习题8-1
1. 设有一平面薄片,在xOy 平面上形成闭区域D ,它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y ),且μ(x ,y )在D 连续,试用二重积分表示该薄片的质量. 解:(,)D
m x y d μσ=??.
2. 试比较下列二重积分的大小: (1) 2()D
x y d σ+??与3
()D
x y d σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成;
(2)
ln()D
x y d σ+??与2
ln()D
x y d σ+?
?????,其中D 是以A (1,0),B (1,1),C (2,0)为顶点的三角形闭区域.
解:(1)在D 内,()()23
01x y x y x y ≤+≤+≥+,故,23()()D
D
x y d x y d σσ+≥+????.
(2) 在D 内,212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+,故0从而, 2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+????
习题8-2
1. 画出积分区域,并计算下列二重积分:
(1) ()D
x y d σ+??,其中D 为矩形闭区域:1,1x y ≤≤;
(2) (32)D
x y d σ+??,其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域;
(3) 22()D
x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域;
(4) 2D
x yd σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0;
(5) ln D
x yd σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ;
(6) 22D
x d σ
y ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域.
解:(1) 111
1
1
1
()()20.D
x y d dx x y dy xdx σ---+=+==?????
(2) 222
20
(32)(32)[3(2)(2)]x
D
x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????
?
2232022
20[224]4.33
0x x dx x x x =-++=-++=?
(3) 32
2
2
2
2
2
2
00193()()(
)248y
y D
y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-?????
43219113.9686
0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数,且D 关于x 轴对称,所以20.D
x yd σ=??
(5) 4420104
1ln ln (ln ln )2(1)2110e D
e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-=
=-?????. (6) 1222241113
11
122222
119()()124642
x D
x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=??
????.
2. 将二重积分(,)D
f x y d σ??化为二次积分(两种次序)其中积分区域D 分别如下:
(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x
=所围成的闭区域;
(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解:(1) 1
2
2120
1
(,)(,)(,).x
x y y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=????
??
(2) 2
441
4
(,)(,).y x
y dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(3) 1222
2
1111
1
2
(,)(,)(,).x
y
y
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=??????
(4)
21111
(,)(,).x
dx f x y dy dy f x y dx -=???
3. 交换下列二次积分的积分次序:
(1) 1
(,)y
dy f x y dx ??; (2)22
20(,)y
y
dy f x y dx ??;
(3) ln 10(,)e x
dx f x y dy ??
; (4) 12330
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+????
.
解:(1) 11
1
(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy =????.
(2) 22240
2(,)(,).y x y
dy f x y dx dx f x y dy =????
(3) ln 1
1
(,)(,)y e x
e
e
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(4) 1233230
1
2
(,)(,)(,)y
y
x
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=??
??
??.
4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.
解:111
00037(623)(62).22
V dx x y dy x dx =--=--=???
5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6-z 截得的立体体积.
解:3111222
000(1)34(6)[6(1)(1)).312
x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=???
习题8-3 1. 画出积分区域,把二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D
是:
(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0); (2) x 2+y 2≤2x ;
(3) 1≤x 2+y 2≤4; (4) 0≤y ≤1-x ,0≤x ≤1. 解:(1) 20
(,)(cos ,sin ).a
D
f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(2) 2cos 20
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θ
πσθθθ-=??
??
(3) 22
1
(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(4)
12
cos sin 0
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr πθθ
σθθθ+=???
?
2. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
(1)
220
)a
dy x y dx +?
;
(2)
21
;x
x
dx ?
?
解:
(1)
442
2
3
20
)248a
a
a a dy x y dx d r dr πππθ+==?=
?
??
.
(2) 2sin 31244cos 6000
01sin 3cos x x dx d r dr d π
θπ
θθθθθ
==?????
2444
66400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]
cos cos cos d d d πππθθθθθθ
θ-=-=--???
531cos cos 4()3530
π
θθ--=--
+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分: (1) 2
2
x
y D
e d σ+??,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1;
(2) 2
2ln(1)D
x
y d σ++??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域;
(3)
arctan
D
y
d σx
??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域;
(4)
D
σ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.
解:(1) 2
2
2
221001
12(1).20
x
y r r D
e d d e rdr e e πσθππ+==?=-????
