等比数列的前n项和教案
【篇一:等比数列前n项和教学设计】
《等比数列的前n项和》教案
一.教学目标
知识与技能目标:理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握
等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
过程与方法目标:通过公式的推导过程,提高学生构造数列的意识
及探究、分析与解决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一
般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。
情感与态度目标:通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓
励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得
成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、
数学的严谨美。
二.重点难点
教学重点:公式的推
导、公式的特点和公式的运用;教学难点:公式的推导方法及公式
应用的条件。
三.教学方法
利用多媒体辅助教学,采用启发---探讨---建构教学相结合。
四.教具准备教学课件,多媒体五.教学过程
(一)创设情境,提出问题
故事回放:在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时
的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我在棋盘的64个方格上,第1个格子里放1千吨小麦,第2个
格子里放2千吨,第3个格子里放3千吨,如此下去,第64个格
子放64千吨小麦,请给我这些小麦?
(二).师生互动,探究问题
问题1:同学们,你们知道西萨要的是多少小麦吗?引导学生写出
小麦总数,带着这样的问题,学生会动手算起来,通过计算需要
1+2+3+?+64=2080(千吨)
结果出来后,国王认为西萨胃口太大,而国库空虚,还是提个简单
的要求吧!西萨说:国王,我希望在第1个格子里放1颗麦粒,第
2个格子里放2颗,第3个格子里放4颗,如此下去,每个格子放
的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,
请给我这么多的麦粒数?
问题2:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写
出麦粒总数1?2?22?23?????263,同时告诉学生一个抽象的答案,如果按西萨的要求,这是一个多么巨大的数字啊!它相当于全世界
两千多年小麦产量的总和.
问题3: 1,2,22,?,263是什么数列?有何特征?应归结为什
么数学问题呢?
探究一:1?2?22?23?????263,记为
s64?1?2?22?23?????263??①式,注意观察每一项的特征,有何
联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探究二:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,①式
两边同乘以2则有2s64?2?22?23?????264??②式.比较①、②
两式,你有什么发现?
经过比较、研究,学生发现:①、②两式有许多相同的项,把两式
相减,相同的项就消去了,得到:s64?264?1 ,老师指出:这就是
错位相减法,并要求学生纵观全过程。
思考:为什么①式两边要同乘以2呢?(三).类比联想,解决问题探究三:如何将结论一般化,设等比数列?an?,首项为a1,公比为q,如何求前n项和为sn?
探究四:在学生推导过程中,由(1?q)sn?a1?a1q,得到sn?
n
a1?a1q1?q
n
对不对?
探究五:结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)
(四).例题讲解,形成技能
1111
......前8项和;例1:求等比数列,,,
24816
练习一:根据下列条件,只需列出等比数列?an?的(1)
a1=3,q=2,n=6,
sn的式子
sn=________________.
12
,
(2) a1=2.4,q=-1.5,an=
sn=_______________.
(3)等比数列1,2,4,?从第五项到第十项的和s=___________.
