =，则的共轭复数是（ ）

A.

122i + B.122i - C.122i

-+ D.122

i --

【答案】B 【解析】

考点：复数的运算及共轭复数.

3.某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ） A.

23 B.14 C.34 D.38

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，甲、乙、丙三名学生在同一社团共有种情形，所以甲、乙、丙三名学生不在同一个社团的概率为323

124

P =-=，故选C. 考点：等可能事件的概率.

4.已知tan 2α=，(0,)απ∈，则5cos(

+2)2

π

α=（ ） A.35 B.45 C.35- D.45

-

【答案】D 【解析】

考点：三角函数的化简求值.

5.在ABC ?中，3AB BC ==，30BAC ∠=，CD 是AB 边上的高，则CD CB =（ ） A.9

4

- B.

9

4 C. 274

D.274

-

【答案】B 【解析】

试题分析：如图所示，在ABC ?中，3AB BC ==，30BAC ∠=，CD 是AB 边上的高，

则120ABC ∠=，所以33sin 60CD BC ==

，且0

30BCD ∠=，所以

cos 3cos30CD CB CD CB BCD =∠=

94

=

.

考点：向量的数量积的运算.

6.运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上y x =，则判断框中可填写的条件是（ ）

A.i 8>

B.7i >

C.6i >

D.5i > 【答案】D 【解析】

考点：程序框图.

7.定义在R 上的函数(x)f 满足(x)f(x)f -=-，(x 2)(x 2)f f -=+，且(1,0)x ∈-时，

1

(x)25

x f =+，则2(log 20)f =（ ）

A.1-

B.4

5

- C.1 D.

45

【答案】A 【解析】

试题分析：由定义在R 上的函数(x)f 满足(x)f(x)f -=-，(x 2)(x 2)f f -=+，所以函数

(x)f 为奇函数，且是以为周期的周期函数，又(1,0)x ∈-时，1

(x )25

x

f =+

，则22(log 20)(2log 5)f f =+ 2(2log 54)

f =+-22255

(log 52)(log )(log )

44

f f f =-==--2

5

log 4

141

(2

)()1555

-=-+=-+=-，故选A. 1 考点：函数性质的应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用，其中解答中涉及函数的奇偶性的应用、函数的周期性的应用，对数式和指数式的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题设条件得到函数(x)f 为奇函数，且是以为周期的周期函数，再根据指数式与对数式的运算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.

1312π+ B.134π+ C.112

π

+ D.14

π

+

【答案】C 【解析】

考点：几何体的三视图及体积的计算.

9.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（1注释］三升九：3.9升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）

A.1.9升

B.2.1升

C.2.2升

D.2.3升 【答案】B 【解析】

试题分析：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第

一节盛米1a 升，由题意得31951

1323 3.92

9854(9)(5)322S a d S S a d a d ??

=+=??????-=+-+=??，解得

1 1.4,0.1

a d ==-，

所

以

中

间

两

节

盛

米

的

容

积

为

：

45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=（升），故选B. 1

考点：等差数列的实际应用. 10.将函数(x)2cos(x )cos(x )44

g π

π

=-

+的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原

来的2倍，得到函数(x)h 的图象，设函数2

1(x)(x)4

f x h =+，则(x)f 的导函数'()f x 的图象大致为（ ）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

考点：三角函数的图象变换；函数的性质.

11.已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作圆222

x y a

+=的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，若2|BC ||CF |=，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.3y x =±

B.y =±

C.1)y x =±

D.1)y x =± 【答案】C 【解析】

考点：双曲线的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，列出比例关系式，得到点B 的坐标是解答的关键，试题运算较大，属于中档试题.

12.定义域为R 的函数lg |x 2|,x 2(x)1,2f x -≠?=?=?

，若关于的方程2

(x)bf(x)c 0f ++=恰有5

个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345(x x x x )f x ++++的值等于（ ）

A.4lg 2

B.3lg 2

C.2lg 2

D.lg 2 【答案】B 【解析】

试题分析：当2x =时，()1f x =，则由2

(x)bf(x)c 0f ++=，所以12,1x c b ==--，当2

x >时，()log(2)f x x =-，由2

(x)bf(x)c 0f ++=得[lg(2)]blg(2)c 0x x -+-+=，解得

2lg(2)112x x -=?=或3lg(2)210b x b x -=?=+，当2x <时，()log(2)f x x =-，

由

2(x)bf(x)c 0f ++=得[log(2)]blog(2)c 0x x -+-+=，解得4log(2)18x x -=?=-或 3log(2)210b x b x -=?=-，所以12345(x x x x )(10)lg 1023lg2f x f ++++==-=，

故选B.

