高一物理 必修2 第三讲 圆周运动

第三讲 圆周运动

【重点难点突破】

要点一 向心力的理解 1．大小

(1)Fn ＝mω2

r ＝m v 2

r

＝mωv ，这三个公式适用于所有圆周运动，但在变速圆周运动中，ω、v 是变化的，

所以求某一点的向心力时，v 、ω都是那一点的瞬时值．

(2)因为ω＝2πT ＝2πf ＝2πn(其中各物理量都采用国际单位)，所以Fn ＝m(2π

T )2r ＝m(2πf)2r ＝m(2πn)2r.

2．方向

总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力． 3．作用效果

向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小．

4．向心力的来源

向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力，它可以由某一个力单独承担，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合外力在沿半径指向圆心方向上的分量．例如随盘一起转动的物体受到的向心力就是物体受到的盘给予的静摩擦力；卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力就是地球对卫星的万有引力(暂且理解为物体受到的重力)；小球在细线的约束下，在竖直面内做圆周运动，某时刻小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方向的分量的合力．

总之，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它是根据力的作用效果来命名的． 要点二 对匀速圆周运动的再认识 1．运动特点

(1)线速度大小不变、方向时刻改变． (2)角速度、周期、频率都恒定不变．

(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变． (4)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期，运动物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v 、a 的大小、方向)也要重复原来的情况．

2．受力特点

(1)合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．

(2)匀速圆周运动只存在向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．(F 合＝F 向) 3．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别

(1)从曲线运动的条件可知，变速圆周运动所受的合外力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受的合外力与瞬时速度之间的夹角是锐角，当速率减小时，物体受到的合外力与速度之间的夹角是钝角．

图5－7－5

例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A 和向上减

速运动过程的某一位置B ，小球的受力情况如图5－7－5所示．比较可见，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是：

匀速圆周运动：合外力全部用来提供向心力，即F 合＝F 向．

变速圆周运动：合外力沿着半径方向的分量提供向心力，合外力不指向圆心，一般F 合≠F 向． (2)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，解决变速圆周运动，除了依据上述规律还需要用到后面章节将要学习的功能关系等．

4．分析匀速圆周运动的思路和方法

(1)指导思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．解决方法就是解决动力学问题的一般方法．

(2)一般步骤

①明确研究对象并对其受力分析．

②明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置，进一步求出物体所受的合力或向心力． ③由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式列方程． ④求解或分析讨论．

要点三 一般曲线运动的处理方法

1．运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动．

图5－7－6

如图5－7－6所示，质量为m 的质点的运动轨迹是一条曲线，我们可以采用圆周运动的分析方法来研究质点经过曲线上某位置的运动规律．

设质点经过A 、B 两点时速度分别为v 1、v 2，所受合外力分别为F 1、F 2，A 、B 两点所在圆弧的曲率中心分别为O 1、O 2，曲率半径分别为r 1、r 2，θ1、θ2分别为F 1、F 2与O 1A 、O 2B 的夹角，则根据圆周运动的分析方法我们

可得F 1cos θ1＝m v 21r 1，F 2cos θ2＝m v 22

r 2

.

2．处理的方法

(1)将曲线可分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可看作一小段圆弧，但这些圆弧的弯曲程度通常是不一样的，所以我们用r 1、r 2分别表示A 、B 两点处的曲率半径，反映圆弧的弯曲程度．

(2)将力F 1、F 2沿曲线切向和法向进行分解，F 1、F 2沿曲线切线方向的分力使物体产生切线方向的加速

度，使质点加速或减速．如图中质点经过A 点时减速，而经过B 点时加速；沿 法向的分力使物体产生向心加速度，再运用F 向＝m v 2

r

＝mω2r 进行求解.

1.向心力公式Fn ＝m v2r ＝mω2r 和向心加速度公式an ＝v2

r ＝ω2r 是由匀速圆周运动中得出的，在变速

圆周运动中能适用吗？若能适用，应注意什么问题？

变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an ＝v 2r 、an ＝rω2

和Fn ＝m v 2r 、Fn ＝mrω2公式

求解．因为在运动中，v 、ω、Fn 的大小在变化，所以在运用公式时，四个物理量必须是同一位置的瞬时

值．

2．在圆周运动和一般曲线运动中，力对于速度的改变是如何作用的？在这种情况下，如何进行力的运算？

(1)根据变速直线运动的知识，当物体所受外力的方向跟运动方向相同时，物体做加速直线运动；当外力的方向跟运动方向相反时，物体做减速直线运动．即当物体所受的外力方向跟运动方向在同一直线上时，外力只改变速度大小而不改变速度方向．

(2)根据匀速圆周运动的知识，做匀速圆周运动的物体所受的向心力只改变了物体速度的方向(其速度大小不变)，而向心力总跟速度方向垂直，由此推知，如果物体所受的外力跟速度方向垂直，外力只改变速度的方向而不改变速度的大小．变速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它的一个分力沿切向，来改变物体运动的速度大小，另一个分力指向圆心，只改变速度的方向，来充当向心力．

(3)如果物体所受的外力既不跟速度方向垂直，也不跟速度方向在同一直线上，该外力不仅改变速度大小，也改变速度方向．对于这种情况，我们可以把物体所受的外力分解为垂直于速度方向的分力Fn和跟速度方向在同一直线上的分力Ft，其中Fn只改变速度的方向，Ft

只改变速度的大小.

