第五章 平面向量
考点1 平面向量的概念及坐标运算
1.(2015·新课标全国Ⅰ,7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →
,则( ) A.AD →=-13AB →+43AC → B.AD →=13AB →-43AC → C.AD →=43AB →+13AC → D.AD →=43AB →-13AC →
1.A[∵BC →=3CD →,∴AC →-AB →=3(AD →-AC →),即4AC →-AB →=3AD →
, ∴AD →
=-13AB →+43
AC →.]
2.(2015·湖南,8)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|P A →+PB →+PC →
|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
2.B [由A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故P A →+PC →=2PO →
=(-4,0),设B (x ,y ),则x 2+y 2=1且x ∈[-1,1],PB →=(x -2,y ),所以P A →+PB →+PC →=(x -6,y ).故|P A →+PB →+PC →
|=-12x +37,∴x =-1时有最大值49=7,故选B.]
3.(2014·福建,8)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)
3.B [法一 若e 1=(0,0),e 2=(1,2),则e 1∥e 2,而a 不能由e 1,e 2表示,排除A ;若e 1=(-1,2),e 2=(5,-2),因为-15≠2
-2,所以e 1,e 2不共线,根据共面向量的基本定理,
可以把向量a =(3,2)表示出来,故选B.
法二 因为a =(3,2),若e 1=(0,0),e 2=(1,2),不存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,排除A ;若e 1=(-1,2),e 2=(5,-2),设存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,则(3,2)=(-λ+5μ,2λ-2μ),
所以?????3=-λ+5μ,2=2λ-2μ,解得?
????λ=2,μ=1.所以a =2e 1+e 2,故选B.]
4.(2014·安徽,10)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,|a |=|b |=1,a ·b =0,点Q 满足OQ →=2(a +b ).曲线C ={P |OP →=a cos θ+b cos θ,0≤θ<2π},区域Ω={P |0 A.1 B.1 C.r ≤1 D.1 4.A [由已知可设OA →=a =(1,0),OB →=b =(0,1),P (x ,y ),则OQ → =(2,2),曲线C ={P |OP →=(cos θ,sin θ),0≤θ<2π},即C :x 2+y 2=1,区域Ω={P |0 |≤R ,r 5.(2017?浙江,15)已知向量 、 满足| |=1,| |=2,则| + |+| ﹣ |的 最小值是________,最大值是________. 5. 4; 记∠AOB=α,则0≤α≤π,如图,由余弦定理可得:| + |= , | ﹣ |= ,则x 2 +y 2 =10(x 、y ≥1),其图象为一段圆弧MN ,如图, 令z=x+y ,则y=﹣x+z ,则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4, 当直线y=﹣x+z 和圆弧MN 相切时z 最大,由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的 倍,也就是圆弧MN 所在圆的半径的 倍,所以z max = × = . 综上所述,| + |+| ﹣ |的最小值是4,最大值是 .故答案为:4、 . 6.(2017?江苏,12)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 和 的夹角为α,且tanα=7, 和 的夹角为45°.若 =m +n (m , n ∈R ),则m+n=________. 6. 3 如图所示,建立直角坐标系.A (1,0).由 和 的夹角为α,且tan α=7. ∴cos α= ,sin α= .∴C .cos (α+45°)= (cos α﹣sin α)= . sin (α+45°)= (sin α+cos α)= .∴B .∵ =m +n (m ,n ∈R ),∴ =m ﹣ n , =0+ n ,解得n= ,m= . 则m+n=3.故答案为:3. 7.(2016·全国Ⅰ,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =________. 7.-2[由|a +b |2=|a |2+|b |2,得a ⊥b ,所以m ×1+1×2=0,得m =-2.] 8.(2015·新课标全国Ⅱ,13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 和a +2b 平行,则实数λ=____________. 8.1 2 [∵向量a ,b 不平行,∴a +2b ≠0,又向量λa +b 和a +2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa +b =μ(a +2b )成立,即λa +b =μa +2μb ,则得? ????λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=1 2.] 9.(2015·北京,13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC → ,则x =________;y =________. 9.12 -16 [MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →, ∴x =12,y =-16 .] 10.(2015·江苏,6)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n 的值为________. 10.-3 [∵a =(2,1),b =(1,-2),∴m a +n b =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),即?????2m +n =9,m -2n =-8,解得 ? ????m =2, n =5,故m -n =2-5=-3.] 11.(2014·新课标全国Ⅰ,15)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB →和AC →的夹角为________. 11.90°[由AO →=12(AB →+AC → )可知O 为BC 的中点,即BC 为圆O 的直径,又因为直径所对的 圆周角为直角,所以∠BAC =90°,所以AB →和AC → 的夹角为90.] 12.(2014·湖南,16)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|=1,则|OA →+OB →+OD → |的最大值是________. 12.1+7 [设D (x ,y ),由|CD →|=1,得(x -3)2+y 2=1,向量OA →+OB →+OD → =(x -1,y +3),故|OA →+OB →+OD → |=(x -1)2+(y +3)2的最大值为圆(x -3)2+y 2=1上的动点到点(1,-3)距离的最大值,其最大值为圆(x -3)2+y 2=1的圆心(3,0)到点(1,-3)的距离加上圆的半径,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.] 考点2 平面向量的数量积及其使用 1.(2017?北京,6)设 , 为非零向量,则“存在负数λ,使得 =λ ”是 ? <0” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1. A ,为非零向量,存在负数λ,使得=λ ,则向量,共线且方向相反,可得? <0.反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足? <0,而=λ 不成立.∴,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ ”是? <0”的充分不必要条件.故选A. 2.(2017?新课标Ⅲ,12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且和BD相切的圆上.