次函数与等腰三角形直角三角形的综合

次函数与等腰三角形直角三角形的综合

TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程

1.（2011广东）已知抛物线212

y x x c =++与x 轴有交点．

(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由．

解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞1

2

(2)∵c ＞12 ∴直线y=1

2x ＋1随x 的增大而增大，∵b=1

∴直线y=1

2x ＋1经过第一、二、三象限

2.(2011南京)已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．

⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 解：⑴当x=0时，1y =．

所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）．

⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；

②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程

2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．

综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

3、如图，二次函数c bx x y ++-=24

1

的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点

C .

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；

（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，

∴???+--=-++-=c b c b 444440，解得?????

==2

21c b ，

∴二次函数解析式为22

1

412++-=x x y .

（2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，

则在AOC Rt ?中，21

42tan ===

∠AO CO CAO ， 又在ABD Rt ?中，2

1

84tan ===∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴

BAO CAO ∠=∠.

（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为22

1

-=x y ，

设()44,221, x x x P -??? ??-，则??

?

??++-22141,2x x x Q ，

∴22141,2122212++-=-=-=

x x QH x x PH .∴22

1

4122122++-=-x x x . 当4212122++-=-

x x x ，解得 4,121=-=x x （舍去），∴??? ??

--25,1P .

当4212122--=-

x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去），∴??? ?

?

--27,3P .

综上所述，存在满足条件的点，它们是??? ?

?

--25,1与??? ??--27,3.

4.（2011安顺）如图，抛物线y =2

1

x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C

点，且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 解：（1）b =23-

解析式y =21x 2-23x -2. 顶点D (23, -8

25). （2）当x = 0时y = -2, ∴C （0，-2），OC = 2。

∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC 是直角三角形. （3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′=2，连接

C ′

D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E .

∵ED ∥y 轴, ∴∠OC ′M =∠EDM ,∠C ′O M =∠DEM ∴△C ′OM ∽△DEM . ∴

ED C O EM OM '=

∴8

25223=-m m ，∴m =4124

． 解法二：设直线C ′D 的解析式为y = kx + n ,

则???

??-=+=825

2

32

n k n ，解得n = 2, 1241-=k .∴21241+-=x y . ∴当y = 0时， 021241=+-

x ， 4124=

x . ∴41

24

=m . 5、（09江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大， 若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得

10930b c b c -++??

--+=?＝ ∴23b c =-??=? ∴抛物线解析式为：223y x x =--+

(2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴

1x =-对称

∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小

∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+

Q 点坐标即为13x y x =-??=+?的解

∴12x y =-??=?

∴Q(－1，2)

（3）答：存在

理由如下：

设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，

∵9

2

BPC BOC BPCO BPCO S S S S ??=-=-四边形四边形

若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ?就最大， ∴BPE BPCO PEOC S S S ?+Rt 四边形直角梯形＝

A

B

C

x

y O B

C

A

＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228

x -+++ 当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝927

28

+

∴BPC S ?最大＝927927

2828+-=

当32x =-时，215

234x x --+=

∴点P 坐标为315

( )24

-，

6．（2010常德）如图，已知抛物线212

y x bx c =++与x 轴交于A (－4,0) 和B (1,0)两点，

与y 轴交于C 点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF y 2132

2

2

y x x =+-1,2BF CF =1.3BF BC =B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ 1,3BE BF BA BC ==5

,3

BE =23

-

（3）AC 的解析式为122y x =-－．若设P 点的坐标为213,222a a a ??

+- ???

，

又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1,2)2

a a --．则有：

2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a --＝()2

1222

a -

++

即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）

考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形

7.（2011湘潭）如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．

（2）∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为x=1． 设Q 点坐标为（1，m ），则224,1(3)AQ m BQ m =+=+- 又10AB =当AB=AQ 时，2

410m +=6m =， ∴Q 点坐标为（16）或（1，6-）；

当AB=BQ 2101(3)m =+-，解得：120,6m m ==， ∴Q 点坐标为（1，0）或（1，6）；

当AQ=BQ 2241(3)m m +=+-，解得：1m =， ∴Q 点坐标为（1，1）．

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q （16）、（1，6-）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ 是等腰三角形．

8．（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ． （1）求点C 的坐标．

（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．

（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标． 解：（1）点C 的坐标是（4，0）；

（2）y = 12-x 2+3

2

x +2．

（3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．

以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC =25t 5

②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD 254525t =，解得t 40105

- ③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE =

25

5

PC ， ∴12

t =25

5（25t ），解得t =54011．

（4）当CQ =PC 时，由（3）知t 5P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =

1

2x ， 因而有12x =12-x 2+3

2

x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =15

∴直线OP 与抛物线的交点坐标为（515+）和（515

-）．

9、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ，c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：