例2:等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn?练习二:等比数
列{an}的公比q= (五)总结归纳,加深理解
12
,a8=1,求它的前8项和s8。
引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从
知识点及数学思想方法两方面总结。
(六).故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,西萨的第二个要求需要大约7380亿
吨小麦,比第一个要求更加苛刻,显然国王兑现不了他的承诺。同
学们有什么办法帮助国王吗?让西萨自己去数他要的麦粒,事实上,假如他一秒钟数一粒,数完这些麦粒所需时间约是5800亿年。
六.课后作业
必做: p24习题三第三题(1)(2)
七、教学评价与反馈
根据高二职高学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性
教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略,即“案例—公式—应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突破。应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固
【篇二:《等比数列的前n项和》教学案例设计】
《等比数列的前n项和》教学案例设计
一、设计思想
1、设计理念
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑,
坚持面向全
体学生,努力设计“适合学生发展得数学教育”,体现“人人学数学”,“不同
的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价
值观”的重
要性,注重引导学生主动地进行探索,从而帮助学生树立正确的数
学观,但又与
教师的设计问题与活动的引导密切结合,强调“活动”的内化,即在
头脑中实现
必要的重构或认知结构的重组,从而引起真正的数学思维,提高思
维的效益。通
过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的,一方面培养
学生的社会意
识,明确肯定“日常数学”的合理性等,另一方面,再调动学生生活
经验的同时,
又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必
要性。
2、设计背景
传统的数学作业单调枯燥,脱离生活和学生实际,不利于学生个性
和能力的发展。
在新课程标准的理念下,重新认识作业的意义和价值,突破传统,
改变现状,树
立正确的作业观,创新作业方式,激发兴趣,发展学生数学素质,
既注重基础知
识的巩固,更要注重学生思维和能力的发展,既要创新又要保证其
科学有效,使
学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用
本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上,学习等比
数列n前项和
公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式
的推导、体会
错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技
能非常重要,
涉及的数学思想、方法较为丰富,因此是重点内容之一。本设计是
第一课时的教
学内容。
二、学习目标
⑴知识与技能
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。
⑵过程与方法
通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会错位相减法以及分
类讨论的思想
方法。
⑶情感、态度与价值观
通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学
价值、应用价
值,发展数学的理性思维。
教学重点
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决
相关问题。
教学难点
错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想:
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发
引导下,以学
生独立自主和合作交流为前提,以“正弦定理的发现”为基本探究内容,以四周
世界和生活实际为参照对象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题
的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学
知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习,在“主动”
中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。设计思路如下:
四、教学过程
(一)创设问题情景
课前给出复习:等比数列的定义及性质
课首给出引例:“ 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,
哪知富人一
口答应了下来,但提出了如下条件:在30天中,富人第一天借给穷
人1万元,第二
天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱
第一天,穷人还
1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30
天后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,
怕上当受骗,
所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?
[设计一个学生比较感爱好的实际问题,吸引学生注重力,使其马上
进入到研究者
的角色中来!]
(二)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型。
学生直觉认为穷人可以向富人借钱,教师引导学生自主探求,得出: (1+30)?30=1+2+ +30==465(万元)穷人30天借到的钱:s302
穷人需要还的钱:s30=1+2+22+ +229=?
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
教师紧接着把如何求s30=1+2+22+ +229=?的问题让学生探究,
s30=1+2+22+ +229 ①若用公比2乘以上面等式的两边,得到
2s30=2+22+ +229+230②
若②式减去①式,可以消去相同的项,得到:
(分) ≈1073(万元) > 465(万元) s30=230-1=1073741823
答案:穷人不能向富人借钱
(三)引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式?(学生很自然地模仿以
上方法
推导)
sn=a1+a1q+a1q2+ +a1qn-2+a1qn-1(1)
qsn=a1q+a1q2+ +a1qn-1+a1qn(2)
(1)-(2)有(1-q)sn=a1-a1qn
q=1?na1,? sn=?a1(1-qn)a1-anq,q≠1?1-q=1-q?
推导等比数列前n项和sn的公式,教师引导讲完课本上的推导方
法后,
教师:还有没有其他推导方法?(经过几分钟的思考,有学生举手
发言)
学生a:a2=a3= =an=q ∴a2+a3+ +an=q 即 a1a2an-1a1+a2+
+an-1
sn-a1=q∴sn=a1-anq(q≠1)sn-an1-q。
学生b:
sn=a1+a1q+ +a1qn-2+a1qn-1
=a1+qa1+a1q+ +a1qn-2=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)=a1+qsn-anq
∴sn-qsn=a1-anq∴sn=a1-anq(q≠1) 1-q()
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路!