若=λ +μ ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C. D.2 2. A 如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系, 则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),∵动点P在以点C为圆心且和BD相切的圆上,设圆的半径为r,∵BC=2,CD=1,∴BD= = ,∴BC?CD= BD?r, ∴r= ,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2= ,设点P的坐标为(cosθ+1, sinθ+2),∵=λ +μ ,∴(cosθ+1,sinθ﹣2)=λ(1,0)+μ(0,2) =(λ,2μ),∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选A. 3.(2017?浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC和BD 交于点O,记I1= ? ,I2= ? ,I3= ? ,则() A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3 3. C ∵AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,∴AC=2 ,∴∠AOB=∠COD >90°, 由图象知OA <OC ,OB <OD ,∴0> ? > ? , ? >0, 即I 3<I 1<I 2 , 故选C . 4.(2017?新课标Ⅱ,12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则 ?( + )的最小值是( ) A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 4. B 建立如图所示的坐标系,以BC 中点为坐标原点,则A (0, ),B (﹣1,0),C (1,0),设P (x ,y ),则 =(﹣x , ﹣y ), =(﹣1﹣x ,﹣y ), =(1﹣x , ﹣y ),则 ?( + )=2x 2﹣2 y+2y 2=2[x 2+(y ﹣ ) 2﹣ ]∴当x=0,y= 时,取得最小值2×(﹣ )=﹣ ,故选B. 5.(2016·四川,10)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA →|=|DB →|=|DC →|,DA →·DB →=DB →·DC →=DC →·DA →=-2,动点P ,M 满足|AP →|=1,PM →=MC →,则|BM → |2的最大值是( ) A.434 B.49 4 C.37+634 D.37+2334 5.B[由题意,|DA →|=|DB →|=|DC → |,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心; DA →·DB →=DB →·DC →=DC →·DA →=-2?DA →·DB →-DB →·DC →=DB →·(DA →-DC →)=DB →·CA → =0,所以DB ⊥AC , 同理可得,DA ⊥BC ,DC ⊥AB ,从而D 是△ABC 的垂心, ∴△ABC 的外心和垂心重合,因此△ABC 是正三角形,且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →=|DA →||DB →|cos ∠ADB =|DA →||DB →|×????-12=-2?|DA → |=2, 所以正三角形ABC 的边长为23; 我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,-3),C (3,3),D (2,0), 由|AP →|=1,设P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π),而PM →=MC → ,即M 是PC 的中点, 可以写出M 的坐标为M ? ?? ??3+cos θ2,3+sin θ2 则|BM →|2=????cos θ-322+? ????33+sin θ22= 37+12sin ????θ-π 64≤37+124=494, 当θ=23π时,||2取得最大值49 4 .故选B. 6.(2016·山东,8)已知非零向量m ,n 满足4|m |=3|n |,cos 〈m ,n 〉=1 3.若n ⊥(t m +n ),则实 数t 的值为( ) A.4 B.-4 C.94 D.-9 4 6.B [∵n ⊥(t m +n ),∴n ·(t m +n )=0,即t ·m ·n +n 2=0,∴t |m ||n |cos 〈m ,n 〉+|n |2=0,由已知得t ×34|n |2×1 3 +|n |2=0,解得t =-4,故选B.] 7.(2016·全国Ⅲ,3)已知向量BA →=????12,32,BC → =????32,12,则∠ABC =( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 7.A [|BA →|=1,|BC → |=1,cos ∠ABC =BA →·BC → |BA →|·|BC → | =32.] 8.(2016·全国Ⅱ,3)已知向量a =(1,m ),b =(3,-2),且(a +b )⊥b ,则m =( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 8.D[由题知a +b =(4,m -2),因为(a +b )⊥b ,所以(a +b )·b =0, 即4×3+(-2)×(m -2)=0,解之得m =8,故选D.] 9.(2015·山东,4)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60° ,则BD →·CD → =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32 a 2 9.D [如图所示,由题意,得BC =a ,CD =a ,∠BCD =120°. BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos 120°=a 2+a 2-2a ·a ×????-1 2=3a 2, ∴BD =3a . ∴BD →·CD →=|BD →|·|CD → |cos 30°=3a 2×32=32 a 2.] 10.(2015·安徽,8)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →=2a ,AC → =2a +b ,则下列结论正确的是( ) A.|b |=1 B.a ⊥b C.a ·b =1 D.(4a +b )⊥BC → 10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形;∴(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=0,即(AB →+AC →)·CB → =0,∴(4a +b )⊥CB →,即(4a +b )⊥BC → ,故选D.] 11.(2015·四川,7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB →|=6,|AD →|=4,若点M ,N 满足BM → =3MC →,DN →=2NC →,则AM →·NM → =( ) A.20 B. 15 C.9 D.6 11.C[AM →=AB →+34AD →,NM →=CM →-CN → =-14AD →+13 AB → ∴AM →·NM →=14(4AB →+3AD →)·112(4AB →-3AD →)=148(16AB →2-9AD → 2)=148(16×62-9×42)=9,选 C.] 12.(2015·福建,9)已知AB →⊥AC →,|AB →|=1t ,|AC → |=t ,若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且 AP →=AB →|AB →|+4AC →|AC →| ,则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21 12.A [建立如图所示坐标系,则B ????1t ,0,C (0,t ),AB →=????1t ,0,AC →=(0,t ),AP →=AB →|AB →|+4AC → |AC → |=t ????1t ,0+4t (0,t )=(1,4),∴P (1,4),PB →·PC → =????1t -1,-4·(-1,t -4)=17-????1 t +4t ≤17-21 t ·4t =13,故选A.] 13.(2015·重庆,6)若非零向量a ,b 满足|a |=223|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 和b 的夹角 为( ) A.π4 B.