八年级数学上册期末试卷测试卷(解析版)

八年级数学上册期末试卷测试卷（解析版）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5

Q

（厘米/秒）；（2）点P、Q

在AB边上相遇，即经过了80

3

秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【解析】

【分析】

（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得

△BPD≌△CQP；

②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；

（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x

秒，即可列出方程15

6220

2

x x，解方程即可得到结果.

【详解】

（1）①因为t＝1（秒），

所以BP＝CQ＝6（厘米）

∵AB＝20，D为AB中点，

∴BD＝10（厘米）

又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD与△CQP中，

BP CQ B C PC BD =??

∠=∠??=?

, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）， ②因为V P ≠V Q ， 所以BP ≠CQ ， 又因为∠B ＝∠C ，

要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10． 所以点P 、Q 的运动时间84

663

BP t

（秒）， 此时

107.5

43

Q

CQ V t

（厘米/秒）．

（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得15

62202

x x ， 解得x=

803

(秒) 此时P 运动了

80

61603

（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了80

3

秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】

此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.

2．如图（1），AB=4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=3cm ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，他们的运动时间为t(s).

（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t=1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由

（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；

（3）存在；

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

．

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；

（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】

解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：

当t=1时，AP=BQ=1，

∴BP=AC=3，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：

由（1）可知△ACP≌△BPQ

∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

∴PC⊥PQ．

（3）如图（2），分两种情况讨论：

当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则

34t

t xt

=-

?

?

=

?

，

解得

1

1

t

x

=

?

?

=

?

，

当AC=BQ，AP=BP时，△ACP≌△BQP，则，

3

4

xt

t t

=

?

?

=-

?

解得

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

综上所述，存在

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

使得△ACP与△BPQ全等．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．

3．（1）在等边三角形ABC中，

①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点，且AE CD

=，BD与EC交于点F，则BFE

∠的度数是___________度；

②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点，且AE CD

=，BD与EC的延长线

交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；

（2）如图③，在ABC ?中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与

BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）． 【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠= 【解析】 【分析】

（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；

②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°； （2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α. 【详解】

解：（1）①如图①中，

∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°， ∵AE=CD ， ∴△ACE ≌△CBD ， ∴∠ACE=∠CBD ，

∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°． 故答案为60； ②如图②，

∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°， ∴∠CAE=∠BCD=′120°

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．

故答案为60；

（2）如图③中，

图③

点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，

∴=，

OC OA

OAC ACOα

∴∠=∠=

∴∠=∠?

=-，

EAC DCBα

180

=，AE CD

AC BC

=，

∴???，

AEC CDB

∴∠=∠，

E D

∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．

BFE D DCF E ECA OACα

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

4．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．

②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】

【分析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝

∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝

∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.

【详解】

（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

过点A、D作射线AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如图（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC ＝

12∠ADB ，∠AEC ＝1

2

∠AEB ， ∴∠ADC+∠AEC ＝1

(ADB AEB)2

∠+∠＝45°，

∴∠DCE ＝∠A+∠ADC+∠AEC ＝40°+45°＝85°． 【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

5．如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线

BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形

DEF ?，连接CF .

（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点

D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；

（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；

（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想

CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解. 【解析】 【分析】

(1)由ABC ?是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ?是等边三角形，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论；

(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论； (3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论. 【详解】

（1）∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.

∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??

∠=∠??=?

， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF EG =；

（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.

∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??

∠=∠??=?

， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE =，

∴CD CG CE GE CE CF ==+=+ （3）CF =CD +CE ，理由如下： 过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC=GC.

∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，

∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，

∵DE DF GDE CDF DG DC =??

∠=∠??=?

， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE ==GC+CE=CD+CE.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，在等边ABC ?中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE CD =，BD 交CE 于点P ．

（1）如图1，求证120BPC ?∠=；

（2）点M 是边BC 的中点，连接PA ，PM ．

①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ； ②若点A ，P ，M 三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2AP PM =；②结论成立，证明见详解 【解析】 【分析】

（1）先证明()AEC CDB SAS ≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①2AP PM =；由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ，∠CAP ＝30°，可得PB ＝PC ，由∠BPC ＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB ＝30°，进而可得AP ＝PC ，由30°角的直角三角形的性质可得PC ＝2PM ，于是可得结论；

②延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ，得出AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°，然后延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ，易证△CMN ≌△BMP

（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论．

【详解】

（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以60

A ACB

∠=∠=?

