高考风向标数学一轮课时知能训练第4讲 函数的单调性与最值

高考风向标数学一轮课时知能训练:第4讲 函数的单调性与最值

1．(2011年全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝2－|x |

2．(2011届广东惠州调研)已知定义域为(－1,1)的奇函数y ＝f (x )又是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0.则a 的取值范围是

( )

A ．(3，10)

B ．(2 2，3)

C ．(2 2，4)

D ．(－2,3)

3．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x

<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，1)∪(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(－1,0)∪(0,1)

4．(2010年北京)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12

(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

5．(2011届上海十三校联考)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝?

???? f (x ) (f (x )≤k )，k (f (x )>k ).取函数f (x )＝log 2|x |.当k ＝12

时，函数f k (x )的单调递增区间为________． 6．(2011年江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．

7．(2011年上海)设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数，若f (x )＝x ＋g (x )在[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为____________．

8．(2011年北京)已知函数f (x )＝?????

2x (x ≥2)，(x －1)3 (x <2)，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．

9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋4x

(x ≠0)． (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；

(2)若f (x )在[3，＋∞)上恒大于0，求a 的取值范围．

10．(2011年广东广州综合测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (0)＝0，对于任意x ∈R 都有f (x )≥x ，且f ???

?－12＋x ＝f ???

?－12－x ，令g (x )＝f (x )－|λx －1|(λ>0)． (1)求函数f (x )的表达式；

(2)求函数g (x )的单调区间．

第4讲 函数的单调性与最值

1．B 2.B 3.D 4.B 5.(0，2] 6.???

?－12，＋∞ 7.[]－15，11 8.(0,1)

9．解：(1)f (x )的定义域关于原点对称．

若f (x )为奇函数，则

f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＋4－x

＝－f (x )，∴a ＝0. (2)f ′(x )＝1－4x 2，∴在[3，＋∞)上f ′(x )>0. ∴f (x )在[3，＋∞)上单调递增，

∴f (x )在[3，＋∞)上恒大于0，只要最小值f (3)＞0即可．

∴3a ＋13>0?a >－133

. 10．解：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0.

∵对于任意x ∈R 都有f ????－12＋x ＝f ???

?－12－x ， ∴函数f (x )的对称轴为x ＝－12.即－b 2a ＝－12

.解得a ＝b . 又f (x )≥x ，即ax 2＋(b －1)x ≥0对于任意x ∈R 都成立， ∴a >0，且Δ＝(b －1)2≤0.

∵(b －1)2≥0，∴b ＝1，a ＝1.

∴f (x )＝x 2＋x .

(2)g (x )＝f (x )－|λx －1|＝???

x 2＋(1－λ)x ＋1 ????x ≥1λ，x 2＋(1＋λ)x －1 ????x <1λ. ①当x ≥1λ时，函数g (x )＝x 2＋()1－λx ＋1的对称轴为x ＝λ－12

， 若λ－12≤1λ

，即0<λ≤2，函数g (x )在????1λ，＋∞上单调递增． 若λ－12>1λ，即λ>2，函数g (x )在????λ－12，＋∞上单调递增，在????1λ

，λ－12上单调递减． ②当x <1λ时，函数g (x )＝x 2＋()1＋λx －1的对称轴为x ＝－1＋λ2<1λ

， 则函数g (x )在????－1＋λ2，1λ上单调递增，在?

???－∞，－1＋λ2上单调递减． 综上所述，当0<λ≤2时，函数g (x )单调递增区间为????－1＋λ2，＋∞，单调递减区间为?

???－∞，－1＋λ2. 当λ>2时，函数g (x )单调递增区间为????－1＋λ2，1λ和????λ－12，＋∞，单调递减区间为?

???－∞，－1＋λ2和????1λ，λ－12.

