第2章：流体的p-V-T关系和状态方程

第2章流体的p-V-T关系和状态方程

重点难点：纯物质的p-V-T关系及应用，状态方程及状态方程的选用。

1) 纯物质的p-V-T关系及应用

工程上所用的水蒸气多是由锅炉、蒸汽发生器等在压力近似不变的情况下产生的，可视为定压加热过程。水在定压下加热变为水蒸气的过程可以概括为：三个阶段，五种状态。

①水的定压预热阶段：水在定压下从未饱和状态加热到饱和状态，即为预热阶段，相当于锅炉中省煤器内水的定压预热过程。

②饱和水定压汽化阶段：对达到饱和温度的水继续加热，饱和水开始汽化产生蒸汽而形成饱和液体与饱和蒸汽的混合物，即湿饱和蒸汽(简称湿蒸汽)，湿蒸汽中含饱和蒸汽的质量分数称为干度x。这时饱和压力不变，饱和温度也不变。随着加热过程的继续进行，水逐渐减少，汽逐渐增多，直至最后一滴水变为蒸汽，这时的蒸汽称为干饱和蒸汽或饱和蒸汽(即不含饱和水的饱和蒸汽)。把饱和水定压加热为干饱和蒸汽的过程称为汽化阶段，相当于锅炉汽锅内的吸热过程。

③干饱和蒸汽定压过热阶段：继续定压加热，蒸汽温度升高，比容增大，这相当于蒸汽在锅炉的过热器中定压加热过程。由于这时蒸汽的温度已超过相应压力下的饱和温度，故称为过热蒸汽。过热蒸汽温度与饱和温度之差，称为过热度。

上述三个过程包含了未饱和水到过热蒸汽的定压加热全过程。过程中水及水蒸气经历了五种状态，即未饱和水(过冷水)1、饱和水2、湿饱和蒸汽3、干饱和蒸汽4和过热蒸汽5。可得水在定压下受热过程的T-V图。

p-T相图，给出了气、液、固三者之间的平衡关系，

能表达p、T变化所引起的相态变化。图中三条曲线分

别表示两相共存的p和T条件，也是单相区的边界条件。

三条线相交于三相点2，表示三相共存并处于平衡状态。

按相律，三相点处自由度等于零，三条曲线上自由度为

1，每一单相区自由度为2。

汽化曲线终止于临界点C，临界点C是纯物质汽、

液两相可以共存的最高温度或最高压力点，是流体p-V-T

曲面上一个重要的点，该点的温度、压力和摩尔体积分

别称为临界温度T c、临界压力p c和临界体积V c。在临界

点，两相难于分辨，气相和液相间没有清晰的界限。p-T相图中气相区分为两部分：蒸汽区（可以冷凝）和气体区（不可能冷凝）。

在纯物质的p-V图中，两相区水平等温线段的长度随着温度的增高而缩短，到T c时缩

为一点。临界等温线在临界点C处出现水平拐点，在拐

点处p对V的一次微分(斜率)及二次微分(曲率)皆为零。

在T＞T c和p＞p c的区域内，气体和液体变得不可

区分称之为超临界流体。在临界点附近，流体的许多性

质有突变的趋势，如密度、溶解其他物质的能力等，现

已有许多利用流体临界区特性开发的工业过程，如超临

界分离技术、超临界化学反应等。超临界抽提就是根据

密流区的特点提出来的。

气体的液化是流体p-V-T关系的最大应用。气体“液

化”的先决条件是物质的温度必须降低到临界温度以下，

即T

2）状态方程及状态方程的选用

真实气体状态方程中实际应用以半经验半理论和纯经验的EOS 为主。

(1) 立方型状态方程

以RK 方程为例：)

(/5

.0b V V T a b V RT p +--= 式中a 、b 为RK 方程的参数，是两个因物质而异的参数。当有pVT 实验数据时，最好直接从实验数据用最小二乘法拟合求得。但在缺乏实验数据时，可根据临界点的参数值来确定，关系如下： c

