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一元二次方程经典例题及答案

1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)

=-x x

其中，一元二次方程有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是，二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少

4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。

5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）

—

(x+1)2= 2(x+1) B .

051

=-+x x

+bx+c= 0 +2x= x 2-1

6、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值： (1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)

7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程 8、若关于的方程(a-5)x ∣

a ∣-3+2x-1=0

是一元二次方程，求a 的值

三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少

10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。

11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：

(1)2（x 2－1）=3y ； (2)

2=+x ；

(3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0；

(5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.

12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.

13、关于x 的方程(2m 2+m-3)x m+1-5x+2=13是一元二次方程吗为什么

一元二次方程的解法（1）第一课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、3的平方根是；0的平方根是；-4的平方根。

2、一元二次方程x 2=4的解是。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、方程036)5(2=--x 的解为（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、以上均不对 4、已知一元二次方程)0(02≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（）

A 、n=0

B 、n=0或m ，n 异号

C 、n 是m 的整数倍

D 、m ，n 同号

5、方程(1)x 2＝2的解是； (2)x 2=0的解是。

6、解下列方程：

(1)4x 2－1＝0 ； (2)3x 2+3=0 ；

(3)(x-1)2 =0 ； (4)(x+4)2 = 9；

7、解下列方程：

(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25； 8、解方程：

(1) 4(2x+1)2-36=0 ； (2)22)32()2(+=-x x 。三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、用直接开平方法解方程（x ＋h ）2=k ，方程必须满足的条件是（） A ．k≥o B ．h≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 10、方程（1-x ）2=2的根是（）

、3 、-3 C.1-2、1+2

2、2+1

…

11、下列解方程的过程中，正确的是（） (1)x 2=-2,解方程，得x=±2 (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x 1=47;x 2=41

(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-4 12、方程 (3x －1)2=－5的解是。 13、用直接开平方法解下列方程：

(1)4x 2=9； (2)（x+2）2=16 (3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12

一元二次方程的解法（2）第二课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！ 1、填空：

（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2； (5)x 2+px+ =(x+ )2；

2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+h)2=k 的形式为；二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是，第二步是，第三步是，解是。

}

4、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57

5、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-

25 )2=4

的形式，则q 的值为（）

A.46

B.425

C. 419

D. -4

19 6、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（） .7 C 7、用配方法解下列方程：

（1）x 2-4x=5；（2）x 2-100x-101=0；（3）x 2+8x+9=0；（4）y 2+22y-4=0；

8、试用配方法证明：代数式x 2+3x-

23的值不小于-4

。三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！ 9、完成下列配方过程：

（1）x 2+8x+ =(x+ )2 （2）x 2-x+ =(x- )2 （3）x 2+ +4=(x+ )2

（4）x 2- + 4

=（x- ）2 10、若x 2-mx+ 2549=(x+ 5

)2，则m 的值为（）.

A. 57 57 C. 514 D. -5

11、用配方法解方程x 2-3

x+1=0，正确的解法是（）.

]

A.(x-

31)2= 98,x= 31±322 B.(x- 31)2=-98,方程无解

C.(x-

32)2= 95,x= 352 D.(x- 32)2=1, x 1=35;x 2=-3

12、用配方法解下列方程：

(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-

32x-3

=0. 13、已知直角三角形的三边a 、b 、b ，且两直角边a 、b 满足等式(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-15=0，求斜边c 的值。

一元二次方程的解法（3）第三课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！ 1、填空：

《

(1)x 2-3

x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.

2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是。二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、2x 2-6x+3=2（x- ）2- ；x 2+mx+n=（x+ ）2+ .

4、方程2(x+4)2-10=0的根是 .

5、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（） +4=3+4 B. 2x 2-4x+4=-3+4

+1=23+1 D. x 2-2x+1=-23+1

6、用配方法解下列方程，配方错误的是（） +2x-99=0化为(x+1)2=100

=0化为(t-27)2=465

+8x+9=0化为(x+4)2=25 =0化为(x-

32)2=9

10 7、用配方法解下列方程：

（1）04722=--t t ；（2）x x 6132=-；（3）02222=--t t ；（4）2x 2-4x+1=0。 8、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于

. 三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、用配方法解方程2y 2-5y=1时，方程的两边都应加上（） A.

25 B. 45 C. 45 D. 16

5 ·

10、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2

11、用配方法解下列方程：

(1)2x2+1=3x；(2)3y2-y-2=0；

(3)3x2-4x+1=0；(4)2x2=3-7x.

