(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题

1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）

A ．2：1

B ．4：1

C ．8：1

D ．8：3 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：

2cm ）是（ ）

A ．36π

B ．54π

C ．72π

D ．90π 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为（ ）

A 3

B 6

C ．23

D ．264．在空间四边形ABCD 中，AB BC =，AD DC =，则对角线AC 与BD 所成角的大小是（ ）

A ．90︒

B ．60︒

C ．45︒

D ．30

5．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）

A ．18π

B ．36π

C ．40π

D ．72π

6．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）

A ．324m

B ．330m

C ．336m

D ．342m 7．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）

A ．π6

B ．π4

C ．π3

D ．π2

8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）

A ．24

B ．30

C ．47

D ．7

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）

A ．3

B ．3

C ．33

D 310．如下图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM 平面AD

E ；

②DE BM ⊥；③平面//BDM 平面AFN ；④AM ⊥平面BDE ．以上四个命题中，真命题的序号是（ ）

A ．①②③④

B ．①②③

C ．①②④

D ．②③④ 11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）

A ．16

B ．13

C ．23

D ．2

12．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ）

A ．169π

B ．161π

C ．164π

D ．265π

二、填空题

13．已知直三棱柱111

ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．

14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．

15．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；

16．已知等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，22CA =，D 为AB 的中点，将它沿

CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD -的外接球的表面积为____．

17．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：

①该八面体的体积为83

；②该八面体的外接球的表面积为8π； ③E 到平面ADF 3；④EC 与BF 所成角为60°.

其中正确的说法为__________.（填序号）

18．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．

19．已知扇形的面积为56π，圆心角为

6π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________． 20．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．

三、解答题

21．如图，四棱锥P ABCD -中，2PC PD DC AD ===，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，O ､E 分别是棱CD ､PA 的中点.

（1）求证：//OE 平面PBC ；

（2）求二面角P AB C 的大小.

22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，

,//AB CD AB AD ⊥，22CD AB AD ==．

（1）求证：BD ⊥平面1BCC ；

（2）在线段11C D 上是否存在一点E ，使//AE 面1BC D ．若存在，确定点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．

23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．

（1）证明：//PB 平面AEC ；

（2）设1AP =，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．

24．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，6SA SD ==，22SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 是棱SC 上靠近S 的一个三等分点.

（1）求证：平面SBE ⊥平面ABCD ；

（2）求三棱锥F SEB -的体积.

25．如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为233PB =60PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点．

（1）证明：PC ⊥平面ABC ；

（2）求直线BF 与平面PAC 所成角的大小．

26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.

（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；

（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．

【详解】

设圆锥的高为h ，底面半径为r ，

则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，

由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323

h V r h h h h ππππ===-++--． 当且仅当22h -=，即4h =时取等号．

∴该圆锥体积的最小值为

83π． 内切球体积为43

π． 该圆锥体积与其内切球体积比2:1．

故选：A ．

【点睛】

方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

2．A

解析：A

【分析】

由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．

【详解】

解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆，

且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；

设D 为AB 的中点，

又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，

∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，

解得3R =，

∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．

故选：A ．

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

3．A

解析：A

【分析】

本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值，此时M 为1DD 的中点，然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥，最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.

【详解】

如图，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开，与侧面11ADD A 共面，

连接12A C ，易知当1A 、M 、2C 共线时，1A M MC +取得最小值，

因为1AB AD ==，12AA =，所以M 为1DD 的中点，12A M =

因为11B A ⊥平面11A D DA ，1A M ⊂平面11A D DA ，所以111B A A M ⊥，

则222211111(2)3M B A A M B =

+=+=

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.

4．A

解析：A

【分析】

取AC 中点O ，根据条件分析AC 与平面BOD 的位置关系，由此得到异面直线AC 与BD 所成角的大小.

【详解】

取AC 中点O ，连接,,BO DO BD ，如图所示：

因为AB BC =，AD DC =，所以,BO AC DO AC ⊥⊥，且BO

DO O =，

所以AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，所以AC BD ⊥，

所以AC 与BD 所成角为90︒，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解答问题的关键是通过找AC 中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.

5．D

解析：D

【分析】

先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可.

【详解】

如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球

球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122

ON AP ==，4AN =，故()224232R =+

=2441872S R πππ==⨯=.

故选:D.