①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由已知得：A （﹣1，0），B （4，5），

∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，5），

∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：∵直线AB 经过点A （﹣1，0），B （4，5）， ∴直线AB 的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x 2﹣2x ﹣3， ∴设点E （t ，t+1），则F （t ，t 2﹣2t ﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t 2﹣2t ﹣3）=﹣（t ﹣32）2+25

4，

∴当t=32时，EF 的最大值为254，∴点E 的坐标为（32，5

2）；

（3）①如图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD ．

可求出点F 的坐标（3

2，），点D 的坐标为（1，﹣4） S 四边形EBFD =S △BEF+S △DEF =12×254×（4﹣32）+12×254×（32﹣1）=75

8；

②如图：

ⅰ）过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P ，设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3）

则有：m 2﹣2m ﹣2=5

2，解得：m 1=，m 2=， ∴P 1（，52），P 2（，5

2），

ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于P 3，设P 3（n ，n 2﹣2n ﹣3）则有：n 2﹣2n ﹣2=﹣15

4，

解得：n 1=12，n 2=32（与点F 重合，舍去），∴P 3（12，15

4），

综上所述：所有点P 的坐标：P 1（，52），P 2（，52），P 3（12，15

4）

能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形． 二、能力提升

1．（09深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：⑴ B （1

⑵设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （

a

，因此2y =

⑶如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.

设直线AB 为y =kx +b .

所以20.k k b k b b ?=??+=????-+=???=??

解得，

因此直线AB

为y x =

，当x =－1

时，y =

因此点C 的坐标为（－1.

⑷如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .

当x =－1

2时，△PAB 2、（2011菏泽）如图，抛物线y=1

2x 2+bx ﹣2与x 点，且A （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．

解：（1）把点A （﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=1

2

x 2+bx ﹣2，

整理后解得，

所以抛物线的解析式为．（2分）

顶点D ；（3分）

（2）AB=5．AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20， ∴AC 2+BC 2=AB 2，

∴△ABC 是直角三角形．（6分）

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D 交x 轴于点M ，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， △C′OM ∽△DEM ．

∴OM EM =OC'ED ，

∴，

∴m=24

41．（10分）

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．

3.（2010孝感）如图（1），矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上，折叠边AD,使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE ，已知AB=8，AD=10，并设点B 坐标为（m,0），其中m ＞0.

（1）求点E 、F 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）连接OA ，若△OAF 是等腰三角形，求m 的值；

（3）如图（2），设抛物线y=a(x －m －6)2+h 经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM ，若∠OAM=90°，求a 、h 、m 的值.

解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°. 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在Rt △ABF 中，22221086AF AB -=-=.∴FC=4.

在Rt △ECF 中，42+（8-x ）2=x 2，解得x=5.∴CE=8-x=3.∵B （m ，0）,∴E(m+10,3),F （m+6,0）.

（2）分三种情形讨论：

若AO=AF ，∵AB ⊥OF ，∴OB=BF=6.∴m=6. 若OF=AF ，则m+6=10，解得m=4.

若AO=OF ，在Rt △AOB 中，AO 2=OB 2+AB 2=m 2+64， ∴（m+6）2= m 2+64，解得m=73

. 综合得m=6或4或

73

. （3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

依题意，得2

2

(6)8(106)3a m m h a m m h ?--+=?

?+--+=??，解得1,41.

a h ?=???=-? ∴M （m+6，﹣1）.设对称轴交AD 于G. ∴G （m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9. ∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°， ∴∠OAB=∠MAG. 又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB ∽△AMG. ∴

OB AB MG AG =

，即8

96

m =. ∴m=12. 4．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－9

4，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ． （1）求∠ACB 的度数；

（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

解： (1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =090 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4

9

=AO 3=OC

∴OB 4

9

32=

∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 312

7

312++-=x x y

(3)

1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。

DH=OC 21 OB OH 21= ∴D )2

3

,2(

2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=

54 DG=53

∴D(54,5

3)

二次函数与等腰三角形

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题 【学习目标】 这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨 论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性. 【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用. 一、考点突破 12 例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若 4 已知 A 点的坐标为（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； 2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式； P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在 点P 点坐标；若不存在，请说明理