12、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

13、解方程：

(x-2)2-4(x-2)-5=0

一元二次方程的解法（4）第四课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为，b2-4ac= .

2、方程x2+x-1=0的根是。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（）

B. ±4

C. 32

4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是.。

5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）

212

144

12-

B. =

212

144 12-

C. =

212

144

12+

D. =

648

144

12-

6、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.

7、如果分式

+ x x

的值为零，那么x= .

8、用公式法解下列方程：

(1) 3 y2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x

(3)4x 2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .

10、方程(x-1)(x-3)=2的根是（） A. x 1=1,x 2=3

=2±23 =2±3 =-2±23

11、关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .

12、若最简二次根式72-m 和28+m 是同类二次根式，则的值为（）或-1 B.-1 C.1

（

13、用公式法解下列方程：

（1）x 2-2x-8=0；（2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.

一元二次方程的解法（5）第五课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .

2、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（）

A.有两个不等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！ 3下列方程中，没有实数根的方程式（） =9 =3(4x-1) (x+1)=1 +6y+7=0

4、方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（） -4ac ＞0 B. b 2-4ac ＜0 C. b 2-4ac≤0 D. b 2-4ac≥0

5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

6、不解方程，判别下列方程根的情况.

（1）2x2+3x+4=0；（2）2x2-5=6x；

…

（3）4x(x-1)-3=0；（4）x2+5=25x.

7、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.

8、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.

三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.无实数根

D.不能确定

10、关于x的方程x2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )

＞-1 ≥-1 C.k＞1 ≥0

11、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .

(

12、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－43x =－4

13、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根

一元二次方程的解法（6）第六课时

一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为和，方程的根是.

2、方程3x 2=0的根是，方程(y-2)2=0的根是，方程(x+1)2=4(x+1)的根是 .

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！ 3、已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（）

A.只有一个根x=

B.只有一个根x=0

C.有两个根x 1=0,x 2=43

D.有两个根x 1=0,x 2=-43

4、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（） =1或x=-2 B.必须x=1 =2或x=-1 D.必须x=1且x=-2

5、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）

A.化为x+1=1

B.化为（x+1）（x+1-1）=0

：

C.化为x 2+3x+2=0

D.化为x+1=0

6、解方程x （x+1）=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法

求解，得方程的两根为x 1= ,x 2= . 7、用因式分解法解下列方程：

（1）x 2+16x=0 （2）5x 2-10x=-5 （3）x （x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x 2 8、用适当的方法解下列方程：（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) (2) 4x 2-20x+25=7 (3)3x 2-4x-1=0 (4)x 2+2x-4=0

三、新知识你都掌握了吗课后来这里显显身手吧！

9、用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程、求解。

10、如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为，

该方程可化为（x-1）（x ）=0

11、方程x2=x的根为（）

=0 B. x1=0,x2=1 C. x1=0,x2=-1 D. x1=0,x2=2

12、用因式分解法解下列方程：

（1）（x+2）2=3x+6；（2）（3x+2）2-4x2=0；

（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)；（4）2（x-3）2+(3x-x2)=0.

13、用适当方法解下列方程：

（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；

（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.

答案

；

第一节

1、B 点拨：判定一个方程是一元二次方程，看它是否符合3个条件（1）是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）最高次数为2.（2）、（4）含有两个未知数，（5）是分式方程.

2、3x2+x-12=0，3x2，3，x，1，-12. 点拨：注意项与项的系数的区别，并注意系数的符号。

3、解：设宽为xm，列方程得x（x+10）=900

4、解：设另一个数为x，列方程得x（x+3）=10

5、A 点拨：B是分式方程，C的二次项系数a值为确定，D的二次项抵消为0.

6、（1）3x2-7x=2=0，a=3，b=-7，c=2；（2）3x2-5=0，a=3，b=0，c=-5. 点拨一元二次

方程的各项系数中除a 不能为0外，b 、c 可以为0。 7、解：整理得：（m-1）x 2-mx+2-m=0，当m-1≠0即m≠1时，方程是一元二次方程。点拨：判定一个方程是一元二次方程，首先把方程化为ax 2+bx+c=0的形式后再作判定。 8、解;由题意得:∣a ∣-3=2且a-5≠0 ∴a=-5 点拨：注意a≠0. ）

9、解：设这个正方形的边长为x ，列方程得：2x 2=15.