5.2c 242748.0p T R a = c c 08664.0p RT b = 立方型状态方程常表示成压力显函数的形式，已知温度、比容求压力时，可代入数据直接求解。若求比容，立方型状态方程虽可以用解析法求解，但工程计算中大都采用较为简便的迭代法，如牛顿迭代法、直接迭代法。

直接迭代法：考虑到迭代的收敛问题，需变换方程的形式。以下是两种迭代式：

b b V V T p RT V n n n +++=+)

(5.01 )()(5.01b V pV T b V a b p RT V n n n n +--+=

+ 取p RT V /0=作为初值，进行迭代计算。计算中要注意R 的数值和单位。 比较连续两次的迭代数值，若n

n n V V V -+1< ε(10-3)，则V n +1即为所求。 (2) 各状态方程的特点

vdW 方程形式简单，但准确度有限，用于临界区及其附近有较大的误差，常用来定性地描述流体的pVT 关系。vdW 方程指出了液体与气体之间有连续性。其等温线呈S 型。当存在三个实根时，最小根是饱和液体摩尔体积，最大根是饱和蒸汽摩尔体积，中间的根无物理意义。

vdW 方程在状态方程的发展史上具有里程碑的意义。推导vdW 方程的思路值得借鉴，后来的许多立方型方程都是在vdW 方程的基础上进行改进而发展起来的。

RK 方程是现有两参数状态方程中准确度较高的一个，有足够的精度，在工程计算中广泛使用。RK 方程能较成功地用于气相p-V-T 关系的计算，但应用于液相效果较差，也不能预测纯流体的蒸汽压（即汽液平衡），因此，不能同时用于汽、液两相。

SRK 方程应用于非极性物质及其混合物的汽液平衡计算，一般均能获得满意的结果。与RK 方程相比，SRK 方程可计算极性物质，更主要的是可计算饱和液体密度，使之能用于混合物的汽液平衡计算，故在工业上获得了广泛应用。但该方程计算液体摩尔体积时的误差较大。

PR 方程预测液体摩尔体积的准确度较SRK 方程有明显改善，而且也可用于极性物质。能同时适用于汽、液两相；在工业中得到广泛应用，是工程相平衡计算中最常用的方程之一。

对汽液平衡的计算，PR方程和SRK方程不相上下，都是石油和化学工业中经常采用的状态方程。

virial方程具有严格的理论基础，具有无穷级数的形式，工程计算中常采用舍项的virial 方程。对于低压和中压的气体，一般二项或三项即可得到合理的近似。

virial方程的缺点：①只能用于计算气相的性质，不能同时用于汽、液两相；②virial 方程截断式不适合高压。

virial方程的理论意义大于实际应用价值，在于virial系数把宏观热力学和统计力学、分子结构等联系起来。

对气体混合物，首先根据混合规则计算混合物的虚拟参数，再利用纯物质的EOS计算。除virial方程外，目前主要依靠经验或半经验的混合规则。各EOS一般有特定的混合规则，使用时要注意其配套关系，不能随便使用。

(3) 状态方程的应用

使用EOS时，需要根据体系的特点和对精度的要求来选择合适的状态方程，在选择状态方程时一定要注意每一个方程的特点和适用范围。

SRK方程和PR方程目前已广泛应用于化学工程的汽液平衡计算和分离过程，并被国际化工设计著名的软件ASPEN和PRO-Ⅱ所选用。因此，对大多数流体SRK方程、PR方程是首选，无论温度、压力、极性如何，基本能满足计算简单、精度较高的要求。

常见问题：①p-V-T三者之间的关系掌握的不是很牢固，容易出错；②状态方程应用中常遇到的问题是如何根据体系特点和条件选择合适的状态方程，状态方程使用中易出现计算错误，主要是由于量纲的因素引起的。为避免此类错误的产生，建议各物理量均换算为SI制单位，再代入方程式中进行计算。③注意状态方程中的V是摩尔体积，SI制单位m3/mol。通用气体常数R的单位必须和p、V、T的单位一致。

伯努利方程原理以及在实际生活中的运用

xx方程原理以及在实际生活中的运用 67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。 xx方程 p+ρρv 2=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g 为重力加速度；c为常量。它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。 相关应用 （1）等高流管中的流速与压强的关系 根据xx方程在水平流管中有 ρv 2=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。下面就是一些实例 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。三、伯努利方程的应用： 1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。 2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。