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与三角形最大面积的3种求法(供参考)

二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标 为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标． 二次函数与三角形最大面积的3种求法

二次函数与等腰三角形结合1

二次函数与几何综合（一） ------等腰三角形问题 北京市第十三中学分校 郝凤霞 2012年10月25日 教学过程 设计意图 活动1. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2(1)4y x k x =-+-+的图 象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ?=．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 活动1中，“p 在x 轴上”，通过此 例明确等腰三角形的分类方法， 初步探究二次函 数背景下等腰三角形问题的分析，确定问题解 决思路，同时，鼓励学生发散多种做法，拓宽思路. 科目 数学 课题 二次函数背景的等腰三角形问题 班级 初三(2)班 任课教师 郝凤霞 学 生 情 况 分 析 有关等腰三角形的分类讨论，在之前的几何综合题中有涉及，学生基本理解等腰三角形的分类标准及解题方法；通过前一段时间的学习，学生已经掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求函数图象的交点坐标，较熟练运用函数知识解决实际问题；二次函数知识本身就是数形结合思想的数学思想的一个很好的体现，在解决这类问题时，学生往往要么只注意到代数知识，要么只注意到几何知识，不会把它们互相转化，如坐标系中点的坐标与几何图形中线段的长的关系；坐标系中互相垂直的两直线之间的代数关系等，本节课的教学重点是引导学生在二次函数背景的背景下研究等腰三角形问题，提炼方法. 教 学 目 标 掌握二次函数背景下等腰三角形的分类讨论问题的方法与步骤 进一步渗透分类讨论思想数形结合思想以及方程思想，培养学生将几何问题与 代数问题的转化思想 体会解题过程中方法的筛选与调整，树立解决综合题的信心 教学 重点 运用转化的数学思想方法，数形结合分析等腰三角形问题 教学 难点 准确对等腰三角形分类，确定解决代几综合问题的思路

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

一次函数与全等三角形综合题

27题精选1（2011-11-27） 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式； （2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 （3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 （1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 x y x y 第 2题图① 第2题图② 第2题图③

3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； 的外部作一条直线3l ，过点 B 作BE ⊥3l 于E,过点 C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证： BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 4、如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足. （1）求直线AB 的解析式； （2）若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； （3）过A 点的直线 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直 线交AP 于点M ，试证明 的值为定值．

二次函数与三角形周长值

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由． k 2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3． （1）求抛物线的函数解析式； （2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标 （3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．

一次函数与等腰三角形存在性培优专题

一次函数与等腰三角形存在性培优专题 1．已知一次函数1 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点P在x轴上，并且使以点A、B、P为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2．已知一次函数 4 4 3 y x =+的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴的正半轴上， 若ABC △为等腰三角形，则点C的坐标为______________________________________．3．如图，直线OB是一次函数2 y x =-的图象，点A的坐标为(02) ，，在直线OB上找点C，使ACO △为等腰三角形，则点C的坐标是______________________________________． 4．一次函数1 y x =+的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，且使得ABC △是等腰三角形，符合题意的点C坐标为______________________________________． 5．如果一次函数 3 6 4 y x =-+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上， 并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为______________________________________．

6．如图所示，一次函数4 =-+与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点 y x （不包含A、B两个端点），C是线段OB上一点，45 △是等腰三角形， OPC ∠=?，若OPC 试求点P的坐标？ 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt ABC △的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，4 OB=． OA=，3 （1）求点C的坐标； （2）求经过点B，C的一次函数的解析式； （3）在x轴上是否存在点P，使PCB △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数及三角形周长,面积最值问答

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． （4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

一次函数与三角形综合题

一次函数与三角形综合题培优试题 1.如图,在直角坐标系中,直线l⊥x轴交负半轴于点A(a,0),点C在直线l上,过点C的另一 直线交y轴于点B(0,b),且a,b满足0 - + a -b )1 ( 22= (1)求AOB ?的面积 (2)求证:AB平分∠COB; (3)在y轴正半轴上有一动点M,CB的延长线上有一动点N,在运动的过程中,恰使∠AMB= ∠ANB,当M,N的位置发生变化时,MB-NB的值是否发生变化,如果不变,求其值,若变化,说明理由.