【点睛】

求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法. 6．C

解析：C

【分析】

在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．

【详解】

如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V +四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 故选：C ．

【点睛】

思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．

7．D

解析：D

【分析】

取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.

【详解】

取AC 中点E ，连接1,A E BE ， ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，

正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，

1CC BE ∴⊥，1AC CC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，

AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，

在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，

1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅，

1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=

，则1AM A E ⊥，

1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ， 1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，

故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2

π.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.

8．D

解析：D

【分析】

先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.

【详解】

由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732

⋅

+⋅=. 故选：D

【点睛】

方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．C

解析：C

【分析】

取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.

【详解】

取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，

因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，

在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FG EF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，

因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，

因为12AB AA ==，所以1

4FAG π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=， 所以cos FG EGF EG ∠==2

3236

=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C

【点睛】

关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键. 10．A

解析：A

【分析】

把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，得出BM ∥平面ADNE ，判断①正确；由连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，判断②正确；由BD ∥FN ，得出BD ∥平面AFN ，同理BM ∥平面AFN ，证明平面BDM ∥平面AFN ，判断③正确；由MC BD ⊥，ED ⊥AM ，根据线面垂直的判定，判断④正确．

【详解】

把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ，如图1所示；

对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ，

∴BM ∥平面ADNE ，①正确；

对于②，如图2所示，连接AN ，则AN ∥BM ，又ED AN ⊥，所以DE BM ⊥，②正确； 对于③，如图2所示，

BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ，∴BD ∥平面AFN ；

同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ，∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；

对于④，如图3所示，连接AC ，则BD AC ⊥，又MC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，

所以MC BD ⊥，又AC

MC C ，所以BD ⊥平面ACM ，所以BD ⊥AM ， 同理得ED ⊥AM ，ED BD D =，所以AM ⊥平面BDE ，∴④正确．

故选：A ．

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键在于展开空间想象，将正方体的平面展开图还原，再由空间的线线，线面，面面关系及平行，垂直的判定定理去判断命题的正确性．

11．C

解析：C

【分析】

根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.

【详解】

根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：

该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；

且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =， 所以11

2=221=32

3V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如

下： （1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；

（2）根据三视图还原几何体；

（3）利用椎体体积公式求解即可.

12．C

解析：C

【分析】

把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积.

【详解】

如下图所示：

把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，

根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，

所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=

所以球O 的表面积24164S R ππ==.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.

二、填空题

13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析：4π

【分析】

确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．

【详解】

4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ， 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，

24()41OA ππ=，则412OP OA ==，2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭

， 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-

=， 22

2211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，

P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆， 其面积为224S ππ=⨯=．

故答案为：4π．

【点睛】

关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上． 14．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平 解析：(0,]6

π 【分析】

在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<

【详解】

在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，

设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAM FDA △△， ∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x

=-，01x <<，则112t <<． 在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，

∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，

∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM 平面ABD DM =，

∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，

而21DM t =-，12DF x t =-=

， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ=

=-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114

t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤． 故答案为：(0,]6π

．

【点睛】

方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：

（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；

（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．

15．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案

【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认 解析：22

【分析】

由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.

【详解】

连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形， 所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，

所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =

30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，

所以222347EC ED CD =+=+=，

因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =，

所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥， 所以221722A C A E EC ''=+=+=.

故答案为：22.

【点睛】

对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 16．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积

【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题 解析：12π

【分析】

根据题意可判断出,,DC DA DB 两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.

【详解】

等腰直角三角形ABC 中，2

C π∠=，22CA CB ==，

D 为AB 的中点，2CD AD BD ∴===，

,CD AD CD BD ∴⊥⊥， 22AB =，满足222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，

,,DC DA DB ∴两两垂直，

设外接球的半径为R ，则222222223R =++=，即3R =，

∴三棱锥C ABD -的外接球的表面积为2412R ππ=.

故答案为：12π.