π2 C.3π 4 D.π 13.A [由题意(a -b )·(3a +2b )=3a 2-a·b -2b 2=0,即3|a |2-|a |·|b |cos θ-2|b |2=0, 所以3×??? ?2232 -223cos θ-2=0,cos θ=22,θ=π4,选A.] 14.(2015·陕西,7)对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.|a -b |≤||a |-|b || C.(a +b )2=|a +b |2 D.(a +b )(a -b )=a 2-b 2 14.B [对于A ,由|a ·b |=||a ||b |cos|≤|a ||b |恒成立;对于B ,当a ,b 均为非零向量且方向相反时不成立;对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.] 15.(2014·新课标全国Ⅱ,3)设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则a ·b =( ) A.1 B.2 C.3 D.5 15.A [由向量的数量积运算可知,∵|a +b |=10,∴(a +b )2=10,∴a 2+b 2+2a ·b =10,① 同理a 2+b 2-2a ·b =6,② ① -②得4a ·b =4,∴a ·b =1.] 16.(2014·大纲全国,4)若向量a 、b 满足:|a |=1,(a +b )⊥a ,(2a +b )⊥b ,则|b |=( ) A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 16.B [由题意得? ????(a +b )·a =a 2+a ·b =0, (2a +b )·b =2a ·b +b 2=0?-2a 2+b 2=0,即-2|a |2+|b |2=0,又|a |=1, ∴|b |= 2.故选B.] 17.(2014·天津,8)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE =λBC ,DF =μDC .若AE →·AF →=1,CE →·CF → =-23,则λ+μ=( ) A.12 B.23 C.56 D.712 17.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0,-1),B (-3,0),C (0,1),D (3,0),由题意得CE →=(1-λ)·CB → =(3λ-3, λ-1),CF →=(1-μ)CD → =(3-3μ,μ-1). 因为CE →·CF →=-2 3,所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)(μ-1)=-23,即(λ-1)(μ-1)=13. 因为AE →=AC →+CE →=(3λ-3,λ+1).AF →=AC →+CF → =(3-3μ,μ+1), 又AE →·AF →=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由?????(λ-1)(μ-1)=13.(λ+1)(μ+1)=2, 整理得λ+μ=56 .选C.] 18.(2017?新课标Ⅰ,13)已知向量 , 的夹角为60°,| |=2,| |=1,则| +2 |=________. 18. ∵向量 , 的夹角为60°,且| |=2,| |=1, ∴ = +4 ? +4 =22 +4×2×1×cos60°+4×12 =12, ∴| +2 |=2 .故答案为:2 . 19.(2017?山东,12)已知,是互相垂直的单位向量,若﹣和+λ 的夹角为60°,则实数λ的值是________. 19. ,是互相垂直的单位向量,∴| |=| |=1,且? =0; 又﹣和+λ 的夹角为60°,∴(﹣)?(+λ )=| ﹣|×| +λ |×cos60°,即+(﹣1)? ﹣λ = × × ,化简得﹣λ= × × ,即﹣λ= ,解得λ= .故答案为:. 20.(2017·天津,13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2 ,=λ ﹣ (λ∈R),且=﹣4,则λ的值为________. 20.如图所示, △ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2, =2 , ∴= + = + = + (﹣) = + , 又=λ﹣(λ∈R), ∴=(+ )?(λ﹣) =( λ﹣ ) ? ﹣ + λ =( λ﹣ )×3×2×cos60°﹣ ×32 + λ×22 =﹣4, ∴ λ=1, 解得λ= .故答案为: . 21.(2016·浙江,15)已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________. 21.1 2 [由已知可得:6≥|a ·e |+|b ·e |≥|a ·e +b ·e |=|(a +b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a +b |成立. ∴6≥(a +b )2=a 2+b 2+2a ·b =12+22+2a ·b .即6≥5+2a ·b ,∴a ·b ≤1 2 .] 22.(2015·天津,14)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则|AE →|·|AF → |的最小值为________. 22.2918 [在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →· 19λDC → =2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥2 29λ·λ2+1718=29 18 ,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为29 18 .] 23.(2015·浙江,15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12,若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52, 且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+ye 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0=________,y 0=________,|b |=________. 23.1 2 22 [∵e 1·e 2=|e 1|·|e 2|cos 〈e 1,e 2〉=12,∴〈e 1,e 2〉=π3.不妨设e 1=????12,3 2,0, e 2=(1,0,0),b =(m ,n ,t ). 由题意知? ????b ·e 1=12m +3 2n =2,b ·e 2 =m =52,解得n =32,m =52,∴b =??? ?52,3 2,t . ∵b -(x e 1+y e 2)=????52-12x -y ,32-3 2x ,t , ∴|b -(x e 1+y e 2 )|2= ????52-x 2-y 2+????32-32x 2+t 2=x 2+xy +y 2-4x -5y +t 2+7=? ???x +y -422 +34(y -2)2+t 2.由题意知,当x =x 0=1,y =y 0=2时,????x +y -422+34(y -2)2+t 2取到最小值. 此时t 2=1, 故|b |= ????522+??? ?322 +t 2=2 2.] 24.(2017?江苏,16)已知向量 =(cosx ,sinx ), =(3,﹣ ),x ∈[0,π]. (Ⅰ)若 ∥ ,求x 的值; (Ⅱ)记f (x )= ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 24.(Ⅰ)∵ =(cosx ,sinx ), =(3,﹣ ), ∥ , ∴﹣ cosx+3sinx=0, ∴tanx= , ∵x ∈[0,π], ∴x= , (Ⅱ)f (x )= =3cosx ﹣ sinx=2 ( cosx ﹣ sinx )=2 cos (x+ ), ∵x ∈[0,π],∴x+ ∈[ , ],∴﹣1≤cos (x+ )≤ , 当x=0时,f (x )有最大值,最大值3,当x= 时,f (x )有最小值,最大值﹣2 25.(2015·广东,16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =???? 22 ,-22,n =(sin x ,cos x ),x ∈??? ?0,π 2. (1)若m ⊥n ,求tan x 的值. (2)若m 和n 的夹角为π 3,求x 的值. 25.解 (1)因为m =?? ?? 22 ,-22,n =(sin x ,cos x ),m ⊥n . 