2、

3、如图①所示,直线y=x+1交x轴于点A,交y轴于点C,OB=3OAM在直线AC上,AC=CM, (1),求直线BM的解析式. (2)如图①所示,点N在MB的延长线上,BN=AC,连CN交x轴于点P,求点P的坐标; (3)如图②所示,连OM,在直线BM上是否存点K,使得∠MOK=45°,若存在,求点K的坐标,若不存在,说明理由. 图①图②

4、直线1l :y ＝mx ＋4m 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点. (1)当OA=OB 时，试确定直线1l 的解析式； （2）直线2l :y ＝-2mx ＋4m 过B 点交x 轴于C 点， 直线y=t （t ＞4m ）分别交直线1l 、直线2l 、y 轴 正半轴于M 、D 、N ，画出图形，求 DN DM 的值； (2) 如图分别以OB 、AB 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，问当m 变化时，现给出两个结论： ①BP 的长度不变；② OB BP 的值不变， 其中有且只有一个结论是正确的，请你证明正确的结论 并求出其的长度.

(完整版)二次函数综合题——等腰三角形

二次函数综合题——等腰三角形 一．解答题（共30小题） 1．（2014?新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．（1）求该二次函数的解析式； （2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标． 2．（2014秋?怀宁县校级月考）如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x 轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6． （1）求该二次函数的表达式； （2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 3．（2011?淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2014?曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标． （2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形． 5．（2008秋?密云县期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5）， （1）求这个二次函数的解析式； （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标． 6．（2008?海淀区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求： （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值； （3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标． 7．（2006?松江区二模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的图象经过点A（﹣2，m）（m＜0），与y轴交于点B，AB∥x轴，且3AB=2OB． （1）求m的值； （2）求二次函数的解析式； （3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

二次函数中等腰三角形的存在性

知识回顾： 1、二次函数的三种形式： 2、已知一边，求等腰三角形周长的方法： 3、等腰三角形的特点： 例题分析： 例1、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 例2、已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函 数关系式； （2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形，并写出0P 点的坐标； （4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB 与x 轴重合（其中OA0，

n >0），连接DP 交BC 于点E 。①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．． 此时点E 的坐标。 ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。 例4、如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于、两点（点在点的 左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角求线段OC 的长.： (2)求该抛物线的函数关系式．： (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由 例5、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标 轴上，且点(02)A ， ，点(10)C -，，如图所示：抛物线2 2y ax ax =+-经过点B ． 图1 图2 图3

二次函数和三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：

二次函数中等腰三角形专题

二次函数中等腰三角形专题 一．解答题（共15小题） 1．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y= 1/2x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC 内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB 是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围． 2．如图，二次函数y=4/3 x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D点坐标． 3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象与x轴交于点A，B（点B 在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题 一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件 的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0）， 在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标 为． 三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是 否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数中三角形问题(含问题详解)

二次函数中的三角形 一．与三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22 k y kx =+- 与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22 ++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。C 是抛物线的顶点。 （1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021

二次函数中等腰三角形存在问题

中考二次函数中等腰三角形存在问题 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标． 图1-1 分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD． ①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6,0)（如图1-2）． ②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5,0)（如图1-3）． ③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）． 在Rt△OPE中， 3 cos 5 OE DOP OP ∠==， 5 2 OE=，所以25 6 OP=． 此时点P的坐标为 25 (,0) 6． 1.

2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣ 3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标． 3.如图，抛物线2 y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）经过点A （﹣1，0），B （5，﹣6），C （6，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标．

二次函数与等腰三角形存在性问题

老师 学生学管师 学科 名称 年级上课时间月日 _ _ :00-- __ :00 课题 名称 等腰三角形的存在问题 教学 重点 教 学 过 程 1.（2011?）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另 一点C（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2.（2011?）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于

点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2011?）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段 AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 4.（2011?市綦江县潭已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式： （2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2011?贵港）如图，已知直线y=﹣x+2与抛物线y=a （x+2）2 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点． （1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； C A B y x O P D Q

一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).

一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）?课前预习 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A， B 是两个格点，若点 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等 腰直角三角形，则符合条件的点C 有个． 2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知 识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征． ②分类、画图 结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等． 2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．

?精讲精练 1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是 第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．

2.如图，直线y =-1 x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3 在直线y =-1 x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为 3 ． 3 2 （1）求直线y =-1 x +b 的表达式及点C 的坐标；3 （2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．

二次函数中的等腰三角形问题

教学过程 一、复习预习 1.二次函数的基础知识 2.等腰三角形的性质 3.相似三角形的性质 二、知识讲解 考点1 二次函数的基础知识 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）

2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1） （x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言， 其顶点坐标为（－2b a ，2 44ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），? 由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形的腰与它的高的关系 直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 考点3 相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。 2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。