3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。 4.球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周围得空气跟着它一起旋转，至使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。

一般状态方程多流体界面数值方法研究(Mie-Grüneisen状态方程)

中国科学技术大学 硕士学位论文 一般状态方程多流体界面数值方法研究 姓名：郑建国 申请学位级别：硕士 专业：流体力学 指导教师：孙德军;尹协远 20050501

中文摘要 摘要① 本文发展了一类一般状态方程可压缩多流体界面的数值模拟方法，并具体应用到三种不同的非理想气体状态方程，包括ｓｔｉ＆ｎｆ刚性）气体状态方程，ｖａｒｌｄｅｒＷａａｌｓ状态方程以及工程上广泛适用的更一般的Ｍｉｅ—Ｇｒｉｉｎｅｉｓｅｎ状态方程。此方法主要的特点是：ｆ１）．采用体积分数多流体数学模型，这是在假设多流体交界面两侧压力和速度平衡的基础上根据二相流理论建立的，并引入计算混合流体压力的“状态方程”使系统封闭。（２）．将高精度、高分辨率的ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）数值方法推广到多流体问题中，用膨胀激波代替稀琉波，采用双波近似的方法求解多流体Ｒｉｅｍａｎｎ问题。（３）．使用Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ－Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ两步法求解模型方程组。 与以往的多流体方法相比，本文的方法具有一些优点。首先，体积分数多流体数学模型所采用的交界面两侧压力和速度平衡的假设与真实的物理情况比较接近，它消除了交界面上压力的振荡；特别是其模型简单，并且不因为具体的状态方程而改变，便于应用到复杂状态方程的多流体流动问题。其次，文中推广的多流体ＰＰＭ方法处理交界面问题的效果非常好，它继承了原始ＰＰＭ的高分辨率和能有效抑制间断上压力振荡的优点。最后，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ—Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ方法具有Ｌａｇｒａｎｇｅ类方法的特点，它可以有效地处理多流体界面， 为了验证方法是否合理有效，进行了大量的数值实验。一维和二维算例表明本文的方法可以有效地处理一般状态方程的接触间断、激波、激波和接触间断的相互作用以及多维滑移线等物理问题。从数值结果中可以很明显地看出交界面附近压力无振荡，并能够比其它一般多流体数值方法更糟细地模拟多流体交界面。本文还研究了柱坐标下内聚激波诱导的Ｐｄｃｈｔｍｙｅｒ—ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ（ＲＭｔ）ｅ从模拟的结果来看，演化过程中出现的钉状（ｓｐｉｋｅ）和泡状（ｂｕｂｂｌｅ）结构以及后期的蘑菇状交界面都很清晰。可以看到二次加速对于ＲＭＩ有很大的影响，无论激波是从重流体进入轻流体还是从轻流体进入重流体界面都会发生反向，这和平面激波情况很不相同。文中同时分析了扰动波长、初始振幅和激波强度对于ＲＭＩ的影响。 综上所述，本文的方法能有效地模拟可压缩多流体界面问题，特别是可以方便地处理较一般的状态方程，对于解决许多工程问题有重要价值。 —万西西五ｉ百疆霸蠢甄西甭季囊丕虿霸再｝中国工程物理研究院联合基金资助硬日（ｉ∞７跚印

流体力学-伯努利方程实验报告

中国石油大学（华东）工程流体力学实验报告 实验日期：2014.12.11成绩： 班级：石工12-09学号：12021409姓名：陈相君教师：李成华 同组者：魏晓彤，刘海飞 实验二、能量方程（伯诺利方程）实验 一、实验目的 1．验证实际流体稳定流的能量方程； 2．通过对诸多动水水力现象的实验分析，理解能量转换特性； 3．掌握流速、流量、压强等水力要素的实验量测技能。 二、实验装置 本实验的装置如图2-1所示。 图2-1 自循环伯诺利方程实验装置 1.自循环供水器； 2.实验台； 3.可控硅无极调速器；4溢流板；5.稳水孔板； 6.恒压水箱； 7.测压机；8滑动测量尺；9.测压管；10.试验管道； 11.测压点；12皮托管；13.试验流量调节阀 说明 本仪器测压管有两种： （1）皮托管测压管（表2-1中标﹡的测压管），用以测读皮托管探头对准点的总水头； （2）普通测压管（表2-1未标﹡者），用以定量量测测压管水头。 实验流量用阀13调节，流量由调节阀13测量。