10、解：设这个正方形的边长为xcm ，列方程得：x （x+10）=600 11、解：是一元二次方程的有：（5）；不是一元二次方程的有：（1）、（2）、（3）、（4）. 点拨：判定的方法是根据一元二次方程的定义。 12、解：（1）6x 2+7x-7=0，a=6，b=7，c=-7；（2）x 2-x=0

13、解：由题意得由m+1=2 得m=1，当m=1时，2m 2+m-3=0，∴原方程不可能是一元二次方程。第二节

第一课时

1、3±，0，没有平方根。点拨：运用平方根的性质。

2、x=±2.

3、D 点拨：正数有两个平方根，方程有两解。

4、B 点拨：形如x 2=a 的方程有根的条件是a≥0.

5、x=2±，x 1=x 2=0. 点拨：注意一元二次方程根的写法。

6、解：(1) 4x 2=1，x 2=41，∴x 1=21，x 2=-2

(2)3x 2=-3，x 2=-1＜0，∴原方程无解. (3)x 1=x 2=1.

(4)x+4=±3，∴x 1=-1，x 2=-7.

7、解：(1) (x-2)2=8116，∴x-2=94±，∴x 1=922，x 2=9

(2)2x+1=±5，∴x 1=2，x 2=-3. ;

8、解：(1)4（2x+1）2=36，∴（2x+1）2=9，∴2x+1=±3，∴x 1=1，x 2=-2.

(2)（x-2）=±（2x+3），∴x-2=2x+3或x-2=-（2x+3）∴x 1=-5，x 2=-3

. 点拨：解形如

a （x+

b ）2=

c 的一元二次方程，一般情况下，总是把方程转化为（x+h ）=k 的形式.解(2)时把（2x+3）2当作常数。

9、A 点拨：用直接开平方法解形如（x+h ）=k 的方程，k≥0. 10、C 点拨：k ＞0时方程两解。 11、（4）

12、方程无解.

13、解：(1) x 2=49，∴x 1=23，x 2=-2

(2)x+2=±4，∴x 1=2，x 2=-6.

(3)2x-1=3±，∴x 1=

231+，x 2=2

1-. (4)（2x+1）2=4，∴x 1=21，x 2=-2

第二课时

1、(1)9，3；(2)1，1；(3) 425，25；(4) 41 ，21 ；(5) 4p ，2

. 点拨：当二次项系数为1时，所配的常数项是一次项系数一半的平方。 2、（x+1）2=4.

3、把-2移到方程的右边；方程两边都加上4；配成完全平方，运用直接开平方法求解；x 1=-2+6，x 2=-2-6.

4、B

5、C

6、C 点拨：方程x 2-6x+q=0配方后是x 2-6x+9=-q+9，∴-q+9=7，∴q=2.

7、解：(1) x 2-4x+4=5+4，∴（x-2）2=9，∴x-2=±3，∴x 1=5，x 2=-1.

(2)x 2-100x=101，x 2-100x+2500=2601，∴x-50=±51，∴x 1=101，x 2=-1. …

(3)x 2+8x+16=7，∴（x+4）2=7，∴x-4=±7，∴x 1=-4+7，x 2=-4-7.

(4)y 2+22y+2=6，∴（x+2）2=6，∴x+2=±6，∴x 1=-2+6，x 2=-2-6.

8、解：x 2+3x-23=x 2+3x+49-415=（x+23）2-4

，

∵（x+23）2≥0,∴（x+23）2-415≥-4

9、(1)16,4; (2) 41 , 21 ；(3) ±4x ，±2；(4) ±3x ，±2

. 点拨：完全平方式缺2ab 这

一项时，可填±2ab.

10、D 点拨：方程右边是已知的，∴-m=257?，∴m=-5

11、B

12、解：(1) x 2-6x+9=25，（x-3）2 =25，∴x-3=±5，∴x 1=8，x 2=-2； (2)x 2+3x+

49=417，（x+23）2=417 ，∴x+2

=±217，∴x 1=2173+-，x 2=2173--；

(3)x 2+23x+3=7，（x+3）2=7，∴x+3=±7，∴x 1=73+-，x 2=73--；

）

(4)x 2-32x+91=97，（x-31）2=97，∴x-3

=±37，∴x 1=371+，x 2=371-.