教师让学生进行各种尝试,探寻公式的推导的方法,同时抓住机会
或创设问题情
景调动了学生参与问题讨论的积极性,培养学生的探究能力,发挥
了组织者、推
进者和指导者的作用,而学生却是实实在在的主体活动者、成为发
现者、创造者!
让学生享受成功的喜悦! ]
【基础知识形成性练习:】
1、求下列等比数列的各项和:
1111(1)1,3,9,?,2187(2)1,-,,-, ,- 248512
2、根据下列条件求等比数列{an}的前n项和sn
①a1=2,q=2,n=8 ②a1=8,q=2,an=
(四)数学应用
例1 求等比数列1/2,1/4,1/8??的
(1)前8项的和;
(2)第四项到第八项的和
11解:(1) a1=,q=,n=8 221 2
11(1-n)=255 ∴s8=2
12561-2
1(2) a4=a1q3=,n=5 16
11(1-5)=31 ∴s=12561-2
例2:在等比数列{an}中,
(1)已知 a1=-4,q=2, 求sn
(2)已知a1=1,ak=243,q=2求sk
例3:在等比数列{an}中,s3=763,s6= 求an 22
[例1教师板演示范,强调解题的规范。例2、例3学生分析解法,
学生不会时要分析出不会做的症结所在,然后再由学生板演出解题
过程。]
【演练反馈巩固性练习:】
1)在等比数列{an}中,
①已知a1=-1.5,a7=-96,求q和sn
②已知a3=4,s3=12,求q和a1
2)求数列1+a+a2+a3+ an-1+ (a≠0)的前n项和。
[允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。然后老师给出评价]
(六)布置作业
1、根据下列条件,求等比数列{an}的前n项和sn
①: a1=3,q=2,n=6 ②: a1=8,q=11,an= 22
5,n=4 ④: a1+a3=10,a4+a6=, ③:a2=0.12,a5=0.000964
2、在等比数列
①:已知{an}中, a1=2,s3=26,求q和sn
=30,s3=115,求sn
}中,已知sn=48,s2n=60,求s3n ②:已知s23、在等比数列{an
2n-1s=1+3x+5x+ +(2n-1)x(x≠0) 4、求和:n
[作业要求:允许学生对不会做的题目可以不做,只要分析出不会做
的症结所在,就算完成了作业。]
(七)板书设计
等比数列的前n项和
公式推导例题练习
注:
(七)课后反思
本节课授课对象为实验班的学生,学习基础较好。同时,考虑到这
是一节探究课,授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生
的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明
(1)创设问题情景、布疑激趣(2)启发引导学生数学地观察问题,构建数学模型(3)探寻特例、提出猜想(4)数学应用(5)知识评估。学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下,
在教师预设的思路中,一步步发现了公式并推导了公式,感受到了
创造的快乐,激发了学习数学的爱好,教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
(一)、通过创设教学情境,激活了学生思维。从认知的角度看,
情境可视为一种信息载体,一种知识产生的背景。本节课数学情境
的创设突出了以下两点:
1.从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出:学生的数学
学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看,青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此,本教案紧紧地
抓住高一学生的这一特征,利用“小故事”这一探索性的材料,精心
设计教学情境,使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中,逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”,本节课数学
情境的设计处处以问题为导向:“请在座的同学思考讨论一下,穷人能
否向富人借钱?”、“ 如何推导等比数列前n项和公式?”、“还有没
有其他推导方法?” ??促使学生去思考问题,去发现问题。
【篇三:等比数列的前n项和优秀教案】
等比数列的前n项和
一.教材分析
1.在教材中的地位和作用
在《数列》一章中,《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容,从知识体系来看,它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比
数列》的顺延,也是前面所学函数的延续,实质是一种特殊的函数。而且还为后继深入学习提供了知识基础,同时错位相减法是一种重
要的数学思想方法,是求解一类混合数列前n项和的重要方法,因此,本节具有承上启下的作用。等比数列的前n项和公式的推导过
程中蕴涵了基本的数学思想方法,如分类讨论、错位相减等在数列
求和问题中时常出现。在实际问题中也有广泛的应用,如储蓄、分
期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排
提出问题——解决问题——等比数列的前n项和公式推导——强化
公式应用(例题与练习)
二.教学目标
知识目标:理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的
特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标:通过启发、引导、分析、类比、归纳,并通过严谨科学
的解题思想和解题方法的训练,提高学生的数学素养。
情感目标:通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、
认识社会,形成科学的世界观和价值观。
三.教学重点与难点:
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点:公式的推导方法(“错位相减”)和公式的灵活运用。
四.教学过程:
(一)、复习回顾:
(1)等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1:{an}为等比数列,请完成下表除{sn}外的所有项
答案如下:
(2)回忆等差数列前n项和公式的推导过程,是用什么方法推导的。(二)、情境导入:
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故
事大家听说过吗?“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子
里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,以此类推.每一个格
子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.
