函数的周期性(基础+复习+习题+练习)
函数的周期性
基本知识方法
1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；
②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()
1
f x a f x +=±
，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
⑤1()
()1()
f x f x a f x -+=
+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.
⑥1()
()1()
f x f x a f x -+=-
+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
⑦1()
()1()
f x f x a f x ++=
-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.
1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为
.A 1- .B 0 .C 1 .D 2
2．（1）设()f x 的最小正周期2T
=且()f x 为偶函数，
它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,
()f x =
()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，
当1921x << 时，()f x 的解析式是
()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，
已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
3．()1定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，
()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ???
?< ? ????
?； .B ()()sin1cos1f f >；
.C 22cos sin 33f f ππ???
?< ? ????
? .D ()()cos2sin 2f f >
()2 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，
且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 4. 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x ∈[0,2)时,,则f(-2013)+f(2014)的值
为
5. 已知是
上最小正周期为2的周期函数，且当
时, ,则函
数
的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
6. 已知f(x)为偶函数，且f(2+x)=f(2-x)，当-2≤x≤0时，
；若
，
，
则=
7. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则（）。
A:
B:
C:
D:
8. 已知函数定义在R上,对任意实数x有,若函数
的图象关于直线对称,,则( )
A.
B.
C.
D. 2
9．定义在R上的函数()x f
，对任意R
x∈，有()()()()y f x f
y
x
f
y
x
f2
=
-
+
+，且
()0
0≠
f，()1求证：()1
0=
f；()2判断()x f的奇偶性；
()3
若存在非零常数c,使
2
=
?
?
?
?
?c
f
，①证明对任意R
x∈都有()()x f
c
x
f-
=
+成立；
②函数()x f
是不是周期函数，为什么？
课后作业：
1.（2013榆林质检）若已知()f x 是R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当()
0,2x ∈时，2()2f x x =，则(7)f 等于 .A 2- .B 2 .C 98- .D 98
2.设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则
.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-
3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上
是减函数，那么()f x 在[]2,3上是
.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数
4.设1
()1
x f x x -=
+，记(){[()]}n n f
f x f f f f x =??? 个，则2007()f x =
5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ?
?=-+ ??
?，且()23f -=，
则(2014)f =
6.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1
(3)()
f x f x +=-
，且当[]3,2x ∈--时， ()2f x x =，则(113.5)f =
.A 27- .B 27 .C 15- .D 15
7.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()
(1)1()f x f x f x -+=
+，
当0x <≤1时，()2f x x =，则(
11.5)f = .A 1- .B 1 .C 12 .D 1
2
-
8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，
2
()2f x x x
=-.()1求证：()f x 是周期函数；()2当[2,4]x ∈时，求()f x 的表达式； ()3计算f （1）+f （2）+f （3）+……+f (2013)
9.（05朝阳模拟）已知函数()f x 的图象关于点3,04??
- ???
对称，且满足3()()2f x f x =-+，
又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值
高考真题：
1.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解
的个数的最小值是 .A 2 .B 3 .C 4 .D 5
2.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当3-≤1x <-时，
()2
()2f x x =-+，当1-≤3x <时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++=
.A 335 .B 338 .C 1678 .D 2012
3.已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， 当0≤1x <时，()f x x =，则(7.5)f 等于
.A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-
4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15f =-， 则()()5f
f =
5.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =
设63(),(),52a f b f ==5
(),2
c f =则
.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b << 6.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期
是π，且当]2,
0[π
∈x 时，x x f sin )(=，则53
f π
??
???
的值为
.A 21-
.B
2
1 .C 23-
.D
2
3 7.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=
x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=
8.设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区
间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论.