【点睛】

2019-2020年高中数学 第一章 立体几何初步综合测试B(含解析)新人教B版必修2

2019-2020年高中数学第一章立体几何初步综合测试B（含解析） 新人教B版必修2 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．(xx·山东莱州市高一期末测试)在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是( ) A．相交B．平行 C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线 [答案] A [解析]根据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后一定交于一点，故选A． 2．不在同一直线上的五个点，最多能确定平面的个数是( ) A．8 B．9 C．10 D．12 [答案] C [解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种情况，选C． 3．给出四个命题： ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体； ③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A [解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A． 4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( ) A．①③B．②③ C．②④D．③④ [答案] C [解析]正方体和球体的三个视图都相同，故选C．

5．(xx·广东东莞市高一期末测试)若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的( )倍 A ．64 B ．16 C ．8 D ．4 [答案] C [解析] 设球的半径为R ，其体积V ＝43πR 3 ，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V ′ ＝43 π(2R )3 ＝8V . 6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( ) A ．112 B ．5 C ．92 D ．4 [答案] D [解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[1 2(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定 几何体的形状及尺寸、角度等． 7．(xx·安徽安庆市高一教学质量调研监测)已知平面α、β和直线m ，给出条件：① m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ [答案] D [解析] ? ??? ?m ?αα∥β?m ∥β，故选D. 8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 一定垂直于( )

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步双基限时练3(含解析)新人教B版必修2

双基限时练(三) 基 础 强 化 1．下列条件能说明一个棱锥是正棱锥的是( ) A ．各侧面都是等腰三角形 B ．侧棱长度相等且底面是菱形 C ．所有棱长都相等 D ．底面是三角形且三条侧棱两两垂直 解析 一个棱锥的所有棱长都相等即可得到该棱锥的侧棱长度相等，底面是正多边形，故C 正确． 答案 C 2．下列三个命题，其中正确的有( ) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错． ②③可用反例图去检验，故②③不对． 答案 A 3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 答案 D 4．正四棱台的两底面的边长分别为3和5，则它的中截面面积为( ) A ．4 B ．9 C ．16 D ．25 解析 中截面的边长3＋5 2＝4，故S ＝4×4＝16. 答案 C 5．正四棱台的上下底面周长分别是12和20，斜高为6，则它的高为( ) A.37 B.35 C.34 D ．4 2 解析 正四棱台上、下底面边长分别为3和5，如图所示，取上、下底面的中心O 1、O ，并作O 1E 1⊥B 1C 1交B 1C 1于E 1，作OE ⊥BC 交BC 于E ，连接E 1E ，则四边形O 1E 1EO 是直角梯形，

过E 1作E 1F ⊥OE 交OE 为F ，则EF ＝OE －O 1E 1＝52－3 2 ＝1. ∴E 1E ＝6， ∴E 1F ＝36－1＝35， ∴高为35. 答案 B 6．一个棱锥被平行底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成的两段之比为( ) A ．1： 2 B ．1：4 C ．1：(2＋1) D ．(2＋1) ：1 解析 如图，S △A 1B 1C 1S △ABC ＝1 2 ， ∴ A 1 B 1AB ＝1 2. ∴ PO 1PO ＝12 . ∴ PO 1O 1O ＝12－1 ＝2＋1. ∴棱锥的高被分成的两段之比为(2＋1) ：1. 答案 D

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题 1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ） A ．36π B ．54π C ．72π D ．90π 2．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足 12QAB QAC QBC PAB PAC PBC S S S S S S = = =△△△△△△，22222213 QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABC S =，若要将此工艺 品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ） A ．42π B ．44π C ．48π D ．49π 3．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ） A ．点A 在某个定球面上运动；

B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值； C ．可能在某个时刻，AB//α； D ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为 17. 4．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ． 13 B ． 36 C ． 33 D ． 116 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．16π 6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ） A ． 2211 B ．2211 - C 27 D ． 11 11 7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ， EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四 面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.1圆柱、圆锥、圆台练习(含解析)新人教B版必修2

第1课时圆柱、圆锥、圆台 A．直线绕定直线旋转形成柱面 B．半圆绕定直线旋转形成球体 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 答案 D 解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆以直径所在直线为轴旋转才形成球体，故B错误；C不符合棱台的定义．所以应选D． 2．下列命题正确的是( ) A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱

C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 答案 D 解析绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体． 当夹在圆柱的两个平行截面不与圆柱的底面平行时，不是圆柱． 用与棱锥的底面不平行的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱台． 圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台． A．10 B．20 C．30 D．40 答案 B 解析如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20．