所以m ·n =0,即 22sin x -2 2 cos x =0,所以sin x =cos x ,所以tan x =1. (2)因为|m |=|n |=1,所以m ·n =cos π3=12,即22sin x -22cos x =1 2,所以sin ????x -π4=12, 因为0 12 . 26.(2014·北京,10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=________. 26.5 [∵|a |=1,∴可令a =(cos θ,sin θ),∵λa +b =0, ∴? ????λcos θ+2=0, λsin θ+1=0,即???cos θ=-2 λ,sin θ=-1λ, 由sin 2 θ+cos 2 θ=1得λ2 =5,得|λ|= 5.] 27.(2014·江西,14)已知单位向量e 1和e 2的夹角为α,且cos α=1 3,向量a =3e 1-2e 2和b = 3e 1-e 2的夹角为β,则cos β=________. 27.223 [因为a 2=(3e 1-2e 2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a |=3,b 2=(3e 1-e 2)2=9-2×3×1×cos α +1=8,所以|b |=22,a ·b =(3e 1-2e 2)·(3e 1-e 2)=9e 21-9e 1·e 2+2e 22 =9-9×1×1×13+2=8,所以cos β=a ·b |a |·|b |=83×22=22 3 .] 28.(2014·湖北,11)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=________. 28.±3 [(a +λb )⊥(a -λb )?(a +λb )·(a -λb )=a 2-λ2b 2=0?18-2λ2=0?λ=±3.] 29.(2014·江苏,12)如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP → =3PD →,AP →·BP →=2,则AB →·AD → 的值是________. 29.22 [因为AP →=AD →+DP →=AD →+14AB →,BP →=BC →+CP →=AD →-34AB →,所以AP →·BP →=(AD →+ 1 4AB →)·(AD →-34AB →)=|AD →|2-316|AB →|2-12 AD →·AB →=2,将AB =8,AD =5代入解得AB →·AD → =22.] 5.平面向量(含解析) 一、选择题 【2015,2】2.已知点A (0,1),B (3,2),向量(4,3)AC =--,则向量BC =( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 【2014,6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则=+( ) A . B . 21 C .2 1 D . 二、填空题 【2017,13】已知向量()1,2a =-,(),1b m =,若向量a b +与a 垂直,则m = . 【2016,13】设向量()1x x +,a =,()12,b =,且⊥a b ,则x = . 【2013,13】已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =______. 【2012,15】15.已知向量a ,b 夹角为45°,且||1a =,|2|10a b -=,则||b =_________. 【2011,13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数, 若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = . 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4.平面向量 一、选择题 (2017·4)设非零向量,a b ,满足+=-a b a b 则( ) A .a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b (2015·4)向量a = (1,-1),b = (-1,2),则(2a +b )·a =( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (2014·4)设向量b a ,满足10||=+b a ,6||=-b a ,则=?b a ( ) A .1 B .2 C .3 D .5 二、填空题 (2016·13)已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =___________. (2013·14)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ?=uu u r uu u r _______. (2012·15)已知向量a ,b 夹角为45o,且|a |=1,|2-a b |b |= . (2011·13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量k a -b 垂直,则k = . 三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1.(19全国1文理)已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π6 2.(19全国2理)已知AB u u u r =(2,3),AC u u u r =(3,t ),BC uuu r =1,则AB BC ?u u u r u u u r =( ) A .-3 B .-2 C .2 D .3 3.(19全国2文)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a –b |=( ) A B .2 C . D .50 4.(19全国3理)已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0 ,若2=c a ,则cos ,<>=a c 23 5.(19全国3文)已知向量(2,2),(8,6)==-a b ,则cos ,<>= a b 6.(19天津文理)在四边形ABCD 中,,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥, 点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7.(18浙江)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ,向量b 满足b 2?4e ·b +3=0,则|a ?b |的最小值是( ) A 1 B C .2 D .2 8.(18天津文)在如图的平面图形中, 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为( ) (A )15- (B )9- (C )6- (D )0 9.(18天津理)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则?uu u r uur AE BE 的最小值为 ( ) 平面向量 一、平面向量的基本概念: 1.向量:既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量,即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度:向量的大小也是向量的长度(或_____),记作_________. 3.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作________. 4.单位向量:__________________________. 5.平行向量和共线向量:如果向量的基线平行或重合,则向量平行或共线;两个非零向量方向相同或相反.记作________规定:___________________. 注意:理解好共线(平行)向量。 6.相等向量:_______________________. 例:下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②,,a == 则c a = ;③,//,//a a // ④若CD AB =,则A ,B ,C ,D 四点是平行四边形的四个顶点; ⑤所有的单位向量都相等; 二、向量的线性运算: (一)向量的加法: 1.向量的加法的运算法则:____________、_________和___________. (1)向量求和的三角形法则:适用于任何两个向量的加法,不共线向量或共线向量;模长之间的不等式关系_______________________;“首是首,尾是尾,首尾相连” 例1.