新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题

多维层次练9 [A级基础巩固] 1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是() A．y＝－1 x B．y＝2 x－2－x C．y＝sin x D．y＝x|x| 解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数． 答案：BD 2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝() A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)， 所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1. 答案：C 3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是() A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 2D．x＝－ 1 2

解析：因为函数y ＝f (2x －1)是偶函数，所以函数y ＝f (2x －1)的图象关于y 轴对称，因为函数y ＝f (2x ＋1)的图象是由函数y ＝f (2x － 1)的图象向左平移一个单位得到，故y ＝f (2x ＋1)的图象关于x ＝－1对称． 答案：A 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4， 且当x ∈? ?? ??－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27 解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)． 因为－1∈? ????－32，0，且当x ∈? ?? ??－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)， 所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， 所以f (2 021)＝－f (－1)＝－2. 答案：C 5．(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a

高中数学函数的单调性与最值练习题

函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[)

高中数学函数的单调性

一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明．

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

高考数学专题：函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性

专题6 函数的周期性 函数的周期性 ★★★ ○○○○ 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝－1 f x，则函数的周期为2 a； (4)若f(x＋a)＝1 f x，则函数的周期为2 a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可． (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期． [典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝?? ? 21－x ，0≤x ≤1， x －1，1

高考总复习：函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义

图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 .

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m f (n )； ???? ??1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1 (－1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

2020高考数学《函数的单调性》

函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a)

高中数学 函数周期性总结

函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．． 时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω π 2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 ) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 7、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6） 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ?)(x f y = 周期)(2a b T -=

高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0??得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为2 1x ;又l 1与l 2垂直,且00,f'(x )<0的解集得出函数的极值点. 【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2. 二、解答题 4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x +a (x-1)2 有两个零点. (1)求a 的取值范围. (2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2) ． 2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M；②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在 x0 ∈ I，使得f(x0) ＝M 结论M为最大值M为最小值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)·g(x)，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． f( x) ［试一试］ 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 解析：选 A 选项 A 的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f(x)＝x2－2x(x∈［－2,4］)的单调增区间为___ ；f(x)max＝ ________ . 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为［1,4］，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：

高中数学函数的周期性练习

高中数学函数的周期性练习 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302 ??- ???，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ． 2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且(0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 典例分析

【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ； ⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =， 则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求 f (2004)

年高考数学函数的单调性必考知识点.doc

2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点：函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点：函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点：函数的单调图像 高中数学知识点：求函数单调性的基本方法 解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并

掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点：例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t， 令x -2x-3=0， 解得：x=3或x=-1， 当x 3和x -1时，t 0， 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质： 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时，x 3时， t是增函数，1/t是减函数， 所以(3，+ )是减区间， 而x -1时，t是减函数， 所以1/t是增函数。 因此(- ，-1)是增区间， 当x 0时， -1

高三数学函数的周期性

2．7 函数的周期性 ——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期 性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问 题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。 一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f (x )=C ； 3.若函数f (x )对定义域内的任意x 满足：f (x+a )=f (x －a ),则2a 为函数f (x )的周期。 （若f (x )满足f (a+x )=f (a －x )则f (x )的图象以x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a 和x=b ，（a

(完整word版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值.doc

第二节函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 ， x 定义 当 x1f(x2)，那么就说函数 就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的f( x)在区间 A 上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义 如果函数 y＝ f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间．易误提醒求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“ 定义域优先” 的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ∪”联结，也不能用“或” 联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1， x2∈[a， b] ，那么

f x1－ f x2 ①>0? f(x)在 [a， b]上是增函数； x1－ x2 f x1－ f x2 <0? f(x) 在[a， b] 上是减函数． x1－ x2 ②(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a， b]上是增函数； (x1－ x2 )[f(x1)－ f(x2)]<0? f(x)在[ a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝ f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝ f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝ f[g(x)] 必为减函数． [ 自测练习 ] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A ． f(x)＝x B ． f(x)＝ (x－ 1) 2 C．f(x)＝ e x D ．f(x)＝ ln( x＋1) 2．函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间是________． － x2－ ax－ 5， x≤ 1， 3．已知函数 f(x)＝ a 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 () x， x>1 A ． [－ 3,0) B ． [－3，－ 2] C．( －∞，－ 2] D ．(－∞， 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ，都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I，都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ，使得 f( x0)＝ M 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．