4．下列说法中，不正确的是 ( ) A ．圆桂的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形 C ．等腰直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D ．圆台中平行于底面的截面是圆面 答案 C 解析 等腰直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周才能形成圆锥，此处必须说明是绕它的一条直角边所在的直线．若换成直角三角形的斜边，则旋转后产生的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底． 5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2 ，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径． 解 圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，即A′O′＝x cm ，AO ＝3x cm(O′，O 分别为上、下底面圆心)，过A′作AB 的垂线，垂足为点D ． 在Rt△AA′D 中， ∠AA′D＝45°，AD ＝AO －A′O′＝2x cm ， 所以A′D＝AD ＝2x cm ， 又S 轴截面＝12(A′B′＋AB)·A′D＝12×(2x＋6x)×2x＝392 (cm 2 )，所以x ＝7． 综上，圆台的高OO′＝14 cm ，母线长AA′＝2OO′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm ．

高中数学北师大版必修2习题：第一章立体几何初步1.1.2

1.2简单多面体 1.关于棱柱,下列说法正确的是() A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,侧棱也互相平行 解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确. 答案:D 2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是() A.正三棱锥 B.正四棱锥 C.正五棱锥 D.正六棱锥 解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长. 答案:D 3.棱台不一定具有的性质是() A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立. 答案:C 4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()

解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图. 答案:C 5.下列说法正确的个数为() ①存在斜四棱柱,其底面为正方形; ②存在棱锥,其所有面均为直角三角形; ③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直; ④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱. A.1 B.2 C.3 D.4 解析: ①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B. 答案:B 6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是() A.12 cm B.9 cm C.6 cm D.3 cm 解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3 cm.

2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.2球与组合体练习(含解析)新人教B版必修2

第2课时球与组合体 ①过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面也可看作到定点的距离等于定长的所有点的集合； ⑤半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所形成的曲面叫做球面． 其中正确的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 答案 A 解析过球的直径的两端点可作无数个大圆，故①不正确；由球及球面的概念可知②③④⑤均正确，即正确的命题有4个．

离是( ) A．1 B．7 C．3或4 D．1或7 答案 D 解析本题中两平行截面可在球心的同一侧，也可在球心的两侧．如图(1)所示，若两个平行平面在球心的同侧，则CD＝52－32－52－42＝1．如图(2)所示，若两个平行截面在球心 ． 的两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7．故选D

3． 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________． 答案 π3 解析 设球的半径为R ，由题知球的直径等于长方体 的体对角线长，即2R ＝AB 2 ＋AA 2 1＋BC 2 ＝2，所以R ＝1，设O 为球的球心，△ABO 是边长为1的正三角形，故A ，B 两点间的球面距离为π3×1＝π 3 ．

________、________、________组成． 答案圆柱六棱柱圆锥圆柱长方体 解析题图(1)是由一个圆柱和一个六棱柱组成的；题图(2)是由一个圆锥、一个圆柱和一个长方体组成的．

一、选择题 1．如图所示的组合体的组成是( ) A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 答案 B 解析由图知，组合体是由棱锥、棱柱组合而成． 2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由下面哪些基本几何体构成( ) A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥 C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥 答案 D

2020高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2

第1章立体几何初步 (时间：120分钟，满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________． ①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线． 解析：①错误，异面直线也可能垂直． ②错误，应有无数条． ③错误，可能平行，相交或异面． ④正确． 答案：1 2．给出下列命题，其中正确的命题的序号是________． ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； ②直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α； ③a、b是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等． 解析：①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；② 错误，直线n可能在平面α内；③正确，如图，设AB是异面直线a、 b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′ 确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是 惟一确定的． 答案：③ 3．P为△ABC所在平面外一点，AC＝2a，连结PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________． 解析：如图所示，由题意知， PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a， 取AC中点D，连结PD、BD， 则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P-AC-B的平面角， 又∵AC＝2a，∴PD＝BD＝ 2 2 a， 在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2， ∴∠PDB＝90°. 答案：垂直 4．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________． ①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG； ③GF⊥平面SEF；④GD⊥平面SEF. 解析：在图甲中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F； 在图乙中，SG⊥GE，SG⊥GF， ∴SG⊥平面EFG. 答案：① 5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为