已知AB=8,AC=5,则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 (1)+++ (2))()()(+++++ (2)平行四边形法则:适用不共线的两个向量,当两个向量是同一始点时,用平行四边形法则; a + 是以a ,b 为邻边的平行四边形的一条对角线,如图: 例1.(09 )设P 是三角形ABC 所在平面内一点,BP BA BC 2=+,则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.(13四川)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AO AD AB λ=+ ,则.______=λ (3)多边形法则 2.向量的加法运算律:交换律与结合律 (二)向量的减法: 减法是加法的逆运算,A.PB PA OB OA BA -=-= (终点向量减始点向量) 平面向量高考试题精选(含详细答案) 平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A.B. C.D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则 的最大值等于() A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=() A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1 D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A.B.C.D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为()A.B.C.D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是() 12.(2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=() A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 13.(2014?新课标I)设D,E,F分别为△ABC 的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D. 14.(2014?福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于()A.B.2 C.3 D.4 二.选择题(共8小题) 15.(2013?浙江)设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于. 平面向量高考试题精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A. B. C. D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=()A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1D.(4+)⊥ 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为()A. B. C. D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为() A. B. C. D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D 满足||=1,则|++|的取值范围是() A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,<>=60°,则||的最大值等于() A.2 B. C. D.1 10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=() A. B. C. D. 11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为() A. B. C. D.0 高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( ) A .31 44AB AC - B .13 44AB AC - C .31 44AB AC + D .1344 AB AC + 【答案】 2.(2018北京)设a ,b 均为单位向量,则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】 3.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ,b 满足||1=a , 1?=-a b ,则(2)?-=a a b ( ) A .4 B .3 C .2 D .0 【答案】 4.(2017北京)设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0? 平面向量高考经典试题 一、选择题 1.(全国1文理)已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与 b A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向 2、(山东文5)已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与 b 垂直,则=a ( ) A .1 B C .2 D .4 3、(广东文4理10)若向量,a b 满足||||1a b ==,,a b 的夹角为60°,则a a a b ?+?=______; 答案:3 2 ; 4、(天津理10) 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、(山东理11)在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、(全国2 理5)在?ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB , CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、(全国2理12)设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若 FC FB FA ++=0,则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、(全国2文6)在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+,,则λ=( ) A .23 B .13 C .1 3 - D .2 3 - 9(全国2文9)把函数e x y =的图像按向量(2)=,0a 平移,得到()y f x =的图像,则()f x =( ) A .e 2x + B .e 2x - C .2 e x - D .2 e x + 10、(北京理4)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 11、(上海理14)在直角坐标系xOy 中,,i j 分别是与x 轴,y 轴平行的单位向量,若直角三角形ABC 中,2AB i j =+,3AC i k j =+,则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、(福建理4文8)对于向量,a 、b 、c 和实数,下列命题中真命题是 A 若 ,则a =0或b =0 B 若 ,则λ=0或a =0 C 若=,则a =b 或a =-b D 若 ,则b =c 13、(湖南理4)设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条 2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点,过P作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B 求的值() A. B. C. D. 2、向量,,若,且,则x+y的值为() A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 3、已知向量满足,若,则向量在方向上的投影为A. B. C.2 D.4 4、.