请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提
出的要求。假定千粒麦子的质量为40 g,按目前世界小麦年度产量
约6亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求。怎样计算?请列出算式。
探讨1:s=1+2+22+23+…+2 63,①
注意观察每一项的特征,有何联系?
探讨2:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项
2s=2+22+23+…+263+264,②
s64=264-1
粒麦子的质量为40 g,那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目
前世界年度小麦产量约6亿吨,因此,国王不能实现他的诺言。国
王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后
果的发生,这都是他不具备基本的数学知识所造成的结果,.而避免
这个不幸的事情发生,正是我们这节课所要探究的知识.
五、推进新课
等比数列前n项公式的推导: 1.错位相减法,
sn=a1+a1q+a1q2+ +a1qn-2+a1qn-1①
23n-1n
aq+aq+aq+ +aq+aq11111qsn=②
①-②得:(1-q)sn=a1-a1qn
a11-qn当q≠1时,得到sn=
1-q当q=1,sn=na1.
?na1?
等比数列前n项和公式:sn=?a11-qna1-anq
?1-q=1-q?
(q=1) (q≠1)
()
()
注意:1.公比为1的情况
2.已知 a1,q,n,an,sn 中的任意三项,可以求其他两项(知三求二)
六、例题剖析
例2:完善例1的表格
111
例3:,,…的等比数列
248
(1)求前8项的和
(2)求第4项到第8项的和解:(1) a1=
11
,q=,n=8 2211(1-n)
=255 ∴s8=12561-2
1
为公比的前5项和) 2
(2)方法一(先求出a4,等价于求一个以a4为首项,
解: a4=a1q=
1
,n=5 1611(1-5)
=31 ∴s=12561-2
3
方法二:(s8-s3)
1?1?
1- ?2?28?
解:s8-s3=-
1-2七、小结:1?1?1- ?312?23?
= 2561-2
1.熟记等比数列前n项和的通项公式,重点掌握错位相减的方法。
2.易错点:易忽略公比q=1的情况
3.思想方法:类比、分类讨论、错位相减、特殊到一般八.作业: 1.已知等比数列{an}的前n项和sn=48,s2n=60 求s3n (并思考用不
同的方法来解答这个问题)
2.课本p58 页1,2题
《等比数列的前n项和》说课稿 各位老师,大家好,今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计. 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析: 1、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,依据《课标》我制定了如下的教学目标: [知识与技能] 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. [过程与方法] 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
《等比数列的前n项和》说课稿 尊敬的各位评委,老师: 你们好,我是047号考生,今天我说课的课题是人教版普通高中课程标准实验教材《数学》必修5第二章第五节《等比数列的前n项和》。为了说清楚我对本节课的整体设计整体设计思路,下面我我将从:教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计六个方面加以说明。 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质.”其含义就是:我们不仅要重视数学的应用价值,更要注重其思维价值和人文价值. 因此,创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,创设教学情境,让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程,获得情感、能力、知识的全面发展.本节课力图打破常规,充分体现以学生为本,全方位培养、提高学生素质,实现课程观念、教学方式、学习方式的转变. 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点,同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看,《数列》这一章是高中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着决定性的作用.首先:数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次:数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次:数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
高中数学《等比数列前n项和》说课稿 高中数学《等比数列前n项和》说课稿 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养. 2.从学生认知角度看 从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3.学情分析 教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨. 4.重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用.