(2) 23
1
1
22
222
01ln(1)ln(1)[ln(1)]22
01D
r r x y d d r rdr r dr r π
πσθ++=+=
+-
+?????
2
12
(1)[ln 22](2ln 21)4
4
1r r r dr r
ππ+-=-=-+?. (3) 22224
4010133arctan arctan(tan ).32264D
y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=?==
?=??????
(4)
D
σ
3
cos 2220
2
2cos 12()230
R R d R r d π
πθ
ππθθθ--==--??? 333
3221(s i n )33
R R R d π
ππθθ-=--=?.
4. 求由曲面z =x 2+y 2
与z .
解:两条曲线的交线为x 2+y 2=1,因此,所围成的立体体积为:
2122200()]().6D
V x y d d r r rdr ππσθ=+=-=????
习题8-4
1. 计算反常二重积分()x y D
e dx dy -+??,其中D :x ≥0,y ≥x .
2. 计算反常二重积分222
()
D
dx dy
x y +??
,其中D :x 2+y 2≥1. 解:1.
2220
1()2
a a
a
a
x y
x x a
a
a x
e dx e
dy e
e
dx e e ---------=-=-+-?
??
所以2()
211
lim ().22
a x y a a a D
e e
dxdy e e --+--→+∞-=-+-=??
2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-??,得222211lim 2().2()2R D
dxdy x y R ππ→+∞=-=+??
复习题8
(A )
1. 将二重积分d d (,)D
f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要),其中积分区域D 是:
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解:(1) 1
2
2
1
1
2
2
1
(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=????
(2) 24400
4
(,)(,).y
y x
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
2. 交换下列两次积分的次序:
(1)d d 1
0(,)y
y f x y x ?;
(2)d d 20
(,)a x f x y y ?;
(3)d d +d d 1
2
20
1
(,)(,)x
x
x f x y y x f x y y -????.
解:(1)
21
1
d (,)d d (,)d x y
x
y f x y x x f x y y =?
??.
(2) 200
d (,)d d (,)d a
a
a a x f x y y y f x y x =???
.
(3)
1
2
21
20
1
d (,)d +d (,)d d (,)d x
x
y y
x f x y y x f x y y y f x y x --=?
?????
.
3. 计算下列二重积分:
(1) e d x y D
σ+??, D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;
(2) d d 2D
x y x y ??,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成;
(3) d d (1)D
x x y -??,D 由y =x 和y =x 3
围成;
(4) d d 22()D
x y x y +??,D :︱x ︱+︱y ︱≤1;
(5) d 1
sin D
y σy ??,D 由22y x π=与y =x 围成;
(6) d (4)D
x y σ--??,D 是圆域x 2+y 2≤R 2;
解: (1)
111
11112111
11e d ()()()1
x y x y x x x x D
dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--?????.
(2) 532
22242
1
1
121129d d ()()225315
1x
D
x x x y x y dx x ydy x x dx ==
-=-=?????. (3) 3112430011117
(1)d d (1)()325460x x D
x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-?????.
(4)
1122
220
()d d 4()x
D
x y x y dx x y dy -+=+????
33241
2
0141212
4(2)4()3332333
0x x x x x x dx x =--+=--+=?.
(5) 2
2
2200sin 12sin d (sin sin )y y D
y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-????? 22
2
2
2
2sin (cos )1(cos sin )10
ydy yd y y y y π
ππ
πππ
=+
=+
-=-??
. (6)
3
222
(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3
R D
R x y d r r rdr R d π
πσθθθθθθ--=--=-+???
??
3
2
22[2(sin cos )]430
R R R πθθθπ=--=. 4. 已知反常二重积分e d 2
y D
x σ-??收敛,求其值.其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一
象限所围成的区域.
解:设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则
2
2
22220
0015555e
d ()236144144144a
a
a a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==
?=--=-?????. 所以2
2
5
e d lim
e d 144
a
y y
a D
D x x σσ--→+∞
==????. 5. 计算e d 2
x x +∞
--∞
?.
解:由第四节例2以及2
y =e x -
是偶函数,可知2
e d x x +∞
--∞
=?6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积.
解:曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此,所围空间立体的体积为:
222220016
(4)d d (4)2(8)8D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=????.
7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ,1)的切线e
y x 1=.
(1) 求由曲线y =ln x ,直线e
y x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积;
(2) 求以平面图形D 为底,以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积.
解:(1) 1ln (ln )12221e e e e
e S xdx x x x =-=--=-?.
(2) 2211200
13()()2220y y e y y y y y y e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-???.
(B )
1. 交换积分次序:
(1) 31
1
(,)x
x
dx f x y dy -??; (2)0
11
2
(,)y dy f x y dx --??
;
(3) 2
24(,)x x f x y dy -?
;
(4) 1
10
(,)dx x y dy ?.
解:
(1) 31
1
1
(,)(,)x
x
y
dx f x y dy dy f x y dx -=???.
(2) 0110
1
2
2
1(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy ---=??
??
.
(3) 2
2
42402
(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+???.
(4) 2
1
112
1
(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+???
?.
2. 计算积分2
1
2
2
x x
x
dx dy x y +??.
解:222
sin sin 144cos cos 222
0000cos cos x
x
x r dx dy d rdr d dr x y r πθπθ
θθθθθθ==+?????? 4
sin ln 2
4(ln cos )cos 2
0d ππ
θθθθ==-=?. 3. 计算积分1
12
2
01y
y dy dx x y ++??
.
解:111
114cos 4cos cos 22
22
00
000sin sin [sin ]111y
y r dy dx d rdr d dr dr x y r r π
πθ
θθθθθθθ==-++++??
??
??? 4
4001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d π
π
θθθθθθ=-?=+??
令cos t θ=,则
原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222
dt dt t t t t t =+=+=+++
ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=---.
4. 设函数f (x )在区间0,1????上连续,且1
()f x dx A =?,求1
1
()()x
dx f x f y dy ??.
解:设1
'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=?,则.
1
1111
()()()[(1)()](1)()()(())x
dx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-?
????
21()111
(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)2222
0F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--
2
1[(1)(0)]22
A A F F =-=
. 5. 计算2D x yd σ??,其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2-y 2=1所围成的闭区域.
解:1
1
2
220
22(13D
x yd dy ydx y y σ==
+????
35
122222011122(1)(1)(1)1)33515
0y d y y =++=?+=?. 6. 计算2
22
y x
dx e dy ??.
解:2222222240000211
(1)22
0y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-?????.
7. 证明21
1()()d ()()d 1b x
b n n a
a
a
dx x y f y y b y f y y n ---=
--???,其中n 为大于1的正整数. 证:22()()d ()()b
x
b
b n n a
a
a
y
dx x y f y y dy x y f y dx ---=-????
1
1
()()1
b n b y
a
x y f y dy n -=--?
11()()d 1b
n a
b y f y y n -=
--?
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.
1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域,化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2,. (5)在极坐标系中,面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ,,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
二重积分自测题 (一)选择题 1.设D 是由直线0=x ,0=y ,3=+y x ,5=+y x 所围成的闭区域, 记:??σ+= D d y x I )ln(1,??σ+=D d y x I )(ln 22 ,则( ) A .21I I < B .21I I > C .122I I = D .无法比较 2.设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0,π])所围成,则积分??=σD yd ( ) A . 6π B .4π C .3π D .2 π 3.设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成,则=σ??D d y x f ),(( ) A .? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B .??-212 ),(dy y x f dx C . ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D .??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4.设),(y x f 是连续函数,则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx ( ) A . ?? 40 412),(y y dx y x f dy B .?? -4 412),(y y dx y x f dy C . ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D .??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5.累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx ( ) A . )1(212--e B .)1(314--e C .)1(214--e D .)1(3 1 2--e 6.设D 由14122≤+≤y x 确定,若??σ+=D d y x I 2211,??σ+=D d y x I )(2 22, ??σ+=D d y x I )ln(223,则1I ,2I ,3I 之间的大小顺序为( ) A .321I I I << B .231I I I << C .132I I I << D .123I I I << 7.设D 由1||≤x ,1||≤y 确定,则 =??D xy xydxdy xe sin cos ( ) A .0 B .e C .2 D .2-e 8.若积分区域D 由1≤+y x ,0≥x ,0≥y 确定,且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f , 则 ??=D dxdy x f )(( )
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