三、实验原理 在实验管路中沿管内水流方向取n 个过水断面。可以列出进口断面（1）至另一断面（i ）的能量方程式（i =2,3,…,n ） i w i i i i h g v p z g p z -++ + =+ + 1222 2 111 1αγυαγ 取12n 1a a a ==???==，选好基准面，从已设置的各断面的测压管中读出 z+p/r 值，测 出透过管路的流量，即可计算出断面平均流速，从而即可得到各断面测压管水头和总水头。 四、实验要求 1．记录有关常数实验装置编号 No._4____ 均匀段1d = 1.40-210m ?；缩管段2d =1.01-210m ?；扩管段3d =2.00-2 10m ?； 水箱液面高程0?= 47.6-2 10m ?；上管道轴线高程z ?=19 -2 10m ? （基准面选在标尺的零点上） 2．量测（p z γ + ）并记入表2-2。 注：i i i p h z γ =+ 为测压管水头，单位：-2 10m ，i 为测点编号。 3．计算流速水头和总水头。

流体力学三大方程的推导(优选.)

微分形式的连续性方程

连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。 重点讨论不同表现形式的流体连续方程。

用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。 设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。 先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。 在x 轴方向流出与流入质量之差 ()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x x ρρρρ??+-=??

用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入 质量之差分别为 ()y u dxdydzdt y ρ??() z u dxdydzdt z ρ??这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为： ()()()[]y x z u u u dxdydzdt x x x ρρρ???++???

在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量 ()dxdydzdt t ρ?-?()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z t ρρρρ ????++=-????()()()0y x z u u u x y z t ρρρρ ????+++=????这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 代表单位时间内，单位体积的质量变化 代表单位时间内，单位体积内质量的净流出

流体主要计算公式

主要的流体力学事件有： 1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。 1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。 1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。 1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。 1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。 1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。 19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。 1904年普朗特提出了边界层理论。 20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。 理想势流伯努利方程 （3-14） 或（3-15） 物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。 （应用条件：“”所示） 符号说明 物理意义几何意义 单位重流体的位能（比位能）位置水头 单位重流体的压能（比压能）压强水头 单位重流体的动能（比动能）流速水头 单位重流体总势能（比势能）测压管水头

总比能总水头 二、沿流线的积分 1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有 2.恒定流中流线与迹线重合： 沿流线（或元流）的能量方程： （3-16） 注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“”所示，可以是有旋流） 流速势函数（势函数）观看录像>> ?存在条件：不可压缩无旋流，即或 必要条件存在全微分d 直角坐标

第二节流体流动的基本方程式

第二节 流体流动的基本方程式 化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。 1-2-1 流量与流速 一、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。 体积流量与质量流量的关系为： w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。 二、流速 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。以u 表示，其单位为m/s 。 实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17） 式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。 流量与流速的关系为： w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。因此采用质量流速就较为方便。 质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为： ρρu A V A w G s s === （1-19） 式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。 必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。 一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 2 4d V u s π= 于是 u V d s π4= （1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。流量一般为生产任务所决定，而合理

流体的PVT关系和状态方程

流体的P-V-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 定性认识流体P-V-T 行为； 掌握描述流体P-V-T 关系的模型化方法，了解几种常见的状态方程； 掌握对比态原理和普遍化状态方程 掌握计算真实气体混合物P-V-T 关系的方法，并会进行计算。 了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度T 是流体最基本的性质之一，并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵S、Gibbs自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的p –V –T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此，流体的p –V –T 关系的研究是一项重要的基础工作。 纯流体的P-V-T关系 气体的状态方程 对应态原理和普遍化关联式 真实气体混合物的P-V-T关系 液体的P-V-T关系 状态方程的比较、选用和应用 纯流体的P-V-T关系 纯物质在平衡态下的p –V –T 关系，可以表示为三维曲面，如 图2－1。