13、解：（a 2+b 2）2-2(a 2+b 2)+1=16，（a 2+b 2-1）2=16，∴a 2+b 2-1=±4, ∴a 2+b 2=5或a 2+b 2=-3，

∵a 2+b 2≥0，∴a 2+b 2=5，又∵a 2+b 2=c 2，∴c 2=5，∴c=5（负值已舍去）.

第三课时

1、(1)361，61；(2) 89,43

.点拨：代数式的配方，要注意二次项的系数没有化为1，而

是提到刮号的前面。

2、方程两边都除以2（即二次项的系数化为1）。

3、23，-23；2

m ，442m n -.

4、x 1=54+-，x 2=54-- 点拨：把刮号外的系数2化为1.

5、D 点拨：用配方法解二次项系数不为1的方程，先把系数化为1，再配方。

6、C

7、解：(1) t 2-27t-2=0，t 2-27t+1649=1681，∴（t-47）2=1681 ∴t-47=±4

，∴t 1=4，t 2=-1；

(2)x 2-2x-31=0，x 2-2x+1=34 ∴（x-1）2=3

4 ∴x-1=±332，∴x 1=3323+，x 2=3323-；

(3)t 2-

22t-1=0，t 2-22t+81=89，∴（t-42）2=8

9 ∴t-42

=±423，∴t 1=2，

t 2=2

； (4)x 2-2x+

21=0，x 2-2x+1=21，∴（x-1）2=2

1 ∴x-1=±22，∴x 1=222+，x 2=222-； 8、解：2x 2-x+3=2（x 2-21x+161）-81+3=2（x-41）2+8

，

∵2（x-41）2≥0,∴2（x-41）2+823≥-8

9、D

10 、1，2.点拨：a 2+b 2+2a-4b+5=（a 2+2a+1）+（b 2-4b+4）

11、解：(1) x 2-23x+21=0，x 2-23x+169 =161 , ∴（x-43）2=161 ∴x-43=±41

，

∴x 1=1，x 2=2

；

(2)y 2-31y-32=0，y 2-31y+361=3625 ，∴（y-61）2=3625 ∴y-61=±6

5，

∴y 1=1，y 2=3

2-； (3) x 2-

34x+31=0，x 2-34x+94 =91 , ∴（x-32）2=91 ∴x-32=±3

1， ∴x 1=1，x 2=3

；

(4)2x 2+7x-3=0， x 2+27x+1649=1673，（x+47）2=1673，∴x+4

=±473，

∴x 1=

4737+-，x 2=4

7--. 12、解：∵（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=a 2+2ab+b 2-4ab=（a+b ）2-4ab ∴（a-b ）2=17-4×3=5.

13、解析：把x-2看成一个整体

解：（x-2）2-4（x-2）+4=9 《

∴（x-2-2）2=9 ∴x-4=±3

∴x 1=7，x 2=-1

第四课时

1、 x 2+3x-4=0，25.

2、 x 1=251+-，x 2=2

1--.点拨：直接代入公式x=a ac b b 242-±-

3、 D 点拨：求ac b 42-的值，原方程须转化为02=++c bx ax 的形式。

4、 4，5,321-=-=x x .

5、 D 点拨：代入公式时原方程须化为一般式，并注意系数的符号。

6、 '

7、直角点拨：方程的根是4、-3

，第三边为4.

8、 -2 点拨：由分式概念可知x 2+x-2=0且x-1≠0，∴x=-2

9、解：(1) ∵a=3,b=-1，c=-2，b 2-4ac=（-1）2-4×3×（-2）=25＞0，∴x=

32251?±=6

1± ∴x 1=1，x 2=-3

(2)移项，得2x 2-3x+1=0. ∵a=2,b=-3，c=1，b 2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴x=

2213?±=413± ∴x 1=1，x 2=2

(3)整理，得 4x 2-4x+1=0. ∵a=4,b=-4，c=1，b 2-4ac=（-4）2-4×4×1=0，∴x=

4204?±=804± ∴x 1=x 2=2

. (4) 整理，得x 2-9x+2=0. ∵a=1,b=-9，c=2，b 2-4ac=（-9）2-4×1×2=73＞0，∴x=

12739?±=2739± ∴x 1=2739- ，x 2=273

9+. 9、41，x 1=2415+- ，x 2=2

5--. 10、C

11、1，25--.点拨：把25-代入方程，（25-）2+4（25-）-m=0，∴m=1；再把m=1代入方程，利用公式求根。

12、D 点拨：由m 2-7=8m+2，得m 1=9，m 2=-1.但m 2-7≥0，∴m=9. >

13、解：(1)∵a=1,b=-2，c=-8，b 2-4ac=（-2）2-4×1×（-8）=36＞0，∴x=12362?±=2

2± ∴x 1=4，x 2=-2.