如图,为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,则 () A.B. C.D. 5、在平行四边形中,,若是的中点,则() A. B. C. D. 6、已知向量,且,则() A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形,D为的中点,且,则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中,,则该四边形的面积为 A. B. C.5 D.10 9、下列命题中正确的个数是() ⑴若为单位向量,且,=1,则=;⑵若=0,则=0 ⑶若,则;⑷若,则必有;⑸若,则 A.0 B.1 C.2 D.3 10、如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为() 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足,且对任意都有,则的最小值为________. 13、已知,,则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知,是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°,,,则________. 16、已知中,为边上靠近点的三等分点,连接为线段的中点,若 , 则__________. 17、已知向量为单位向量,向量,且,则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足,。若 (λ,μ∈R),则λ+μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中,向量,,且. (1)求的值;(2)设,求的值. 20、已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2). (1)若∥,求的值; (2)若,0<<,求的值. 21、已知向量,.(1)若在集合中取值,求满足的概率;(2)若 在区间[1,6]内取值,求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中,已知向量, (1)求证:且; (2)设向量,,且,求实数t的值. 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实 数,(a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →= ( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12 一、多选题 1.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 2.已知点()4,6A ,33,2 B ??- ?? ? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33?? - - ??? D .(7,9) 3.在ABC 中,AB =1AC =,6 B π =,则角A 的可能取值为( ) A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 2 π 4.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45° D .() //2a a b + 5.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且 AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( ) A .1A B CE ?=- B .0OE O C += C .3OA OB OC ++= D .ED 在BC 方向上的投影为 76 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC = D .若满足条件的ABC 有两个,则24AC << 7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( ) A . B . C .8 D . 8.ABC 中,4a =,5b =,面积S =c =( ) A B C D .9.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八 — 平面向量高考试卷精选(一) 一.选择题(共14小题) 1.(2015?河北)设D为△ABC所在平面内一点,,则() A.B. C.D. 2.(2015?福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于() 、 A.13 B.15 C.19 D.21 3.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=() A.20 B.15 C.9 D.6 4.(2015?安徽)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是() A.||=1 B.⊥C.?=1 D.(4+)⊥ | 5.(2015?陕西)对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是() A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2D.()?()=2﹣2 6.(2015?重庆)若非零向量,满足||=||,且(﹣)⊥(3+2),则与的夹角为() A.B.C.D.π 7.(2015?重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为() ( A.B.C.D. 8.(2014?湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是() A.[4,6] B.[﹣1,+1] C.[2,2] D.[﹣1,+1] 9.(2014?桃城区校级模拟)设向量,满足,,< >=60°,则||的最大值等于() A.2 B.C.D.1 { 10.(2014?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=() A.B.C.D. 11.(2014?安徽)设,为非零向量,||=2||,两组向量,,,和,,,,均由2个和2个排列而成,若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2,则与的夹角为() A.B.C.D.0 12.(2014?四川)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=() A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 ~ 平面向量 【知识点】 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式 : a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+; ②结合律:()() a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑸坐标运算:设 ()11,a x y =,()22,b x y =,则()121 2,a b x x y y +=++. 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 ()11,a x y =,()22,b x y =,则()121 2,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 4、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ① a a λλ=; ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③() a b a b λλλ+=+. b a C B A a b C C -=A -AB =B 平面向量高考真题精选(一) 一.选择题(共20小题) 1.(2017?新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则() A.⊥B.||=||C.∥D.||>|| 2.(2017?新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(+)的最小值是() A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1 3.(2017?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则() A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3 4.(2017?新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为() A.3 B.2 C.D.2 5.(2016?四川)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 6.