【精选典题精解】

一、向心力的理解

例1如图5－7－7所示，

图5－7－7

一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是()

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

方法总结

向心力是按效果命名的．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力.

二、对向心力公式的运用

例2如图5－7－8所示，

图5－7－8

有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内，已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，求小球圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力．

方法总结

三、圆周运动临界问题的分析 例3 如图5－7－9所示，

图5－7－9

水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)．物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k 倍．求：

(1)当转盘的角速度为ω1＝ kg

2r

时，绳中的张力多大？ (2)当转盘的角速度为ω2＝

3kg

2r

时，绳中的张力又多大？ 方法总结

与弹力、摩擦力相关的临界问题，令运动物体达到极限状态，从而找出临界条件，然后

再对问题做出判断.

题型 ① 向心力的来源问题

如图1所示，

图1

有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r 处的P 点不动，关于小强的受力下列说法正确的是( )

A ．小强在P 点不动，因此不受摩擦力作用

B ．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力

C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力

D ．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P 点受到的摩擦力不变

拓展探究 (1)如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否仍指向圆心？

(2)如果小强在P 点相对于圆盘竖直跳起，再次落在圆盘上后仍随圆盘转动(圆盘转速保持不变)，小强的受力情况是否发生变化？

题型②圆周运动的一般动力学问题

有一种叫“飞椅”的游乐项目，

图2

示意图如图2所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

拓展探究如图3所示，

图3

链球运动员在将链球掷出手之前，总要双手拉着链条，加速转动几周，这样可使链球的速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远．在运动员加速转动过程中，能发现他手中链球的链条与竖直方向的夹角θ将随着链球转速增大而增大，试通过分析计算说明：为什么θ角随链球转速增大而增大？

答案见解析

题型③圆周运动的临界问题

如图4所示，

图4

细绳一端系着质量为M＝0.6 kg的物体，静止在水平盘面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg 的物体，M的中心与小孔距离为0.2 m，并知M和水平盘面的最大静摩擦力为2 N．现使此水平盘绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10 m/s2)

归纳总结

1．分析圆周的临界问题，令物体达到极限状态，暴露出临界的条件．

2．物体受静摩擦力时，要注意其大小和方向随转速的变化而发生变化，当达到Ffmax时，对应的运动量也达到了临界值.

【方法技能强化】

1.做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )

A ．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B ．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小

C ．物体所受的合外力

D ．向心力和向心加速度的方向都是不变的

2．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力之比为( )

A ．1∶4

B ．2∶3

C ．4∶9

D ．9∶16 3．如图5 所示，

图5

长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方L

2处有一钉子C ，把悬线另一端的小球m 拉到跟悬点在同一

水平面上无初 速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )

A ．线速度突然增大

B ．角速度突然增大

C ．向心加速度突然增大

D ．悬线拉力突然增大 4.

图6

一个内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直，圆锥固定，有质量相同的两个小球A 和B 贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图6所示，A 的半径较大，则( )

A ．A 球的向心力大于

B 球的向心力

B ．A 球对筒壁的压力大于B 球对筒壁的压力

C ．A 球的运动周期大于B 球的运动周期

D ．A 球的角速度小于B 球的角速度 5．如图7所示，

图7

A 、

B 、

C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，已知A 的质量为2m ，B 、C 质量均为m ，A 、B 离轴距离均为R ，C 离轴距离为2R ，则当圆台旋转时( )

A．C的向心加速度最大

B．B的摩擦力最小

C．当圆台转速增加时，C比A先滑动

D．当圆台转速增加时，B比A先滑动

6．如图8所示，

图8

U形管内盛有液体，两臂垂直于地面，若U形管绕左臂的轴线转动，则左右两臂液面高低相比较有()

A．右臂液面高

B．左臂液面高

C．两臂液面相平

D．以上情况都有可能

7．甲、乙两名溜冰运动员，

图9

M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图9所示．两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是()

A．两人的线速度相同，约为40 m/s

B．两人的角速度相同，为6 rad/s

C．两人的运动半径相同，都是0.45 m

D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m

8．如图10所示，

图10

天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力F A、F B的大小关系是()

A．F A>F B>mg

B．F A

C．F A＝F B＝mg

D．F A＝F B>mg

9．如图11所示，

图11

质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比．

10．如图1 2所示，

图12

两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径R A＝2R B，当主动轮A匀速转动

时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B

轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为多少？

【自我诊断提高】

1、正确率得分：

2、易错题型：

3、高频错误考点：

（1）

（2）