(2) ∵a=1,b=2，c=-4，b 2-4ac=22-4×1×（-4）=20＞0，∴x=12202?±-=2

522±-

∴x 1=51+-，x 2=51--.

(3) ∵a=2,b=-3，c=-2，b 2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=25＞0，∴x=

22253?±=45

3± ∴x 1=2，x 2=-2

(4) 整理，得9x 2-6x+1=0. ∵a=9,b=-6，c=1，b 2-4ac=（-6）2-4×9×1=0，∴x=

9206?±=1806± ∴x 1= x 2=3

第五课时

1、-8，方程没有实数根.点拨：b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根；

2、B,点拨：b 2-4ac=0.

3、D 点拨：计算各个方程的b 2-4ac 的值.

4、D 点拨：有实数根，包含两种情况：b 2-4ac ＞0 和b 2-4ac ＝0. ·

5、0或24 点拨:方程有两个相等的实数根，则b 2-4ac ＝0，即（k+6）2-4×9×（k+1）

=0，解得k=0或24

6、解:(1) ∵a=2,b=3，c=4，b 2-4ac=32-4×2×4=-23＜0，∴原方程没有实数根.

(2)整理，得 2x 2-6x-5=0 ∵a=2,b=-6，c=-5，b 2-4ac=（-6）2-4×2×（-5）=76＞0，∴原方程有两个不相等实数根.

(3) 整理，得 4x 2-4x-3=0 ∵a=4,b=-4，c=-3，b 2-4ac=（-4）2-4×4×（-3）=64＞0，∴原方程有两个不相等实数根.

(4) 整理，得 x 2-25x+5=0 ∵a=1,b=-25，c=5，b 2-4ac=（-25）2-4×1×5=0，∴原方程有两个相等实数根. 7、解析：只需说明b 2-4ac ＞0 解：b 2-4ac=（2k+1）2-4（k-1） =4k 2+4k+1-4k+4 =4k 2+5

∵4k 2≥0，∴4k 2+5＞0，即b 2-4ac ＞0. '

∴原方程必定有两个不相等的实数根.

8、解析：在运用根的判别式确定字母的取值范围时要考虑a ≠0. 解：由题意得（2m+1）2- 4（m-2）2＞0且（m-2）2≠0，

∴4m 2+4m+1-4m 2+16m-16＞0且m ≠2，

∴m ＞4

且m ≠2.

9、A 点拨：化为一般式后b 2-4ac=121. 10、C 点拨：（2k ）2-4＞0且k ≥0，∴k ＞1.

11、2，1 点拨：答案不惟一，只需满足m 2-4n=0即可.

12、解：(1) 整理，得 3x 2-4x+1=0 ∵a=3,b=-4，c=1，b 2-4ac=(-4)2-4×3×1=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.

(2) 整理，得 5x 2-7x+5=0 ∵a=5,b=-7，c=5，b 2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51＜0，∴原方程没有实数根. !

(3) 整理，得 3x 2-43x+4=0，∵a=3,b=-43，c=4，b 2-4ac=(-43)2-4×3×4=0，∴原方程有两个相等的实数根.

13、解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴（2k+1）2-4k （k+3）＞0且k ≠0 ∴-8k+1＞0且k ≠0

∴k ＞8

且k ≠0

第六课时

1、x-1=0，x-2=0 ，x 1=1，x 2=2.点拨：ab=0，则a=0或b=0.

2、x 1=x 2=0，y 1=y 2=2，x 1= -1，x 2=4

3、C 点拨：方程两边不能除以x ，否则会漏根.

4、A 点拨：ab=0，a=0或b=0.

5、B 点拨：利用提公因式分解因式.

6、x 2+x-2=0，1，-2.点拨：x 2+x-2=（x+2）（x-1）.