第九章二重积分 习题 9-1 1.设0),(≥y x f ,试阐述二重积分(,)d D f x y σ ??的几何意义. 解 当0),(≥y x f 时,二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底, 以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴,准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积. 2.试确定下列积分的符号并说明理由: 221 (1) ln()d d x y x y x y +<+?? 224 (2) d x y x y *+≤?? 解 (1) 因 1x y +<, 则将此式两边平方,得 220121 x y xy ≤+<-< 于是 0)ln(2 2 <+y x 故 221 ln()d d 0. x y x y x y +<+? (2) 因为22 4 d x y x y +≥?? 222222221 12 23 4 3d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y +≤<+≤<+≤<+≤=+ + + ?? ?? ?? ?? 当221x y +≤ 1,且此区域面积为π,则 2 21 d x y x y π +≤≤?? 当2212x y <+≤ 0,且此区域面积为π,则 2 212 d 0 x y x y <+≤≤?? 当2223x y <+≤ 1-,且此区域面积为π,则 2223 d x y x y π <+≤≤-?? 当2234x y <+≤ 且此区域面积为π,则 2 2 43 d x y x y <+≤≤?? 故 2 2 4 d 00x y x y ππ+≤≤+--=?. 3.试用二重积分的定义证明:
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
二重积分自测题(一)选择题 1.设D 是由直线0=x ,0=y ,3=+y x ,5=+y x 所围成的闭区域, 记:??σ+=D d y x I )ln(1,??σ+=D d y x I )(ln 22,则() A .21I I < B .21I I > C .122I I = D .无法比较 2.设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0,π])所围成,则积分??=σD yd () A .6π B .4π C .3π D .2 π 3.设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成,则=σ??D d y x f ),(() A .??-+212 2 ),(x x dy y x f dx B .??-212 0),(dy y x f dx C .??-+1 22 2 ),(x x dy y x f dx D .??+1 02 2 ),(x x dy y x f dx 4.设),(y x f 是连续函数,则累次积分??=4 02),(x x dy y x f dx () A .??404 12 ),(y y dx y x f dy B .?? -4 0412),(y y dx y x f dy C .??4041),(y dx y x f dy D .??402 12 ),(y y dx y x f dy 5.累次积分??=-202 2 x y dy e dx () A .)1(212--e B .)1(314--e C .)1(214--e D .)1(3 12--e 6.设D 由 141 22≤+≤y x 确定,若??σ+=D d y x I 2 2 11,??σ+=D d y x I )(222, ??σ+=D d y x I )ln(223,则1I ,2I ,3I 之间的大小顺序为()
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D :0y ≤,0x a ≤≤,由二重积分的几何意义 计算d D x y 解:d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤,则2dxdy =?? 解:2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解:2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??,其中D 是由直线2,,2=-=x x ;1,1=-=y y 围成的矩形。 解:σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?
3. 应用二重积分,求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解: 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解: 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一.判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.(√) 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? (×) 二.填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤,则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ,其中2:0D y x ≤≤,01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤,1y ≤,则??(sin x x -)d d x y = 0.0 5.交换积分次序
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
第 八 章 二 重 积 分 习 题 答 案 练习题8.1 1.设D : 0y ≤,0x a ≤≤,由二重积分的几何意义 计算 d x y 1.D ??2D 解:σd y x D 341(--??= 22 1 21 1212(1[(1]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分,求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.
解: 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解: 2222 2 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 1.D ??2.1.2. 3.二重积分0 (,)dy f x y dx ?? 交换积分次序后为 (,)x dx f x y dy ?? . (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤,1y ≤,则??(sin x x -)d d x y = 0.0 5.交换积分次序 1 d (,)y f x y dx ? = 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? .
2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? 6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22 1D dxdy x y ++?? =_ln 2πln2π 三. 选择题 1. 20x =, ). 2.3. ). 4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域,当a =( B )时D π= A 1 B C . D 四 计算二重积分
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则() f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0 ()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx = ? ,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s << 二、填空题:(每小格3分,共30分)
第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+= 1 322 1)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 322 2)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解:由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解:令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0