曲面上分单相区及两相共存区。曲线AC 和BC 代表汽液共存的边界线，它们相交于点C，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度Tc、临界压力pc 和临界体积Vc。 将p –V –T 曲面投影到平面上，则可以得到二维图形。图2－2 和 2－3 分别为图2－1投影出的p –T 图和p –V 图。 图2－2 纯物质的p –T 图图2－3 纯物质的p –V 图 图 2－2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线，三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2－2，从A 点到B 点，即从液体到汽体，没有穿过相界面，即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊，既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 2－3 是以温度T 为参变量的p –V 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成，中间水平段为汽液平衡共存区，每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线AC 和BC 分

第一章 1[1].1流体流动静力学基本方程分析

第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自

由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中

流体主要计算公式

1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。 1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。 1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。 1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。 1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。 1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。 19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。 1904年普朗特提出了边界层理论。 20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。流体力学内涵不断地得到了充实与提高。 理想势流伯努利方程 （3-14） 或（3-15） 物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。 （应用条件：“”所示） 符号说明 二、沿流线的积分

1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有 2.恒定流中流线与迹线重合： 沿流线（或元流）的能量方程： （3-16） 注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。 （应用条件：“”所示，可以是有旋流） 流速势函数（势函数）观看录像>> ?存在条件：不可压缩无旋流，即或 必要条件存在全微分d 直角坐标 （3-19） 式中：——无旋运动的流速势函数，简称势函数。 ?势函数的拉普拉斯方程形式 对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有： 或（3-20） 适用条件：不可压缩流体的有势流动。 点击这里练习一下 极坐标 （3-21） 流函数

实际流体恒定总流的伯努利方程

实际流体恒定总流的伯努利方程 一、生活实际 船吸现象 案例：1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船——“奥林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有一比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生了一件意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地向“奥林匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的船舷上,把“奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢? 小实验 小实验：如果两手各拿一张薄纸，使它们之间的距离大约4-6厘米，然后用嘴向着两张纸中间吹气，如图所示，纸张是向内靠还是向外飘动？想一想，动手试试看 二、恒定总流能量方程式的推导 恒定元流能量方程 2 ~ 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ' 2g z 2l h u g p g u g p z+ + + = + + ρ ρ 方程两端乘以重量流量 dQ γ，得单位时间内通过元流两过流断面的能量关系：

dQ h dQ g u g p z dQ g u g p z l γγργρ?+?++=?++-'2122222111)2()2( 积分，得单位时间内通过总流两过流断面的能量关系： dQ h dQ g u g p z dQ g u g p z Q l Q Q γγργρ?+?++=?++???-'2122222111)2()2( 1.势能积分: dQ p z Q γρ?+?）（g 物理含义：表示单位时间内通过断面的流体势能 如果断面是渐变流,服从静压强分布规律 C g p z =+ρ Q p z dQ p z dQ p z Q Q ?+?+?+??γργργρ）＝（）＝（）（g g g 2.动能积分： dA 2g dQ 2A 32???u g u Q γγ＝ 物理含义：表示单位时间内通过断面的流体动能。 引入一个动能修正系数α （α是实际动能与按断面平均流速计算的动能之比） A v dA dA v 2g dA 2g 3A 3A 3A 3??? ==u u γγα Q 2g v A v 2g dA 2g dQ 22 3A 32γααγγγ?????＝＝＝u g u Q 3.水头损失积分： dQ h Q l γ??-'21 物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦阻力作功所损失的机械能 为了计算方便，设 w h 为单位重量流体在两过流断面上的平均能量损失。 Q h dQ h w Q l γγ?=??-'21 w h v g p g v g p z +++=++2g z 22222221111αραρ