2020年高中数学第一章立体几何初步阶段性测试题新人教B版必修2

第一章立体几何初步 (时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n∥m，则n∥α C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α 答案：D 2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的左视图可能为( ) 答案：D 3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 正确的有( ) A．①②B．③④ C．②④D．①③ 解析：l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，①正确；α⊥β，l⊥α，∴l∥β或l⊂β，但l与m有可能相交、异面、平行，②错；l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，③正确；l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，但得不到α∥β，④错，故选D．答案：D 4．如图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A ．8－13π B ．8－23π C ．8－π D ．8－43 π 解析：由三视图可得几何体是由一个正方体挖去半个圆锥，则V ＝V 正－V 圆锥 ＝2×2×2 －13π·12 ·2＝8－2π3 ，故选B ． 答案：B 5．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( ) A ．6 3 B ．2 3 C ． 3 D ．2 解析：正六棱锥的高h ＝(5)2 －1＝2，S 底 ＝6× 34×12 .∴V ＝13S ·h ＝13×32 3×2＝3，故选C ． 答案：C 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四种说法： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. 其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：①④正确，故选B ． 答案：B 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．3π 2 ＋6 B ．3π 2 ＋7

高中数学第1章立体几何初步章末检测试卷新人教B版必修2(2021年整理)

第1章立体几何初步 章末检测试卷（一) （时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分） 1．下列四个命题中，错误的是( ） A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面 答案C 解析C项,两直线无公共点,这两直线平行或异面． 2．下列几何体是旋转体的是（) ①圆柱；②六棱锥;③正方体；④球体；⑤四面体． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 答案A 3。如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )

A．4π B．π C．2π D。错误! 答案D 解析连接DN，则△MDN为直角三角形， 在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1,所以点P在以D为球心,半径R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积 的1 8 ，故所求面积S＝错误!×4πR2＝错误!. 4．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为( ）A。错误! B.错误! C。错误! D.错误! 答案D 解析∵错误!＝错误!，S直＝错误!，∴S原＝错误!. 5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（) A.4 3 π B。错误! C．4错误!π D．32错误!π 答案C 解析设正方体的棱长为a，由题意可知,6a2＝24， ∴a＝2. 设正方体外接球的半径为R，则3a＝2R， ∴R＝错误!，∴V球＝错误!πR3＝4错误!π。 6．在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,A,B为底面圆上两点，且OA⊥OB，OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为( ) A。错误! B。错误! C。错误! D.错误! 答案B 解析由题意,可得三棱锥V—AOB的体积为V V—AOB＝错误!S

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( ) A.8 B.22 C.4 D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.圆心和圆上两个点确定一个平面 C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点 D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行 3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ， D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ， E ， F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45 ，则该圆柱的外接球的表面积为( ) A.20π B.16π C.12π D.10π

5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282 B. 283 142 D. 143 6.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线 CF 互为异面直线的是( ) A.1CC B.11B C C.DE D.AE 8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。） 9.在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，当//BD 平面 EFCH 时，下面结论正确的是( )

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题 1．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（ ） A ．12 sin sin 1θθ+≤ B ．12 sin sin 1θθ+≥ C ．122 π θθ+≤ D ．122 π θθ+≥ 2．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ） A ．,αβγβ>> B ．,αβγβ>< C ．,αβγβ<> D ．,αβγβ<< 3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ） A 5B ． 35 C ． 45 D 25 4．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A 13B ． 36 C 33 D ． 116 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ） A ． 728 B ．7 28 - C ．3714 D ．3714- 6．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n α β=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 （ ）

A ．24 B ．30 C ．47 D ．67 8．如图为某几何体的三视图，正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形，则该几何体 的表面积是（ ） A ．23+ B ．223+ C ．63 D ．6 9．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥ D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ， 则（ ）

重庆第二外国语学校必修二第一章《立体几何初步》检测题(含答案解析)

一、选择题 1．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ． 136 B ． 36 C ． 336 D ． 116 2．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1 BC AC ，且1 2 AC BC = ，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 3．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的 最大体积为（ ） A ．6π B ．12π C ．43π D ．83π 4．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线 AB 与MN 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

5．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ） A ． 32 B ．3 C ． 102 D ．2 6．已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M 在正视图上的对应点为腰的中点A ，正四棱锥表面点N 在正视图上对应点为B ，则||MN 的取值范围为（ ）． A ．[10,19] B ．[11,19] C ．[10,25] D ．[11,25] 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A ． 16 B ． 13 C ．1 D ．2 8．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142 C ．714 D ．1479．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过

高中数学必修2立体几何考题(附答案)