考点：函数的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于的方程2

(x)bf(x)c 0f ++=的个不同的实数解，即可求解

12345(x x x x )f x ++++的值.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.过点(1,2)M 的直线与圆C ：2

2

(x 3)(y 4)25-+-=交于A 、B 两点，当ACB ∠最小时，直线的方程是 . 【答案】30x y +-= 【解析】

考点：直线与圆的位置关系.

14.高三（1）班某一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步. ①A 不在散步，也不在打篮球； ②B 不在跳舞，也不在跑步；

③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件； ④D 不在打篮球，也不在跑步； ⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.

以上命题都是真命题，那么D 在 . 【答案】画画 【解析】

试题分析：由题意得，画出此表，如下表所示

可得D 在画画. 1 考点：逻辑的应用.

15.在ABC ?中，D 为BC 边上一点，若ABD ?是等边三角形，且AC =ADC ?的面积的最大值为 .

【答案】

【解析】

考点：解三角形问题.

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中利用余弦定理得出关系式，灵活运用基本不等式的基本性质解答的关键.

16.学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪.已知1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；1kg 食物B 含有0.105kg

碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物A和食物B，则最低花费是

元.

【答案】16

【解析】

考点：简单的线性规划问题.

【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，在解答简单的线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知数列{a}

n 的前项和

31

2

n

n

S

-

=，令

91

log

n n

b a

+

=.

(1)求数列{b }n 的通项公式；

（2）若数列{b }n 的前项和为n T ，数列1

{}n

T 的前项和为n H ，求2017H . 【答案】（1）2n n b =；（2）40341009

． 【解析】

试题分析：（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，13n n a -=，得到通项公式为13n n a -=，进

而求得数列数列{b }n 的通项公式；（2）由2n n b =

，得(n 1)

4

n n T +=，则1411

4()(n 1)1

n T n n n ==-++，即可利用裂项求和.

考点：数列的通项公式；数列求和.

18.（本小题满分12分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：

女性消费情况： 男性消费情况：

（1）现从抽取的100名且消费金额在1800,1000](单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；

（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面22?列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关?”

附：（2

2

(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)

n k -=++++，其中n a b c d =+++）

【答案】（1

）

3

5

；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”． 【解析】

试题解析：按分层抽样女性应抽取80名，男性应抽取20名.

80(5101547)3x ∴=-+++=，20(23102)3y ==+++=

抽取的100名且消费金额在1800, 1000]（单位：元）的网购者中有三位女性设为A ，B ，C ； 两位男性设为，.

从5名任意选2名，总的基本事件有(A,B)，(A,)C ，(A,a)，(A,b)(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，

(C,a)，(C,b)，(a,b)，共10个.

设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件A ”.

则事件包含的基本事件有(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)共6个.

63

(A)105

P ∴=

=.1

所以再犯错误的概率不超过0.010的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别无关”. 考点：古典概型及其概率的计算；独立性检验.

19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2

ABC BAD π

∠=∠=

，

24AB BC AD ===，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，AE x =，沿将梯形

翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，G 是BC 的中点.

（1）当2x =时，求证：BD EG ⊥；

（2）当变化时，求三棱锥D BCF -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）8

3

． 【解析】

试题解析：（1）证：作DH EF ⊥于H ，连BH 、GH .

平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，DH ?平面AEFD ，

DH ∴⊥平面EBCF ，又EG ?平面EBCF ，故EG DH ⊥.

当2x =时，得2EB =.

1

22

EH AD BC BG ==

==，//EH BC ，90BDC ?∠=. ∴四边形BGHF 为正方形，故EG BH ⊥.

又BH 、DH ?平面DBH ，且BH

DH H =，故GE ⊥平面DBH .

又BD ?平面EBCF ，故EG DB ⊥.1

(2)

AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，AE ?平面AEFD .

AE ∴⊥面EBCF .又由（1）知DH ⊥平面EBCF ，故//AE DH .

四边形AEDH 是矩形，DH AE =，故三棱锥D BCF -的高DH AE x ==. 又11

422

BCF S BC BE ?=

=??（4-x ）=8-2x . 三棱锥D BCF -的体积

22112828

(82)x (x 2)(0x 4)333333

D BCF BFC V S DH x x x -?==-=-+=--+<<

当2x =时，体积的最大值为8

3

.

考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的计算.