流体的PVT关系和状态方程

流体的P-Ｖ-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 ?定性认识流体P－V-T 行为; ?掌握描述流体P-Ｖ-Ｔ关系的模型化方法,了解几种常见的状态方程; ?掌握对比态原理和普遍化状态方程 ?掌握计算真实气体混合物P－V－T 关系的方法,并会进行计算。 ?了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度Ｔ是流体最基本的性质之一,并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵Ｓ、Gi ｂｂｓ自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的ｐ–Ｖ–T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此,流体的p –Ｖ–T 关系的研究是一项重要的基础工作。 ２.1 纯流体的P-V－T关系 2.2 气体的状态方程 2.３对应态原理和普遍化关联式 ２.4 真实气体混合物的P-V-T关系 2.5 液体的P-Ｖ－T关系 2.6 状态方程的比较、选用和应用 2．1纯流体的Ｐ-Ｖ-T关系 ◆纯物质在平衡态下的ｐ–Ｖ–T 关系，可以表示为三维曲面，如图2-1。 曲面上分单相区及两相共存区。曲线ＡC 和BC 代表汽液共存的边界线,它们相交于点Ｃ，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度T c、临界压力p c 和临界体积Vｃ。 ◆将p –Ｖ–T 曲面投影到平面上,则可以得到二维图形。图２－2 和２－３分 别为图2-1投影出的p –Ｔ图和p –V 图。

图 2-2 纯物质的p –T 图 图 2-３ 纯物质的 ｐ –V 图 图 2-2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线,三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2-2,从A 点到B 点,即从液体到汽体,没有穿过相界面,即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊,既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 ２－３ 是以温度Ｔ 为参变量的ｐ –Ｖ 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成,中间水平段为汽液平衡共存区,每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线ＡC 和BC 分别为饱和液相线和饱和气相线，曲线ACB 包含的区域为汽液共存区,其左右分别为液相区和气相区。 等温线在两相区的水平段随着温度的升高而逐渐变短，到临界温度时最后缩成一点 Ｃ。从图2-3 中可以看出，临界等温线在临界点上是一个水平拐点，其斜率和曲率都等于零,在数学上表示为: 0)(0)( 22=??=??Tc Tc V P V P 式（2－1)和（2－2)对于不同物质都成立,它们对状态方程等的研究意义重大。 纯物质P ＶT 关系的应用:超临界技术和液化气体成分的选择 2.2气体的状态方程 纯物质的状态方程(E ｑuation of Ｓt ａte, EOS) 是描述流体ｐ-V-T 性质的关系式，即： f （ p ， T, V ) = ０ 状态方程类型：立方型、多常数型、理论型； 混合物的状态方程从纯物质出发，通过引入混合规则，来计算混合物的热力学性质。 2.2.1 理想气体状态方程 假定分子的大小如同几何点一样，分子间不存在相互作用力，由这样的分子组成的气体

第三章 流体流动的基本概念与基本方程

第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为

(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场： (1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数： (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为： (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式

流体的PVT关系和状态方程

流体的P-V-T关系与状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体(特别就是气体)的各种类型的P、V、T 关系(包括状态方程法与对应状态法)及其应用、优缺点与应用范围。 ?定性认识流体P-V-T 行为; ?掌握描述流体P-V-T 关系的模型化方法,了解几种常见的状态方程; ?掌握对比态原理与普遍化状态方程 ?掌握计算真实气体混合物P-V-T 关系的方法,并会进行计算。 ?了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中,流体的压力p、体积V 与温度T 就是流体最基本的性质之一,并且就是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵S、Gibbs 自由能G 等都不方便直接测量,它们需要利用流体的p –V –T 数据与热力学基本关系式进行推算。因此,流体的p –V –T 关系的研究就是一项重要的基础工作。 2、1 纯流体的P-V-T关系 2、2 气体的状态方程 2、3 对应态原理与普遍化关联式 2、4 真实气体混合物的P-V-T关系 2、5 液体的P-V-T关系 2、6 状态方程的比较、选用与应用 2、1纯流体的P-V-T关系 ◆纯物质在平衡态下的p –V –T 关系,可以表示为三维曲面,如图2－1。 曲面上分单相区及两相共存区。曲线AC 与BC 代表汽液共存的边界线,它们相交于点C,C 点就是纯物质的临界点,它所对应的温度、压力与摩尔体积分别称为临界温度T c、临界压力p c 与临界体积V c。 ◆将p –V –T 曲面投影到平面上,则可以得到二维图形。图2－2 与2－3 分别为图2 －1投影出的p –T 图与p –V 图。