教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点. 二、目标分析 知识与技能目标: 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题. 过程与方法目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转 化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. 情感与态度价值观: 通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 三、过程分析 学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标:掌握等比数列前n 项和的性质,灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程:通过自主探究的方式,培养学生团队精神,勇于探索的精神。 教学过程: 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: (1) (2) 2.数学思想: 课前练习: 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究: 探究一: 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1:若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式:若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2,求a 的值。 探究二: 我们知道,等差数列有这样的性质: 数列{}n a 是等差数列,则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列; 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么,在等比数列中,也有类似的性质吗? 等比数列前n 项和的性质二: 数列{}n a 是等比数列,则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列; 则新的等比数列的首项是K S ,公比( ) 例题2 :已知等比数列{}n a 中,前10项和10S =10,前20项和20S =30,求30S 变式训练: 1. 等比数列{}n a 10S =20,20S =80,求30S =?.
《2.5等比数列的前n项和》 尊敬的各位各位老师、评委: 大家好! 今天我说课的课题是人教版高中课程标准实验教材《数学》必修5第2章第5节等比数列前n项和第一课时。下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计、教学反思等六个方面来进行我的说课。 一、教材分析 三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上,进行第二阶段函数的学习。内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一,是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具,三角函数作为描述周期现象的重要数学模型,与其他学科(如:物理、天文学)联系紧密。 鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。 二、教学目标 根据新课标对本节课的教学要求,结合学生已有的认知能力结构和以上教材分析,我将从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能目标:掌握等比数列的前n项和公式及其运用。 2、过程与方法目标:让学生从“错位相减法”中,体会“消除差别”思想,培养学生 的化简能力。 3、情感态度与价值观目标:激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。 三、教学重、难点 根据根据新课程的标准要求结合学生的学习情况,本节课注重培养学生的创新精神和探究能力。我把重点定为:等比数列前的n项和公式及应用。难点定为:用错位相减法推导等比数列的前n项和公式。 四、教学与学法 教之道在于度学之道在于悟,任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果,我认为本堂课有以下主要的教法和学法。 在教法上:由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效,故本节课采用“探究式教学法、讲练结合法、类比分析法”等来组织课堂教学。另外,为使课堂生动、有趣、高效,在教学手段上我利用多媒体辅助教学。 在学法上:考虑到这节课主要通过教师的引导让学生自己发现规律,在自己的发现中学到知识,提高能力,我主要引导学生自己观察、归纳、类比,采用自主探究的
等比数列的前n项和 (第一课时) 一.教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
等比数列的前n 项和 命题分析: 1. 高考主要考查两种基本数列(等差与等比数列)、两种基本求和方法(裂项求和法、错 位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合),主要突出数学思想的应用。 2. 若以解答题形式考查,数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查,试题难度中等; 若以客观题考查,难度中等的题目较多,但有时也会出现在第12题或16题位置上,难度偏大,复习时要引起关注。 一、首先回忆一下基本内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母q 表示(q ≠0),即: {n a }成等比数列 ?n n a a 1+=q (+∈N n ,q ≠0) “n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件(前提条件)。 2. 等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n , 1(0)n m n m a a q a q -=??≠ 3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab (a ,b 同号). 5.性质:若m+n=p+q ,q p n m a a a a ?=? 6.判断等比数列的方法:定义法,等比中项法,通项公式法 如: 有一个数列满足135-?=n n a ,与公式)0(111≠??=-q a q a a n n 比较我们可以 判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。 二、 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”,这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项