第8讲 直线与方程——倾斜角与斜率

第8讲 直线与方程——倾斜角与斜率

知识点一、倾斜角与斜率

1、确定直线位置的几何要素：一是直线上的一个定点，另一个则是直线的___________。

2、当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为_________，x 轴__________与直线l _____________之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。并规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°，从而可得直线的倾斜角α的范围是_____________________。

3、当90α≠°时，倾斜角的_________叫做这条直线的斜率，即_____________________。

4、点111222

(,),(,)Px y P x y 是直线l 上的两点，若12x x ≠，则直线l 的斜率k =__________，若12x x =，则k_______。

5、直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若0k ≥，则α的范围是____________，若0k <，则α的范围是_________。

知识点二、两条直线平行与垂直的判定

1、设两条不重合的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，若12//l l ，则__________；反之，若__________，则__________；特别地，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行。

2、如果两条直线都有斜率，且他们互相垂直，那么它们的斜率之积为________。反之，如果他们的斜率之积为_____，那么他们互相垂直。即：________________ 12l l ?⊥，12l l ⊥?_______________。

例题1、经过下列两点的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率。

（1）(1,1),(3,2)-- （2）(1,2),(3,2)-- （3）(3,4),(2,5)-- （4）

例题2、求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。

（1）(1,1),(2,4) （2）(3,5),(0,2)- （3）(3,3),(3,5) （4） (1,2),(11,2)

例题3、已知直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k A 、123k k k << B 、312k k k <

例题4、已知直线l 过点(1,2)P -且与以(2,3),(3,0)A B --为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围。

例题5、若(1,5),(,2),(0,)A a B a a C a ---三点共线，求a 的值。

例题6、已知直线1l 过点(1,1),(3,)A B a ，直线2l 过点(2,2),(3,4)M N a +。 （1）若12//l l ，求a 的值； （2）若12l l ⊥，求a 的值。

巩固习题A

1、若直线l 经过二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是 （ ） A 、)0,90

??

B 、)90,180??

C 、()90,180

D 、)0,180??

2、若三点(3,1)A ，(2,)B t -，(8,11)C 在同一直线上，则t 的值为 （ ） A 、2 B 、9- C 、9 D 、3

3、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ） A 、0 B 、8- C 、2 D 、10

4、下列说法中错误的是 （ ） A 、若两直线的斜率之积不等于1-，则两直线不垂直。 B 、若两直线的斜率之积等于1-，则两直线互相垂直 C 、若直线1l 的斜率为0，2l 的斜率不存在，则12l l ⊥ D 、若直线12l l ⊥，则直线1l 与2l 的斜率互为负倒数。

5、顺次连接(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --所得四边形ABCD 是 （ ） A 、平行四边形 B 、直角梯形 C 、等腰梯形 D 、矩形

6、已知直线l 的倾斜角0,45135,180α????∈????? ，则直线l 的斜率的取值范围是___________________。

7、已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1),A B 为端点的线段有公共点，试求直线l 的斜率取值范围。

8、若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10x a y a +-+-=，求a 的值使得12l l ⊥。

9、△ABC 的三个顶点分别为(2,2(0,2(4,2)A B C +-，试判断△ABC 的形状。

巩固习题B

1、已知(A -、15)B -，直线//l AB ，则直线l 的倾斜角α为 （ ） A 、60

B 、120

C 、45

D 、135

2、已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a= （ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、1-

3、已知(1,1)A -，(2,2),(3,0)B C 三点，若点D 使直线//BC AD ，直线AB CD ⊥，则点D 的坐标是_________。

4、若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则

11

a b

+的值等于__________________________。 5、已知两直线1:330l ax y +-=；2:4610l x y +-=，若12//l l ，则a =_____________________。 6、已知点(1,3)M -，(1,2),N (5,)P y 且90NMP ∠=

，则8log (7)y +=_____________________。 7、已知(,1),(3,4),(1,),(1,1)A m B C m D m --+。求：

（1）当m 为何值时，直线AB 与直线CD 平行；（2）当m 为何值时，AB CD ⊥。

8、若直线l 的斜率为函数2()43()f a a a a R =++∈的最小值，求直线l 的倾斜角α。