图 2－2 纯物质的p –T 图 图 2－3 纯物质的p –V 图 图 2－2 中的三条相平衡曲线:升华线、熔化线与汽化线,三线的交点就是三相点。高于临界温度与压力的流体称为超临界流体,简称流体。如图2－2,从A 点到B 点,即从液体到汽体,没有穿过相界面,即就是渐变的过程,不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊,既不同于液体,又不同于气体,可作为特殊的萃取溶剂与反应介质。近些年来,利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术与反应技术成为引人注目的热点。 图 2－3 就是以温度T 为参变量的p –V 图。图中包含了若干条等温线,高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成,中间水平段为汽液平衡共存区,每个等温线对应一个确定的压力,即为该纯物质在此温度下的饱与蒸气压。曲线AC 与BC 分别为饱与液相线与饱与气相线,曲线ACB 包含的区域为汽液共存区,其左右分别为液相区与气相区。 等温线在两相区的水平段随着温度的升高而逐渐变短,到临界温度时最后缩成一点 C 。从图2－3 中可以瞧出,临界等温线在临界点上就是一个水平拐点,其斜率与曲率都等于零,在数学上表示为: 0)(0)( 22=??=??Tc Tc V P V P 式(2－1)与(2－2)对于不同物质都成立,它们对状态方程等的研究意义重大。 纯物质PVT 关系的应用:超临界技术与液化气体成分的选择 2、2气体的状态方程 纯物质的状态方程(Equation of State, EOS) 就是描述流体p-V-T 性质的关系式,即: f( p, T, V ) = 0 状态方程类型:立方型、多常数型、理论型; 混合物的状态方程从纯物质出发,通过引入混合规则,来计算混合物的热力学性质。 2.2.1 理想气体状态方程 假定分子的大小如同几何点一样,分子间不存在相互作用力,由这样的分子组成的气体叫做理想气体。在极低的压力下,真实气体可以当作理想气体处理,以简化问题。理想气体状态方程就是最简单的状态方程:

流体的P-V-T关系和状态方程

流體的P-V-T關系和狀態方程 教學目的要求 能熟練掌握流體（特別是氣體）的各種類型的P、V、T 關系（包括狀態方程法和對應狀態法）及其應用、優缺點和應用范圍。 定性認識流體P-V-T 行為； 掌握描述流體P-V-T 關系的模型化方法，了解幾種常見的狀態方程； 掌握對比態原理和普遍化狀態方程 掌握計算真實氣體混合物P-V-T 關系的方法，并會進行計算。 了解液體的P-V-T關系 教學內容 在化工過程的分析、研究與設計中，流體的壓力p、體積V 和溫度T 是流體最基本的性質之一，并且是可以通過實驗直接測量的。而許多其它的熱力學性質如內能U、熵S、Gibbs自由能G 等都不方便直接測量，它們需要利用流體的p –V –T 數據和熱力學基本關系式進行推算。因此，流體的p –V –T 關系的研究是一項重要的基礎工作。 2.1 純流體的P-V-T關系 2.2 氣體的狀態方程 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

2.3 對應態原理和普遍化關聯式 2.4 真實氣體混合物的P-V-T關系 2.5 液體的P-V-T關系 2.6 狀態方程的比較、選用和應用 2.1純流體的P-V-T關系 純物質在平衡態下的p –V –T 關系，可以表示為三 維曲面，如圖2－1。 曲面上分單相區及兩相共存區。曲線AC 和BC 代表汽液共存的邊界線，它們相交于點C，C 點是純物質的臨界點，它所對應的溫度、壓力和摩爾體積分別稱為臨界溫度Tc、臨界壓力pc 和臨界體積Vc。 將p –V –T 曲面投影到平面上，則可以得到二維圖 形。圖2－2 和2－3 分別為圖2－1投影出的p –T 圖 和p –V 圖。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF

流体力学【依据伯努利方程的应用】

工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日

关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：

适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ

状态方程

第一节物性估算 在化工过程计算中，估算气体和液体的热力学性质有非常重要的作用。分离过程，如蒸馏、气体吸收 和液体萃取需要对相平衡中的纯流体和流体混合物的容量性质进行估算。在涉及热效应的过程操作中，还 必须估算焓、热容及系统中的熵变。 1. 气体的容量性质 真实气体容量性质与理想气体的偏差一般用压缩因子形式来表示，Z =(PV)/(RT) ，对于理想气体， Z = 1。 应用曲线拟合方法，可以将以图表形式给出的真实气体的压缩因子表示为对比温度Tr 、对比压力Pr 和临界压缩因子Zc的函数。Hougen, Watson和Ragatz在Chemical Process Principles, Part II(1959, John Wiley)中提供了数据表。 应用一些已经导出的真实气体的状态方程也可以估算一定温度和 压力下的摩尔体积或密度。物理化学 课程中介绍的范德华方程和维里方程是较简单的气体方程形式。下面是一些化工中常用的状态方程，但是 每个方程都有它的适应范围和限制，不能期望用一种方程完成所有计算。

R-K(Redlich-Kwong)方程： R-K方程和它的变形或改进形方程使用非常广泛。R-K方程用在对比压力直到0.8的情况，用于预测烷烃 的气相容量性质，但是不适用于接近临界条件或液相情况。 其中Tc和Pc分别是临界温度和临界压力。 R-K方程的压缩因子Z的三次方程形式为 式中Pr = P/Pc和Tr = T/Tc分别是对比压力和对比温度。 上式在用于混合物时，方程的常数为 。 其中Ai和Bi为组分i的常数。 S-R-K (Soave -Redlich-Kwong) 方程： S-R-K方程是Soave修正的R-K方程，它将R-K方程中的用温度函数a(T)代替。

伯努利方程的原理及其应用

伯努利方程的原理及其应用 摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程 发展和原理 应用 1.伯努利方程的发展及其原理： 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。 无黏性流体的运动微分方程： 无黏性元流的伯努利方程： 实际恒定总流的伯努利方程： z 1+g p ρ1+g v 2121α=z 2+g p ρ2+g v 2222α+h w 总 流 伯 努 利 方 程 的 物 理 意 义 和 几 何 意 义 ：

Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头； g p ρ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头； g 2v 2 α----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。 总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。（5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。 2.伯努利方程的应用: 伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子： ※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。内文丘里管由一圆形测量管和置入测量管内并与测量管同轴的特型芯体所构成。特型芯体的径向外表面具有与经典文丘里管内表面相似的几何廓形，并与测量管内表面之间构成一个异径环形过流缝隙。流体流经内文丘里管的节流过程同流体流经经典文丘里管、环形孔板的节流过程基本相似。内文丘里管的这种结构特点，使之在使用过程中不存在类似孔板节流件的锐缘磨蚀与积污问题，并能对节流前管内流体速度分布梯度及可能存在的各种非轴对

化工原理 伯努利方程

伯努利方程 流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。 方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得： Zg+2 2u P +ρ＝常数 式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为： ρ P u +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为： g u g P Z g u g P Z 2222 2 22111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速 度头）。 对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式： 121 12 22211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 若为可逆绝热过程，方程可写为： 121 1222211ln 22P P P u gZ u gZ ρ++=+ 式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。 对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下, 若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为： α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。 方程的应用 伯努利方程阐明的位能、动能、静压能相互转换的原理，可用来分析计算一些实际问题，例如： ①计算流体从小孔流出的流速 设在容器中盛有液体，液面维持不变,距液面下h 处的容器壁面上开有一小孔，液体在重力作用下自小孔流出。据伯努利方程可以计算出液体由小孔流出时的平均流速为： gh Cd u 2= 式中C d 为孔流系数，其值由实验确定，约为0.61～0.62；g 为重力加速度。由上述速度及已知的小孔面积,可算出通过小孔的流量；或由这一关系，计算确定达到一定流量所必须维持的液面高度。若气体在一定压力差作用下由容器壁上的小孔流出，当速度不过大时，可视为不可压缩流体，其流量也可以利用伯努利方程来估计。 ②毕托管 设均匀气流以等速 u 0绕过某物体流动，气流受阻后在物体前缘（A 处）停滞，