7、解：(1)原方程可变形为

x （x+16）=0， x=0或x+16=0. ∴x 1= 0，x 2=-16. (2) 原方程可变形为

x 2-2x+1=0，（x-1）2=0. ∴x 1= x 2=1. (3) 原方程可变形为（x-3）（x+1）=0， x-3=0或x+1=0 ∴x 1= 3，x 2= -1. (4) 原方程可变形为

2（x-3）2+x 2-9=0，（x-3）（2x-6+x+3）=0，即（x-3）（3x-3）=0.

x-3=0或3x-3=0. ∴x 1= 3，x 2= 1 . 8、解：(1) 原方程可变形为（x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0. x-2=0或-x-2=0. ∴x 1= 2，x 2= -2 . (2) 原方程可变形为

2x 2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b 2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0，

∴x=

222810?±=47210± ∴x 1=275+，x 2=2

5-. (3)∵a=3,b=-4，c=-1，b 2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=28＞0，∴x=

32284?±=6

24± ∴x 1=

372+，x 2=3

2-. (4) 原方程可变形为

x 2+2x=4，x 2+2x+1=4+1，（x+1）2=5. ∴x+1=5±，∴x 1= -15-，x 2= -15+.

9、 x+3=0，5-2x=0；

10、2，2，-2 点拨：把x=1代入得1-3+c=0，∴c=2，把c=2代入原方程求解. 11、B 点拨：方程两边不能都除以x. 12、(1)原方程可变形为（x+2）（x+2-3）=0，即（x+2）（x-1）=0. x+2=0或x-1=0. ∴x 1= -2，x 2=1. (2) 原方程可变形为

(3x+2-2x)（3x+2+2x ）=0，即（x+2）（5x+2）=+2=0或5x+2=0.∴x 1=-2, x 2= -5

(3) 原方程可变形为

（2x-1）（5+x+3）=0，即（2x-1）（x+8）=0. 2x-1=0或x+5=0 ∴x 1=2

,x 2= -8.

(4) 原方程可变形为

2（x-3）2-x （x-3）=0，（x-3）（2x-6-x ）=0，即（x-3）（x-6）=0. x-3=0或x-6=0. ∴x 1= 3，x 2= 6 .

13、解：(1)直接开平方得:3x-1=±1，∴3x-1=1或3x-1=-1. ∴x 1=3

，x 2=0.

(2) 原方程可变形为 2(x+1)2-（x+1）（x-1）=0, (x+1)（2x+2-x+1）=0，即

（x+1）（x+3）=0. x+1=0或x+3=0. ∴x 1=-1 x 2= -3.

(3) 原方程可变形为（2x-1）2+2(2x-1)-3=0，（2x-1-1）（2x-1+3）=0 即（2x-2）（2x+2）=0 2x-2=0或2x+2=0. ∴x 1=1 x 2= -1.

(4) 整理，得5y 2+8y-2=0. ∵a=5，b=8，c=-2，b 2-4ac=82-4×5×（-2）=104＞

0，∴x=521048?±-=102628±- ∴x 1=5264+- ，x 2=5

264--.

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a （），那么这个数叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得，移项，得，配方, 得，方程左边写成平方式， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1）（2）（3）（4）（5）二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 解　设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%) (1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答　这两个月的平均增长率是10%. 说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n. 二、商品定价例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解　根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31. 因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答　需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解　设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得 90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去. 答　第一次存款的年利率约是2.04%. 说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解　设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1. 所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5. 答　渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析课题一元二次方程章节复习及典型例题解析学习目标与考点分析学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用考点分析：1一元二次方程的定义、解法、及根与系数的关系学习重点理解并掌握一元二次方程的概念及解法学习方法讲练说相结合学习内容与过程一回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握）一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法．难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

一元二次方程应用题典型题型归纳

一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？ 6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？ 7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。 3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. （三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？ (2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

一元二次方程经典考题难题

一元二次方程经典考题难题用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x

1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程

《一元二次方程》典型例题及解析

《一元二次方程》典型例题一例指出下列方程中哪些是一元二次方程？（1）)12(3652+=+x x x （2）x x =28 （3）532=x （4）y x 342= （5）02=-x （6）24)3()15(x x x x x ++=- 解：（1）整理得：x x x 366522+=+ 移项，合并得：0632=-+x x ∴ 是一元二次方程（2）移项得：082=-x x ∴ 是一元二次方程（3）532=x ∵方程的分母中含有未知数 ∴它不是一元二次方程（4）0342 =-y x ∵ 方程中含有两个未知数 ∴ 它不是一元二次方程（5）02=-x ∵01≠-=a ∴它是一元二次方程（6）整理得：222435x x x x x ++=- 移次，合并得：04=x ∵二次项系数合并后为0 ∴它不是一元二次方程说明：对方程要先进行整理，然后再根据条件： ①整式方程 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数为2