20.（本小题满分12分）如图，椭圆22

221(a b 0)x y a b

+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交

椭圆于A ，B 两点，|AF|的最大值是M ，|BF |的最小值是m ，且满足2

34

M

m a =

.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设线段AB 的中点为G ，线段AB 的垂直平分线与轴、y 轴分别交于D ，E 两点，O 是坐标原点，记GFD ?的面积为1S ，OED ?的面积为2S ，求

12

22

12

2S S S S +的取值范围. 【答案】（1）12；（2）9

(0,

)41

． 【解析】

试题解析：(1)令(c,0)(c 0)F ->，则M a c =+，m a c =-.

由234M m a =

，得23(a c )(a c )4a +-=，即22

234a c a -=，即224a c =，214e ∴=，即12

e =， 所以椭圆的离心率为1

2

.

（2）由线段AB 的垂直平分线分别与轴、y 轴交与点D 、E ，知AB 的斜率存在且不为0. 令AB 的方程为x ty c =-.

联立22

22143x ty c x y c c

=-???+=??，得222

(3t 4)y 690cty c +--=

.

又

12221220S S S S >+，12221229(0,)41S S S S ∴∈+，1222

122S S S S ∴+的取值范围是9

(0,)41

. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及逻辑思维能力和运算能力，此类问题解答的关键在于把直线方程与椭圆方程联立，转化为利用根与系数的关系和韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.

21.（本小题满分12分） 已知函数(x)ln(x a)x f =+-有且只有一个零点，其中0a >. （1）求的值；

（2）设函数(x)f(x)x h =+，证明：对1x ?，212(1,)(x x )x ∈-+∞≠

，不等式

12

12()h(x )

x x h x ->-.

【答案】（1）1a =；（2）证明见解析． 【解析】

试题分析：（1）求解函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，找到极值点代入，即可求解实数的值；（2）由(x)f(x)x h =+，得()ln(x 1)h x =+，不妨令121x x >>-，引进新函数121

(t 1)1

x t x +=

>+

ln (t 1)t >>，得到函数在(1,)+∞上单调递增，进而可

证的结论

. 1

(2)由(x)f(x)x h =+，得()ln(x 1)h x =+，不妨令121x x >>-.

欲证

12

12h(x )(x )

x x h ->-，

只需证

12

12ln(x +1)ln(x 1)

x x ->-+

只需证

1212(1)(1)

ln(x +1)ln(x 1)

x x +-+>-+

121

ln 1

x x +>+

1

21

ln 1

x x +>+ 设121(t 1)1x t x +=

>+

ln (t 1)t >>

ln t >.

设(t)ln t ?=

，则'(t)0?=>，

()t ?∴在(1,)+∞上单调递增， (t)(1)0??∴>=

lnt >，得证. 考点：导数在函数中的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数性质的综合应用和不等式关系的证明，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答中合理运用导数是解答的关键.

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线C 的方程为6

4(cos sin )ρθθρ

=+-，以极点O 为原点，极轴为轴的正

半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的参数方程；

（2）在直角坐标系中，点(x,y)M 是曲线C 上一动点，求x y +的最大值，并求此时点M 的直角坐标.

【答案】（1

）22x y θ

θ

?=??=+??（为参数）；（2）(3,3)M ．

【解析】

试题解析：（1）由6

4(cos sin )ρθθρ

=+-

，得2

4cos 4cos 6ρρθρθ=+-，

即224460x y x y +--+=，即22

(x 2)(y 2)2-+-=.

即曲线C 是以点为圆心(2，2)

为半径的圆，令(x,y)为圆上任意一点，

则圆的参数方程为22x y θ

θ

?=+??=+??（为参数）

.

考点：直角坐标与极坐标的互化；圆的参数方程的应用. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选将 设函数1

(x)|x ||x a |(a 0)f a

=+

+->. (1)求证：(x)2f ≥；

(2)若(2)4f <，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2

）(1,2+． 【解析】

试题分析：（1）由0a >，利用绝对值不是，即可证明；（2）由(2)4f <，得1

|2||2a |4a

++-<

，

分类讨论，即可求解实数的取值范围. 试题解析：(1)由0a >，得1111

|x ||x a ||(x )(x a)||a |2a a a a a

++-≥+--=+=+≥， 即(x)2f ≥.

（2）由(2)4f <，得1

|2||2a |4a

++-<. ①当02a <<时，11

|2||2a |422412a a a a +

+-

时，11

|2||2a |422422a a a a

++-

综上得12a <<

(1,2+. 考点：绝对值不等式的应用.