(2016?新课标Ⅱ)已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=() A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 7.(2016?天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、 BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B.C.D. 8.(2016?山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为() A.4 B.﹣4 C.D.﹣ 9.(2016?四川)在平面内,定点A,B,C,D满足==,?=?=?=﹣2,动点P,M满足=1,=,则||2的最大值是() A.B.C. D. 10.(2016?新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120° 11.(2015?新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,,则()A.B. C.D. 12.(2015?新课标Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=() A.(﹣7,﹣4)B.(7,4) C.(﹣1,4)D.(1,4) 13.(2015?四川)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=()A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2015?山东)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2 15.(2015?四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N 一、多选题1.题目文件丢失! 2.已知非零平面向量a ,b ,c ,则( ) A .存在唯一的实数对,m n ,使c ma nb =+ B .若0?=?=a b a c ,则//b c C .若////a b c ,则a b c a b c =++++ D .若0a b ?=,则a b a b +=- 3.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos A b B a =,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 4.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +> B .若a b >,则cos2cos2A B < C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径 D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 5.下列结论正确的是( ) A .在ABC 中,若A B >,则sin sin A B > B .在锐角三角形AB C 中,不等式2220b c a +->恒成立 C .若sin 2sin 2A B =,则ABC 为等腰三角形 D .在ABC 中,若3b =,60A =?,三角形面积33S =,则三角形外接圆半径为3 6.ABC 中,2AB =,30ACB ∠=?,则下列叙述正确的是( ) A .ABC 的外接圆的直径为4. B .若4A C =,则满足条件的ABC 有且只有1个 C .若满足条件的ABC 有且只有1个,则4AC = D .若满足条件的ABC 有两个,则24AC << 7.在RtABC 中,BD 为斜边AC 上的高,下列结论中正确的是( ) A .2 AB AB AC B .2 BC CB AC 全国卷历年高考平面向量真题归类分析 (2015年-2019年共14套) 一、代数运算(3题) 1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解:因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以.答案: 2.(2017全国1卷13)已知向量,的夹角为,, ,则 . 解: ,所以 3.(2018全国2卷4)已知向量,满足,,则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解:因为所以选B. 4.(2019全国1卷7)已知非零向量a ,b 满足a =2b ,且(a –b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 A. π6 B. π 3 C. 2π3 D. 5π6 解:因为()a b b -⊥,所以2 ()a b b a b b -?=?-=0,所以2a b b ?=,所以cos θ=2 2||1 2||2 a b b a b b ?==?,所以a 与b 的夹角为 3 π ,故选B . 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.解决问题的关键是熟悉公式及运算法则,求夹角公式为:1212 22 22 11 22 cos x x y y a b a b x y x y θ+?= =++,注意向量夹角范围为[0,]π.求模长则利用公式2 2a a a a ?==转化为向量数量积运算,注意运算结果开平方才是模长.这类题基本解题思路如下: 12, k k λ=??=?, 12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+???+a b a b a a b b 22 1222222 =+???+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示2 2 a = 《平面向量》 1.向量 2.表示方法 3.向量模(长度) 4.零向量 5.单位向量 6.相等向量 7.相反向量 8.共线(平行)向量 例:下列命题中,正确的是( ) A 、|a |=|b |?a =b B 、|a |>|b |?a >b C 、a =b ?a ∥b D 、|a |=0?a =0 一、 不用坐标研究向量 A (1)加法运算 (2)减法运算 (3)数乘运算 (4)数量积运算cos a b a b θ→ → → → ??= 2 2 a a →→= cos θ= a → = a b → → ⊥? a b → → ?∥ 例1:等边三角形ABC 的边长为2,则=?? 例2: 12,e e →→ 是两个单位向量,它们的夹角是 60,则=+-?-)23()2(2121e e e e 例3:(1) |a → |=1,|b → |=2,向量a → 与b → 的夹角为60°,则|a → -b → |= (2)已知a b a b →→→→+=-,则a b →→ ?=? 例4:已知单位向量12,e e →→ 的夹角为3 π ,122a e e →→→=-,则a →在1e →上的投影是? 【2017全国理13】已知向量a →,b →的夹角为60°,|a →|=2,|b →|=1,则|a →+2b → |= 例4:21,e e 是平面内不共线两向量,已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=, 若D B A ,,三点共线,则k 的值是( ) B. 平面向量基本定理:平面内任何一个向量都能由另外两个不共线的向量表示出来。 例:平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,DC 的中点。 若AB =a ,=b ,试以a ,b 为基底表示DE 、BF 【2018全国文7】在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = A .3144A B A C - B .1344AB AC - C .3144AB AC + D .1344 AB AC + 【2015全国理7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD = ,则 (A )1433AD AB AC =-+ (B)1433 AD AB AC =- (C )4133AD AB AC =+ (D)41 33 AD AB AC =- 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL ) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与AC → 的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则=+( ) A . B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?,,min{,},y x y x y x x y ≥?