只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．《一元二次方程》典型例题二例若032 2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程，则（）. (A) p 为任意实数 (B ) 0=p (C) 0≠p ( D) 0=p 或1 分析与解：显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程，且方程中含有一个未知数x ，若想让它满足一元二次方程的定义，需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ，故应选（C ）．《一元二次方程》典型例题三例关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 是不是一元二次方程？分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根据定义判断，看它是否同时满足一元二次方程定义的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、（2）两条，能否满足条件：解：.032212? ??≠-+=+m m m 由于1=m 时，0322=-+m m 所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0 322≠-+m m 故关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 不是一元二次方程. 《一元二次方程》典型例题四例把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项系数，一次项系数及常数项．（1）x x 352 = （2）03)12(2=-+-x x

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能：一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有，，， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为：． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是．二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

一元二次方程经典例题集锦有答案

一元二次方程经典例题集锦一、一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （5,521-==x x ）（13 22,135621== x x ）（5）（4）0)31(2 =-m （6） 85 )13(22 =+x （021==m m ）（3521±-=x ） 2．配方法解方程：（3）（1）0522=-+x x （2）0152=++y y （3）3422-=-y y （61±-=x ）（2215±-= x ）（2101±=y ） 3．公式法解下列方程：（1）2632-=x x （2）p p 3232=+ （3）y y 1172= （333±= x ）（321==p p ）（0,71121==y y ）（4）2592-=n n （5）3)12)(2(2---=+x x x （2 153±= x ） 4．因式分解法解下列方程：

（1）094 12=-x （2）04542=-+y y （3）031082=-+x x （6±=x ）（5,921=-=y y ）（23,4121-== x x ）（4）02172=-x x （5）6223362-=-x x x （3,021==x x ）（32,2321== x x ）（6）1)5(2)5(2--=-x x （7）08)3(2)3(222=-+-+x x x （621==x x ）（1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+- （3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （227±=x ）（262±=m ）（5 3,221==x x ）（4）3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x （2,2321==y y ）（2 3,102721==x x ） 6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x

(精品)一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程典型例题整理版专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题

二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数

c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总认真阅读题目，分析题意，学会分解题目，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的几大典型题目，举例说明. 一、面积问题：例1：如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（） A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）+x2=7644 C．（100-x）（80-x）=7644 D．100x+80x=356 二、增长率问题：（变化前的基数a，增长率x，变化的次数n，变化后的基数b，关系：a（1+x）n=b）例2：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 三、商品价格问题例3：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件。若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？四、储蓄问题例4：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）五、情景对话类例5：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

一元二次方程经典练习题及答案

练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12； C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 2.下列方程:①x2=0,② 中, 一元二次方程的个数是( ) A.1个 D.4个 3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0 4.方程x2=6x的根是( ) A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=0 5.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( ) C. D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2 C. D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分) 9.________,它的一次项系数是______. 10.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________. 13.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(2分) 17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分) (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2(3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)

一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x ] 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。配方法解一元二次方程的步骤：二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）（1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。（3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法因式分解的方法：（1）提公因式法：（2）… （3）公式法：平方差：完全平方：（4）十字相乘法：一、用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x

一元二次方程经典例题及练习

一元二次方程练习题 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2 (21)3x +=；（3）2(61)250x --=．（4）2 81(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）2 5(21)180y -=；（2）21 (31)644 x +=；（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空（1）2 8x x ++（）=（x + ）2 ．（2）22 3x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2 ． 5. 用适当的数（式）填空：

23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21 (1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22 103 x x - +=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程（1）2 3(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

实际问题与一元二次方程经典例题

实际问题与一元二次方程专题训练 1．甲、乙两船同时从A处出航，甲船以30千米/小时的速度向正北航行，乙船以每小时比甲船快10千米的速度向正东航行，则几小时后两船相距100千米？ 2．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数。 3．张华将1000元人民币按一年期定期存入银行，到期后自动转存，两年后，本金和税后利息共获得1036.324元，问这种存款的年利率是多少？ 4．新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？ 5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？ 6.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？ 7.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长为40米,宽为26 米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求甬路的宽度? 8.如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场, 为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙(无限长), 另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.求鸡场的长与宽各为多少米?

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