∵

AC BC

A ACB

AE CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴()

AEC CDB SAS

≌，∴AEC CDB

∠=∠，

在四边形AEPD中，∵360

AEC EPD PDA A

∠+∠+∠+∠=?，

∴18060360

AEC EPD CDB

∠+∠+?-∠+?=?，

∴120

EPD

∠=?，∴120

BPC

∠=?；

（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝

1

2

∠BAC＝30°，∴PB＝PC，

∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，

∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，

∴AP＝PC，∴AP＝2PM；

故答案为：2

AP PM

=；

②AP＝2PM成立，理由如下：

延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，如图4所示：则∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，

∴△PCD是等边三角形，

∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，

∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，

∴∠BCP＝∠ACD，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，

∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，

延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，

∵点M是边BC的中点，∴CM＝BM，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，

∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，

∴∠NCP＝60°＝∠ADP，

在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP＝PN＝2CM；

【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．

（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．

（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并

延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝2

3

DC？请求出点C的坐标；

（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．

【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .

【解析】【分析】

（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，分别证明△OBD ≌△HCD 和△AOB ≌△FHC ，根据全等三角形的对应边相等解答；

（2）证明△CBA ≌△QBD ，根据全等三角形的性质得到∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，求出 CD ，得到答案；

（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答． 【详解】

解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ， ∵∠BAO ＝60°， ∴∠ABO ＝30°， ∴AB ＝2OA ＝6，

∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°， ∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，

∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°， ∴DB ＝DC ， 在△OBD 和△HCD 中，

==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??

=??∠∠?

∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ， 在△AOB 和△FHC 中，

==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??

=??∠∠?

∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6， 故答案为6；

（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，

∴∠ABD

＝∠

CBQ＝60°，

∴∠ABC＝∠DBQ，

在△CBA 和△QBD 中，

BA BD

ABC DBQ

BC BQ

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△CBA≌△QBD（SAS），

∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，

∴∠PDO＝60°，

∴PD＝2DO＝6，

∵PD＝

2

3

DC，

∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，

∴点 C的坐标为（12，0）；

（3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F．

由（2）得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠OEF＝60°，

∴OF＝OA＝3，

∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，

∴OP＝

1

2

OF＝

3

2

则OP的最小值为

3

2

．

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角

形的判定定理和性质定理是解题的关键．

8．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；

（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．

【详解】

(1)如图：

（2）在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，

∴AB＝AD

∴∠ABD＝∠D

∵∠PAC＝20°

∴∠PAD＝20°

∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

18040

2

D BAD

??

∴∠=-∠=.

∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°

（3）CE＋AE＝BE．

在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，

在等边△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

设∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD＝AC＝AB，

∴()

1

180260

2

D BAC x x

??

∠=-∠-=-

∴∠AEB＝60－x＋x＝60°．

∴△AME为等边三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，

AB AC

BAM CAE

AM AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．

9．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP

的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.

（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；

（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；

（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）∠DBC60α

=?-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α

?+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；

（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得

∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；

（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出

∠BEC60

=?，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.

【详解】

解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，

∠DCP=∠ACP=α，

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠BCD=602α

?+，BC=DC，

∴∠DBC=∠BDC

()

180602

180

60

22

BCDα

α

?-?+

?-∠

===?-；

（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.

理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ， ∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ， ∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；

（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE . 证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ， ∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα?-+=?， ∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，

∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=?+-?-=， ∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ， ∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ， ∵AE=DE ，

∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.

10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，ABC ?是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线

BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ?的一条特异线，则BDC ∠= 度．

（2）如图2，ABC ?中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点

E ，求证：AE 是ABC ?的一条特异线；

（3）如图3，若ABC ?是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．

【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°. 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；

（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；

（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可. 【详解】 （1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC ， ∵BD 是△ABC 的一条特异线， ∴△ABD 与△BCD 为等腰三角形， ∴AD=BD=BC ，

∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ， ∴∠ABC=∠C=∠BDC ， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A ， 设∠A=x ，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x ， 在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠BDC=72°，

故答案为：72；

（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴△EAC为等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，

∴△EAB为等腰三角形，

∴AE是△ABC的一条特异线；

（3）

如图3，当BD是特异线时，

如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；

如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；

如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，

则：∠ABC=180°?20°?20°=140°；