=?,设,a b r r 高考数学选择题分类汇编 1.【2011课标文数广东卷】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数, (a +λb)∥c ,则λ=( ) A.14 B .1 2 C .1 D .2 2.【2011·课标理数广东卷】若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c·(a +2b)=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →=( ) A .0 B.BE → C.AD → D.CF → 4.【2011大纲文数全国卷】设向量a ,b 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,则|a +2b|=( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5.【2011课标文数湖北卷】若向量a =(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( ) A .-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6.【2011课标理数辽宁卷】若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,(a -c)·(b -c)≤0,则|a +b -c|的最大值为( ) A.2-1 B .1 C. 2 D .2 【解析】 |a +b -c|=(a +b -c )2=a 2+b 2+c 2+2a·b -2a·c -2b·c ,由于a·b =0,所以上式=3-2c·(a +b ),又由于(a -c)·(b -c)≤0,得(a +b)·c ≥c 2=1,所以|a +b -c|=3-2c·(a +b )≤1,故选B. 7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a·(2a -b)=0,则k =( ) A .-12 B .-6 C .6 D .12 8.【2011大纲理数1全国卷】设向量a ,b ,c 满足|a|=|b|=1,a·b =-1 2,〈a -c ,b -c 〉=60°, 则|c|的最大值等于( ) A .2 B.3 C. 2 D .1 9.【2011课标理数北京卷】已知向量a =(3,1),b =(0,-1),c =(k ,3).若a -2b 与c 共线,则k =________. 10.【2011·课标文数湖南卷】设向量a ,b 满足|a|=25,b =(2,1),且a 与b 的方 向相反,则a 的坐标为________. 【解析】 因为a +λb =(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),又因为(a +λb)∥c ,(1+λ)×4-2×3=0,解得λ=1 2 . 平面向量专题练习 一、平面向量的概念及其线性运算 1.[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在 平面内任意一点,则OA →+OB →+OC →+OD →等于( ) A.OM → B .2OM → C .3OM → D .4OM → 答案:D [解析] 如图所示,因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,所以M 是 AC 与BD 的中点,即MA →=-MC →,MB →=-MD →. 在△OAC 中,OA →+OC →=(OM →+MA →)+(OM →+MC →)=2OM →. 在△OBD 中,OB →+OD →=(OM →+MB →)+(OM →+MD →)=2OM →, 所以OA →+OC →+OB →+OD →=4OM →,故选D. 2.[2014·江西卷] 已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=13 .若向量a =3e 1-2e 2,则|a |=________. 答案:3 [解析] 因为|a |2=9|e 1|2-12e 1·e 2+4|e 2|2=9×1-12×1×1×13 +4×1=9,所以|a |=3. 3.[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则=0;命 题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A .p ∨q B .p ∧q C .(非p )∧(非q ) D .p ∨(非q ) 答案:A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0 时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题. 4.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →=( ) A.AD → B.12AD → C.12 BC → D.BC → 答案:A [解析] EB +FC =EC +CB +FB +BC =12AC +12 AB =AD . 5.[2014·四川卷] 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等 平面向量历年高考题汇编——难度高 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1.★★(2014·辽宁卷L) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p ∨q B .p ∧q C .)()(q p ?∧? D .)(q p ?∨ 2.★★(·新课标全国卷ⅠL ) 已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB →与AC →的夹角为________. 3.★★(2014·四川卷) 平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =ma +b (m ∈R),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点,则 = +( ) A . B. 2 1 C. D. BC 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OD OC OB OA +++等于 ( ) A .OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★(2011浙江L )若平面向量,αβ满足 1,1 a β=≤,且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为12 ,则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★(2014浙江 L )记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? ,,min{,},y x y x y x x y ≥?=? ,设,a b 为平面向量,则( ) A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2 2 2 2min{||,||}|| ||a b a b a b +-≥+ D.2 2 2 2min{||,||}|| ||a b a b a b +-≤+ 8. ★★ (2013广东W)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解,有如下四个命题:最新全国卷-高考—平面向量试题带答案
三年高考真题分类汇编(平面向量)
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选
高考数学真题平面向量的概念与运算【学生试卷】
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)
历年平面向量高考试题汇集学习资料
高考数学平面向量及其应用习题及答案 百度文库
平面向量高考试题精选(含详细标准答案)
平面向量高考题及答案
(完整版)平面向量高考真题精选(一)
高考数学平面向量及其应用习题及答案
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
平面向量知识梳理及高考真题汇总
(完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高
历年平面向量高考试题汇集
2014高考真题向量专题练习(答案版)
平面向量历年高考题汇编——难度高