高中数学必修2立体几何考题 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． 解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法． 探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演 算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问 题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假 设，则两直线是异面的． 解：(1)不是异面直线．理由如下： ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1. 又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C， ∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形． ∴A1A∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线．理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1. ∴BC⊂平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾， ∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线． 14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心． (1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)； (2)求PQ的长(不必证明)． 解析：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示)．

深圳市新华中学必修二第一章《立体几何初步》测试(答案解析)

一、选择题 1．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ） A ．( 3 B ．2,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ． 3,23 D ．(] 2,4 2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18π B ．36π C ．40π D ．72π 3．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角 的余弦值为（ ） A 13 B 3 C 33 D ． 116 4．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（ ） A ． 394 π B ． 414 π C ．12π D ． 434 π 5．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n α β=，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 6．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为 16 3 ，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）

A ．12π B ．16π C ．24π D ．32π 7．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线 AB 与MN 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．16π 9．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，

上海西南位育中学必修二第一章《立体几何初步》检测题(含答案解析)

一、选择题 1．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是平面11ADD A 的中心，M 、N 、 F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．1 2 MN EF =，且MN 与EF 平行 B ．1 2 MN EF ≠，且MN 与EF 平行 C ．1 2 MN EF =，且MN 与EF 异面 D ．1 2 MN EF ≠ ，且MN 与EF 异面 2．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ） A ．2：1 B ．4：1 C ．8：1 D ．8：3 3．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 4．在正方体 1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是梭BC ，CD 的中点，则1A F 与1C E 所成角的余弦值为（ ） A 5 B 25 C 5 D 25 5．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ． 221 7 B ． 22121 C 47 D 47 6．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面 ABCD ，32AB = 6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）

南京秦淮外国语学校必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)

一、选择题 1．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥； ④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确命题的序号是( )） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④ 3．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18π B ．36π C ．40π D ．72π 4．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m C E =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ） A ．324m B ．330m C ．336m D ．342m 5．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2

北京第七十八中学必修二第一章《立体几何初步》测试(有答案解析)

一、选择题 1．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ） A ．2217 B ．22121 C ．477 D ．4721 2．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ） A ．(0,3⎤⎦ B ．2,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ．3,23 D ．(]2,4 3．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ） A ．点A 在某个定球面上运动； B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值； C ．可能在某个时刻，AB//α； D ．直线OA 与平面α17. 4．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（ ）

A ．,αβγβ>> B ．,αβγβ>< C ．,αβγβ<> D ．,αβγβ<< 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ） A ．7 B ．7- C ．37 D ．37- 6．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ） A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π 7．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6π B ．4 π C ．3π D ．2π 8．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ） A ．,γβγα≤≤ B ．,βαβγ≤≤ C ．,βαγα≤≤ D ．,αβγβ≤≤ 9．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．169π B ．161π C ．164π D ．265π 10．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、 E 、 F 外别是AB 、BC 、CA

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题 1．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若1//l α，2//l α，则12l l // B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥ C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l l D ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l // 2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）． A ．2 B ．5 C ．155 D ．105 3．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 4．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18π B ．36π C ．40π D ．72π 5．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，//αβ，则//m β C ．若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥ D ．若l αβ=，//m α，//m β，则//m l 6．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线

高中数学 第一章 立体几何初步(含解析)苏教版必修2

第1课时棱柱、棱锥和棱台 教学过程 一、问题情境 1. 阅读章头图和本章引言. 2. 结合问题导引1给出多个建筑的图片,让学生归类. 二、数学建构 问题1把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹? 问题2把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形? 问题3仔细观察图1中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的? (图1) 通过讨论,给出棱柱的概念: 1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱. 2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程. (图2) 3. 结合模型介绍: (图3)(图4) (1) 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点. (2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱. (3) 棱柱的表示方法:棱柱ABC-A'B'C',棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'. (4) 棱柱的特点:①两个底面多边形间的关系?(全等)②上下底面对应边间的关系?(平行且相等)③侧面是什么平面图形?(平行四边形)④侧棱之间的关系?(平行且相等) 问题4观察图5、图6中的几何体,前后发生了什么变化?

(图5) (图6) 通过讨论,类比给出棱锥的概念: 1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. 2. 结合模型介绍: (图7) (1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点. (2) 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥. (3) 棱锥的表示方法:如:棱锥S-ABCD. (4) 棱锥的特点:底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形. 问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?